5.3.1 样本空间与事件-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

5.3　概率 5.3.1　样本空间与事件 第五章　统计与概率 [学习目标]　1.掌握样本点和样本空间的概念.　2.理解基本事件、随机事件、必然事件.　3.掌握随机事件发生的概率. 知识点1　样本点和样本空间 内容索引 知识点2　随机事件 课时作业 巩固提升 知识点3　随机事件发生的概率 课堂达标·素养提升 3 知识点1　样本点和样本空间 1.必然现象与随机现象 (1)一定条件下,发生的结果事先　　　　　　的现象就是随机现象(或偶然现象).  (2)发生的结果事先能够　　　　的现象就是必然现象(或确定性现象).  不能确定 确定 2.样本点和样本空间 (1)随机试验 把在相同条件下,对随机现象所进行的观察或实验称为 　　　　　　(简称为试验).  随机试验 (2)样本点和样本空间 把随机试验中每一种可能出现的结果,都称为　　　　　　,把由所有 　　　　　　组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示).例如:如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则Ω={ω1,ω2,…,ωn}为　　　　　　.  样本点 样本点 样本空间 一个家庭有两个小孩,则样本空间Ω是(　　) A.{(男,女),(男,男),(女,女)} B.{(男,女),(女,男)} C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)} D.{(男,男),(女,女)} 例1 C 因为两个小孩有大、小之分,所以(男,女)与(女,男)是不同的样本点,故选C. 找样本点的方法 1.列举法:适用于样本点个数不是很多,可以把样本点一一列举出来的情况,但列举时必须按一定的顺序,要做到不重不漏. 2.列表法:适用于试验中包含两个或两个以上的元素,且样本点个数相对较多的问题,通常把样本归纳为“有序实数对”,也可用坐标法.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏. 3.树形图法:适用较复杂问题中的样本点的探求,一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树形图进行列举. 思维提升 1.1个盒子中装有5个完全相同的球,分别标有号码1,2,3,4,5,从中一次任取两球. (1)写出这个试验的样本空间; 解:(1)Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}. 跟踪训练 (2)求这个试验的样本点个数; 解: (2)样本点个数为10. (3)写出“取出的两球上的数字之和是6”的这一事件中所包含的样本点. 解: (3)“取出的两球上的数字之和是6”这一事件所包含的样本点为(1,5),(2,4). 知识点2　随机事件 1.随机事件 如果随机试验的样本空间为Ω,则随机事件A是Ω的一个非空真子集.而且,若试验的结果是A中的元素,则称A　　　　(或出现等);否则,称A 　　　　(或不出现等).  发生 不发生 2.必然事件与不可能事件 (1)任何一次随机试验的结果,一定是样本空间Ω中的元素,因此可以认为每次试验中Ω一定发生 ,从而称Ω为　　　　　　;  (2)因为空集∅不包含任何样本点,所以可以认为每次试验中∅一定不发生,从而称∅为　　　　　　　　.  必然事件 不可能事件 3.事件的表示与基本事件 (1)　　　　　　　　、　　　　　　、　　　　　　都可简称为事件,通常用大写英文字母A,B,C,…来表示事件.因为事件一定是样本空间的子集,所以可以用表示集合的维恩图来直观地表示事件.  (2)基本事件:只含有　　　　个样本点的事件称为基本事件.  不可能事件 随机事件 必然事件 一 判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件. (1)“抛一石块,下落”; (2)“在标准大气压下,温度低于0 ℃时,冰融化”; (3)“某人射击一次,中靶”; (4)“如果a>b,那么a-b>0”; (5)“掷一枚硬币,出现正面”; 例2 (6)“导体通电后,发热”; (7)“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签”; (8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”; (9)“没有水分,种子能发芽”; (10)“在常温下,焊锡熔化”. [分析]　根据在一定条件下必然事件必然发生,不可能事件不可能发生,随机事件可能发生也可能不发生判断. [解]　事件(1)(4)(6)是必然事件;事件(2)(9)(10)是不可能事件;事件(3)(5)(7)(8)是随机事件. 事件类型的判断方法 要判定某事件是何种事件,首先要看清条件,因为三种事件都是相对于一定条件而言的.其次再看它是一定发生,是不一定发生,还是一定不发生.一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件. 思维提升 2.下列事件中的随机事件为(　　) A.若a,b,c都是实数,则a(bc)=(ab)c B.没有水和空气,人也可以生存下去 C.抛掷一枚硬币,反面向上 D.在标准大气压下,温度达到60 ℃时水沸腾 跟踪训练 C A中的等式是实数乘法的结合律,对任意实数a,b,c是恒成立的,故A是必然事件.在没有空气和水的条件下,人是绝对不能生存下去的,故B是不可能事件.抛掷一枚硬币时,在没得到结果之前,并不知道会是正面向上还是反面向上,故C是随机事件.在标准大气压下,只有温度达到100 ℃,水才会沸腾,当温度是60 ℃时,水是绝对不会沸腾的,故D是不可能事件. 知识点3　随机事件发生的概率 1.事件发生的可能性大小可以用该事件发生的　　　　来衡量,概率越大,代表越有可能发生.事件A发生的概率通常用　　　　表示.  2.将不可能事件∅发生的概率规定为　　　,将必然事件Ω发生的概率规定为　　　,即P(∅)=0,P(Ω)=1.  3.对于任意事件A来说,P(A)应该满足不等式　　　　　　.  概率 P(A) 0 1 0≤P(A)≤1 袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的2个黑球和编号为c,d,e的3个红球,从中任意摸出2个球. (1)写出该试验的样本空间; [解]　(1)用树状图表示所有的结果为 所以该试验的样本空间为Ω={ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de}. 例3 (2)用集合表示事件A:恰好摸出1个黑球和1个红球;事件B:至少摸出1个黑球; [解]　(2)A={ac,ad,ae,bc,bd,be};B={ab,ac,ad,ae,bc,bd,be}. (3)从直观上判断P(A)和P(B)的大小. [解]　(3)因为集合A中包含6个样本点,集合B中包含7个样本点,所以从直观上看,P(A)<P(B). 1.随机事件发生的概率是衡量该事件发生可能性大小的度量,是随机事件的本质属性,为人们在日常生活、工作中的决策提供依据. 2.对于任何一个事件0≤P(A)≤1. 思维提升 3.先后两次掷一个均匀的骰子,观察朝上的面的点数. (1)写出对应的样本空间; 解:(1)用(1,2)表示第一次掷出1点,第二次掷出2点,其他的样本点用类似的方法表示,则可知所有样本点均可表示成(i,j)的形式,其中i,j都是1,2,3,4,5,6中的数. 因此,样本空间Ω={(i,j)|1≤i≤6,1≤j≤6,i∈N,j∈N}. 跟踪训练 (2)用集合表示事件A:点数之和为8,事件B:点数之和不超过8; 解: (2)不难看出A={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}, B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1), (3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2)}. (3)从直观上判断P(A)和P(B)的大小(指出P(A)≥P(B)或P(A)≤P(B)即可). 解: (3)因为A事件发生时,B事件一定发生,也就是说B事件发生的可能性不会比A事件发生的可能性小,因此直观上可知P(A)≤P(B). 〈课堂达标·素养提升〉 1.下列说法正确的有(　　) ①任意事件A的概率P(A)总满足0≤P(A)≤1; ②若事件A的概率趋于0,则A是不可能事件; ③若事件A的概率为0.5,则A是随机事件. A.0个　　　　　　　　 B.1个 C.2个 D.3个 C 任意事件A发生的概率P(A)满足0≤P(A)≤1,∴①正确;不可能事件的概率等于0,但概率趋于0的事件不一定是不可能事件,∴②错误;③正确. 2.从100个同类产品中(其中有2个次品)任取3个. ①三个正品;②两个正品,一个次品;③一个正品,两个次品;④三个次品;⑤至少一个次品;⑥至少一个正品. 其中必然事件是　　　　,不可能事件是　　　　,随机事件是 　 　　　.  ⑥ ④ ①②③⑤ 从100个产品(其中2个次品)中任取3个可能结果是:“三个全是正品”“两个正品,一个次品”“一个正品,二个次品”. 3.从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数,则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为　　　　.  从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共10种情况,其中(1,2,4),(1,3,5),(2,3,4),(2,4,5)中三个数字之和为奇数. 4 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.(多选)给出下列四个命题,其中正确的是(　　 ) A.“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 B.当“x为某一实数时可使x2<0”是不可能事件 C.“每年的国庆节都是晴天”是必然事件 D.“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个,5个都是次品”是随机事件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 13 C项中“每年的国庆节都是晴天”是随机事件,故错误;A,B,D的判断均正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.掷一个骰子,如果样本点用朝上的面的点数表示,则样本空间为(　　) A.{1,2,3}　　　　　　 B.{1,2,3,4} C.{1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5,6} 骰子有6个点数,掷一个骰子一次,朝上的面的点数可能为1,2,3,4,5,6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 3.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组,某学生只选报其中的2个,则基本事件共有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 该生选报的所有可能情况是:{数学和计算机},{数学和航空模型},{计算机和航空模型},所以基本事件有3个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 4.下列结论正确的是(　　) A.事件A发生的概率P(A)的值满足0<P(A)<1 B.若P(A)=0.999,则A为必然事件 C.事件发生的概率表示事件发生的可能性大小 D.若P(A)=0.001,则A为不可能事件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 由事件概率的定义知,事件A发生的概率P(A)的值满足0≤P(A)≤1,故A错误;必然事件发生的概率为1,故B错误;不可能事件发生的概率为0,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.下列给出五个事件: ①北京市2月3日下雪; ②函数y=ax(a>0且a≠1)在定义域上是增函数; ③实数的绝对值不小于0; ④连续抛掷一枚骰子两次,正面向上的点数之积大于36. 其中必然事件是　　　　;不可能事件是　　　　;随机事件是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ③ ④ ①② 13 由必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知:③是必然事件,④是不可能事件,①②是随机事件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.从1,2,3,…,10中任意选一个数,这个试验的样本空间为 　 　　　,“它是偶数”这一事件为　　 　　.  从1,2,3,…,10中任意选一个数,所得到的数可能是从1到10中的任意一个数,所以这个试验的样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},“它是偶数”这一事件为{2,4,6,8,10}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} {2,4,6,8,10} 13 7.指出下列试验的样本空间: (1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球; 解:(1)Ω={(红球,白球),(红球,黑球),(白球,黑球)}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)结果: 1-3=-2,3-1=2, 1-6=-5,3-6=-3, 1-10=-9,3-10=-7, 6-1=5,10-1=9, 6-3=3,10-3=7, 6-10=-4,10-6=4. 即试验的样本空间为Ω={-2,2,-5,-3,-9,-7,5,9,3,7,-4,4}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.生物实验室有10只兔子,其中有3只测量过某项指标,从这10只兔子中任取3只,观察其中测量过某项指标的兔子数. (1)选择合适的表示方法,写出样本空间; 解:(1)Ω={0,1,2,3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)写出事件A:“取到的3只兔子中没有测量过某项指标”的集合; 解: (2){0}. (3)写出事件B={0,1}所表示的实际意义. 解: (3)B={0,1}的实际意义是从10只兔子中任取3只,这3只兔子都没有测量过某项指标或有1只测量过某项指标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 9.抛掷一颗骰子,观察骰子出现的点数,若“出现2点”这个事件发生,则下列事件发生的是(　　) A.“出现奇数点” B.“出现偶数点” C.“点数大于3” D.“点数是3的倍数” “出现2点”这个事件发生,由2为偶数,故“出现偶数点”这一事件发生. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 10.(多选)在10个学生中,男生有x个,现从10个学生中任选6人去参加某项活动:①至少有1个女生;②5个男生,1个女生;③3个男生,3个女生.若要使①为必然事件,②为不可能事件,③为随机事件,则x可以为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 由题意知,10个学生中,男生人数少于5人,但不少于3人,∴x=3或x=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AB 13 11.写出下列随机试验的样本空间Ω. (1)同时掷三颗骰子,记录三颗骰子点数之和Ω=　　 　　.  (1)因为掷一颗骰子出现的点数可能为1,2,3,4,5,6,所以掷三颗骰子,三颗骰子的点数之和为3,4,5,…,18,所以Ω={3,4,5,…,18}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 {3,4,5,…,18} 13 (2)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数,Ω= 　　 　 　.  (2)由已知,Ω={10,11,12,…}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 {10,11,12,…} 13 12.已知关于x的一元二次函数f(x)=ax2-4bx+1.设集合P={1,2,3}和Q= {-1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b. (1)写出以(a,b)为元素的样本空间,共包含多少个样本点? 解:(1)Ω={(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)},共包含15个样本点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)指出事件“函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数”的所有样本点. 解: (2)∵关于x的一元二次函数f(x)=ax2-4bx+1的图象的对称轴为x=. 要使f(x)=ax2-4bx+1在区间[1,+∞)上为增函数, 需a>0且≤1,即2b≤a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 若a=1,即b=-1; 若a=2,则b=-1,1; 若a=3,则b=-1,1. 即满足事件“函数f(x)=ax2-4bx+1在区间[1,+∞)上是增函数”的所有样本点有(1,-1),(2,-1),(2,1),(3,-1),(3,1),共5个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘①得到的数为x,转盘②得到的数为y,结果为(x,y). 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)写出这个试验的样本空间; 解:(1)Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)求这个试验的样本点的总数; 解: (2)这一试验的样本点的总数为16. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)用集合表示出事件A:“x+y=5”,用集合表示出事件B:“x<3且y>1”; 解: (3)“x+y=5”用集合表示为A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)};“x<3且y>1”用集合表示为B={(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)}. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (4)用集合表示出事件C:“xy=4”,用集合表示出事件D:“x=y”. 解: (4)“xy=4”用集合表示为C={(1,4),(2,2),(4,1)};“x=y”用集合表示为D={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}. 13 $$