黄金卷04（江苏苏州专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 一．选择题（共8小题，满分24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A A B A B C 二．填空题（共8小题，满分24分） 9．x≥2． 10．原式＝3a（a2﹣3a+1） 11．36°． 12．50米． 13．﹣4． 14．2． 15．6． 16．（9，3）． 三．解答题（共11小题，满分82分） 17．【解答】解：原式＝24+1﹣2 4+1﹣2 ＝﹣3． 18．【解答】解：， 解不等式①得：x＞﹣2， 解不等式②得：x≤3． ∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤3． 19．【解答】解：原式• • ； 当a＝2时，原式． 20．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AD＝BC，AD∥BC，即AD∥CF， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∴AC∥DF， ∴BD⊥DF， ∵CF＝BC，点G是DF中点， ∴CG是△DBF中位线， ∴CG∥BD， ∴CG⊥DF； （2）∵CG是△DBF中位线， ∴CG∥BD，CGBD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，DEBD， ∴∠DEC＝90°，CG＝DE， ∵CG∥BD， ∴四边形ECGD是矩形． 21．【解答】解：（1）∵任意转动转盘一次，有4种等可能的结果，选到“D”是其中的1种可能， ∴任意转动转盘一次，选到“D”的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 一共由16种等可能的情况，其中一个是清明一个是芒种有2种可能的情况， ∴P（一个是清明一个是芒种）． 22．【解答】解：（1）由题意得：样本容量为：8÷16%＝50， 故m＝50×42%＝21，， ，即n＝32． （2）把抽取的50人的数据从小到大排列，排在中间的两个数都在C组，故这次统计的中位数落在C组． 故答案为：C； （3）完成一日计算用时不超过8分钟的学生约有（人）． 23．【解答】解：（1）把点E（﹣5，1）代入反比例函数 得：k＝﹣5， ∴反比例函数的解析式为：， ∵反比例函数 的图象与矩形ABCO的边相交于D、E两点，E（﹣5，1）， ∴AB＝|﹣5|＝5， ∵AD：BD＝2：3， ∴AD， ∴AD+BD＝AB， ， ， BD＝3， AD＝AB﹣BD＝5﹣3＝2， ∴D点横坐标为﹣2， 设D点纵坐标为m， 把点D（﹣2，m）代入得： m， ∴D（﹣2，）， 把点E（﹣5，1）和点D（﹣2，）代入y＝ax+b（a≠0）得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）由（1）得D（﹣2，）， ∴BC， ∵E（﹣5，1）， ∴CE＝1， ∴BE＝BC﹣CE， ∵四边形ABCO是矩形， ∴∠DBE＝90°， ∴ ． 24．【解答】解：（1）AC＝AB+BC＝24．设DC＝x，则C′D′＝C″D″＝x． 由题意可得，BC′＝BC″＝16，AC″＝8，AD″＝AD＝8+x． 在Rt△ACD中，可得242+x2＝（8+x）2． 解得：x＝32． ∴CD的长度为32cm； （2）如图，连接AC'，过点A作AM⊥C'D'于点M． 在Rt△AC′B中，可求得AC′． 设D'M＝y． 由AD'2﹣D'M2＝AM2＝AC'2﹣C'M2，可得 ． 解得，y＝36． 在Rt△AC′M中，可求得AM． ∴sinD'． 25．【解答】（1）证明：连接OF，如图， ∵FD⊥CF， ∴∠CFD＝90°， ∴CD为圆的直径，O为圆心， ∵CF为∠ACB的角平分线， ∴∠BCF＝∠ACF， ∵OF＝OC， ∴∠ACF＝∠OFC， ∴∠OFC＝∠BCF， ∴OF∥BC， ∴∠ABC+∠OFB＝180°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠OFB＝90°， ∴OF⊥AB， ∵OF为圆的半径， ∴AB是⊙O的切线； （2）解：连接ED，交OF于点G，如图， ∵OF∥BC， ∴∠FOA＝∠BCA， ∵∠BCA＝∠T，sin∠T， ∴sin∠FOA＝sin∠BCA， ∴， 设FA＝4k，则AO＝5k， ∴FO3k， ∴OD＝OF＝3k， ∵AD＝6， ∴5k＝3k+6， ∴k＝3， ∴OF＝9，AF＝12，AO＝15，AC＝24， ∵OF∥BC， ∴△OFA∽△CBA， ∴， ∴BC，AB， ∴BF＝AB﹣AF， ∴CF． ∵CD为圆的直径， ∴∠CED＝90°， ∴∠CED＝∠ABC， ∴ED∥AB， ∴△CED∽△CBA， ∴， ∴， ∴CE． ∵ET⊥AC， ∴sin∠BCA， ∴EK， ∴CK． ∵∠BCF＝∠ACF，∠ABC＝∠CKH＝90°， ∴△CBF∽△CKH， ∴， ∴， ∴CH． 答：⊙O的半径为9，CH的长为． 26．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB． ∵∠ABD＝∠CBE， ∴∠CDB＝∠CBE． ∵∠BCD＝∠ECF， ∴∠DCF＝∠BCE． 在△CDF和△CBE中， ， ∴△CDF≌△CBE（ASA）， ∴CD＝CB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； （2）证明：在CM上取一点G，连接EG，使EG＝EB，如图， 由（1）知：△CDF≌△CBE， ∴∠EBG＝∠FDC，DF＝BE， ∴DF＝EG． ∵EG＝EB， ∴∠EGB＝∠EBG． ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠NDF＝∠FDC，AD∥BC ∴∠NDF＝∠EGB，∠DNF＝∠GME． 在△NDF和△MGE中， ， ∴△NDF≌△MGE（AAS）， ∴EM＝FN； （3）解：过点P作PH⊥GC于点H，如图， ∵GP＝GC＝1m，∠PGC＝45°， ∴PH＝GHGP， ∴CH＝GC﹣GH＝1， ∴PC． ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠DBC＝45°， ∴∠PGC＝∠DBC． ∵∠GCP＝∠BCG， ∴△GPC∽△BGC， ∴， ∴BC． ∴AD＝BC，BP＝BC﹣CP，BDBC． ∵△GPC∽△BGC，GP＝GC， ∴BG＝BC， ∴DG＝BD﹣BG． ∵AD∥BC， ∴△DQG∽△BPG． ∴， ∴， ∴DQ， ∴AQ＝AB﹣DQ， ∴新区域的面积＝AQ24﹣2． 27．【解答】解：（1）由题意得， ， ∴b＝2， ∴y＝﹣x2+2x+3 ＝﹣（（x﹣1）2+4， ∴P（1，4）． （2）①如图1， 作CE⊥PD于E， ∵C （0，3），B （3，0）， ∴直线BC：y＝﹣x+3， ∴D（1，2），可设Q（a，3﹣a）， ∴CE＝PE＝DE， ∴△PCD是等腰直角三角形， ∴S△PCDPD•CE2×1＝1， ∵S△QAB＝4S△PCD， ∴AB•|3﹣a|＝1×4， ∴4•|3﹣a|＝4， ∴a＝1或a＝5． ∴Q（1，2）或（5，﹣2）； ②如图2，由题意知，D，Q点重合， 设G（m，m）， 由AG2＝AQ2得， （m+1）2（1+1）2+22， 化简得：5m2+2m﹣7＝0， ∴m1＝1，m2， ∴G1（1，﹣2），G2（，）， ∵AM＝QM＝2，OB＝OC＝3， ∴∠QAM＝∠CBO＝45°， ∴∠AQB＝90°， ∴AQ⊥CB，即BC与直线l重合， 联立得：， 解得：， ∴F（4，﹣1）， ∴G1F， G2F， 综上，GF的长为或． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/23 19:28:46；用户：王老师-初中数学；邮箱：baimei5@qq.com；学号：60430896 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（每题3分，共24分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．（3分）下列各数中，绝对值最大的是（　　） A．﹣π B．0 C．3 D． 2．（3分）下列算式不正确的是（　　） A．a•a2＝a3 B．（﹣a2）2＝a4 C．a2•a3＝a6 D．（ab）3＝a3b3 3．（3分）将612000用科学记数法表示应为（　　） A．6.12×105 B．0.612×107 C．61.2×105 D．612×104 4．（3分）如图，一个圆锥的主视图是边长为3的等边三角形，则该圆锥的侧面展开图的面积是（　　） A． B． C．9π D． 5．（3分）小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形ABCD（虚线为重叠部分四边形EFGH的轮廓），其中∠G＝90°，AE∥CG，BE∥DG，已知AD＝10cm，AE＝DG＝12cm，且AF＝DF，则重叠部分四边形EFGH的面积为（　　） A．25cm2 B． C． D． 6．（3分）如图，在△ABC中，点D，E为边AB的三等分点，点F，G在边BC上，且AC∥DG∥EF，点H为CE与DG的交点．若AC＝10，则GH的长为（　　） A． B．2 C． D．3 7．（3分）将正比例函数y1＝ax（a≠0）与反比例函数y2（b≠0）叠加得到函数y＝ax（这样的函数由于其图象类似两个勾号，所以也称为“对勾函数”或“双勾函数”．对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，一般认为它是反比例函数的一个延伸．），如图是对勾函数y＝x的图象，下列对该函数性质的说法不正确的是（　　） A．该函数的图象是中心对称图形 B．在每个象限内，y的值随x值的增大而减小 C．当x＞0时，函数在x＝1时取得最小值2 D．函数值y不可能为1 8．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+2交y轴于点A，交x轴正半轴于点C，顶点为B．有下面结论： ①一元二次方程﹣x2+2x+2﹣3＝0有两个相等的实数根； ②若点M（﹣2，y1），N（1，y2），P（2，y3）均在该抛物线上，则y1＜y3＜y2； ③将该抛物线先向左平移1个单位长度，再沿x轴翻折，得到的新抛物线表达式是y＝x2﹣3； ④在y轴上找一点D，使△ABD的面积为1，则点D的坐标为（0，4）． 以上四个结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：（每小题3分，共24分.） 9．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是 　 　． 10．（3分）分解因式：3a3﹣9a2+3a＝　 　． 11．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，AD，则∠CAD＝　 　． 12．（3分）某人从地面沿山坡往上走了100米，已知坡角为30°，那么他升高了 　 　． 13．（3分）若a﹣b＝2，则式子a2﹣b2﹣4a的值等于 　 　． 14．（3分）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，过点B作BQ∥AC，在BQ上取一点D，连接CD、AD，若AC＝CD，BD，则AD＝　 　． 15．（3分）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为y＝x2+b，若AB长为4，则图中CD的长为 　 　． 16．（3分）在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（6，0），将线段AB绕点B顺时针旋转120°得线段BC，则点A的对应点C的坐标是 　 　． 三、解答题：（本大题共11个小题，共82分.） 17．（5分）计算：． 18．（5分）解不等式组：． 19．（6分）先化简，再求值： （）•，代入你认为合适的数并求值． 20．（6分）已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BC，连接DF，点G是DF中点，连接CG．求证： （1）CG⊥DF； （2）四边形ECGD是矩形． 21．（6分）“二十四节气”是反映气候和物候变化、掌握农事季节的工具，蕴含着中华民族悠久的文化内涵和历史积淀．慕梓睿和晏瑞所在班级近期开展以“二十四节气”为内容的传承中国传统文化系列的主题班会，他俩都对反映物候现象或农事活动的四个节气——惊蛰、清明、小满、芒种很感兴趣，想从中选出一个深入了解并在班会上分享．于是，他们制作了如图所示的可以自由转动的转盘，且转盘被分成四个面积相等的扇形区域，并分别标上字母A（代表惊蛰）、B（代表清明）、C（代表小满）、D（代表芒种），转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形区域的字母对应的节气即为转动转盘者选到的节气（若指针指在两区域的分界线上，则重转一次）． （1）慕梓睿任意转动转盘一次，选到“D”的概率是 　 　． （2）慕梓容和晏瑞每人各转动转盘一次，请用列表或画树状图的方法，求他们选到的节气一个是清明一个是芒种的概率． 22．（6分）为提升学生学习数学的兴趣，加强学生的计算能力，某校初三年级组织了“计算达人养成记”活动，每日限时完成四道计算，为了解学生完成计算的用时情况，随机抽取一些同学完成一日计算，并统计用时，把所得数据绘制成如下统计图表，根据图表提供的信息，回答下列问题： 组别 时间/分 人数 各组总用时/分 A x≤5 8 36 B 5＜x≤8 16 92 C 8＜x≤10 m 191 D x＞10 5 61 （1）求m，n的值； （2）这次统计的一日计算用时的中位数落在 　 　组； （3）若该校初三年级有学生800人，则完成一日计算用时不超过8分钟的学生约有多少人？ 23．（8分）如图，反比例函数 的图象与矩形ABCO的边相交于D、E两点，且AD：BD＝2：3，E（﹣5，1），一次函数y＝ax+b（a≠0）经过D、E两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求△BDE的面积． 24．（8分）如图，是一张可以折叠的小床展开后支撑放在地面的示意图．图1是小床支撑脚CD折叠的示意图，此时，点A，B，C在同一直线上，且∠ACD＝90°．在折叠过程中，△ACD会先变形为四边形ABC′D′（点C，D分别处在点C′，D′），继续折叠后会形成一条线段BD″（点C′，D′分别处在点C″，D″，且线段BD″与AC共线）．已知AB＝8cm，BC＝16cm． （1）求CD的长度； （2）小床折叠过程中，如图2，当AB⊥BC′时，求sinD'的值． 25．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，CF为∠ACB的角平分线，FD⊥CF交AC于点D，经过C、F、D三点的⊙O与BC交于点E，过点E作ET⊥AC交⊙O于点T，交线段AC、CF分别于点K、H，连接DT． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）当AD＝6，sin∠T时，求⊙O的半径及CH的长． 26．（10分）如图1，四边形ABCD是平行四边形，点F是对角线BD上一点，点E是▱ABCD外一点，连接EC、CF和BE，且CE＝CF，∠BCD＝∠ECF，∠ABD＝∠CBE 【初步探究】（1）求证：四边形ABCD是菱形； 【拓展延伸】（2）如图2，连接EF交BC于点M，延长EF交AD于点N，求证：EM＝FN； 【实践应用】（3）我校生态社在校内的蔬菜种植活动硕果累累，备受关注．如图3所示的一块正方形ABCD种植区被BD、GP、GC分割种植着不同植物，经测量得GP＝GC＝1m，∠PGC＝45°．现学校决定延长PG交AD于点Q，以AQ为边长，在该种植区的左边再开辟一块小正方形新区域种植更多蔬菜，求新区域的面积． 27．（12分）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC． （1）求抛物线的顶点P的坐标； （2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点； ①当△QAB的面积等于△PCD面积的4倍时，求点Q的坐标； ②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y交直线l于点F，点G在直线y上，且AG＝AQ时，请求出GF的长． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题（共8小题，满分24分） 1．下列各数中，绝对值最大的是（　　） A．﹣π B．0 C．3 D． 【解答】解：由题意知|﹣π|＝π，|0|＝0，|3|＝3，， ∵， ∴绝对值最大的是﹣π， 故选：A． 2．下列算式不正确的是（　　） A．a•a2＝a3 B．（﹣a2）2＝a4 C．a2•a3＝a6 D．（ab）3＝a3b3 【解答】解：A．a•a2＝a3，故该选项正确，不符合题意； B．（﹣a2）2＝a4，故该选项正确，不符合题意； C．a2•a3＝a5，故该选项不正确，符合题意； D． （ab）3＝a3b3，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 3．将612000用科学记数法表示应为（　　） A．6.12×105 B．0.612×107 C．61.2×105 D．612×104 【解答】解：6120000＝6.12×105． 故选：A． 4．如图，一个圆锥的主视图是边长为3的等边三角形，则该圆锥的侧面展开图的面积是（　　） A． B． C．9π D． 【解答】解：∵圆锥的主视图是边长为3的等边三角形， ∴圆锥的底面直径为3，母线长为3， ∴圆锥的底面周长为3π， ∴圆锥的侧面展开图的面积为：3π×3π， 故选：A． 5．小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形ABCD（虚线为重叠部分四边形EFGH的轮廓），其中∠G＝90°，AE∥CG，BE∥DG，已知AD＝10cm，AE＝DG＝12cm，且AF＝DF，则重叠部分四边形EFGH的面积为（　　） A．25cm2 B． C． D． 【解答】解：∵AE∥CG，BE∥DG， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵∠G＝90°， ∴四边形EFGH是矩形， ∴∠E＝∠GFE＝90°＝∠AFD， ∵AD＝10cm，AF＝DF， ∴AF＝DF＝5cm，∠FAD＝∠FDA＝45°， ∴∠EAB＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE＝BE，∠ABE＝45°， ∴∠EBC＝45°＝∠DAF， 又∵∠AFD＝∠BHC＝90°，AD＝BC， ∴△ADF≌△BCH（AAS）， ∴AF＝BH， ∴EF＝EH， ∴四边形EFGH是正方形， ∵EF＝AE﹣AF＝（12﹣5）cm， ∴四边形EFGH的面积＝（12﹣5）2＝（194﹣120）cm2， 故选：B． 6．如图，在△ABC中，点D，E为边AB的三等分点，点F，G在边BC上，且AC∥DG∥EF，点H为CE与DG的交点．若AC＝10，则GH的长为（　　） A． B．2 C． D．3 【解答】解：∵点D，E为边AB的三等分点， ∴， ∵AC∥EF， ∴△BEF∽△BAC， ∴， ∵AC＝10， ∴EF． ∵点D，E为边AB的三等分点，AC∥DG∥EF， ∴点F，G为边BC的三等分点， ∴CG＝FG， ∵DG∥EF， ∴△CGH∽△CFE， ∴， ∴GHFE． 故选：A． 7．将正比例函数y1＝ax（a≠0）与反比例函数y2（b≠0）叠加得到函数y＝ax（这样的函数由于其图象类似两个勾号，所以也称为“对勾函数”或“双勾函数”．对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，一般认为它是反比例函数的一个延伸．），如图是对勾函数y＝x的图象，下列对该函数性质的说法不正确的是（　　） A．该函数的图象是中心对称图形 B．在每个象限内，y的值随x值的增大而减小 C．当x＞0时，函数在x＝1时取得最小值2 D．函数值y不可能为1 【解答】解：A．由于正比例函数y1＝ax（a≠0）与反比例函数y2（b≠0）的图象都是关于原点对称，因此叠加得到函数y＝ax的图象也关于原点对称，所以选项A不符合题意； B．在第一象限内，当0＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，因此选项B符合题意； C．由图象可知当x＞0时，函数在x＝1时取得最小值2，因此选项C不符合题意； D．由图象可知y≥2或y≤﹣2，因此函数值y不可能为1，所以选项D不符合题意． 故选：B． 8．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+2交y轴于点A，交x轴正半轴于点C，顶点为B．有下面结论： ①一元二次方程﹣x2+2x+2﹣3＝0有两个相等的实数根； ②若点M（﹣2，y1），N（1，y2），P（2，y3）均在该抛物线上，则y1＜y3＜y2； ③将该抛物线先向左平移1个单位长度，再沿x轴翻折，得到的新抛物线表达式是y＝x2﹣3； ④在y轴上找一点D，使△ABD的面积为1，则点D的坐标为（0，4）． 以上四个结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①方程整理得：x2﹣2x+1＝0，解得：x1＝x2＝1， ∴一元二次方程﹣x2+2x+2﹣3＝0有两个相等的实数根，故①正确； ②由图可得，对称轴x＝1， 则1﹣（﹣2）＝3，1﹣1＝0，2﹣1＝1， ∵图象开口向下，且3＞1＞0， ∴y1＜y3＜y2，故②正确； ③由题意可得，y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3， 则平移后的解析式为：y＝﹣x2+3， ∵平移后的图象再沿x轴翻折， ∴翻折之后的解析式为：y＝x2﹣3，故③正确； ④∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3， ∴点B的坐标为（1，3）， 当x＝0时，y＝2， ∴点A坐标为（0，2）， 设点D的坐标为（0，m），则AD＝|m﹣2|， ∵△ABD的面积为1， AD•xB＝1，即|m﹣2|＝2， 解得：m＝0或4， ∴D（0，4）或（0，0），故④错误． 故选：C． 二．填空题（共8小题，满分24分） 9．在函数中，自变量x的取值范围是 　x≥2　． 【解答】解：由题意得：x﹣2≥0， 解得：x≥2， 故答案为：x≥2． 10．分解因式：3a3﹣9a2+3a＝　3a（a2﹣3a+1）　． 【解答】解：原式＝3a（a2﹣3a+1） 11．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，AD，则∠CAD＝　36°　． 【解答】解：∵多边形ABCDE是正五边形， ∴AB＝BC＝AE＝DE，∠B＝∠E， ∴△ABC≌△AED（SAS）， ∴∠CAB＝∠DAE（180°﹣108°）＝36°， ∴∠CAD＝108°﹣36°﹣36°＝36°． 故答案为：36°． 12．某人从地面沿山坡往上走了100米，已知坡角为30°，那么他升高了 　50米　． 【解答】解：由题意得：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝100米， 则ACAB＝50米， 故他升高了50米， 故答案为：50米． 13．若a﹣b＝2，则式子a2﹣b2﹣4a的值等于 　﹣4　． 【解答】解：∵a﹣b＝2， ∴a2﹣b2﹣4a ＝（a+b）（a﹣b）﹣4a ＝2（a+b）﹣4a ＝2a+2b﹣4a ＝﹣2a+2b ＝﹣2（a﹣b） ＝﹣2×2 ＝﹣4， 故答案为：﹣4． 14．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，过点B作BQ∥AC，在BQ上取一点D，连接CD、AD，若AC＝CD，BD，则AD＝　2　． 【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝45°， ∵BQ∥AC， ∴∠ABQ＝∠BAC＝45°， 过D作DE⊥AB于E，DF⊥CB交CB的延长线于F， 则四边形DEBF是正方形， ∴BF＝DF＝BE＝DE， ∵BD， ∴BF＝DF＝BE＝DE＝1， 设AB＝BC＝x， ∴AC＝CDx， ∴CF＝1+x， 在Rt△CDF中，CD2＝DF2+CF2， 即（x）2＝12+（1+x）2， ∴x＝1，（负值舍去）， ∴AB＝1， ∴AE， ∴AD2， 故答案为：2． 15．如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为y＝x2+b，若AB长为4，则图中CD的长为 　6　． 【解答】解：∵AB长为4，AB是半圆的直径， ∴A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（2，0）， 将B点坐标（2，0）代入抛物线的解析式为y＝x2+b， 得，22+b＝0， 解得b＝﹣4， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4， 当x＝0时，y＝﹣4， ∴D点坐标为（0，﹣4）， ∴OD＝4， ∵OC2， ∴CD＝OC+OD＝4+2＝6， 故答案为：6． 16．在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（6，0），将线段AB绕点B顺时针旋转120°得线段BC，则点A的对应点C的坐标是 　（9，3）　． 【解答】解：如图所示，连接AC，过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CF⊥y轴于点F，过点B作BE⊥CF，交CF于点E， 根据题意有AO＝2、OB＝6、AB＝BC、∠ABC＝120°， ∴AB2BC， ∴△ABC为等腰三角形， ∵BD⊥AC， ∴BD为∠ABC角平分线，也为AC边中线， ∴∠ABD＝∠CBD＝60°， ∴AD＝AB•sin60°， ∴AC＝2AD＝2， 令点C坐标为（x，y）， ∴CE＝x﹣6，BE＝y，CF＝x，AF＝y﹣2， 在Rt△BEC中，根据勾股定理有BC2＝BE2+EC2， ∴40＝y2+（x﹣6）2， 在Rt△AFC中，根据勾股定理有AC2＝AF2+CF2， ∴120＝（y﹣2）2+x2， 即， ①﹣②得y＝3x﹣28， 将y＝3x﹣28代入②中， 解得或（舍去）， ∴点C的横坐标为（9，3）， 故答案为：（9，3）． 三．解答题（共11小题，满分82分） 17．计算：． 【解答】解：原式＝24+1﹣2 4+1﹣2 ＝﹣3． 18．解不等式组：． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞﹣2， 解不等式②得：x≤3． ∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤3． 19．先化简，再求值： （）•，代入你认为合适的数并求值． 【解答】解：原式• • ； 当a＝2时，原式． 20．已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BC，连接DF，点G是DF中点，连接CG．求证： （1）CG⊥DF； （2）四边形ECGD是矩形． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AD＝BC，AD∥BC，即AD∥CF， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∴AC∥DF， ∴BD⊥DF， ∵CF＝BC，点G是DF中点， ∴CG是△DBF中位线， ∴CG∥BD， ∴CG⊥DF； （2）∵CG是△DBF中位线， ∴CG∥BD，CGBD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，DEBD， ∴∠DEC＝90°，CG＝DE， ∵CG∥BD， ∴四边形ECGD是矩形． 21．“二十四节气”是反映气候和物候变化、掌握农事季节的工具，蕴含着中华民族悠久的文化内涵和历史积淀．慕梓睿和晏瑞所在班级近期开展以“二十四节气”为内容的传承中国传统文化系列的主题班会，他俩都对反映物候现象或农事活动的四个节气——惊蛰、清明、小满、芒种很感兴趣，想从中选出一个深入了解并在班会上分享．于是，他们制作了如图所示的可以自由转动的转盘，且转盘被分成四个面积相等的扇形区域，并分别标上字母A（代表惊蛰）、B（代表清明）、C（代表小满）、D（代表芒种），转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形区域的字母对应的节气即为转动转盘者选到的节气（若指针指在两区域的分界线上，则重转一次）． （1）慕梓睿任意转动转盘一次，选到“D”的概率是 　　． （2）慕梓容和晏瑞每人各转动转盘一次，请用列表或画树状图的方法，求他们选到的节气一个是清明一个是芒种的概率． 【解答】解：（1）∵任意转动转盘一次，有4种等可能的结果，选到“D”是其中的1种可能， ∴任意转动转盘一次，选到“D”的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 一共由16种等可能的情况，其中一个是清明一个是芒种有2种可能的情况， ∴P（一个是清明一个是芒种）． 22．为提升学生学习数学的兴趣，加强学生的计算能力，某校初三年级组织了“计算达人养成记”活动，每日限时完成四道计算，为了解学生完成计算的用时情况，随机抽取一些同学完成一日计算，并统计用时，把所得数据绘制成如下统计图表，根据图表提供的信息，回答下列问题： 组别 时间/分 人数 各组总用时/分 A x≤5 8 36 B 5＜x≤8 16 92 C 8＜x≤10 m 191 D x＞10 5 61 （1）求m，n的值； （2）这次统计的一日计算用时的中位数落在 　C　组； （3）若该校初三年级有学生800人，则完成一日计算用时不超过8分钟的学生约有多少人？ 【解答】解：（1）由题意得：样本容量为：8÷16%＝50， 故m＝50×42%＝21，， ，即n＝32． （2）把抽取的50人的数据从小到大排列，排在中间的两个数都在C组，故这次统计的中位数落在C组． 故答案为：C； （3）完成一日计算用时不超过8分钟的学生约有（人）． 23．如图，反比例函数 的图象与矩形ABCO的边相交于D、E两点，且AD：BD＝2：3，E（﹣5，1），一次函数y＝ax+b（a≠0）经过D、E两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求△BDE的面积． 【解答】解：（1）把点E（﹣5，1）代入反比例函数 得：k＝﹣5， ∴反比例函数的解析式为：， ∵反比例函数 的图象与矩形ABCO的边相交于D、E两点，E（﹣5，1）， ∴AB＝|﹣5|＝5， ∵AD：BD＝2：3， ∴AD， ∴AD+BD＝AB， ， ， BD＝3， AD＝AB﹣BD＝5﹣3＝2， ∴D点横坐标为﹣2， 设D点纵坐标为m， 把点D（﹣2，m）代入得： m， ∴D（﹣2，）， 把点E（﹣5，1）和点D（﹣2，）代入y＝ax+b（a≠0）得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）由（1）得D（﹣2，）， ∴BC， ∵E（﹣5，1）， ∴CE＝1， ∴BE＝BC﹣CE， ∵四边形ABCO是矩形， ∴∠DBE＝90°， ∴ ． 24．如图，是一张可以折叠的小床展开后支撑放在地面的示意图．图1是小床支撑脚CD折叠的示意图，此时，点A，B，C在同一直线上，且∠ACD＝90°．在折叠过程中，△ACD会先变形为四边形ABC′D′（点C，D分别处在点C′，D′），继续折叠后会形成一条线段BD″（点C′，D′分别处在点C″，D″，且线段BD″与AC共线）．已知AB＝8cm，BC＝16cm． （1）求CD的长度； （2）小床折叠过程中，如图2，当AB⊥BC′时，求sinD'的值． 【解答】解：（1）AC＝AB+BC＝24．设DC＝x，则C′D′＝C″D″＝x． 由题意可得，BC′＝BC″＝16，AC″＝8，AD″＝AD＝8+x． 在Rt△ACD中，可得242+x2＝（8+x）2． 解得：x＝32． ∴CD的长度为32cm； （2）如图，连接AC'，过点A作AM⊥C'D'于点M． 在Rt△AC′B中，可求得AC′． 设D'M＝y． 由AD'2﹣D'M2＝AM2＝AC'2﹣C'M2，可得 ． 解得，y＝36． 在Rt△AC′M中，可求得AM． ∴sinD'． 25．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，CF为∠ACB的角平分线，FD⊥CF交AC于点D，经过C、F、D三点的⊙O与BC交于点E，过点E作ET⊥AC交⊙O于点T，交线段AC、CF分别于点K、H，连接DT． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）当AD＝6，sin∠T时，求⊙O的半径及CH的长． 【解答】（1）证明：连接OF，如图， ∵FD⊥CF， ∴∠CFD＝90°， ∴CD为圆的直径，O为圆心， ∵CF为∠ACB的角平分线， ∴∠BCF＝∠ACF， ∵OF＝OC， ∴∠ACF＝∠OFC， ∴∠OFC＝∠BCF， ∴OF∥BC， ∴∠ABC+∠OFB＝180°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠OFB＝90°， ∴OF⊥AB， ∵OF为圆的半径， ∴AB是⊙O的切线； （2）解：连接ED，交OF于点G，如图， ∵OF∥BC， ∴∠FOA＝∠BCA， ∵∠BCA＝∠T，sin∠T， ∴sin∠FOA＝sin∠BCA， ∴， 设FA＝4k，则AO＝5k， ∴FO3k， ∴OD＝OF＝3k， ∵AD＝6， ∴5k＝3k+6， ∴k＝3， ∴OF＝9，AF＝12，AO＝15，AC＝24， ∵OF∥BC， ∴△OFA∽△CBA， ∴， ∴BC，AB， ∴BF＝AB﹣AF， ∴CF． ∵CD为圆的直径， ∴∠CED＝90°， ∴∠CED＝∠ABC， ∴ED∥AB， ∴△CED∽△CBA， ∴， ∴， ∴CE． ∵ET⊥AC， ∴sin∠BCA， ∴EK， ∴CK． ∵∠BCF＝∠ACF，∠ABC＝∠CKH＝90°， ∴△CBF∽△CKH， ∴， ∴， ∴CH． 答：⊙O的半径为9，CH的长为． 26．如图1，四边形ABCD是平行四边形，点F是对角线BD上一点，点E是▱ABCD外一点，连接EC、CF和BE，且CE＝CF，∠BCD＝∠ECF，∠ABD＝∠CBE 【初步探究】（1）求证：四边形ABCD是菱形； 【拓展延伸】（2）如图2，连接EF交BC于点M，延长EF交AD于点N，求证：EM＝FN； 【实践应用】（3）我校生态社在校内的蔬菜种植活动硕果累累，备受关注．如图3所示的一块正方形ABCD种植区被BD、GP、GC分割种植着不同植物，经测量得GP＝GC＝1m，∠PGC＝45°．现学校决定延长PG交AD于点Q，以AQ为边长，在该种植区的左边再开辟一块小正方形新区域种植更多蔬菜，求新区域的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB． ∵∠ABD＝∠CBE， ∴∠CDB＝∠CBE． ∵∠BCD＝∠ECF， ∴∠DCF＝∠BCE． 在△CDF和△CBE中， ， ∴△CDF≌△CBE（ASA）， ∴CD＝CB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； （2）证明：在CM上取一点G，连接EG，使EG＝EB，如图， 由（1）知：△CDF≌△CBE， ∴∠EBG＝∠FDC，DF＝BE， ∴DF＝EG． ∵EG＝EB， ∴∠EGB＝∠EBG． ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠NDF＝∠FDC，AD∥BC ∴∠NDF＝∠EGB，∠DNF＝∠GME． 在△NDF和△MGE中， ， ∴△NDF≌△MGE（AAS）， ∴EM＝FN； （3）解：过点P作PH⊥GC于点H，如图， ∵GP＝GC＝1m，∠PGC＝45°， ∴PH＝GHGP， ∴CH＝GC﹣GH＝1， ∴PC． ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠DBC＝45°， ∴∠PGC＝∠DBC． ∵∠GCP＝∠BCG， ∴△GPC∽△BGC， ∴， ∴BC． ∴AD＝BC，BP＝BC﹣CP，BDBC． ∵△GPC∽△BGC，GP＝GC， ∴BG＝BC， ∴DG＝BD﹣BG． ∵AD∥BC， ∴△DQG∽△BPG． ∴， ∴， ∴DQ， ∴AQ＝AB﹣DQ， ∴新区域的面积＝AQ24﹣2． 27．如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC． （1）求抛物线的顶点P的坐标； （2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点； ①当△QAB的面积等于△PCD面积的4倍时，求点Q的坐标； ②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y交直线l于点F，点G在直线y上，且AG＝AQ时，请求出GF的长． 【解答】解：（1）由题意得， ， ∴b＝2， ∴y＝﹣x2+2x+3 ＝﹣（（x﹣1）2+4， ∴P（1，4）． （2）①如图1， 作CE⊥PD于E， ∵C （0，3），B （3，0）， ∴直线BC：y＝﹣x+3， ∴D（1，2），可设Q（a，3﹣a）， ∴CE＝PE＝DE， ∴△PCD是等腰直角三角形， ∴S△PCDPD•CE2×1＝1， ∵S△QAB＝4S△PCD， ∴AB•|3﹣a|＝1×4， ∴4•|3﹣a|＝4， ∴a＝1或a＝5． ∴Q（1，2）或（5，﹣2）； ②如图2，由题意知，D，Q点重合， 设G（m，m）， 由AG2＝AQ2得， （m+1）2（1+1）2+22， 化简得：5m2+2m﹣7＝0， ∴m1＝1，m2， ∴G1（1，﹣2），G2（，）， ∵AM＝QM＝2，OB＝OC＝3， ∴∠QAM＝∠CBO＝45°， ∴∠AQB＝90°， ∴AQ⊥CB，即BC与直线l重合， 联立得：， 解得：， ∴F（4，﹣1）， ∴G1F， G2F， 综上，GF的长为或． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/23 19:28:46；用户：王老师-初中数学；邮箱：baimei5@qq.com；学号：60430896 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$