7.1.1 角的推广-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

7.1　任意角的概念与弧度制 7.1.1　角的推广 第七章　三角函数 [学习目标]　1.了解任意角的概念,区分正角、负角与零角.　2.理解并掌握终边相同的角的概念,能写出终边相同的角所组成的集合.　3.了解象限角的概念. 知识点1　角的概念的推广 内容索引 知识点2　终边相同的角 课时作业 巩固提升 知识点3　区域(间)角的表示 课堂达标·素养提升 3 知识点1　角的概念的推广 1.角的概念 一条射线绕其端点 到另一条射线所形成的 称为角,这两条射线分别称为角的 和 . 旋转 图形 始边 终边 2.角的分类 由于这样定义的角是旋转生成的,所以也常称为 . 名称 定义 图示 正角 按照 方向旋转而成的角   负角 按照 方向旋转而成的角   零角 一条射线 旋转而成的角   逆时针 顺时针 没有 转角 3.角的加法与减法(β>0°) (1)α+β:把角α的终边逆时针方向旋转角β,如图①. (2)α-β:把角α的终边顺时针方向旋转角β,如图②. 4.在平面直角坐标系中,使角的顶点与 重合,角的始边落在 上,这时,角的 在第几象限,就把这个角称为 ,如果终边在 ,就认为这个角不属于任何象限. 坐标原点 x轴的正半轴 终边 第几象限角 坐标轴上 [例1]　(1)(多选)下列说法不正确的是(　　) A.锐角都是第一象限角 B.第一象限角一定不是负角 C.钝角是第二象限角 D.小于180°的角是钝角、直角或锐角 (2)将时钟拨快20分钟,则分针转过的度数是　　　　.  BD -120° [解析]　(1)锐角是大于0°且小于90°的角, 终边落在第一象限,故是第一象限角, 所以A正确; -330°角是第一象限角,但它是负角, 所以B不正确; 钝角是大于90°且小于180°的角,终边落在第二象限,故是第二象限角,所以C正确; 0°角是小于180°的角,但它既不是钝角, 也不是直角或锐角,故D不正确. (2)将时钟拨快20分钟,分针顺时针旋转120°,所以分针转过的度数为 -120°. 判断角的概念问题的关键与技巧 1.关键:正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. 2.技巧:判断一种说法正确需要证明,而判断一种说法错误只要举出反例即可. 思维提升 1.经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是(　　) A.60°,720°　　　　　　 B.-60°,-720° C.-30°,-360° D.-60°,720° 跟踪训练 B 解析:钟表的时针和分针都是顺时针旋转,因此转过的角度都是负的,而×360°=60°,2×360°=720°,故钟表的时针和分针转过的角度分别是-60°,-720°. 知识点2　终边相同的角 所有与α终边相同的角组成一个集合,这个集合可记为S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同,k=0时对应元素为α. [例2]　写出与α=-1 910°终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来. [解]　由终边相同的角的表示知, 与角α=-1 910°终边相同的角的集合为{β|β=k·360°-1 910°,k∈Z}. ∵-720°≤β<360°,即-720°≤k·360°-1 910°<360°(k∈Z), ∴3≤k<6(k∈Z). 故取k=4,5,6. k=4时,β=4×360°-1 910°=-470°; k=5时,β=5×360°-1 910°=-110°; k=6时,β=6×360°-1 910°=250°. 利用终边相同的角的集合可以求满足某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需要的角,或直接将角表示为k·360°+α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式来确定. 思维提升 2.已知α=-1 845°,在与α终边相同的角中,求满足下列条件的角. (1)最小的正角; (2)最大的负角; (3)-360°~720°之间的角. 跟踪训练 解:因为-1 845°=-45°+(-5)×360°, 即-1 845°角与-45°角的终边相同, 所以与角α终边相同的角的集合是 {β|β=-45°+k·360°,k∈Z}. (1)k=1时,最小的正角为315°. (2)k=0时,最大的负角为-45°. (3)k=0,1,2时,-360°~720°之间的角分别是-45°,315°,675°. 知识点3　区域(间)角的表示 [例3]　(1)如图,已知角α的终边在图中阴影部分所表示的区域内(包括边界),用集合表示角α的取值范围为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.  (2)角的终边落在图中阴影区域内的角的集合为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(包括边界).  {α|-60°+360°·k≤α≤30°+360°·k,k∈Z} {α|45°+n·180°≤α≤90°+n·180°,n∈Z}. [解析]　(1)若角α的终边落在OA上, 则α=-60°+360°·k,k∈Z. 若角α的终边落在OB上, 则α=30°+360°·k,k∈Z. 所以角α的终边在图中阴影区域内时,-60°+360°·k≤α≤30°+360°·k,k∈Z. 故角α的取值范围为{α|-60°+360°·k≤α≤30°+360°·k,k∈Z}. (2)在0°~360°范围内,45°≤α≤90°或225°≤α≤270°, 所以S1={α|45°+k·360°≤α≤90°+k·360°,k∈Z}, ={α|45°+2k·180°≤α≤90°+2k·180°,k∈Z}, S2={α|225°+k·360°≤α≤270°+k·360°,k∈Z} ={α|45°+(2k+1)·180°≤α≤90°+(2k+1)·180°,k∈Z}, 所以S1∪S2={α|45°+n·180°≤α≤90°+n·180°,n∈Z}. 表示区域角的一般步骤 第一步:先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界; 第二步:分别标出起始和终止边界对应的-180°~180°(或0°~360°)范围内的角α和β,写出最简区间{x|α<x<β}; 第三步:起始、终止边界对应角α,β再加上360°(或180°)的整数倍,即得区域角集合(注意是否包括边界). 思维提升 3.如图所示,写出顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角θ的集合(不包含边界). 跟踪训练 解:(1)如题图(1)所示,以OA为终边的角是75°,以OB为终边的角是330°,也可看成-30°, ∴以OA,OB为终边的角的集合分别是: S1={x|x=75°+k·360°,k∈Z}, S2={x|x=-30°+k·360°,k∈Z}, ∴终边落在阴影部分(不包含边界)内的角的集合为 {θ|k·360°-30°<θ<k·360°+75°,k∈Z}. (2)如题图(2)所示,以OA为终边的角是135°,以OB为终边的角是225°,也可看成-135°, ∴终边落在阴影部分(不包含边界)内的角的集合为 {θ|-135°+k·360°<θ<135°+k·360°,k∈Z}. 〈课堂达标·素养提升〉 1.以下说法正确的是(　　) A.若α是第一象限角,则2α是第二象限角 B.A={α|α=k·180°,k∈Z},B={β|β=k·90°,k∈Z},则A⊆B C.若k·360°<α<k·360°+180°(k∈Z),则α为第一或第二象限角 D.终边在x轴上的角可表示为k·360°(k∈Z) B 解析:对于选项B:集合A={α|α=k·180°,k∈Z}={α|α=2k·90°, k∈Z},B={β|β=k·90°,k∈Z},∴A⊆B. 2.若角α与角β终边相同,则α-β=　　 　　.  解析:根据终边相同角的定义可知:α-β=k·360°(k∈Z). k·360°(k∈Z) 3.若α是锐角,则180°+α是第　　　　　象限角.  解析:若α是锐角,则0°<α<90°, 所以180°<α+180°<270°,从而α+180°是第三象限角. 三 4.在0°到360°之间与-120°终边相同的角是　　　　　.  解析:与-120°终边相同的角α=-120°+k·360°(k∈Z). 由0°≤-120°+k·360°<360°,k∈Z,得≤k<. 又k∈Z,所以k=1,此时α=-120°+360°=240°. 240° 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.在坐标系中,下列说法中错误的是(　　) A.锐角是第一象限角 B.顺时针方向旋转生成的角是负角 C.始边与终边重合的角是零角 D.相等的角终边相同 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:因为锐角范围为(0°,90°),是第一象限角,故A正确;根据负角定义知B正确;因为始边与终边重合的角为k·360°(k∈Z),故C错误;因坐标系中相等的角终边一定相同,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.下面各组角中,终边相同的是(　　) A.390°,690°　　　　　　 B.-330°,750° C.480°,-420° D.3 000°,-840° 解析:因为-330°=-360°+30°,750°=720°+30°, 所以-330°与750°终边相同. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 3.若角α满足α=45°+k·180°,k∈Z,则角α的终边落在(　　) A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:当k=0时,α=45°,此时α为第一象限角;当k=1时,α=225°,此时α是第三象限角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.已知角α与角β的终边关于y轴对称,则α与β的关系为(　　) A.α+β=k·360°,k∈Z B.α+β=k·360°+180°,k∈Z C.α-β=k·360°+180°,k∈Z D.α-β=k·360°,k∈Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:法一(特值法): 令α=30°,β=150°,则α+β=180°. 法二(直接法): 因为角α与角β的终边关于y轴对称, 所以β=180°-α+k·360°,k∈Z, 即α+β=k·360°+180°,k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.在0°~360°范围内,与角-60°的终边在同一条直线上的角为　　　 　　.  解析:根据终边相同角定义知,与-60°终边相同角可表示为β= -60°+k·360°(k∈Z),当k=1时,β=300°,与-60°终边相同,终边在其反向延长线上且在0°~360°范围内角为120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 120°,300° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.若角α=2 024°,则与角α具有相同终边的最小正角为　　　　,最大负角为　　　　.  解析:∵2 024°=5×360°+224°, ∴与角α终边相同的角的集合为{α|α=224°+k·360°,k∈Z}, 故最小正角是224°,最大负角是-136°. 224° -136° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.写出终边在下列各图所示阴影部分的角的集合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)在0°~360°范围内,终边落在阴影部分的角为30°≤α≤150°,所以终边落在阴影部分的角的集合为{α|30°+k·360°≤α≤150°+k·360°,k∈Z}. (2)在90°~450°范围内,终边落在阴影部分的角为150°≤α≤390°,所以终边落在阴影部分的角的集合为{α|150°+k·360°≤α≤390°+k·360°,k∈Z}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 8.有小于360°的正角,这个角的5倍角的终边与该角的终边重合,这个角的大小是(　　) A.90° B.180° C.270° D.90°,180°或270° D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:设这个角为α,则5α=k·360°+α,k∈Z,α=k·90°,k∈Z,又因为0°<α<360°,所以α=90°,180°或270°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.如果角α与x+45°具有相同的终边,角β与x-45°具有相同的终边,则α与β间的关系是(　　) A.α+β=0° B.α-β=0° C.α+β=k·360°,k∈Z D.α-β=k·360°+90°,k∈Z D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:由已知得,α=m·360°+x+45°,m∈Z,β=n·360°+x-45°,n∈Z,则α-β=(m-n)·360°+90°,(m-n)∈Z,所以α-β=k·360°+90°,k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.已知角2α的终边在x轴的上方,那么α是第　　　 　象限角.  解析:由题意知k·360°<2α<180°+k·360°(k∈Z),故k·180°<α<90°+k·180°(k∈Z),按照k的奇偶性进行讨论.当k=2n(n∈Z)时,n·360°<α<90°+n·360°(n∈Z),∴α在第一象限;当k=2n+1(n∈Z)时,180°+n·360°<α<270°+n·360°(n∈Z),∴α在第三象限.故α是第一或第三象限角. 一或三 11.已知角α,β都是锐角,且角α+β的终边与-280°角的终边相同,角α-β的终边与670°角的终边相同,则α=　　　　,β=　　　　.  解析:∵角α,β都是锐角,∴0°<α+β<180°,-90°<α-β<90°.由题意可知,α+β=-280°+k1·360°,k1∈Z,∴α+β=80°,① 又α-β=670°+k2·360°,k2∈Z,∴α-β=-50°.② 由①②得,α=15°,β=65°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15° 65° 12.若α是第二象限角,试分别确定2α,,的终边所在位置. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:∵α是第二象限角, ∴90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z), ∴180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z), ∴2α的终边位于第三或第四象限,或在y轴的非正半轴上. 法一:∵45°+k·180°<<90°+k·180°(k∈Z), 当k=2n(n∈Z)时,45°+n·360°<<90°+n·360°(n∈Z); 当k=2n+1(n∈Z)时,225°+n·360°<<270°+n·360°(n∈Z), ∴的终边位于第一或第三象限. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∵30°+k·120°<<60°+k·120°(k∈Z), 当k=3n(n∈Z)时,30°+n·360°<<60°+n·360°(n∈Z); 当k=3n+1(n∈Z)时,150°+n·360°<<180°+n·360°(n∈Z); 当k=3n+2(n∈Z)时,270°+n·360°<<300°+n·360°(n∈Z), ∴的终边位于第一、第二或第四象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 法二:将坐标系的每个象限二等分,得到8个区域.自x轴正半轴沿逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,如图所示. ∵α是第二象限角,与角α所在象限标号一致的区域,即为的终边所在的象限,∴的终边位于第一或第三象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 将坐标系的每个象限三等分,得到12个区域.自x轴正半轴沿逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,如图所示. ∵α是第二象限角,与角α所在象限标号一致的区域,即为的终边所在的象限, ∴的终边位于第一、第二或第四象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.如图,一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动,若两只蚂蚁同时从点A(1,0)按逆时针匀速爬动,红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°),如果两只蚂蚁都在第14秒回到A点,并且在第2秒时均位于第二象限,求α,β的值. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:根据题意可知14α,14β均为360°的整数倍,故可设14α=m·360°,m∈Z,14β=n·360°,n∈Z.由于两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限,又由0°<α<β<180°,知0°<2α<2β <360°,进而知2α,2β都是钝角,即90°<2α<2β <180°,即45°<α<β<90°,所以45°<α=·180°<90°,45°<β=·180°<90°,所以<m<,<n<.因为α<β,所以m<n,又m,n∈Z,所以m=2,n=3,所以α=°,β=°. 13 $$