章末检测(一) 三角函数-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

章末检测(一)　三角函数 (时间:120分钟,满分:150分) 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.当x为第二象限角时,-=(　　) A.1 B.0 C.2 D.-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 19 解析:因为x是第二象限角,所以-=-=1+1=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递增的是(　　) A.y=tan x B.y=sin x C.y=cos x D.y=xsin x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 解析:由三角函数性质知选项A,B中函数都是奇函数,C中函数是偶函数,但它在上是减函数,也排除,只有D可选, 实际上,记f(x)=xsin x, 则f(-x)=-xsin(-x)=xsin x=f(x),它是偶函数, 又设0<x1<x2<,则0<sin x1<sin x2,因此x1sin x1<x2sin x2,即f(x1)<f(x2),f(x)在上是增函数,满足题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点P.已知tan α>sin α>cos α,则点P可能位于如图所示单位圆的哪一段圆弧上(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 19 解析:设P(x,y),则tan α=,sin α=y,cos α=x. 因为tan α>sin α>cos α,所以>y>x,所以x,y同号,且y>x,则A,B,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.已知-<θ <,且sin θ+cos θ=a,其中a∈(0,1),则关于tan θ的值,在以下四个答案中,可能正确的是(　　) A.-3 B.3或 C.- D.-3或- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 19 解析:因为sin θ+cos θ=a,a∈(0,1),两边平方整理得sin θcos θ=<0,故 -<θ<0且cos θ>-sin θ,所以|cos θ|>|sin θ|,借助三角函数线可知-<θ<0, -1<tan θ<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.函数f(x)=ln的单调递增区间为(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 15 16 17 18 19 解析:由题意可得 ⇒2kπ<x+≤2kπ+π(k∈Z)⇒2kπ-<x≤2kπ+π(k∈Z), 所以函数f(x)=ln的单调递增区间为(k∈Z). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.如图是一款扇形组合团圆拼盘的示意图,中间是一个直径为24 cm的圆盘,四周是8个相同的扇环形小拼盘,组拼后形成一个大圆盘.若的长为 cm,则每个扇环形小拼盘的面积为(　　) A.45 cm2 B. cm2 C. cm2 D.189 cm2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 19 解析:如图, 设小圆的圆心为O,则OC=OD=12 cm, 设OA=OB=R,每个扇环形小拼盘对应的圆心角为α==, 则的长为αR= cm,解得R=30 cm, 所以每个扇环形小拼盘的面积为 S扇形OAB-S扇形OCD=××302-××122=(cm2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.函数y=cos(-1<θ<1)取得最小值时,θ的值为(　　) A.- B.0 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 15 16 17 18 19 解析:函数y=cos(-1<θ<1), 则当-1<θ≤0时,y=cos=-sin, 又∈,所以函数y=-sin在θ∈(-1,0]上单调递减; 当0<θ<1时,y=costan=sin,所以函数y=sin在θ∈(0,1)上单调递增. 所以当θ=0时,函数y=cos(-1<θ<1)取得最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.下表中所列的是某地区一年(365天)中十天的白昼时间.表中日期为(月、日) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 日期 小时 1月1日 5.59 2月28日 10.23 3月21日 12.38 4月27日 15.91 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 日期 小时 5月6日 16.71 6月21日 19.40 8月14日 15.93 9月23日 12.61 10月25日 9.14 11月21日 5.44 某同学以日期为x轴(天),以白昼时长为y轴(小时),建立平面直角坐标系,绘出了散点图(如图),他想用余弦曲线去拟合这些数据,经过查找资料,他建立了模型=cos(a∈N+),则a=(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C 解析:由=cos(a∈N+)可得,当x=172时y取最大值, 从图中可以看到172对应的天数是最接近20的,经过计算可知6月21日恰好是经过了172天, 将6月21日那一个点代入方程中有:19.4=a+12.5,解得a=6.9,又a∈N+,所以a=7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.若n∈Z,则sin nπ+cos(n+1)π的可能取值是(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 AC 解析:当n=2k,k∈Z时,sin 2kπ+cos(2k+1)π=0-1=-1; 当n=2k+1,k∈Z时,sin(2k+1)π+cos(2k+1+1)π=0+1=1. 所以sin nπ+cos(n+1)π的值为-1或1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.下列四组数中,满足a>b>c的有(　　) A.a=1.72.5,b=1.70.3,c=0.93.1 B.a=tan 1,b=tan 2,c=tan 3 C.a=tan 1, b=1,c=sin 1 D.a=log45,b=log34,c=log23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 AC 解析:对于选项A:因为1.72.5>1.70.3>1>0.93.1,所以a>b>c,故A正确; 对于选项B:因为tan 1>0>tan 3>tan 2,所以a>c>b,故B错误; 对于选项C:如图所示单位圆,设∠BOA=1>, 则tan 1=AD,=1,BC=sin 1, 因为AD>OA=>sin 1,即a>b>c,故C正确; 对于选项D:因为a=log45=log25=log2,c=log23, 可知log2<log23,即a<c,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.如图,天津永乐摩天轮有着“天津之眼”的美誉,也是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮.以摩天轮某座舱P距离地面高度的最小值处为初始位置,摩天轮(匀速转动)的转动时间t(单位:分钟)与座舱P距离地面的高度h(t)(单位:米)的函数关系式为h(t)=Asin+B,A>0,|θ|<π,且开始转动5分钟后,座舱P距离地面的高度为37.5米,转动10分钟后,座舱P距离地面的高度为92.5米,则(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A.θ=- B.该摩天轮转动一圈所用的时间为30分钟 C.A=55 D.该摩天轮座舱P距离地面的最大高度为120米 答案:BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解析:依题知h(0)=-A+B=Asin θ+B,则sin θ=-1, 因为|θ|<π,所以θ=-,A错误; 由h(t)=Asin+B,则周期为T==30, 则该摩天轮转动一周需30分钟,B正确; h(t)=Asin+B, 由 可得故座舱P距离地面的最大高度为A+B=55+65=120,C,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知平面直角坐标系xOy,点P在半径为2的圆O上,现点P从圆O与y轴非负半轴的交点A出发，按顺时针方向运动了圆周,则此时点P的纵坐标为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:由题意,点P顺时针转过了60°角, 故∠xOP=30°,sin∠xOP=,∴yP=rsin∠xOP=1. 13 14 15 16 17 18 19 13.一扇环形砖雕如图所示,该扇环形砖雕可视为扇形OMN截去同心扇形OPQ所得的部分,已知PM=6分米,弧MN长为4π分米,弧PQ长为2π分米,则OP=　　　　分米,此扇环形砖雕的面积为　　　　平方分米.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 16 17 18 19 6 18π 解析:设圆心角∠POQ=α,则α===,解得OP=6分米,所以OM=12分米, 则此扇环形砖雕的面积为×4π×12-×2π×6=18π(平方分米). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.已知函数 f(x)=2sin在区间[t,t+1](t∈R)上的最大值记为 M,则M的取值范围为　　　 　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解析:函数的周期T==4,而区间的长度为1,即, 由正弦函数的单调性可知M的最大值为2, 又函数的递减区间为2kπ+π≤x+≤2kπ+π,k∈Z, 即4k+≤x≤4k+,k∈Z, 如图所示, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当函数f(x)的图象的最低点位于区间[t,t+1](t∈R)的图象上,且函数关于x=4k+,k∈Z对称时,M取得最小值, 此时M的最小值为2sin=-, 则M的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)在平面直角坐标系xOy中,单位圆x2+y2=1与x轴的正半轴及负半轴分别交于点A,B,角α的始边为OA,终边与单位圆交于x轴下方一点P. (1)如图,若∠POB=120°,求点P的坐标; (2)若点P的横坐标为-,求sin2∠APO+ 2sin∠APO·cos∠OAP的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:(1)设点P的坐标为P(x,y),且∠POB=120°,所以x=cos(180°+120°)=,y=sin(180°+120°)=-, 所以点P的坐标为. (2)因为点P的横坐标为-,所以∠POA=120°,且OP=OA,所以∠OAP=30°,∠APO=30°, 则sin2∠APO+2sin∠APO·cos∠OAP=+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(15分)已知函数f(x)=sin+m过原点(0,0). (1)求m的值; (2)求函数f(x)在上的零点; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)下表是应用“五点法”进行的列表,请填写表中缺失的数据. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 x       2x- 0 π 2π sin 0 1 0 -1 0 y     解:(1)依题意,f(0)=0,即sin+m=0,即m-=0, 所以m=. (2)由(1)知,f(x)=sin+,由f(x)=0,得sin=-, 当x∈时,2x-∈,则2x-=-或2x-=或2x-=, 解得x=0或x=或x=π, 所以函数f(x)在上的零点为0,,π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)根据“五点法”作图,填表如表所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 x 2x- 0 π 2π sin 0 1 0 -1 0 y - 17.(15分)如图,有一个扇环形花圃ABCD,外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍,周长为定值2l,圆心角的绝对值为α(0<α<π). (1)当α为多少弧度时,扇环面积最大,并求出最大面积; (2)当α=2时,求的中点E到弦BC的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:(1)设内圆弧半径为r,则AB=CD=OA=OD=r, 所以=rα,=2rα, 所以rα+2rα+2r=2l,则r=, 所以S扇环=S扇形OBC-S扇形OAD=×2rα×2r-×rα×r=αr2=≤=, 当且仅当9α=,即α=时,S取得最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)设OE交BC于点F,则由垂径定理得OE⊥BC, ∠BOE=∠BOC=1, 由(1)知,r===, 所以OF=·cos 1, 所以EF=OE-OF=2r-cos 1=(1-cos 1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(17分)已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称. (1)求f(x)的解析式及零点; (2)将f(x)的图象向右平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:(1)∵f(x)=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称, ∴2×+φ=kπ+(k∈Z),得φ=kπ+(k∈Z). 又∵-<φ<,∴φ=,∴f(x)=sin. 令f(x)=0,即2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z), ∴f(x)的零点为-(k∈Z). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)由将f(x)的图象向右平移个单位长度, 得到y=sin=sin的图象; 再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变, 得到g(x)=sin=sin, 令2kπ+≤3x-≤2kπ+(k∈Z),可得+≤x≤+(k∈Z), 故g(x)的单调递减区间为(k∈Z). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(17分)如图为一架新制作的水车的示意图,其最高点距离水面为 18 m,最低点在水面下2 m,该水车每10 min转一圈,若从水轮左侧距离水面3 m的点处开始计算时间(假定水车逆时针方向旋转). (1)将水轮上的动点P距离水面的高度y(单位:m)表示 为时间t(单位:min)的函数. (2)在水轮转动的一圈内,有多长时间点P距水面的 高度超过13 m? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:(1)建立如图所示的平面直角坐标系,设y与t之间的函数式为y=Msin(ωt+φ)+N,其中ω>0,t≥0. 依题意可知y的最大值为18,最小值为-2,则解得 因为水车每10分钟转一圈,即水车每分钟内所转过 的角度为=, 所以y=10sin+8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当t=0时,y=10sin φ+8=3,故sin φ=-, 由图可知φ∈,故φ=-, 所以函数y=10sin+8(t≥0). (2)由y>13,即10sin+8>13, 整理得sin>, +2kπ<t-<+2kπ,k∈Z,解得10k+5<t<10k+,k∈Z, 所以在一圈内,高度大于13 m的时间为-(10k+5)=(min). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 $$