6.2.3 6.2.4 第1课时 组合与组合数公式-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

6.2　排列与组合 6.2.3　组合 6.2.4　组合数 第1课时　组合与组合数公式 第六章　计数原理 学习单元1 [学习目标]　1.理解组合的定义,正确认识组合与排列的区别与联系.　2.掌握组合数公式及性质的应用,会用组合知识解决一些简单的组合问题. 知识点1　组合的概念 内容索引 知识点2　组合数与组合数公式 课时作业 巩固提升 知识点3　组合数的简单应用 课堂达标·素养提升 微点突破2　组合数的两个性质 3 知识点1　组合的概念 1.一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素　　　 　,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.  2.两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的. 作为一组 [例1]　(多选)给出下列问题,属于组合问题的有(　 　) A.从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查,有多少种不同的选法 B.有4张电影票,要在7人中确定4人去观看,有多少种不同的选法 C.某运动员射击8枪,击中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,则不同的结果有多少种 D.从2,3,5,7,11中任选两个数相乘,可以得到多少个不同的积 [分析]　根据选项中不涉及元素顺序的为组合问题,即可确定结果. BCD [解析]　对于A,从3名同学中选出2名同学后,分配到两个乡镇涉及顺序问题,是排列问题; 对于B,从7人中选出4人观看不涉及顺序问题,是组合问题; 对于C,射击命中不涉及顺序问题,是组合问题; 对于D,乘法满足交换律,两数相乘的积不涉及顺序问题,是组合问题. 判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关,与顺序有关的是排列问题,与顺序无关的是组合问题. 思维提升 1.给出下列几个问题,其中是组合问题的有(　　) ①某班选10名同学参加拔河比赛;②从1,2,3,4中选出两个数,构成平面向量a的坐标;③从1,2,3,4中选出两个数分别作为实轴长和虚轴长,构成焦点在x轴上的双曲线方程;④从正方体的8个顶点中任取2个点构成线段. A.①②　　　　　　　　 B.①④ C.③④ D.②③ 跟踪训练 B 解析:①④中选出的元素与顺序无关,而②③中选出的元素与顺序有关,由组合的定义可知,①④为组合问题. 知识点2　组合数与组合数公式 组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的　　　　　　 　, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号_______ 表示  组合数 公式 乘积形式 =　　　　　　　　　　　　,  其中m,n∈N*,并且m≤n 阶乘形式 = 排列数与组合数的关系 组合数与排列数间存在的关系:= 　　　　.规定:=　　　　  所有不同组合的个数 1 [例2]　(1)+等于(　　) A.25　　　　　　　　　　 B.30 C.35 D.40 (2)(多选)对于m∈N*,n∈N*,m≤n,下列关于排列组合数的结论正确的是(　　) A.=+ B.= C.= D.=(m+1) B BC [解析]　(1)+=+=10+20=30. (2)对于A,+=+= +==,A错误; 对于B,由组合数的性质知,=成立,B正确; 对于C,因为=,因此=成立,C正确; 对于D,因为=(n+1)n(n-1)…(n-m+1),=m!,所以≠(m+1),D错误. 1.在解有关组合数的方程或不等式时,必须注意隐含条件n≥m.求出方程或不等式的解后,要进行检验. 2.合理选用组合数的两个性质=,=-能起到简化运算的作用,需熟练掌握. 思维提升 2.(多选)下列等式正确的是(　 　) A.若=,则n=8 B.=+ C.++=7 D.7-4=0 跟踪训练 BCD 解析:对于A,由=,得3n+6=4n-2或3n+6+4n-2=18, 解得n=2或n=8(舍去),A不正确; 对于B,由组合数的性质知B正确; 对于C,++=1+3+3=7,C正确; 对于D,7-4=7×-4×=140-140=0,D正确. 知识点3　组合数的简单应用 基本组合问题的解法:(1)判断是否为组合问题;(2)是否分类或分步; (3)根据组合相关知识进行求解. [例3]　从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛. (1)如果4人中男生、女生各选2人,那么有多少种选法? (2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内,那么有多少种选法? (3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内,那么有多少种选法? (4)如果4人中必须既有男生又有女生,那么有多少种选法? [解]　(1)4人中男生和女生各选2人,共有×=10×6=60种选法. (2)除去甲、乙之外,其余2人可以从剩下的7人中任意选择,则男生中的甲和女生中的乙必须在内共有=21种选法. (3)法一:(直接法)男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内,包含两种情况,第一种情况:甲和乙都在内,有=21种选法,第二种情况:甲、乙只有1人在内,有=70种选法,则男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内共有21+70=91种选法. 法二:(间接法)男生中的甲和女生中的乙不在内的情况,共有=35种选法,则可得男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内共有-=126-35=91种选法. (4)法一:(直接法)如果4人中必须既有男生又有女生,可以按含有女生的人数分成三类:1男3女;2男2女;3男1女.则4人中必须既有男生又有女生共有++=20+60+40=120种选法. 法二:(间接法)如果4人中必须既有男生又有女生,先从所有9人中选4人,再去掉只有男生和只有女生的情况,故共有--=120种选法. 1.“含有”或“不含有”某些元素的组合问题 “含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩余元素中去取. 2.“至少”或“至多”含有几个元素的问题 “至多”“至少”问题的常用解题方法有两种:(1)直接分类法,注意分类要细、要全;(2)间接法,注意找准对立面,确保不重不漏. 思维提升 3.(多选)在10件产品中,有2件次品,从中任取3件,则下列结论错误的有(　　) A.“其中恰有2件次品”的抽法有8种 B.“其中恰有1件次品”的抽法有28种 C.“其中没有次品”的抽法有56种 D.“其中至少有1件次品”的抽法有56种 跟踪训练 BD 解析:抽到的3件产品中恰好有2件次品的抽法有=8(种),A选项正确; 抽到的3件产品中恰好有1件次品的抽法有=56(种),B选项错误; 抽到的3件产品中没有次品的抽法有=56(种),C选项正确; 抽到的3件产品中至少有一件次品的抽法有+=64(种),D选项错误. 4.一个口袋内装有7个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法? (2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法? (3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法? 解:(1)从口袋内的8个球中取出3个球, 取法种数是===56. (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球,于是还要从7个白球中再取出2个, 取法种数是===21. (3)由于所取出的3个球中不含黑球,要从7个白球中取出3个球,取法种数是== =35. 〈课堂达标·素养提升〉 1.若=28,则n的值为(　　) A.9　　　　　　　　　　 B.8 C.7 D.6 解析:因为=28,所以n(n-1)=28.又n∈N*,所以n=8. B 2.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动,每人一天,每天两人,则不同的选派方法共有(　　) A.60种 B.48种 C.30种 D.10种 C 解析:从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动,有种方法,再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动,有种方法.由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有·=30(种). 3.从10名大学毕业生中选3人担任村主任助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的选法种数为(　　) A.28 B.49 C.56 D.85 解析:依题意,满足条件的选法种数为+=49. B 4.甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案的种数为　　　　.  解析:从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有··=96(种). 96 微点突破2　组合数的两个性质 性质1:一般地,从n个不同元素中取出m个元素后,必然剩下(n-m)个元素,因此从n个不同元素中取出m个元素的组合,与剩下的(n-m)个元素的组合一一对应.这样,从n个不同元素中取出m 个元素的组合数,等于从这n个不同元素中取出(n-m)个元素的组合数,即:=. 性质2:从n+1个不同元素中取出m个元素,可以按照其中的一个元素分为两类: 若含有某元素a,需要再从余下的n个元素中取出m-1个元素;若不含有某元素a,需要再从余下的n个元素中取出m个元素,即:=+. [例1]　+=(　　) A.5　　　　　　　　 B.10 C.15 D.20 [解析]　由+===15. C [例2]　已知n为正整数,若=,则n=　　　　.  [解析]　由=,n∈N*,得2n+5=3n-1或2n+5+3n-1=14,解得n=6或n=2,而解得1≤n≤4,n∈N*,所以n=2. 2 1. 若=,则n的值可以是(　　) A.10 B.12 C.13 D.15 跟踪训练 A 解析:根据组合数的性质,若=,满足解得9≤n≤17,n∈N*, 且3=17-n,或者3+17-n=n,解得n=10或14,只有A符合题意. 2.若=,则++…+的值为(　　) A.83 B.119 C.164 D.219 D 解析:由于=,故m+m+2=24,∴m=11, 则++…+=+++…+-1 =++…+-1=…=-1=219. 3.(多选)下列结论正确的是(　 　) A.若=,则正整数x的值是1 B.3×4×5×6= C.+= D.+++=128 BCD 解析:选项A,因为=,所以x=2x-1或x+2x-1=17,即x=1或x=6,故A错误; 选项B,因为=6×5×4×3,故B正确; 选项C,由+=,故C正确; 选项D,+++=2+2=128,故D正确. 4.计算:+++. 解:+++=+++ =++=+==35. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.+=(　　) A.65　　　　　　　　 B.160 C.165 D.210 解析:+=6×5×4+=165. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 2.“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶,其划分如图所示.小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗.他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气,则小明选取节气的不同情况的种数是(　　) A.90 B.180 C.220 D.360 解析:小明选取节气的不同情况的种数为=220. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 3.(多选)下面几个问题中是组合问题的有(　　 ) A.由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数 B.五个队进行单循环比赛的比赛场次数 C.由1,2,3组成无重复数字的两位数 D.甲、乙、丙三地之间有直达的火车,相互之间距离均不相等,则车票票价的种数(假设票价只与距离有关) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABD 14 解析:对A:选项中集合的元素可以是无序的,故A选项为组合问题; 对B:选项中五个队单循环比赛,即每个队伍只与不同的队比赛一次,故B选项为组合问题; 对C:如12与21为不同的数字,故需要考虑顺序,故C选项为排列问题; 对D:由甲到乙或乙到甲的距离是相同的,故此时票价相同,故D选项为组合问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.在空间直角坐标系中,已知点P(a,b,c),若a,b,c∈N*,且a<b<c<7,则满足条件的点P共有(　　) A.15个 B.20个 C.25个 D.30个 解析:由a,b,c∈N*可知,满足条件的点P即从1,2,3,4,5,6这6个数中选3个数,然后按从小到大的次序分配给a,b,c,则共有=20个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 5.10个人分成甲、乙两组,甲组4人,乙组6人,则不同的分组种数为　　　　.(用数字作答)  解析:从10人中任选出4人作为甲组,则剩下的人即为乙组,这是组合问题,共有=210种分法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 210 14 6.口袋中有4个红球,5个白球,且都编有不同号码,现要从中取出1个白球和2个红球的不同取法有　　　　种.(用数字作答)  解析:求不同取法种数,需要两步,先取出一个白球,有种方法, 再取出两个红球,有种方法, 由分步计数乘法原理得不同取法有=5×6=30种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 30 14 7.现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名. (1)现要从中选出2名去参加会议,有多少种不同的选法? (2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有多少种不同的选法? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,即==45种. (2)从6名男教师中选2名的选法有种,从4名女教师中选2名的选法有种,根据分步乘法计数原理,因此共有·=×=90种不同的选法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.某班共有团员14人,其中男团员8人,女团员6人,并且男、女团员各有一名组长,现从中选6人参加学校的团员座谈会.(用数字作答) (1)若至少有1名组长当选,求不同的选法总数; (2)若至多有3名女团员当选,求不同的选法总数; (3)若既要有组长当选,又要有女团员当选,求不同的选法总数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)法一:至少有一名组长含有两种情况: 有一名组长和两名组长,故共有·+·=2 079种. 法二:至少有一名组长可以采用排除法,有-=2 079种. (2)至多有3名女团员含有四种情况:有3名女团员,有2名女团员,有1名女团员,没有女团员,故共有+++=2 534种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3)既要有组长当选,又要有女团员当选含两类情况: 第一类:女组长当选,有种; 第二类:女组长不当选,男组长当选,从剩余7名男团员,5名女团员中选5人, 其中至少选择1名女团员,有-种. 故共有+-=2 058种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.(多选)若m,n为正整数且n>m>1,则(　　) A.= B.= C.m=(n-1) D.+m= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AD 14 解析:对于A,由组合数性质:=可知,A正确; 对于B,= ,B错误; 对于C,m=m×==n×, (n-1)=(n-1)×,故m≠(n-1),C错误; 对于D,+m=+m×=(n-m+1) ×+m× ==,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(多选)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目,下列说法正确的是(　　) A.若任意选择三门课程,选法总数为 B.若物理和化学至少选一门,选法总数为 C.若物理和历史不能同时选,选法总数为- D.若政治必须选,选法总数为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AC 14 解析:对于A,任意选择三门课程,选法总数为,A正确; 对于B,物理和化学至少选一门,分两类, 第一类:物理和化学选一门,有种方法,其余两门从剩余的五门中选两门,有种方法,共有种选法; 第二类:物理和化学都选有种方法,其余一门从剩余的五门中选一门,有种方法,共有种选法, 由分类加法计数原理知,选法总数为+,B错误; 对于C,物理和历史不能同时选,选法总数为-=-,C正确; 对于D,政治必须选,另两门从余下六门中任选两门,选法总数为,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.甲、乙、丙、丁、戊、己共6名同学参加演讲比赛决赛,决出一等奖1名,二等奖2名,三等奖3名,甲和乙去询问获奖情况,回答者对甲说:“很遗憾,你和乙都没有获得一等奖.”对乙说:“你没有获得三等奖,甲没有获得二等奖.”从这两个回答分析,这6人的获奖情况可能有　　　　种.  解析:由题意得乙获得二等奖,甲获得三等奖,则需从其他4人中选1人获得一等奖,选1人获得二等奖,所以6人的获奖情况可能有=12种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 14 12.已知男、女学生共6人,若从男生中任选2人,从女生中任选1人,共有12种不同的选法,则其中女生人数为　　　　人.  解析:设男生有n(2≤n<6)人,则女生有(6-n)人,由题意得=12, 即×(6-n)=12,所以n=4,所以6-n=2,即其中女生人数为2人. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.如图,在以AB为直径的半圆周上,有异于A,B的六个点C1,C2,C3,C4,C5,C6,直径AB上有异于A,B的四个点D1,D2,D3,D4. (1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个?其中含点C1的有多少个? (2)以图中的12个点(包括A,B)中的4个点为顶点,可作出多少个四边形? 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)可分三种情况处理: ①在C1,C2,…,C6这六个点中任取三点构成一个三角形,有个; ②在C1,C2,…,C6这六个点中任取一点,D1,D2,D3,D4这四个点中任取两点构成一个三角形,有个; ③在C1,C2,…,C6这六个点中任取两点,D1,D2,D3,D4这四个点中任取一点构成一个三角形,有个.所以共有++=116(个). 其中含点C1的三角形有=36(个). 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)构成一个四边形,需要四个点,且无三点共线,因此可分三种情况处理: ①在C1,C2,…,C6这六个点中任取四点构成一个四边形,有个; ②在C1,C2,…,C6这六个点中任取三点,D1,D2,D3,D4,A,B这六个点中任取一点构成一个四边形,有个; ③在C1,C2,…,C6这六个点中任取两点,D1,D2,D3,D4,A,B这六个点中任取两点构成一个四边形,有个.所以共有++=360(个). 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 14.规定=,其中x∈R,m是正整数,且=1,这是组合数(n,m是正整数,且m≤n)的一种推广. (1)求的值; (2)组合数的两个性质:①=;②+=是否都能推广到(x∈R,m是正整数)的情形?若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若不能,则说明理由; (3)已知组合数是正整数,证明:当x∈Z,m是正整数时,∈Z. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)解:==-680. (2)解:性质①不能推广,例如当x=时,有定义,但无意义; 性质②能推广,它的推广形式是:+=,x∈R,m是正整数, 证明:当m=1时,有+=x+1=, 当m≥2时,+=+ = ==. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)证明:当x≥m时,x是正整数,组合数∈Z; 当0≤x<m时,=0∈Z; 当x<0时,由x-m+1<0可知-x+m-1>0, 所以==(-1)m=(-1)m. 因为组合数是正整数,所以(-1)m∈Z. 13 14 $$