11.1.1 空间几何体与斜二测画法-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第四册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

11.1　空间几何体 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 第十一章　立体几何初步 [学习目标]　1.了解常见的空间几何体,能将物体抽象出的几何体画出来.　2.会用斜二测画法画出简单平面图形和立体图形的直观图. 知识点1　平面图形的直观图 内容索引 知识点2　立体图形的直观图 课时作业 巩固提升 知识点3　直观图的还原与计算 课堂达标·素养提升 3 知识点1　平面图形的直观图 1.空间几何体 如果只考虑一个物体占有的空间______和_____,而不考虑其他因素,则这个空间部分通常可抽象为一个几何体. 形状 大小 2.用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的x'轴和y'轴,使得它们正方向的夹角为45°(或135°). (2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x'轴平行(或重合)的线段,且长度_____. 平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y'轴平行(或重合)的线段,且长度为原来长度的_______. (3)连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线. 不变 一半 [例1]　已知水平放置的正五边形ABCDE,如图,试作出其直观图. [解]　画法: (1)在图①中作AG⊥x轴于点G,作DH⊥x轴于点H. (2)在图②中作出相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°. (3)在图②中的x'轴上取O'B'=OB,O'G'=OG,O'C'=OC,O'H'=OH,y'轴上取O'E'=OE,分别过G'和H'作y'轴的平行线,并在相应的平行线上取G'A'=GA,H'D'=HD. (4)连接A'B',A'E',E'D',D'C',并擦去辅助线G'A',H'D',x'轴与y'轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'(如图③). 画水平放置的平面图形的直观图的技巧 1.在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上,以便于画点. 2.在直观图中,确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易,但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上,就需要我们经过这些点作坐标轴的平行线段,将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定. 3.同一个图形选取坐标系的角度不同,得到的直观图可能不同. 思维提升 1.用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图. 跟踪训练 解:(1)如图①所示,以BC边所在的直线为x轴,以BC边上的高线AO所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系. (2)画对应的x'轴、y'轴,使∠x'O'y'=45°. 在x'轴上截取O'B'=O'C'=2 cm,在y'轴上截取O'A'=OA,如图②所示.连接A'B',A'C',并擦去x'轴与y'轴,则三角形A'B'C'即为正三角形ABC的直观图,如图③所示. 知识点2　立体图形的直观图 用斜二测画法作立体图形直观图的步骤 (1)在立体图形中取水平平面,在其中取互相______的x轴与y轴,作出水平平面上图形的直观图(保留x'轴与y'轴). (2)在立体图形中,过x轴与y轴的交点取z轴,并使z轴______于x轴与y轴,过x'轴与y'轴的交点作z轴对应的z'轴,且z'轴_____于x'轴. 图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z'轴_____ (或____)的线段,且长度不变.连接有关线段. (3)擦去有关辅助线,并把被面遮挡住的线段改成______ (或擦除). 垂直 垂直 垂直 平行 重合 虚线 [例2]　用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面)的直观图. [解]　(1)画轴:画x'轴、y'轴、z'轴,使∠x'O'y'=45°(或135°), ∠x'O'z'=90°. (2)画底面:在面x'O'y'内,画出正六边形的直观图ABCDEF. (3)画侧棱:过A,B,C,D,E,F分别作z'轴的平行线,在这些平行线上分别截取AA',BB',CC',DD',EE',FF'都等于侧棱长. (4)成图:顺次连线A',B',C',D',E',F',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线)就得到正六棱柱的直观图,如图②所示. 简单几何体直观图的画法步骤 1.画轴:通常以高所在直线为z轴建系. 2.画底面:根据平面图形的直观图画法确定底面. 3.确定顶点:利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点. 4.连线成图. 思维提升 2.画出正四棱锥(底面是正方形,侧面是有一个公共顶点且全等的等腰三角形的棱锥)的直观图. 跟踪训练 解:(1)画轴.画Ox轴、Oy轴、Oz轴, ∠xOy=45°(或135°), ∠xOz=90°,如图①所示. (2)画底面.以O为中心在xOy平面内,画出正方形直观图ABCD. (3)画顶点.在Oz轴上截取OP,使OP的长度是原四棱锥的高. (4)成图.顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得到此四棱锥的直观图,如图②所示. 知识点3　直观图的还原与计算 [例3]　(1)如图,一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形,则原平面图形的面积为(　　) A.a2　　　　　　B.2a2 C.a2 D.2a2 (2)已知在边长为1的菱形ABCD中,A=,则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为(　　) A. B. C. D. B D [解析]　(1)由直观图还原出原图,如图, 则S=a·2a=2a2. (2)在菱形ABCD中,AB=1,A=,则菱形的面积为 S菱形ABCD=2S△ABD=2××1×1·sin =,所以用斜二 测画法画出这个菱形的直观图的面积S=S菱形ABCD×=×=. 1.直观图的还原技巧 由直观图还原为平面图的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段,且平行于x'轴的线段还原时长度不变,平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可. 2.直观图与原图面积之间的关系 若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为S',则有S'=S或S=2S'.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积. 思维提升 3.(1)已知△ABC的平面直观图△A'B'C'是边长为a的正三角形,则原△ABC的面积为(　　) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 (2)如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形通过斜二测画法画出的直观图,其中O'A'=6 cm,C'D'=2 cm,则原图形是　　　,面积为　　　 cm2.  跟踪训练 C 菱形 24 解析:(1)直观图是边长为a的正三角形,所以S直=a2,则S原=2S直=a2. (2)根据题意,直观图的两组对边分别平行,且O'A'=6 cm,C'D'=O'C'=2 cm, ∴O'D'=2 cm. 还原为平面图形是邻边不垂直的平行四边形, 且CD=2 cm,OD=4 cm,如图所示,∴OC=6 cm, ∴四边形OABC是菱形, 且面积S=6×4=24 cm2. 〈课堂达标·素养提升〉 1.关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是(　　) A.直角三角形的直观图仍是直角三角形 B.梯形的直观图是平行四边形 C.正方形的直观图是菱形 D.平行四边形的直观图仍是平行四边形 D 解析:由斜二测画法规则可知,平行于y轴的线段长度减半,直角坐标系变成斜坐标系,而平行性没有改变,故只有选项D正确. 2.如图,△A'B'C'是△ABC的直观图,其中A'B'=A'C',那么△ABC是(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 解析:由斜二测画法的规则可知△ABC为直角三角形,且直角边的长度关系为AC=2AB. B 3.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知A'C'=3,B'C'=2,则AB 边上的高线的实际长度为　　　　.  解析:由直观图知,原平面图形为直角三角形,且AC=A'C'=3,BC=2B'C'=4,计算得AB=5,所求高线长为. 4.如图是用斜二测画法画出的△AOB的直观图,则△AOB的面积是　　　　.  16 解析:由题图可知O'B'=4,则对应△AOB中,OB=4. 又和y'轴平行的线段的长度为4,则对应△AOB边OB上的高为8. 所以△AOB的面积为×4×8=16. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.由斜二测画法得到: ①相等的线段和角在直观图中仍然相等; ②正方形在直观图中是矩形; ③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形; ④菱形的直观图仍然是菱形. 上述结论正确的个数是(　　) A.0　　　　　　　　　　　 B.1 C.2 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 解析:只有平行且相等的线段在直观图中才相等,而相等的角在直观图中不一定相等,如角为90°,在直观图中可能是135°或45°,故①错,由直观图的斜二测画法可知②③④皆错. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.如图所示为一个平面图形的直观图,则它的实际形状四边形ABCD为 (　　)   A.平行四边形 B.梯形 C.菱形 D.矩形 解析:因为∠D'A'B'=45°,由斜二测画法规则知∠DAB=90°,又因四边形A'B'C'D'为平行四边形,所以原四边形ABCD为矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 3.如图,已知等腰三角形ABC,则如图所示的四个图中,可能是△ABC的直观图的是(　　)     A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 解析:原等腰三角形画成直观图后,原来的腰长不相等,③④两图分别是∠x'O'y'成135°和45°的坐标系中的直观图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是(　　) A.AB B.AD C.BC D.AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 解析:还原直观图后知,原图形是以AC为斜边的直角三角形ABC,AD是直角边BC的中线,所以AC最长. 5.在棱长为4 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中,作直观图时,棱AA1在x轴上,棱AD在y轴上,则在其直观图中,对应棱A'D'的长为　　　　 cm,棱A'A1'的长为　　　　 cm.  解析:在x轴上的线段长度不变,故A'A1'=4 cm,在y轴上的线段变成原来的一半,故A'D'=2 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2　 4 6.如图所示的直观图△A'O'B',其平面图形的面积为　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 解析:由直观图可知其对应的平面图形AOB中,∠AOB=90°,OB=3,OA=4,∴S△AOB=OA·OB=6. 7.如图所示,四边形ABCD是一个梯形,CD∥AB,CD=AO=1,△AOD为等腰直角三角形,O为AB的中点,试画出梯形ABCD水平放置的直观图,并求直观图的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:在梯形ABCD中,AB=2,高OD=1.由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形,且上底CD和下底AB的长度都不变,作出直观图如图所示. 在直观图中,O'D'=OD=,梯形的高D'E'=, 于是,梯形A'B'C'D'的面积S=×(1+2)×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组　关键能力练] 8.已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=,那么原△ABC中∠ABC的大小是(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 解析:根据斜二测画法可知△ABC中,BC=2,AO=,AO⊥BC,∴AB=AC==2,故△ABC是等边三角形,则∠ABC=60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为　　　　 cm.  解析:在直观图中与z轴平行线段的长度不变,所以这两个顶点之间的距离为2+3=5(cm). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 10.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知B'C'=4, A'C'=3,B'C'∥y'轴,则△ABC中AB边上的中线的长度为　　　　, S△ABC=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 12 解析:由斜二测画法规则知AC⊥BC,即△ABC为直角三角形,其中AC=3,BC=8,所以AB=,AB边上的中线长度为,△ABC的面积为AC·BC=12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A'B'C'D',如图,其中的对角线A'C'在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的原图形并求出其面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:正方形A'B'C'D'的原图形为如图所示的四边形ABCD. ∵A'C'在水平位置,A'B'C'D'为正方形, ∴∠D'A'C'=∠A'C'B'=45°,A'D'=B'C', ∴在原四边形ABCD中,DA⊥AC,AC⊥BC,DA=BC=2D'A'=2,AC=A'C'=, ∴S四边形ABCD=AC·AD=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 12.如图为一几何体的展开图,沿图中虚线将它们折叠起来,请画出其直观图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:由题设中所给的展开图可以得出,此几何体是一个四棱锥,其底面是一个边长为2的正方形,垂直于底面的侧棱长为2,其直观图如图所示. [分析]　画轴→画底面→画侧棱→成图 $$