8.1.3 向量数量积的坐标运算-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

8．1　向量的数量积 8．1.3　向量数量积的坐标运算 第八章　向量的数量积与三角恒等交换 [学习目标]　1.理解向量数量积坐标表示的推导过程．　2.掌握向量数量积的坐标表示及运算．　3.能根据两向量的坐标解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题． 知识点1　向量数量积的坐标表示 内容索引 知识点2　向量模的坐标表示 课时作业 巩固提升 知识点3　向量的夹角与垂直 课堂达标·素养提升 知识点4　向量数量积的坐标运算在平面几何中的应用 3 知识点1　向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝________________． x1x2+y1y2 [例1]　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于(　　) A．10 B．－10 C．3 D．－3 (2)已知a＝(2，－1)，a＋2b＝(6，3)，若b·c＝14，a·c＝2，则向量c的坐标为________． B (3，4) [解析]　(1)a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. 进行数量积的坐标运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2. 思维提升 跟踪训练 知识点2　向量模的坐标表示 A 5 思维提升 2．若向量a＝(2x－1，3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为__________． 跟踪训练 知识点3　向量的夹角与垂直 x1x2+y1y2=0 B 思维提升 3．已知a＝(sin α，cos α)，|b|＝2. (1)若向量b在a方向上的投影的数量为－1，求a·b及a与b的夹角θ； (2)若a＋b与b垂直，求|2a－b|. 跟踪训练 知识点4　向量数量积的坐标运算在平面几何中的应用 [分析]　(1)利用向量的投影证明，也可以建立平面直角坐标系，利用向量的坐标计算数量积． (2)利用向量的投影转化为平面几何性质求最大值，也可以建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标公式，建立函数求最大值． 解决向量数量积的最值的方法技巧 1．“图形化”技巧：利用平面向量线性运算以及数量积运算的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的直观特征进行判断． 2．“代数化”技巧：若已知条件中具有等腰三角形或矩形，常常建立平面直角坐标系，通过坐标运算转化为函数的性质解决最值或取值范围． 思维提升 跟踪训练 B [1，9] 〈课堂达标·素养提升〉 1．已知a＝(1，2)，b＝(6，－3)，则必有(　　) A．a∥b　　　　　　　　 B．b＝3a C．a⊥b D．b＝－3a 解析：由a＝(1，2)，b＝(6，－3)，得1×6＋2×(－3)＝0⇒a⊥b. C 2．已知向量a＝(2，2)，b＝(0，－3)，则a与b的夹角为(　　) A．45° B．60° C．120° D．135° D 3．已知向量a＝(1，－1)，向量b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝________． 解析：由向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)， 得2a＋b＝(1，0)，所以(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1. 1 4．已知向量a＝(2，4)，b＝(－2，2)，若c＝a＋(a·b)b，则|c|＝ ________，cos 〈a，b〉＝________． 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4．(多选)已知向量a＝(3，4)，b＝(－4，－3)，则下列说法正确的是(　　) A．a与b的夹角是直角 B．|a＋b|为2 C．a＋b与a－b的夹角是直角 D．a在b上投影的数量等于b在a上投影的数量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 CD 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5．已知向量a＝(1，0)，b＝(x，1)，若a·b＝2，则x＝________；|a＋b|＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 14 6．已知a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，向量λ a＋b与a－2b垂直，则实数 λ的值为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R). (1)若a⊥b，求x的值； (2)若a∥b，求|a－b|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：(1)由a⊥b得2x＋3－x2＝0，即(x－3)(x＋1)＝0.解得x＝3或x＝－1. (2)由a∥b，得2x2＋3x＋x＝0，即2x2＋4x＝0，解得x＝0或x＝－2. 当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)， 所以a－b＝(－2，0)， 此时|a－b|＝2. 当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11．已知向量m＝(λ＋2，1)，n＝(λ＋1，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则 向量m，n的夹角的余弦值为________，m＋n在n方向上的投影的数量 为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 14．已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，4)，c＝a＋λb，λ∈R. (1)λ为何值时，|c|最小？此时b与c的位置关系如何？ (2)λ为何值时， a与c的夹角最小？ 此时a与c的位置关系如何？ 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)设b＝(x1，y1)， ∴a＋2b＝(2x1＋2，2y1－1)＝(6，3)， ∴2x1＋2＝6，且2y1－1＝3， 解得x1＝2，y1＝2，∴b＝(2，2)， 设c＝(x2，y2)， 则解得x2＝3，y2＝4， ∴c＝(3，4). 1．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，＝2，＝，则·＝________． 解析：以A点为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示． 由题意，知E为BC的三等分点，F为AC的中点， ∴A(0，0)，B(3，0)，E，F(0，2)， ∴＝，＝(－3，2)， ∴·＝－3＋＝. 设a＝(x，y)，则|a|＝ . 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则||＝. [例2]　(1)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y).若a∥b，则|3a＋b|等于(　　) A． B． C． D． (2)已知向量a＝(x，y)，b＝(－1，2)，且a＋b＝(1，3)，则|a－2b|等于________． [解析]　(1)∵a∥b，∴1·y－2×(－2)＝0，得y＝－4，∴3a＋b＝(1，2)，故|3a＋b|＝. (2)a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1，3)，∴x＝2，y＝1，∴a＝(2，1). ∴a－2b＝(4，－3)， ∴|a－2b|＝ ＝5. 求向量的模的两种基本策略 1．字母表示下的运算 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． 2．坐标表示下的运算 若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝. 解析：由已知得a－b＝(3x－2，4－3x)， 所以|a－b|＝ ＝ ＝ ， 当x＝1时，|a－b|取最小值. 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). 1．cos 〈a，b〉＝＝. 2．a⊥b ⇔________________． [例3]　已知向量a＝(2，1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是(　　) A．(－2，＋∞) B．∪ C．(－∞，－2) D．(－2，2) [解析]　当a与b共线时，2k－1＝0，k＝，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不同向．由a·b＝2＋k>0得k>－2，且k≠，即实数k的取值范围是∪. [例4]　已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标． [解]　设点D的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2). ∵点D在直线BC上，即与共线， ∴存在实数λ，使＝λ， 即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)， ∴ ∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.① 又∵AD⊥BC，∴·＝0， 即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0， 即2x＋y－3＝0.② 由①②可得 即点D的坐标为(1，1)，＝(－1，2)， ∴||＝ ＝. 综上，||＝，点D的坐标为(1，1). 解决向量夹角问题的方法及注意事项 1．求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. 2．注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 解：(1)由向量数量积的几何意义知，a·b等于|a|与b在a方向上的投影的数量的乘积， 所以a·b＝1·(－1)＝－1. 设a与b的夹角θ，θ∈[0，π]， 则cos θ＝＝＝－，所以θ＝. (2)若a＋b与b垂直，则(a＋b)·b＝a·b＋b2＝0，所以a·b＝－4， 所以|2a－b|＝＝＝＝2. [例5]　在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动． (1)求证：·为定值； (2)求·的最大值． 法一(几何法)：(1)[证明]　在边长为1的正方形ABCD中， ·＝·＝||||cos ∠BCE＝||2＝1(定值). (2)[解]　如图，作CN⊥EM，垂足为N，则△EBM∽△CNM， 得＝，所以EM·MN＝CM·MB＝， 所以·＝||||cos ∠CEN＝||(||·cos ∠CEN) ＝||||＝||(||＋||)＝||2＋||·|| ＝||2＋≤ ||2＋＝1＋＋＝， 所以当点E在点A时，·取得最大值. 法二(坐标法)：以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，C(1，1)，D(0，1)，设E(x，0)，x∈[0，1]. (1)[证明]　·＝(1－x，1)·(0，1)＝1(定值). (2)[解]　由上述可知，C(1，1)，M， 则·＝(1－x，1)·＝(1－x)2＋， 当x∈[0，1]时，(1－x)2＋单调递减， 当x＝0时，·取得最大值. 4．(1)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　) A．－2 B．－ C．－ D．－1 (2)在矩形ABCD中， AB＝3，AD＝1，若M，N分别在边BC，CD上运动(包括端点)，且满足＝，则·的取值范围是________． 解析：(1)如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)， 所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝ 2x2＋2－， 当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值为－. (2)分别以AB，AD为x，y轴建立直角坐标系， 则A(0，0)，B(3，0)，C(3，1)，D(0，1)， 设M(3，b)，N(x，1)， 因为＝， 所以b＝，则＝(x，1)，＝， 故·＝x＋1(0≤x≤3)， 所以1≤x＋1≤9，所以·的取值范围是[1，9]. 解析：因为向量a＝(2，2)，b＝(0，－3)，则a·b＝－6，|a|＝2，|b|＝3，则cos 〈a，b〉＝＝－.又0°≤〈a，b〉≤180°，所以a与b的夹角为135°. 6 解析：由题知a·b＝2×(－2)＋4×2＝4， 所以c＝a＋4b＝(－6，12)，|c|＝ ＝6. cos 〈a，b〉＝＝＝. [A组　必备知识练] 1．已知 ＝(2，3)， ＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析：由＝－＝(1，t－3)，||＝＝1，得t＝3，则·＝(2，3)·(1，0)＝2×1＋3×0＝2. 2．已知向量＝，＝，则∠ABC等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 解析：∵||＝1，||＝1，∴cos ∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°. 3．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上投影的数量是(　　) A．－3 B．－ C．3 D． 解析：依题意得，＝(－2，－1)， ＝(5，5)，·＝(－2，－1)·(5，5)＝－15， ||＝，因此向量在方向上投影的数量是＝＝ －3. 解析：由向量a＝(3，4)，b＝(－4，－3)， 得a·b＝－24<0，所以a与b的夹角是钝角． a＋b＝(－1，1)，所以|a＋b|＝ ＝. (a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，所以a＋b与a－b的夹角是直角． a在b上投影的数量为|a|cos 〈a，b〉＝＝－， b在a上投影的数量为|b|cos 〈a，b〉＝＝－. 解析：因为a·b＝2，所以x＝2.因为a＋b＝(3，1)，所以|a＋b|＝. － 解析：因为a＝(－3，2)，b＝(－1，0)， 所以λa＋b＝(－3λ－1，2λ)，a－2b＝(－1，2). 又因为λa＋b与a－2b垂直， 所以(λa＋b)·(a－2b)＝(－3λ－1，2λ)·(－1，2)＝3λ＋1＋4λ＝0， 解得λ＝－. 则a－b＝(2，－4)，故|a－b|＝ ＝2. 8．已知平面上三点A，B，C，满足＝(2，4)，＝(2－k，3). (1)如果A，B，C三点不能构成三角形，求实数k满足的条件； (2)如果A，B，C三点构成直角三角形，求实数k的值． 解：(1)因为A，B，C三点不能构成三角形， 所以A，B，C三点共线，即∥，得4(2－k)＝6，解得k＝. (2)因为＝(2－k，3)，所以＝(k－2，－3)，所以 ＝＋＝(k，1). 由于A，B，C三点构成直角三角形，所以 当A是直角时，⊥，所以 ·＝0，得2k＋4＝0，解得k＝－2； 当B是直角时，⊥，所以 ·＝0，得 k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1； 当C是直角时，⊥，所以 ·＝0，16－2k＝0，解得k＝8. 综上所述，实数k的值为－2，－1，3，8. [B组　关键能力练] 9．已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2，3)同向，且||＝2，则点B的坐标为(　　) A．(5，4) B．(－3，－8) C．(－5，－4) D．(3，8) 解析：设 ＝(2λ，3λ)(λ>0)， 则||＝ ＝2，∴13λ2＝13×22， ∴λ＝2(负值舍去)，∴＝(4，6)， ∴＝＋＝(1，－2)＋(4，6)＝(5，4)(O为坐标原点)， ∴点B的坐标为(5，4). 10．角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在α的终边上，点Q(－3，－4)，且tan α＝－2，则与夹角的余弦值为(　　) A．－ B． C．或－ D．或 解析：因为tan α＝－2，所以可设P(x，－2x)，cos 〈，〉＝＝， 当x＞0时，cos 〈，〉＝，当x＜0时，cos 〈，〉＝－. 解析：由题意知向量m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(1，－1)， 因为(m＋n)⊥(m－n)，所以λ＝0， 所以m＝(2，1)，n＝(1，2)，cos 〈m·n〉＝，m＋n＝(3，3). m＋n在n方向上的投影的数量为|m＋n|cos 〈m＋n，n〉＝＝. 12．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________． 解析：法一：以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，设B(－a，0)，C(a，0)，A(b，c)，则E，F， ＝(b＋a，c)，＝(b－a，c)， ＝，＝， ＝，＝， 由·＝b2－a2＋c2＝4，·＝－a2＋＝－1， 解得b2＋c2＝，a2＝， 则·＝(b2＋c2)－a2＝. 法二：设＝a，＝b，则 ·＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4， ·＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1， 解得|a|2＝，|b|2＝， 则·＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|2－|a|2＝. 13．如图，已知O为坐标原点，向量＝(3cos x，3sin x)，＝(3cos x，sin x)，＝(，0)，x∈. (1)求证：(－)⊥； (2)若△ABC是等腰三角形，求x的值． (1)证明：∵－＝(0，2sin x)， ∴(－)·＝0×＋2sin x×0＝0， ∴(－)⊥. (2)解：∵＝－＝(0，2sin x)，＝－＝(－3cos x，－sin x)， ∴cos ∠ABC＝＝<0， ∴∠ABC∈， ∴若△ABC是等腰三角形，则AB＝BC. ∵|AB|＝2sinx，|BC|＝ ， ∴(2sinx)2＝(3cos x－)2＋sin2x， 整理得2cos2x－cosx＝0， 解得cos x＝0或cos x＝. ∵x∈，∴cos x＝，解得x＝. 解：(1)由a＝(1，2)，b＝(－3，4)，得c＝a＋λb＝(1－3λ，2＋4λ)， |c|2＝c2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝5＋10λ＋25λ2＝25＋4， 当λ＝－时，|c|最小，此时c＝， b·c＝0，所以b⊥c. (2)设向量a与c的夹角为θ，则 cos θ＝＝＝， 要使向量a与c的夹角最小，则cos θ最大， 由于θ∈[0, π]，所以cos θ的最大值为1，此时θ＝0，＝1， 解得λ＝0，c＝(1，2). 所以当λ＝0时，a与c的夹角最小，此时a＝c. $$