11.1.2 构成空间几何体的基本元素-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第四册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

11.1　空间几何体 11.1.2　构成空间几何体的基本元素 第十一章　立体几何初步   [学习目标]　1.理解构成几何体的基本元素,并能从运动的角度理解点、线、面、体之间的关系.　2.了解简单几何体中点、线、面的位置关系.　3.掌握三种几何语言——文字语言、符号语言、图形语言以及三种语言之间的相互转化. 知识点1　空间几何体的基本元素 内容索引 知识点2　点、线、面的位置关系及符号表示 课时作业 巩固提升 知识点3　距离 课堂达标·素养提升 3 知识点1　空间几何体的基本元素 1.构成空间几何体的基本元素:_____________. 2.从运动的观点理解空间基本图形之间的关系:点运动的轨迹可以是线,线运动的轨迹可以是面,面运动的轨迹可以是体. 点、线、面 [例1]　试指出下图中组成各几何体的基本元素. [解]　(1)中几何体有6个顶点,12条棱和8个面. (2)中几何体有12个顶点,18条棱和8个面. (3)中几何体有6个顶点,10条棱和6个面. 点是最基本的元素,只有位置,没有大小;直线没有粗细,向两方无限延伸;平面没有厚度,向周围无限延展.要熟记这三种基本元素的特点.在现实生活中要多观察几何体,加深对构成空间几何体的基本元素的认识. 思维提升 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.任何一个几何体都必须有顶点、棱和面 B.一个几何体可以没有顶点 C.一个几何体可以没有棱 D.一个几何体可以没有面 解析:球只有一个曲面,故A错误,B正确,C正确.由于几何体是空间图形,一定有面,故D错误. 跟踪训练 BC 知识点2　点、线、面的位置关系及符号表示   位置关系 符号表示 图形 点线 点A在直线l上 A∈l   点A在直线l外 A∉l   点面 点A在平面α内 A∈α   点A在平面α外 A∉α     位置关系 符号表示 图形 线线 两直线平行 ______   两直线异面 ___________ ____________ ____________   两直线相交 ________   a∥b a∩b=∅ 且a与b 不平行 a∩b=P   位置关系 符号表示 图形 线面 直线l在平面α内 ____   直线在 平面外 直线l与平面α平行 ____   直线l与平面α斜交于点A l∩α=A   直线l与平面α 垂直 ____   l⊂α l∥α l⊥α   位置关系 符号表示 图形 面面 两平面平行 _____   两平面相交 ______   α∥β α∩β=l [例2]　若点A在直线b上,b在平面β内,则点A,直线b,平面β之间的关系可以记作(　　) A.A∈b∈β　　　　　　　　 B.A∈b⊂β C.A⊂b⊂β D.A⊂b∈β B [例3]　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,写出所有: (1)与直线AD平行的直线,与AD异面的直线; (2)与直线AD平行的平面,并用合适的符号表示; (3)与直线AD垂直的平面,并用合适的符号表示; (4)与平面BCC1B1平行的平面,并用合适的符号表示. [解]　(1)与AD平行的直线有BC,A1D1,B1C1,与AD异面的直线有A1B1,C1D1,BB1,CC1. (2)AD∥平面BCC1B1,AD∥平面A1B1C1D1. (3)AD⊥平面ABB1A1,AD⊥平面CDD1C1. (4)平面ADD1A1∥平面BCC1B1. 解决此类问题的关键是识图,联系点、线、面的位置关系的定义,根据图形识别直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系. 思维提升 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,写出: (1)所有与直线DD1平行的直线; (2)所有与直线DD1异面的直线; (3)所有与直线BC平行的平面,并用合适的符号表示; (4)六个面与直线AB的位置关系,并用合适的符号表示; (5)与平面ABCD平行的平面,并用合适的符号表示; (6)平面BCC1B1与平面CDD1C1的位置关系,并用合适的符号表示. 跟踪训练 解:(1)与直线DD1平行的直线有直线AA1,BB1,CC1. (2)与直线DD1异面的直线有直线AB,A1B1,BC,B1C1. (3)BC∥平面ADD1A1,BC∥平面A1B1C1D1. (4)AB⊂平面ABCD,AB⊂平面ABB1A1, AB∥平面A1B1C1D1,AB∥平面CDD1C1, AB⊥平面ADD1A1,AB⊥平面BCC1B1. (5)平面A1B1C1D1∥平面ABCD. (6)平面BCC1B1与平面CDD1C1相交,即平面BCC1B1∩平面CDD1C1=CC1. 知识点3　距离 垂线   概念 对应图形 投影 给定空间中一个平面α及一个点A,过点A可以作而且只可以作平面α的一条______,如果记垂足为B,则称___为A在平面α内的射影(也称为投影)   距离 点面 线段_____为平面α的垂线段,AB的长为点A到平面α的距离 B AB   概念 对应图形 距离 线面 当直线与平面_____时,直线上____一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离   面面 当平面与平面________时,一个平面上_____一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离   平行 任意 平行 任意 [例4]　线段AB长为5 cm,在水平面上向右移动4 cm后记为CD,将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C'D',再将C'D'沿水平方向向左移动 4 cm后记为A'B',依次连接构成长方体ABCD-A'B'C'D'. (1)该长方体的高为　　　　;  (2)平面A'B'BA与平面CDD'C'间的距离为　　　　;  (3)点A到平面BCC'B'的距离为　　　　.  3 cm 4 cm 5 cm [解析]　如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=5 cm,BC=4 cm,CC'=3 cm, ∴长方体的高为3 cm;平面A'B'BA与平面CDD'C'之间的距离为4 cm;点A到平面BCC'B'的距离为5 cm. 求距离首先要找垂线,即找出平面的垂线,结合长方体中点、线、面关系即可求. 思维提升 3.(多选)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列说法正确的是(　　 ) A.C1C⊥平面ABCD B.AC是AC1在平面A1C1内的射影 C.C1C的长是直线B1C1到平面ABCD的距离 D.C1C的长是平面A1B1C1D1到平面ABCD的距离 解析:AC是AC1在平面ABCD内的射影,故B错误,A,C,D都正确. 跟踪训练 ACD 〈课堂达标·素养提升〉 1.下列说法正确的是(　　) A.在空间中,一个点运动成直线 B.在空间中,直线平行移动形成平面 C.在空间中,直线绕与其相交的另一条直线转动形成平面或锥面 D.在空间中,矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 C 解析:一个点运动也可以成曲线,故A错;在空间中,直线平行移动可以形成平面或曲面,故B错;在空间中,矩形上各点沿垂直矩形所在平面的方向移动相同距离所形成的几何体是长方体,故D错. 2.能正确表示点A在直线l上且直线l在平面α内的是(　　) C 解析:选项A只表示点A在直线l上;选项D表示直线l与平面α相交于点A;选项B中的直线l有部分在平行四边形的外面,所以不能表示直线在平面α内. 3.若a和b是异面直线,a和c是平行直线,则b和c的位置关系是　　　　　　.  异面或相交 解析:考虑正方体ABCD-A'B'C'D'中,直线AB看作直线a,直线B'C'看作直线b,即直线a和直线b是异面直线, 若直线CD看作直线c,可得a,c平行, 则b,c异面; 若直线A'B'看作直线c,可得a,c平行,则b,c相交. 若b,c平行,由a,c平行,可得a,b平行,这与a,b异面矛盾,故b,c不平行. 4.如图,已知三棱锥A-BCD,回答下列问题.   (1)A　　　　平面BCD,A　　　　平面ACD;  (2)AD∩平面BCD=　　　　,BD∩平面BCD=　　　　;  (3)平面ACD∩平面BCD=　　　　,平面ABC∩平面ACD=　　　　.  ∉　 ∈ D　 BD CD　 AC 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.(多选)下列属于构成空间几何体的基本元素的是(　 　) A.点 B.线段 C.曲面 D.多边形(不包括内部的点) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABC 解析:空间中的几何体是由点、线、面构成的,而线有直线和曲线之分,面有平面和曲面之分,只有多边形(不包括内部的点)不属于构成空间几何体的基本元素. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.如果A点在直线a上,而直线a在平面α内,点B在α内,可以表示为(　　) A.A⊂a,a⊂α,B∈α B.A∈a,a⊂α,B∈α C.A⊂a,a∈α,B⊂α D.A∈a,a∈α,B∈α 解析:点A在直线a上,而直线a在平面α内,点B在α内,表示为A∈a,a⊂α,B∈α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 3.(多选)如图所示,下列符号表示正确的是(　 　)   A.l∈α　　　　　　　 B.P∉l C.l⊂α D.P∈α 解析:由题图可知,l⊂α,P∉l,P∈α,故A错. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BCD 4.若两个平面相交,则分别在这两个平面内的两条直线(　　) A.平行 B.异面 C.相交 D.以上皆有可能 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:平面α,β相交,如图所示, 则a⊂α,b⊂β,a∥b; 又a⊂α,c⊂β,a,c异面; c⊂β,d⊂α,c,d相交; 所以分别在这两个平面内的两条直线可能 平行,也可能异面,也可能相交. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=3,AA1=5,则直线BC到平面ADD1A1的距离为　　　　,平面ABB1A1与平面CDD1C1之间的距离为　　　　.  解析:直线BC到平面ADD1A1的距离为AB=2,平面ABB1A1到平面CDD1C1之间的距离为AD=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 6.用符号语言表示下列语句. (1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC; (2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC. 解:(1)符号语言表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC. (2)符号语言表示:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.如图所示,在长方体A'B'C'D'-ABCD中,AB=3 cm,BC=2 cm,BB'=1 cm,   求:(1)点A'到平面B'BCC'的距离; (2)直线A'D'与平面ABCD的距离; (3)平面ABB'A'与平面CDD'C'的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)点A'到平面B'BCC'的距离为A'B'=3 cm. (2)直线A'D'与平面ABCD的距离为AA'=1 cm. (3)平面ABB'A'与平面CDD'C'的距离为AD=2 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 8.(多选)下列命题中正确的是(　　) A.平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点 B.直线l在平面α内,可以用符号“l∈α”表示 C.已知平面α与β不重合,若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交,则α与β相交 D.矩形上各点沿同一方向移动一定形成长方体 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AC 解析:由直线在平面外的定义可知A正确;直线l在平面α内用符号“⊂”表示,即l⊂α,B错误;由a与b相交,说明两个平面有公共点,因此一定相交,故C正确;矩形上各点沿同一方向移动,没有具体说明移动的方向和距离,故不一定形成长方体,所以D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.如图,模块①~⑤均由4个棱长为1的小正方体构成,模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①~⑤中选出三个放到模块⑥上,使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体,则下列选择方案中,能够完成任务的为(　　) A.模块①,②,⑤ B.模块①,③,⑤ C.模块②,④,⑤ D.模块③,④,⑤ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:先将⑤放入⑥中的空缺部分,然后在上层放入①②可得正方体. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.在如图所示的长方体ABCD-A'B'C'D'中,互相平行的平面共有　　对,与A'A垂直的平面是　　　　　　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 平面ABCD、平面A'B'C'D' 解析:平面ABCD与平面A'B'C'D'平行,平面ABB'A'与平面CDD'C'平行,平面ADD'A'与平面BCC'B'平行,共3对.与AA'垂直的平面是平面ABCD、平面A'B'C'D'. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.若点M是两条异面直线a,b外的一点,则过点M且与a,b都平行的平面有　　　　个.  解析:当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时,没有满足条件的平面;当点M不在上述两个平面内时,满足条件的平面只有1个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0或1 12.如图所示是一个正方体表面的展开图,图中线段AB与EF,HG与CD,EF与CD在原正方体中的位置关系是什么? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:选择一个面为底面,将图形向上折成正方体,如图,点G与点C重合,点F与点B重合,则线段AB与EF相交,线段HG与CD相交,线段EF与CD平行. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.如图所示的是长方体的表面展开图,在这个长方体中:   (1)直线DM与平面ABQP的位置关系是怎样的? (2)平面DCMN与平面ERFG的位置关系是怎样的? (3)线段BC的长度是点C到平面APQB的距离吗? 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:根据展开图,折叠得到几何体模型,如图所示.   (1)直线DM∥平面ABQP. (2)平面DCMN与平面ERFG相交于MN(FG). (3)线段BC的长度是点C到平面APQB的距离. 13 $$