5.3.2 事件之间的关系与运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教B版）

5.3.2 事件之间的关系与运算 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算. 2.本课时的重点是了解事件间的关系和运算. 3.本课时的难点是掌握互斥事件的概率加法公式. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.事件的包含与相等   定义 表示法 图示 包含关系 一般地，如果事件A发生时，事件B __________，则称“A包含于B”(或“B包含A”) ______ (或______) 相等关系 如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B_____”(A⊆B且B⊆A) A=B 一定发生 A⊆B B⊇A 相等 2.事件的和(并)与积(交)   定义 表示法 图示 和 给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并) ____ (或______) 积 给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交) ____ (或_____) A+B A∪B AB A∩B |微|点|助|解| (1)从集合运算的角度去理解事件的和与积. (2)①P(A+B)≤P(A)+P(B)；②P(AB)≤P(A)；③P(AB)≤P(B). 3.事件的互斥与对立   定义 表示法 图示 互斥 给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B______ _______ (或________) 对立 给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的__________. 如果B=，则称A与B相互对立 事件A的对立事件记作 互斥 AB=∅ A∩B=∅ 对立事件 4.互斥事件的概率加法公式 (1)互斥事件的概率加法公式：当A与B互斥(即AB=∅)时，有P(A+B)= __________. (2)一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P(A1+A2+…+An) =____________________. (3)P(A)+P()=___. P(A)+P(B) P(A1)+P(A2)+…+P(An) 1 |微|点|助|解| 辨析互斥事件与对立事件的思路 ①从发生的角度看： 在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生. 两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两个事件对立，必定互斥，但两个事件互斥，未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例. ②从事件个数的角度看： 互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件. ③从集合的角度理解互斥事件与对立事件： 互斥事件对应集合的交集为空集，对立事件对应集合的并集为全集，且对立事件对应集合互为补集. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若A=B，则A，B同时发生或A，B同时不发生. (　　) (2)两个事件的和指两个事件至少有一个发生. (　　) (3)已知事件A与事件B，如果A⊆B且B⊆A，则A=B. (　　) √ √ √ 2.若P(A)=0.1，P(B)=0.2，则P(A∪B)等于 (　　) A.0.3 B.0.2 C.0.1 D.不确定 解析：因为A与B的关系不确定， 所以P(A∪B)的值不能确定. √ 3.关于事件A，B的以下结论，其中一定正确的为 (　　) A.若A，B为对立事件，则A，B可能不是互斥事件 B.若A，B为对立事件，则A，B必为互斥事件 C.若A，B为互斥事件，则A，B必为对立事件 D.若A，B为互斥事件，则A，B不可能为对立事件 √ 解析：因为对立事件一定是互斥事件，所以B正确，A错误；又因为互斥事件可能是对立事件也可能不是对立事件，所以C、D错误. 4.根据多年气象统计资料(每天的天气状况为晴天或阴天或下雨)，某地6月1日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为______.  解析：每天的天气状况只有三种可能，即可为晴天或阴天或下雨，且互为互斥事件，故晴天的概率为1-0.45-0.20=0.35. 0.35 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　事件的关系 [例1]　(1)同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件A，“向上的面至少有一枚是正面”为事件B，则有 (　　) A.A=B B.A⊇B C.A⊆B D.A与B之间没有关系 解析：由同时抛掷两枚硬币，样本空间为Ω={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，其中事件A={(正，正)}，事件B={(正，正)， (正，反)，(反，正)}，所以A⊆B. √ (2)掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A为“3次正面向上”，B为“只有1次正面向上”，C为“至少有1次正面向上”，试判断事件A，B，C之间的包含关系. 解析：当事件A发生时，事件C一定发生，当事件B发生时，事件C一定发生，因此有A⊆C，B⊆C；当事件A发生时，事件B一定不发生，当事件B发生时，事件A一定不发生，因此事件A与事件B之间不存在包含关系.综上，事件A，B，C之间的包含关系为A⊆C，B⊆C. |思|维|建|模| 判断事件之间的关系，主要是判断表示事件的两集合间的包含关系. 针对训练 1.已知事件A，B，C满足A⊆B，B⊆C，则下列说法不正确的是 (　　) A.事件A发生一定导致事件C发生 B.事件B发生一定导致事件C发生 C.事件发生不一定导致事件发生 D.事件发生不一定导致事件发生 √ 解析：由已知可得A⊆C，又因为A⊆B，B⊆C，如图，事件A，B，C用集合表示，则A、B正确，事件⊆，则C正确，D错误. 2.掷一枚骰子，观察其向上的点数，可能得到以下事件：A=“出现1点”；B=“出现2点”；D=“出现4点”；E=“出现5点”；G=“出现的点数不大于1”；H=“出现的点数小于5”；I=“出现奇数点”；J=“出现偶数点”.请判断下列两个事件的关系：(1)B_____H；(2)D _____ J； (3)E _____ I；(4)A _____ G.  ⊆ ⊆ ⊆ = 解析：(1)因为“出现的点数小于5”包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故B⊆H. (2)“出现偶数点”包括出现2点，出现4点，出现6点三种情况，所以事件D发生时，事件J必然发生，故D⊆J. (3)“出现奇数点”包括出现1点，出现3点，出现5点三种情况，所以事件E发生时，事件I必然发生，故E⊆I. (4)“出现的点数不大于1”只包括出现1点一种情况，即事件A与事件G相等，故A=G. 题型(二)　事件的运算 [例2]　(1)甲、乙两个元件构成一并联电路，设E=“甲元件故障”，F=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为 (　　) A.E∪F B.E∩F C.E∩ D. √ 解析：因为甲、乙两个元件构成一并联电路，所以只有当甲、乙两个元件都故障时，才造成电路故障，所以表示电路故障的事件为E∩F. (2)(多选)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件： 事件A：恰有一件次品；事件B：至少有两件次品； 事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品. 下列选项正确的是(　　) A.A∪B=C B.B∪D是必然事件 C.A∩B=C D.A∩D=C √ √ 解析：对于A，事件A∪B指至少有一件次品，即事件C，故A正确；对于B，事件B∪D指至少有两件次品或至多有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了所有情况，故B正确；对于C，事件A和B不可能同时发生，即事件A∩B=∅，故C错误；对于D，事件A∩D指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不同，故D错误. |思|维|建|模| 事件间的运算方法 (1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算. (2)利用图形.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验的所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算. 针对训练 3.抛掷一枚质地均匀的骰子，事件E=“向上的点数为1”，事件F=“向上的点数为5”，事件G=“向上的点数为1或5”，则有 (　　) A.E⊆F B.G⊆F C.E∪F=G D.E∩F=G 解析：根据事件之间的关系，知事件G发生当且仅当事件E发生或事件F发生，所以E∪F=G. √ 4.抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件A={至少1枚正面朝上}，B={至多2枚正面朝上}，事件C={没有硬币正面朝上}，则下列正确的是 (　　) A.C=A∩B B.C=A∪B C.C⊆A D.C⊆B √ 解析：记事件D={1枚硬币正面朝上}，E={2枚硬币正面朝上}， F={3枚硬币正面朝上}，则A=D∪E∪F，B=C∪D∪E，显然C≠A∩B，C≠A∪B，C⊆B，C⊈A. 题型(三)　事件的互斥与对立 [例3]　某人射击一次，设事件A：“击中环数小于8”；事件B：“击中环数大于8”；事件C：“击中环数不小于8”，事件D：“击中环数不大于9”，则下列关系正确的是 (　　) A.A和B为对立事件 　B.B和C为互斥事件 C.A和C为对立事件 　D.B和D为互斥事件 √ 解析：由题意设事件A：“击中环数小于8”与事件B：“击中环数大于8”是互斥事件但不是对立事件，故A错误；事件B：“击中环数大于8” 与事件C：“击中环数不小于8”，能同时发生，所以不是互斥事件，故B错误；事件A：“击中环数小于8”与事件C：“击中环数不小于8”是对立事件，故C正确；事件B：“击中环数大于8”与事件D：“击中环数不大于9”能同时发生，不是互斥事件，故D错误. |思|维|建|模| 互斥事件、对立事件的判定方法 (1)互斥事件不可能同时发生； (2)对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生. 针对训练 5.掷一枚骰子，设事件A：落地时向上的点数是奇数；B：落地时向上的点数是3的倍数；C：落地时向上的点数是2；D：落地时向上的点数是2的倍数，则下列说法错误的是 (　　) A.A和B有可能同时发生 B.A和D是对立事件 C.B和C是对立事件 D.A和C是互斥事件 √ 解析：依题意，事件A={1，3，5}，B={3，6}，C={2}，D={2，4，6}，事件A和B有相同的样本点：3，A正确；事件A和D不能同时发生，但必有一个发生，则A和D是对立事件，B正确；事件B和C不能同时发生，但可以同时不发生，则B和C不是对立事件，C错误；事件A和C不能同时发生，它们是互斥事件，D正确.故选C. 6.(多选)一个口袋内装有大小、形状相同的红球、黑球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立的事件有 (　　) A.2个小球恰有1个红球 B.2个小球不全为黑球 C.2个小球至少有1个黑球 D.2个小球都为黑球 解析：由题意，知一次任意取出2个小球，这2个球可能为2个红球，2个黑球，1个红球1个黑球共3种情况.与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立的事件为2个小球恰有1个红球或2个小球都为黑球.故选AD. √ √ 题型(四)　互斥事件、对立事件的概率 [例4]　在某公司职员外出参加培训的活动中，一周内派出的职员人数及其概率如下表所示： 派出人数 ≤2 3 4 5 ≥6 概率 0.1 0.44 0.2 0.2 0.06 (1)求有4人或5人外出培训的概率； 解：设“派出2人及以下外出培训”为事件A，“派出3人外出培训”为事件B，“派出4人外出培训”为事件C，“派出5人外出培训”为事件D，“派出6人及以上外出培训”为事件E. “有4人或5人外出培训”的事件为事件C或事件D，C，D为互斥事件， 根据互斥事件的概率加法公式可知， P(C+D)=P(C)+P(D)=0.2+0.2=0.4. (2)求至少有3人外出培训的概率. 解：“至少有3人外出培训”的对立事件为“派出2人及以下外出培训”，所以由对立事件的概率可知，P()=1-P(A)=1-0.1=0.9. |思|维|建|模| (1)公式P(A+B)=P(A)+P(B)，只有当A，B两事件互斥时才能使用，如果A，B不互斥，就不能应用这一公式. (2)利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用. 针对训练 7.某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%， (1)某人购买了一台这个品牌的计算机，设Ak=“一年内需要维修k次”，k=0，1，2，3，请填写下表： 事件 A0 A1 A2 A3 概率         事件A0，A1，A2，A3是否满足两两互斥? 解：因为一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%，则有P(A1)=0.15，P(A2)=0.06，P(A3)=0.04， 显然事件A0，A1，A2，A3中，任意两个事件不可能同时发生，因此事件A0，A1，A2，A3两两互斥，于是得P(A0)=1-(0.15+0.06+0.04)=0.75， 填表如下： 事件 A0 A1 A2 A3 概率 0.75 0.15 0.06 0.04 所以事件A0，A1，A2，A3满足两两互斥. (2)求下列事件的概率： ①A=“在1年内需要维修”； ②B=“在1年内不需要维修”； ③C=“在1年内维修不超过1次”. 解：①由(1)知，“在1年内需要维修”的事件，即事件A1，A2，A3至少有一个发生，而它们两两互斥， 所以P(A)=P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=0.25. ②“在1年内不需要维修”的事件，即事件A0发生，所以P(B)=P(A0)=0.75. ③“在1年内维修不超过1次”的事件，即事件A0，A1至少发生一个， 所以P(C)=P(A0+A1)=P(A0)+P(A1)=0.9. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲不胜的概率是(　　) A. B. C. D. √ 解析：甲不胜的事件为乙获胜或和棋，则甲不胜的概率为两事件概率的和，即+=，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.甲、乙两个元件构成一串联电路，设E：甲元件故障，F：乙元件故障，则表示电路故障的事件为 (　　) A.E∪F B.E∩F C.E∩ D.∩ √ 解析：由题意，甲、乙两个元件构成一串联电路，当两个元件中至少一个有故障，则整个的电路有故障，所以电路故障的事件为E∪F. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是 (　　) A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7 √ 解析：∵“摸出黑球”是“摸出红球或摸出白球”的对立事件，∴“摸出黑球”的概率是1-0.42-0.28=0.3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.一个射手进行一次射击，事件A：命中环数大于8；事件B：命中环数大于5，则 (　　) A.A与B是互斥事件 B.A与B是对立事件 C.A⊆B D.A⊇B √ 解析：事件A：命中环数大于8即命中9或10环；事件B：命中环数大于5即命中6或7或8或9或10环，故A⊆B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.(多选)某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画.记事件A：只参加科技游艺活动；事件B：至少参加两种科普活动；事件C：只参加一种科普活动；事件D：一种科普活动都不参加；事件E：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是 (　　) A.A与D是互斥事件 B.B与E是对立事件 C.E=C∪D D.A=C∩E √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：互斥事件表示两事件的交集为空集.事件A：只参加科技游艺活动，与事件D：一种科普活动都不参加，二者不可能同时发生，交集为空集，故A正确；对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生.事件B和事件E满足两个特点，故B正确；C∪D表示：至多参加一种科普活动，即为事件E，故C正确；C∩E表示：只参加一种科普活动，但不一定是科技游艺活动，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ai=“向上的点数为i”，其中i=1，2，3，4，5，6，B=“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是 (　　) A.⊆B B.A2+B=Ω C.A3与B互斥 D.A4与对立 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：对于A，={2，3，4，5，6}，B={2，4，6}，∴⊇B，故A错误；对于B，A2+B={2}∪{2，4，6}={2，4，6}≠Ω，故B错误；对于C，A3与B不能同时发生，是互斥事件，故C正确；对于D，A4={4}，= {1，3，5}，A4与是互斥且不对立事件，故D错误.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(5分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件A={(正，反)}，写出事件A的一个互斥事件______________________(用集合表示，写出一个即可).  解析：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，所有可能的结果为(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，其中事件{(正，正)}，{(反，正)}，{(反，反)}与事件A都不可能同时发生，所以事件A的一个互斥事件可以是{(正，正)}. {(正，正)}(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)如图，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.33，0.29，0.26，则脱靶的概率是_______.  解析：由题意，知射手射击结果为{命中Ⅰ，命中Ⅱ，命中Ⅲ，脱靶}.所以由对立事件的概率可得脱靶的概率为1-0.33-0.29-0.26=0.12. 0.12 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)向上抛掷一枚骰子，设事件A={点数为2或4}，事件B={点数为2或6}，事件C={点数为偶数 }，则事件C与A，B的运算关系是___________.  解析：由题意可知C=A∪B. C=A∪B 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)=2P(B)，则P()=_______.  解析：由题意知P(A+B)=P(A)+P(B)=1-=.又P(A)=2P(B)， 所以P(A)=，P(B)=.故P()=1-P(A)=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且分别为P(A)=3-2a，P(B)=5a-6，则实数a的取值范围为________.  解析：由题意，得即 解得<a≤. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球(标号为1和2)，2个绿球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”. (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；(6分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：用数组(x1，x2)表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号， 所以试验的样本空间Ω={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)， (2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}， 事件R={(1，2)，(2，1)}，事件G={(3，4)，(4，3)}，事件M={(1，2)， (2，1)，(3，4)，(4，3)}， 事件N={(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)写出事件R与G，M与N之间的关系；(2分) 解：由(1)知，R∩G=∅，而R∪G Ω，所以事件R，G互斥，不对立. M∩N=∅，M∪N=Ω，所以事件M，N互为对立事件. (3)写出事件R与事件G的并事件与事件M的关系.(2分) 解：由(1)知，R∪G=M，所以事件M是事件R与事件G的并事件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)由经验可知，每天在学校食堂某窗口排队等候就餐的人数及其概率如下表： (1)求等候就餐的人数在[4，16)内的概率；(6分) 排队人数 [0，4) [4，8) [8，12) [12，16) [16，20) [20，+∞) 概率 0.10 0.16 0.30 0.30 0.10 0.04 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：记“等候就餐的人数在[4，16)内”为事件A，“等候就餐的人数在 [4，8)内”为事件A1，“等候就餐的人数在[8，12)内”为事件A2，“等候就餐的人数在[12，16)内”为事件A3，则A=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，所以P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=0.16+0.30+0.30=0.76.故等候就餐的人数在[4，16)内的概率是0.76. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若等候就餐的人数大于或等于16，则应增加一个新窗口，请问增加新窗口的概率是多少?(4分) 解：记“等候就餐的人数大于或等于16”为事件B，“等候就餐的人数在[16，20)内”为事件B1，“等候就餐的人数在[20，+∞)内”为事件B2，则B=B1∪B2，且B1，B2互斥，所以P(B)=P(B1)+P(B2)=0.10+0.04=0.14.故增加新窗口的概率是0.14. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知袋中有红球、黑球、黄球、绿球若干，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率为，求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是多少? 解：记“得到红球”为事件A，“得到黑球”为事件B，“得到黄球”为事件C，“得到绿球”为事件D，事件A，B，C，D显然彼此互斥，则由题意可知，P(A)=， ① 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 P(B+C)=P(B)+P(C)=， ② P(C+D)=P(C)+P(D)=. ③ 由事件A和事件B+C+D是对立事件可得P(A)=1-P(B+C+D)= 1-[P(B)+P(C)+P(D)]，即P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-=. ④ ②③④联立可得P(B)=，P(C)=，P(D)=.即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $