第7章 阶段练1 (范围7.1)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

阶段练1　(范围7.1) 1.军事上角的度量常用密位制,密位制的单位是“密位”,1密位就是圆周的所对的圆心角的大小.若角α=1 000密位,则α=(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 解析:因为1密位等于圆周角的, 所以角α=1 000密位时,α=×2π=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.一只蚂蚁在一个半径为2 cm的圆周上,以 rad/s的角速度逆时针方向沿圆周爬行,则经过2 s后,蚂蚁爬过的弧长为(　　) A.π cm B. cm C. cm D. cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 解析:一只蚂蚁在一个半径为2 cm的圆周上,以 rad/s的角速度逆时针方向沿圆周爬行,则经过2 s后,蚂蚁爬过的弧长为2××2=(cm). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.已知角α=k·180°-2 024°,k∈Z,则符合条件的最大负角为(　　) A.-44° B.-220° C.-202° D.-158° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 解析:因为α=k·180°-2 024°<0,所以k<11+, 又k∈Z,所以当k=11时,最大负角为-44°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.已知角的集合β=,则在[0,2π)内的角有(　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 解析:依题意,解不等式0≤-<2π,得≤k<,而k∈Z,因此k∈{1,2,3}, 所以在[0,2π)内的角有3个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.小王和小李为了准备羽毛球比赛,计划每日绕着半径为200米(为了计算方便,跑道的宽度忽略不计)的圆形跑道逆时针匀速跑步,以提高身体素质.圆形跑道示意图如图所示,O为圆形跑道的圆心.已知小王以290米/分钟的速度从A点出发,小李以300米/分钟的速度从B点出发,两人同时出发.若∠AOB=,则当小王与小李相遇时,小李跑的总路程可能为(　　) A.2 700π米 B.1 050π米 C.1 800π米 D.1 500π米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 解析:由题意知,AB=×200=50π(米), 设两人经过x分钟后相遇, 则300x-290x=50π+2π×200k,k∈Z, 解得x=5π+40kπ,k∈Z, 所以小李跑的总路程为300x=1 500π+12 000kπ,k∈Z, 当k=0时,小李跑的总路程为1 500π米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.2024年2月4日,“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行,展览的多件文物都有“龙”的元素或图案.出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”(图1)就是这样一件珍宝.玉璜璜身满刻勾云纹,体扁平,呈扇面状,璜身外镂空雕饰“S”型双龙,造型精美.现要计算璜身面积(厚度忽略不计),测得各项数据(图2):AB≈8 cm,AD≈2 cm,AO≈5 cm,若sin 37°≈,π≈3.14,则璜身(即曲边四边形ABCD)面积近似为(　　) A.6.8 cm2 B.9.8 cm2 C.14.8 cm2 D.22.4 cm2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 解析:显然△AOB为等腰三角形,OA=OB=5,AB=8,则cos∠OAB==,sin∠OAB=, 即∠OAB≈37°,于是∠AOB=106°=, 所以璜身的面积近似为∠AOB·(OA2-OD2)=××(52-32)≈14.8(cm2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.(多选)下列说法中正确的是(　　) A.-π=-180° B.第一象限角都是锐角 C.在半径为2的圆中,弧度的圆心角所对的弧长为 D.终边在直线y=-x上的角的集合是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AC 解析:-π(rad)=-180°,A正确; 角也是第一象限角,不是锐角,B错误; 在半径为2的圆中,弧度的圆心角所对的弧长为×2=,C正确; 终边在y=-x上的角的集合是,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.(多选)若扇形周长为36,当这个扇形面积最大时,下列结论正确的是( 　　) A.扇形的圆心角为2 rad B.扇形的弧长为18 C.扇形的半径为9 D.扇形圆心角所对弦长为9sin 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ABC 解析:设扇形半径为r,弧长为l,圆心角为α, 所以扇形弧长为l=36-2r, 所以面积S=lr=(18-r)r=-r2+18r=-(r-9)2+81, 当r=9时,面积S有最大值, 此时,l=36-18=18,圆心角弧度数α===2, 所对弦长为2rsin=18sin 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.弧度制与角度制的换算公式:150°=　　　　　 rad.  解析:150°=150× rad= rad. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.下列所示图形中,γ=α+β的是　　　　　;γ=α-β的是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ①④ ②③ 解析:在①中,α与γ的始边相同,α的终边为β的始边,β与γ的终边相同,所以γ=α+β; 在②中,α与γ的始边相同,α的终边为-β的始边,-β与γ的终边相同,所以γ=α+(-β)=α-β; 在③中,α与γ的始边相同,α的终边为-β的始边,-β与γ的终边相同,所以γ=α+(-β)=α-β; 在④中,α与γ的始边相同,α的终边为β的始边,β与γ的终边相同,所以γ=α+β. 所以γ=α+β的是①④;γ=α-β的是②③. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.如图是一个弓形(由弦BC与劣弧BC围成)展台的截面图,A是弧BC上一点,测得BC=10 m,∠ABC=15°,∠ACB=45°,则该展台的截面面积 是　　 　m2.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:如图:设展台所在的圆的圆心为O,半径为R,∠BAC=180°-15°-45°=120°, 则2R===20, 即R=10,∠BOC=120°, 所以展台的面积为π·102-×10×10×= m2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.已知某不锈钢扇形拼盘如图所示,其示意图可以看成是由中间的一个直径为24 cm的圆,四周是8个相同的扇环形组成的,寓意“八方进宝”.若每个扇环形的周长为(32+10π)cm,则每个扇环形的面积为　　　cm2.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 80π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:设扇环形所在圆的半径为r,依题意,扇环形所在扇形的圆心角为, 于是×12+r+2(r-12)=32+10π,解得r=28, 所以每个扇环形的面积为××282-××122=80π(cm2). 13 14 13.(1)如果角α是第三象限角,那么-α,π-α,π+α角的终边分别落在第几象限? (2)写出终边落在直线y=x上的角的取值集合; (3)若θ=+2kπ(k∈Z),求在[0,2π)内终边与角的终边相同的角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 解:(1)由题意可知π+2kπ<α<+2kπ(k∈Z), 所以--2kπ<-α<-π-2kπ(k∈Z), 即+2kπ<-α<π+2kπ(k∈Z).① 所以-α角的终边落在第二象限. 由①得+2kπ<π-α<2π+2kπ(k∈Z),所以π-α角的终边落在第四象限. 同理可知,π+α角的终边落在第一象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)在(0,π)内终边落在直线y=x上的角是, 所以终边落在直线y=x上的角的取值集合为. (3)因为θ=+2kπ(k∈Z),所以=+k(k∈Z). 当0≤+k<2π,k=0,1,2时,∈[0,2π). 故在[0,2π)内终边与角的终边相同的角是,,. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.如图1,这是一幅扇形玉雕壁画,其平面图为图2所示的扇形环面(由扇形OCD挖去扇形OAB后构成).已知该扇形玉雕壁画的周长为320厘米. (1)若OD=2OA=80厘米，求该扇形玉雕壁画的曲边CD的长度; (2)若AD=2OA，求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)设弧AB的长度为l1厘米,弧CD的长度为l2厘米. 因为OD=2OA,所以==,所以l1=l2. 因为OD=2OA=80厘米,所以AD=BC=40厘米. 因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米,所以l1+l2=240, 所以l2+l2=240,解得l2=160,即弧CD的长度为160厘米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)因为AD=2OA,所以=,所以==, 则扇形OCD的面积S1=·OD·l2=·OA·l1,扇形OAB的面积S2=·OA·l1, 故该扇形玉雕壁画的扇面面积S=S1-S2=4·OA·l1. 因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米,所以l1+l2+AD+BC=4l1+4OA=320, 所以l1+OA=80, 则2≤OA+l1=80,从而OA·l1≤1 600,当且仅当OA=l1时,等号成立, 故S=4·OA·l1≤6 400,即该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值为6 400平方厘米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$