4.2.3 第1课时 对数函数的概念、性质与图象-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

4.2　对数与对数函数 4.2.3　对数函数的性质与图象 第1课时　对数函数的概念、性质与图象 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 [学习目标]　1.理解对数函数的概念,会求简单对数函数的定义域.　 2.能画出具体对数函数的图象,并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质. 知识点1　对数函数的概念 内容索引 知识点2　简单对数函数的图象 课时作业 巩固提升 知识点3　简单对数函数的性质 课堂达标·素养提升 3 知识点1　对数函数的概念 一般地,函数y=logax称为对数函数,其中a是常数,a>0且a≠1. 指出下列函数哪些是对数函数? (1)y=2log3x; [解]　(1)log3x的系数是2,不是1,不是对数函数. (2)y=log5x; [解]　(2)是对数函数. 例1 (3)y=logx2; [解]　(3)自变量在底数位置,不是对数函数. (4)y=log2x+1. [解]　(4)对数式log2x后又加1,不是对数函数. 判断一个函数是否为对数函数的方法 思维提升 1.(1)函数f(x)=(a2-a+1)lox是对数函数,则实数a=　　　　.  (1)由a2-a+1=1解得a=1或a=0, 又因为a+1>0, 且a+1≠1, 所以a=1. 跟踪训练 1 (2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则f(-8)=　　　　.  (2)因为f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(-8)=-f(8)=-log28=-3. -3 知识点2　简单对数函数的图象   y=logax (a>0且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象     如图所示,曲线是对数函数y=logax的图象,已知a取,,,,则对应于c1,c2,c3,c4的a值依次为(　　) A.,,, B.,,, C.,,, D.,,, 例2 A 法一:观察在(1,+∞)上的图象,先排c1,c2底数的顺序,底数都大于1,当x>1时图象靠近x轴的底数大,c1,c2对应的a值分别为,.然后考虑c3,c4底数的顺序,底数都小于1,当x<1时图象靠近x轴的底数小,c3,c4对应的a值分别为,.综合以上分析,可得c1,c2,c3,c4的a值依次为,,,. 法二:如图,作直线y=1与四条曲线交于四点,由y=logax=1,得x=a(即交点的横坐标等于底数),所以横坐 标小的底数小,所以c1,c2,c3,c4对应的a值分别为,,,. 函数y=logax(a>0且a≠1)的 底数变化对图象位置的影响(如图) 思维提升 1.上下比较:在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴,0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴. 2.左右比较:比较图象与y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 2.如图,若C1,C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象,则(　　) A.0<a<b<1　　　　　　　 B.0<b<a<1 C.a>b>1 D.b>a>1 作直线y=1(图略),则直线y=1与C1,C2的交点的横坐标分别为a,b,易知 0<b<a<1. 跟踪训练 B 知识点3　简单对数函数的性质 函数y=logax(a>0且a≠1)的性质   a>1 0<a<1 性质 定义域 　　　　　  值域 R 单调性 在(0,+∞)上是　　　　函数  在(0,+∞)上是　　　　函数  过定点 图象过定点　　　　,即当x=1时,y=0  (0,+∞) 增 减 (1,0)   a>1 0<a<1 性质 函数值 的变化 当x∈(0,1)时,y∈　　　　;当x∈[1,+∞)时,y∈　　　　  当x∈(0,1)时,y∈　　　;当x∈[1,+∞)时,y∈　　　　  对称性 函数y=logax与y=x的图象关于　　　　对称  (-∞,0) [0,+∞) (0,+∞) (-∞,0] x轴 求下列函数的定义域: (1)y=; [分析]　对数函数的性质⇒构建不等式组⇒解不等式组. [解]　(1)由题意得 即解得x≤1. 故函数y=的定义域为(-∞,1]. 例3 (2)f(x)=; [分析]　对数函数的性质⇒构建不等式组⇒解不等式组. [解]　(2)由得x<4且x≠3. 故函数f(x)=的定义域为(-∞,3)∪(3,4). (3)y=log(2x-1)(-4x+8). [分析]　对数函数的性质⇒构建不等式组⇒解不等式组. [解]　(3)由题意得解得 故函数y=log(2x-1)(-4x+8)的定义域为∪(1,2). 求对数型函数的定义域时应遵循的原则 1.分母不能为0. 2.根指数为偶数时,被开方数非负. 3.对数的真数大于0,底数大于0且不为1. 思维提升 3.求下列函数的定义域: (1)y=; 解:(1)由 得∴即<x≤1, 跟踪训练 (2)y=; 解: (2)由得 ∴即0≤x<1, ∴所求函数的定义域为{x|0≤x<1}. (3)y=log(5x-1)(7x-2). 解: (3)由得 即x>,且x≠, 〈课堂达标·素养提升〉 1.下列函数中,定义域相同的一组是(　　) A.y=ax与y=logax(a>0且a≠1) B.y=x与y= C.y=lg x与y=lg D.y=x2与y=lg x2 C 选项A中,y=ax(a>0且a≠1)的定义域为R,y=logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0};选项B中,y=x的定义域为R,y=的定义域为{x|x≥0};选项C中,函数的定义域均为{x|x>0};选项D中,y=x2的定义域为R,y=lg x2的定义域为{x|x∈R且x≠0}. 2.函数y=x+a与函数y=logax的图象可能是(　　) C 因为a为对数函数y=logax的底数,所以a>0且a≠1.同时a为直线y=x+a在y轴上的截距,所以排除A,D.当a>1时,y=logax为增函数,y=x+a在y轴上的截距大于1,所以排除B. 3.函数f(x)=的定义域为　　　 　.  由题意得 解得x>-且x≠0,所以函数f(x)的定义域为∪(0,+∞). ∪(0,+∞) 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.若对数函数的图象过点M(16,4),则其解析式为(　　) A.y=log4x　　　　　　　 B.y=lox C.y=lox D.y=log2x 设对数函数为y=logax(a>0,且a≠1),则由题意得loga16=4,所以a4=16,得a=2,所以对数函数的解析式为y=log2x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 2.函数y=2+log2x(x≥1)的值域为(　　) A.(2,+∞) B.(-∞,2) C.[2,+∞) D.[3,+∞) ∵x≥1,∴log2x≥0,∴y=2+log2x≥2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 3.函数f(x)=的定义域是(　　) A.[4,+∞) B.(10,+∞) C.(4,10)∪(10,+∞) D.[4,10)∪(10,+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 由解得 ∴x≥4且x≠10, ∴函数f(x)的定义域为[4,10)∪(10,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.函数y=lg(x+1)的图象大致是(　　) 由底数大于1可排除A,B,y=lg(x+1)可看作是y=lg x的图象向左平移1个单位.(或令x=0得y=0,而且函数为增函数) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 5.若f(x)=logax+(a2-4a-5)是对数函数,则a=　　　　.  由对数函数的定义,得 解得a=5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 13 14 6.函数f(x)=loga(x+3)+(a>0,a≠1)的图象恒过定点P,且点P在函数y=bx(b>0,b≠1)上,则b=　　　　.  f(x)=loga(x+3)+恒过定点P,所以b-2=,解得b=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.若函数y=loga(x+a)(a>0且a≠1)的图象过点(-1,0). (1)求a的值; 解:(1)将(-1,0)代入y=loga(x+a)(a>0且a≠1)中, 有0=loga(-1+a),则-1+a=1,所以a=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求函数的定义域. 解: (2)由(1)知y=log2(x+2),由x+2>0,解得x>-2, 所以函数的定义域为(-2,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知f(x)=log3x. (1)作出这个函数的图象; 解:(1)函数y=log3x的图象如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若f(a)<f(2),利用图象求a的取值范围. 解: (2)令f(x)=f(2), 即log3x=log32,解得x=2. 由图象知,当0<a<2时,恒有f(a)<f(2), 故a的取值范围为(0,2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.(多选)已知实数a,b满足等式log2a=log3b,则下列四个选项中,可能成立的有(　　) A.a>b>1 B.a<b<1 C.b<a<1 D.a=b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CD 13 14 实数a,b满足等式log2a=log3b,即y=log2x在x=a处的函数值和y=log3x在x=b处的函数值相等,当a=b=1时,log2a=log3b=0,此时D成立;令log2a=log3b=1,可得a=2,b=3,由此知A不成立;令log2a=log3b=-1,可得a=,b=,由此知C成立,B不成立.综上知可能成立的有C,D两项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是(　　) A.0<a-1<b<1 B.0<b<a-1<1 C.0<b-1<a<1 D.0<a-1<b-1<1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 令g(x)=2x+b-1,这是一个增函数,而由图象可知函数y=logag(x)是单调递增的,所以必有a>1. 又由图象知函数图象与y轴交点的纵坐标介于-1和0之间,即-1<f(0)<0,所以-1<logab<0, 故a-1<b<1,因此0<a-1<b<1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.函数f(x)=的定义域为(0,10],则实数a的值为　　　　.  由已知,得a-lg x≥0的解集为(0,10], 由a-lg x≥0,得lg x≤a, 又当0<x≤10时,lg x≤1,所以a=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 12.已知函数f(x)=|lox|的定义域为,值域为[0,1],则实数m的取值范围为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [1,2] 13 14 作出函数f(x)=|lox|的图象(如图)可知f=f(2)=1,f(1)=0,由题意结合图象知1≤m≤2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.已知f(x)=log2(x+1),当点(x,y)在函数y=f(x)的图象上时,点在函数y=g(x)的图象上. (1)写出y=g(x)的解析式; 解:(1)依题意得 则g=log2(x+1),故g(x)=log2(3x+1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求方程f(x)-g(x)=0的根. 解: (2)由f(x)-g(x)=0得,log2(x+1)=log2(3x+1), 所以 解得x=0或x=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [C组　素养培优练] 14.如图所示,过函数f(x)=logcx(c>1)的图象上的两点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为M(a,0),N(b,0)(b>a>1),线段BN与函数g(x)=logmx(m>c>1)的图象交于点C,且AC与x轴平行. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)当a=2,b=4,c=3时,求实数m的值; (1)解:由题意,得A(2,log32),B(4,log34),C(4,logm4). 因为AC与x轴平行,所以logm4=log32,所以m=9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)当b=a2时,求-的最小值; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)解:由题意,得A(a,logca),B(b,logcb),C(b,logmb), 因为AC与x轴平行,所以logmb=logca. 因为b=a2,所以m=c2, 所以-=-=-1, 所以当=1时,-取得最小值为-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3)已知h(x)=ax,φ(x)=bx,若x1,x2为区间(a,b)内任意两个变量,且x1<x2,求证:h(f(x2))<φ(f(x1)). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)证明:因为a<x1<x2<b,且c>1, 所以logca<logcx1<logcx2<logcb. 又因为a>1,b>1, 所以<,<, 又因为logcb·logca=logca·logcb, 所以logc=logc, 所以=,所以<, 即h(f(x2))<φ(f(x1)). 13 14 $$