第8章 向量的数量积与三角恒等变换 模块检测-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

模块检测 (时间：120分钟，满分：150分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2．如图所示是一个扇子形窗，其所在的扇形半径为120 cm，圆心角为60°，窗子左右两边的边框长度都为60 cm，则该窗的面积约为(π≈3.14)(　　) A．1 884 cm2 B．3 768 cm2 C．5 652 cm2 D．7 536 cm2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列说法中，正确的是(　 　) A．存在α，β的值，使cos (α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β B．不存在无穷多个α，β的值，使cos (α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β C．对于任意的α，β，都有cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β D．不存在α，β的值，使cos (α＋β)≠cos αcos β－sin αsin β 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ACD 解析：对于A，令α＝β＝0，则cos (α＋β)＝1，cos αcos β＋sin αsin β＝1， 此时cos (α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β，故A正确； 对于B，令α＝β＝2kπ(k∈Z)，cos (α＋β)＝1，cos αcos β＋sin αsin β＝1， 此时cos (α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β，故B错误； 对于C，由两角和的余弦公式可知， 对于任意的α和β，cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，故C正确； 对于D，不存在α，β的值，使cos (α＋β)≠cos αcos β－sin αsin β， 若存在α和β，则与两角和的余弦公式矛盾，故D正确． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知扇形的弧长为2π，面积为3π，则扇形所在圆的半径为______． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)完善下面的表格，并画出f(x)在[0，π]上的大致图象； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 则函数f(x)在[0，π]上的大致图象如图： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19．(17分)随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难”问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1所示数据计算限定高度CD的值．(精确到0.1 m)(下列数据提供参考：sin 20°＝0.342 0，cos 20°＝0.939 7，tan 20°＝0.364 0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，车道宽为3 m，现有一辆转动灵活的小汽车，在其水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为1.8 m，直线CD与直角车道的外壁相交于E，F. ①若小汽车卡在直角车道内(即A，B分别在PE， PF上，点O在CD上)，∠PAB＝θ，求水平截面的长． (即AB的长，用θ表示) ②若小汽车水平截面的长为4.4 m，问此车是否能 顺利通过此直角拐弯车道？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 则CD＝CE·cos ∠ECD＝3.040×cos 20°＝3.040×0.939 7≈2.856 7(m)， 结合实际意义，四舍五入会使车辆卡住，可以使用去尾法，则CD≈ 2.8 m， 所以限定高度CD的值约为2.8 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知α是第二象限的角，P(x，6)为其终边上的一点，且sin α＝，则x＝(　　) A．－4　　　　　　　　 B．±4 C．－8 D．±8 解析：点P(x，6)是第二象限的角α终边上的一点，则x<0， 由sin α＝，得＝，所以x＝－8. 解析：由题意可知，扇形的圆心角为，大扇形的半径为120 cm，小扇形的半径为60 cm，所以该窗的面积为××1202－××602＝1 800π≈5 652(cm2). 3．已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，且(a＋λb)⊥(2a－b)，则实数λ的值为(　　) A．－7 B．－3 C．2 D．3 解析：依题意得a·b＝2×1×cos ＝－1， 由(a＋λb)·(2a－b)＝0，得2a2－λb2＋(2λ－1)a·b＝0， 即－3λ＋9＝0，解得λ＝3. 4．已知tan ＝，则＝(　　) A．2 B．4 C． D．2 解析：因为tan ＝，则tan α＝ ＝＝2， 所以＝＝tanα＝2. 5．已知函数f(x)＝A sin (A>0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，则A等于(　　) A．1 B．2 C．2.5 D．4 解析：函数f(x)＝A sin (A>0)的最小正周期T＝＝＝6. ∵函数f(x)＝A sin (A>0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5， ∴＝5，解得A＝2. 6．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)＝(　　) A．sin B．sin C．sin D．sin 解析：由图象可得A＝1，再根据T＝－＝，可得T＝2， 所以ω＝＝π， 再根据五点法作图可得π×＋φ＝kπ，k∈Z， 求得φ＝－， 故函数的解析式为f(x)＝sin . 7．在△ABC中，若非零向量与满足·＝0，·＝0，则△ABC为(　　) A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 解析：∵和都为单位向量，∴＋垂直平分，故AB＝AC. ∵·＝0，∴⊥， ∴△ABC为等腰直角三角形． 8．在△ABC中，若sin A＝，则cos B＋cos C的取值范围是(　　) A．(0，1] B．(0，1]∪(2，] C．(0，1]∪ D．以上答案都不对 解析：由题意，在△ABC中，若sin A＝， 因为A∈(0，π)，可得A＝或A＝， 当A＝时，可得B＋C＝，则B＝－C， 可得cos B＋cos C＝cos ＋cos C＝sin C＋cos C＝ sin . 因为C∈，所以C＋∈， 所以sin ∈(0，1]. 当A＝时，可得B＋C＝，则B＝－C， 可得cos B＋cos C＝cos ＋cos C＝sin C＋cos C＝sin (C＋φ)， 其中tan φ＝3， 设g(x)＝sin (x＋φ)在区间上单调递增，在上单调递减， 又由g(0)＝>2＝g，g＝， 所以g(x)∈(2，]，即sin (C＋φ)∈(2，]. 综上可得，cos B＋cos C的取值范围是(0，1]∪(2，]. 10．对非零向量a，b，定义运算“(*)”：a(*)b＝|a|cos θ＋|b|sin θ，其中θ为a与b的夹角，则(　　) A．若a∥b，则|a(*)b|＝|a| B．若a＝(－1，2)，b＝(－3，1)，则(a－b)(*)a＝ C．若在Rt△ABC中，C＝，AC＝2，BC＝1，则(*)＝ D．若在△ABC中，(*)＝(*)＝0，则△ABC是等腰三角形 解析：对于A：因为a∥b，所以〈a，b〉＝0或π， 所以|a(*)b|＝||a|cos 〈a，b〉＋|b|sin 〈a，b〉|＝|a|，A正确； 对于B：因为a＝(－1，2)，b＝(－3，1)， 所以a－b＝(2，1)，|a－b|＝，|a|＝，cos 〈a－b，a〉＝＝0， 所以〈a－b，a〉＝， (a－b)(*)a＝×0＋×1＝，B正确； 对于C：若在Rt△ABC中，C＝，AC＝2，BC＝1，所以AB＝， cos A＝，sin A＝， 所以(*)＝cos A＋sin A＝×＋2×＝2＋，C错误； 对于D：在△ABC中，(*)＝(*)＝0， 所以－c cos B＋a sin B＝－a cos B＋c sin B＝0， 所以(c－a)(sin B＋cos B)＝0.因为sin B＋cos B≠0， 所以c－a＝0，即c＝a，△ABC是等腰三角形，D正确． 11．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则(　　) A．g(x)＝2sin B．函数g(x)的一条对称轴为直线x＝ C．g(x)在上单调递减 D．当x∈时，若方程g(x)－a＝0恰有三个不相等的实数根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3∈ 解析：A.由题图知A＝2，＝π－＝，T＝π，ω＝＝2， f ＝－2⇒2sin ＝－2⇒＋φ＝＋2kπ，k∈Z， φ＝＋2kπ，k∈Z，因为|φ|<π，所以φ＝， 则f(x)＝2sin ， 所以g(x)＝2sin ＝2sin ，故A正确； B．当x＝时，g＝2sin ＝2sin ＝2，此时g(x)取到最大值， 所以x＝是g(x)的一条对称轴，故B正确； C．因为g(x)＝2sin ，x∈， 所以2x＋∈， 而y＝sin x在上单调递增，所以g(x)在上单调递增，故C错； D．由g(x)－a＝0，得2sin ＝a，因为x∈， 所以2x＋∈， 所以y＝2sin t，t∈的图象如图所示， 所以t2＋t3＝π×2＝3π，即2x2＋＋2x3＋＝3π，所以x2＋x3＝π， 而t1＝2x1＋∈，所以x1∈，则x1＋x2＋x3∈，故D正确． 解析：令扇形所在圆的半径为r，依题意，·2π·r＝3π，所以r＝3. 13．已知sin (α＋30°)＝，则sin (2α＋150°)＝________． 解析：由题意可得sin (2α＋150°)＝sin [2(α＋30°)＋90°]＝cos [2(α＋30°)]＝1－2sin2(α＋30°)＝1－2×＝. 14．已知在△ABC中，·＋2＝1，则|2＋|＝__________；若点A，B，C都在圆O上，且||＝3，·＝1，则＋与夹角的余弦值为__________． 解析：因为·＋2＝1，所以·＋(－)2＝1， 即4·＋2－2·＋2＝4， 即2＋2·＋2＝4， 所以|2＋|＝|2＋－|＝|＋| ＝＝＝＝2. 取BC的中点D，连接AD，OD，则OD⊥BC，＝(＋)， 所以＝＋＝(＋)＋， 则·＝·＝(＋)·＋·＝(＋)·＝1， 所以(＋)·＝2， 设＋与夹角为θ，则cos θ＝＝＝， 即＋与夹角的余弦值为. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)已知α是锐角，且f(α)＝ . (1)化简f(α)； (2)若cos ＝，求f(α)的值． 解：(1)由诱导公式化简得： f(α)＝ ＝＝－cos α. (2)cos ＝sin α＝， ∵sin2α＋cos2α＝1，且α为锐角， ∴cosα＝， ∴f(α)＝－cos α＝－. 16．(15分)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象与x轴的相邻的两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为M. (1)求f(x)的解析式； x 0 π ωx＋φ π 2π f(x) 0 －2 0 (3)当x∈时，求f(x)的值域． 解：(1)由f(x)的图象与x轴的相邻的两个交点之间的距离为， 可得函数f(x)最小正周期T＝π，所以ω＝＝＝2， 又由一个最高点为M，可得A＝2. 因为2sin ＝2，即sin ＝1， 可得＋φ＝2kπ＋，k∈Z，解得φ＝2kπ－，k∈Z. 又因为φ∈，可得φ＝，所以f(x)＝2sin . (2)由(1)知，函数f(x)＝2sin ，完善表格如表所示： x 0 π ωx＋φ π 2π f(x) 1 2 0 －2 0 1 (3)因为x∈，可得2x＋∈， 当2x＋＝时，即x＝时，f(x)取得最大值，最大值为f＝2； 当2x＋＝时，即x＝时，f(x)取得最小值，最小值为f＝－1， 所以函数f(x)的值域为[－1，2]. 17．(15分)如图，在△ABC中，||＝8，||＝5，∠BAC＝，且3＝5，2＝3，BF与CE交于点O. (1)求·的值； (2)求cos ∠EOF的值． 解：(1)首先有·＝||||cos ∠BAC＝8×5cos ＝8×5×＝20. 而由5＝3＋2＝2＋2＝2，8＝5＋3＝3＋3＝3，知＝，＝. 从而＝－＝－－＝－，＝－＝－＝－－＝－， 所以·＝·＝· －2－2＝×20－×82－×52＝－. (2)由于2＝＝2＋2－·＝×52＋82－×20＝49， 且||2＝＝2＋2－·＝ 52＋×82－×20＝25， 故cos ∠EOF＝cos 〈，〉＝＝＝＝－. 18．(17分)已知函数f(x)＝sin －2cos2x＋. (1)已知f ＝，求cos的值； (2)当x∈时，不等式2m≥恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)f(x)＝－(cos 2x＋1)＋ ＝sin 2x－cos 2x＝sin ， f ＝sin ＝， cos ＝cos ＝－cos ＝－＝－＝－. (2)当x∈时，－≤2x－≤，可得－1≤f(x)≤， 由f(x)＋2>0，不等式2m≥可化为 2mf(x)＋4m≥(m＋1)f(x)＋2m＋1，有(m－1)f(x)＋2m－1≥0. 令t＝f(x)，t∈，则g(t)＝(m－1)t＋2m－1≥0， 若不等式2m≥恒成立，则 等价于解得m≥. 故实数m的取值范围为. 解：(1)题图1中，在△ABE中，∠ABE＝90°，∠BAE＝20°，tan ∠BAE＝，又AB＝10 m， 则BE＝AB·tan ∠BAE＝10×tan 20°＝3.640(m)，而BC＝0.6 m，有CE＝BE－BC＝3.040(m)， 在△CED中，CD⊥AE，∠ECD＝∠BAE＝20°， cos ∠ECD＝， (2)①题图2中，依题意，得EF＝OE＋OF＝＋，0<θ<，DE＝，CF＝BC·tan θ＝1.8tan θ， 又AB＝DC＝EF－(DE＋CF)，设AB＝f(θ)， f(θ)＝＋－1.8＝＋ －1.8＝，0<θ<. ②由①知，设sin θ＋cos θ＝t，则t＝sin ，1<t≤，sin θcos θ＝， 则f(θ)＝g(t)＝＝＝ ＝， 而t∈(1，]，函数u＝－＋在 (1，]上单调递增，则g(t)＝在(1, ]上单调递减， 于是得当t＝，即θ＝时，g(t)min＝g()＝6－3.6>4.4， 所以小汽车能够顺利通过直角转弯车道． $$