第4章 4.2.3 第1课时 对数函数的概念、对数函数的性质与图象(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

第四章　指数函数、对数函数与幂函数 4.2　对数与对数函数 4．2.3　对数函数的性质与图象 第1课时　对数函数的概念、对数函数的性质与图象 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 导学1 对数函数的概念 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 ＞ ≠ x 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 导学2 对数函数的图象与性质 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 (0，＋∞) (－∞，＋∞) (1，0) 0 增函数 减函数 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 谢谢观看 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 学业标准 素养目标 1.通过具体实例，了解对数函数模型，理解对数函数的概念．(难点) 2．探索并掌握对数函数的性质与图象，并能解决对数型函数的相关问题．(重点、难重) 1.通过学习对数函数的概念，发展学生数学抽象等核心素养． 2．通过对数函数性质和图象的探究及应用，提升学生逻辑推理、直观想象等核心素养． 　我们已经知道y＝2x是指数函数，那么y＝log2x(x>0)是否表示y是x的函数？为什么？ [提示]　是．由对数的定义可知y＝log2x(x>0)⇔x＝2y，结合指数的运算可知，在定义域{x|x>0}内对于每一个x都有唯一的y与之对应，故y＝log2x(x>0)表示y是x的函数，其定义域为(0，＋∞). ◎结论形成 函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a__0且a__1，__是自变量． 　在同一坐标系中，对数函数y＝log2x，y＝log5x，y＝log eq \s\do9(\f(1,5))x，y＝log eq \s\do9(\f(1,2))x的图象分别如图所示，说出这四个函数图象的特征． [提示]　(1)这四个图象都在y轴右侧，即定义域为(0，＋∞). (2)y＝log2x与y＝log eq \s\do9(\f(1,2))x图象关于x轴对称，y＝log5x与y＝log eq \s\do9(\f(1,5))x图象关于x轴对称． (3)函数y＝log eq \s\do9(\f(1,2))x与y＝log eq \s\do9(\f(1,5))x的图象从左到右是下降的，即函数的减区间为(0，＋∞). (4)这四个图象均过定点(1，0). 名称 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 __________ 值域 _____________ 过定点 __________，即当x＝1时，y＝__ 单调性 在(0，＋∞)上是______ 在(0，＋∞)上是______ 奇偶性 非奇非偶函数 ◎结论形成 对数函数的图象和性质 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝loga(2x)(a＞0，且a≠1)是对数函数．(　　) (2)函数y＝loga(x2－x＋1)(a＞0，且a≠1)的定义域为R.(　　) (3)对数函数的图象都在y轴的右侧．(　　) (4)函数y＝loga(x－1)的图象过定点(2，0).(　　) 解析　(1)对数函数自变量x的系数为1. (2)因为Δ＝1－4＝－3＜0，所以x2－x＋1＞0恒成立． (3)由对数函数的图象知正确． (4)由对数函数的图象和性质知正确． 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为(　　) A．(－∞，－1)　　　　　 B．[－1，＋∞) C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞) 解析　函数有意义需满足x＋1＞0，所以x＞－1. 答案　C 3．(多选题)函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为(　　) A．5 B．2 C． eq \f(1,e) D． eq \f(1,2) 解析　因为函数y＝logax的图象一直上升， 所以函数y＝logax为单调增函数，所以a＞1. 答案　AB 4．若函数y＝log(2a－1)x是以x为自变量的对数函数，则a的取值范围是________________． 解析　因为y＝log(2a－1)x是以x为自变量的对数函数，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a－1＞0，,2a－1≠1，))解得a＞ eq \f(1,2)，且a≠1. 答案　 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞) 题型一　对数函数的概念 　(1)下列给出的函数： ①y＝log5 x＋1；②y＝loga x2(a>0，且a≠1)； ③y＝log( eq \r(3)－1)x；④y＝ eq \f(1,3)log3 x； ⑤y＝logx eq \r(3)(x>0，且x≠1)；⑥y＝log eq \s\do9(\f(2,π))x. 其中是对数函数的为(　　) A．③④⑤　　　　　　　 B．②④⑥ C．①③⑤⑥ D．③⑥ (2)对数函数的图象过点(16，2)，则f(8)的值为________________． [解析]　(1)①中对数式后面加1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量x，所以不是对数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④中log3 x前的系数不是1，所以不是对数函数；⑤中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数．故③⑥正确． (2)设对数函数的解析式为y＝loga x(a>0，且a≠1)，由已知可得loga 16＝2，即a2＝16， 解得a＝4，故函数解析式为y＝log4 x. 所以f(8)＝log48＝ eq \f(3,2). [答案]　(1)D　(2) eq \f(3,2) 判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： ①系数为1； ②底数为大于0且不等于1的常数； ③对数的真数仅有自变量x.　 [触类旁通] 1．(1)(多选题)下列函数表达式中，是对数函数的有(　　) A．y＝log8x　　　　　　　 B．y＝ln x C．y＝logx eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2)) D．y＝2log4x (2)已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(2 eq \r(2))＝____________． 解析　(1)根据对数函数的定义，只有选项A，B中的函数是对数函数． (2)设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，因为函数f(x)的图象过点(8，－3)， 则－3＝loga8，∴a＝ eq \f(1,2)，∴f(x)＝log eq \s\do9(\f(1,2))x， ∴f(2 eq \r(2))＝log eq \s\do9(\f(1,2))(2 eq \r(2))＝－log2(2 eq \r(2))＝－ eq \f(3,2). 答案　(1)AB　(2)－ eq \f(3,2) 题型二　对数型函数的定义域 　(1)下列各组函数中，定义域相同的一组是(　　) A．y＝ax与y＝logax(a>0，且a≠1) B．y＝2ln x与y＝ln x2 C．y＝lg x与y＝lg eq \r(x) D．y＝x2与y＝lg x2 (2)求下列函数的定义域． ①y＝lg x＋lg (5－3x)；②y＝logx(4－x)； ③y＝ eq \r(log0.1\f(3x－2,2x＋1))； ④y＝ eq \f(\r(log2x－1),2x－5). [解析]　(1)只有C组定义域相同，故选C． (2)①由对数的定义可知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＞0，,5－3x＞0，))⇒0＜x＜ eq \f(5,3)，所以该函数的定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3)))； ②由对数的定义可知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＞0，,4－x＞0，,x≠1，))⇒0＜x＜4且x≠1， 所以该函数的定义域为(0，1)∪(1，4)； ③由对数的定义和二次根式的性质可知： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(3x－2,2x＋1)＞0，,log0.1\f(3x－2,2x＋1)≥0，,2x＋1≠0，))⇒ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(3x－2,2x＋1)＞0，,\f(3x－2,2x＋1)≤1，,x≠－\f(1,2)，))⇒ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(3x－2,2x＋1)＞0，,\f(x－3,2x＋1)≤0，,x≠－\f(1,2)，)) ⇒ eq \f(2,3)＜x≤3， 所以该函数的定义域为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，3))； ④由对数的定义、二次根式的性质、分式的性质可知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＞0，,log2x－1≥0，,2x－5≠0，))⇒x≥2且x≠ eq \f(5,2)，所以该函数的定义域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)))∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞)). [答案]　(1)C　(2)略 求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.　 [触类旁通] 2．求下列函数的定义域． (1)f(x)＝lg (x－2)＋ eq \f(1,x－3)； (2)f(x)＝logx＋1(16－4x). 解析　(1)要使函数有意义，需满足 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－2＞0，,x－3≠0，)) 解得x＞2且x≠3. ∴函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞). (2)要使函数有意义，需满足 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(16－4x＞0，,x＋1＞0，,x＋1≠1，)) 解得－1＜x＜0或0＜x＜4. ∴函数的定义域为(－1，0)∪(0，4). 题型三　对数函数的图象问题（一题多变） 　(1)y＝ln (1－x)的图象大致为(　　) (2)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象． [解析]　(1)由1－x＞0知x＜1，排除A，B；函数在定义域(－∞，1)为减函数，故选C． (2)因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5， 故f(x)＝log5|x|＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(log5x，x＞0，,log5(－x)，x＜0.)) 所以函数y＝log5|x|的图象如图所示． [答案]　(1)C　(2)略 [母题变式] 1．(变结论)本例(2)条件不变，试写出函数f(x)＝loga|x|的值域及单调区间． 解析　由本例(2)的图象知f(x)的值域为R，递增区间为(0，＋∞)，递减区间为(－∞，0). 2．(变条件)若把本例(2)中的函数改为y＝log5|x＋1|，请画出它的图象． 解析　利用图象变换来解题，画出函数y＝log5|x|的图象，将函数y＝log5|x|的图象向左平移1个单位，即可得函数y＝log5|x＋1|的图象，如图所示． [素养聚焦]　　对数函数图象的识图、用图问题中重点提升直观想象核心素养． 有关对数型函数图象问题的应用技巧 (1)求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m). (2)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小.　 [触类旁通] 3．(1)已知函数f(x)＝ax-3＋loga eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))＋1(a>0，a≠1)，则它的图象过定点(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1)) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2)) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3)) (2)在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋a与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象可能是(　　) 解析　(1)由题意，函数f(x)＝ax-3＋loga eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))＋1(a>0且a≠1)， 令x＝3， 可得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))＝a3-3＋loga eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－2))＋1＝1＋0＋1＝2， 所以函数f(x)的图象恒过定点(3，2). (2)A．由对数图象知0<a<1，此时直线的纵截距a>1，矛盾； B．由对数图象知a>1，此时直线的纵截距0<a<1，矛盾； C．由对数图象知0<a<1，此时直线的纵截距0<a<1，保持一致； D．由对数图象知a>1，此时直线的纵截距a<0，矛盾，故选C． 答案　(1)C　(2)C [缜密思维提能区] 规范答题 求函数解析式、定义域、值域 [典例]　(13分)已知函数y＝f(x)，x，y满足关系式lg (lg y)＝lg (3x)＋lg (3－x)，求函数y＝f(x)的解析式、定义域及值域． [审题指导]　合理恒等变形求出y＝f(x)的解析式，注意定义域． [规范解答]　因为lg (lg y)＝lg (3x)＋lg (3－x)， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＞0，,3－x＞0，,lg y＞0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0＜x＜3，,y＞1.))(3分) 又lg (lg y)＝lg (3x)＋lg (3－x)＝lg [3x(3－x)]， 所以lg y＝3x(3－x)， 所以y＝103x(3-x).…………(5分) 因为0＜x＜3， 所以3x(3－x)＝－3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(27,4)∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(27,4)))，…………(8分) 所以y＝103x(3-x)∈(1，10 eq \s\up16(\f(27,4))]，满足y＞1.…………(11分) 所以函数y＝f(x)的解析式为y＝103x(3-x)，定义域为(0，3)，值域为(1，10 eq \s\up16(\f(27,4))].…………(13分) 知识落实 技法强化 1.对数函数的概念． 2.对数函数的性质与图象． 研究对数函数时应注意的两点 1.往往先求对数函数的定义域． 2.若底数不确定，需对底数分类讨论． $