精品解析：上海市杨浦区复旦大学附属中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（A卷）

2024~2025学年上海市复旦大学附属中学高一下学期3月月考卷（A卷） 数学试卷 （考试时间120分钟 满分100分） 考生注意： 1. 带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具； 2. 本试卷共4页，21道试题，满分100分，考试时间120分钟； 3. 请将答案正确填写在答题纸上，作答在原卷上不予评分. 一.填空题（每小题3分，共36分） 1. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式，即可求解. 【详解】 则. 故答案为： 2. 记，那么______.（用表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式，以及同角三角函数基本关系式，即可求解. 【详解】. 故答案为： 3. 函数的定义域与值域的交集为________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得的定义域和值域，进而求得所求的交集. 【详解】由，解得， 所以定义域为. 由于，所以， 所以的值域为， 所以定义域与值域的交集为. 故答案为： 4. 函数单调减区间为_________ 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的单调递减区间，再将区间与定义域取交集可得出答案． 【详解】正弦函数的单调递减区间为， 由，得， 记，则， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题考查复合型正弦函数的单调区间的求解，并且限制了定义域，这种问题首先应求出这个函数在上的单调区间，再将所得区间与定义域取交集即可求解，考查计算能力以及三角函数基本性质的应用，属于中等题． 5. 在中，已知，，，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据余弦定理求得边长，再利用面积公式即可得解. 【详解】根据题意可得， 利用余弦定理可得， 可得， 解得或（舍）， 的面积. 故答案为：. 6. 如果锐角满足，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用换底公式 ，转化为，以及 ，得到，那么，其中用到了 . 【详解】解：锐角满足， 锐角满足， ，即， ， ，， 是锐角，，， ， 综上所述，结论是：． 故答案为： 7. 若对满足的任何都有，则数组______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用和差化积公式分析求解. 【详解】因为，可知，即， 则， 可知，即. 故答案为：. 8. 在中，角、、所对的边分别为、、，若为锐角三角形，且满足，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角变换与两角和差的正弦公式，结合锐角三角形得到及的取值范围，再化简所求，利用正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 即，则， 即， 因为是锐角三角形，所以，所以， 所以，且，所以，则， 所以， 由于，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用正弦定理的边角公式与三角恒等变换得到，进而得到，从而得解. 9. 已知定义域为的函数是奇函数，且在上严格单调递增，若对△ABC的内角满足不等关系：有解但不恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性化简不等式，结合三角函数的值域来求得正确答案. 【详解】依题意，是奇函数，且在上严格单调递增， 所以在上单调递增， 由， 得， 所以，， ， 设，由于， 所以，所以， 即，则所以的取值范围是. 由不等关系：有解但不恒成立， 所以的取值范围是. 故答案为： 10. 在锐角中，若，且，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出锐角，利用正余弦定理求出，再利用正弦定理结合三角恒等变换及正弦函数性质求解即得. 【详解】由，得，而是锐角，则， 由余弦定理得， 由正弦定理及，得， 即，因此，在锐角中，， 令，，由正弦定理得， 因此， 由，得，则， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】思路点睛：涉及求三角形周长范围问题，时常利用三角形正弦定理，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解. 11. 对于，若存在，满足，则称为“类三角形”，则“类三角形”一定满足有一个内角为定值，为________. 【答案】## 【解析】 【分析】由于因为，得， 分为锐角三角形，是钝角三角形，不妨设钝角为，两种情况，根据诱导公式解决即可. 【详解】因为，所以， 所以为锐角三角形， 若也是锐角三角形，由，得， 三式相加，得（与三角形内角和定理矛盾），所以假设不成立， 所以是钝角三角形，不妨设钝角为， 则，得， 三式相加得 又因为， 所以． 故答案为： 12. 已知定义在上的偶函数，当时满足，关于的方程有且仅有6个不同实根，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，作出的图象，设，得到方程，设结合图象，要使得方程有6个不同的根，则满足或，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】根据题意，当时， ， 因为，可得，所以在单调递增，， 又由时，为单调递减函数，且， 因为函数是上的偶函数，画出函数的图象，如图所示， 设，则方程可化为， 由图象可得： 当时，方程有2个实数根； 当时，方程有4个实数根； 当时，方程有2个实数根； 当时，方程有1个实数根； 要使得有6个不同的根， 设是方程的两根，设， ①，当时，可得，可得， 此时方程为，解得，不满足，所以无解. ②，即，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法，合理转化求解. 二.选择题（每小题4分，共16分） 13. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦函数性质得出的关系，然后根据充分必要条件的定义判断． 【详解】由， 可得或， 即或， 所以由“”推不出“”，由“”可推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 14. 一台“傻瓜”计算器只会做以下运算：1减去输入的数并将得到的差取倒数，然后将输出的结果再次输入这台“傻瓜”计算器，如此不断地的进行下去．若第一次输入的是，则第2024次输出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可代入求解前几次的输出结果，即可根据周期性求解. 【详解】由已知可得第一次输出的是， 第二次输出的是， 第三次输出的是． 于是，可知周期为3，,所以第2024次输出的是， 故选：． 15. 已知设，求：的值（用a表示）.针对这一问题，有两位同学给出了不同的解答.小张同学的答案：；小姚同学的答案：；对此你的判断是（ ） A. 小张对，小姚错 B. 小张错，小姚对 C. 两人都错 D. 两人都对 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角差的正切公式及二倍角公式求解判断即可. 【详解】由， 则小张同学正确； 由，即， 则， 则小姚同学正确. 故选：D. 16. 对于任意，不等式有以下两个结论：①当时，对于任意实数，不等式成立；②对于任意实数，总存在，使不等式成立那么（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①正确②正确 D. ①错误②错误 【答案】A 【解析】 【分析】利用的关系，换元化简不等式左侧为，根据二次函数的性质得出不等式左侧的值域，再利用简易逻辑用语及不等式的恒能成立一一判定结论即可. 【详解】记 ， 令，则， 因为，所以，， 所以， 令，上式化为，， 易知对称轴，由二次函数的性质易知时单调递增， 即，， 所以. 显然恒成立，即当时，恒成立， 故①正确； 显然当时，， 不存在使得成立，故②错误. 故选：A. 【点睛】思路点睛：先利用同角三角函数的和积关系化简不等式左侧，再利用换元法转化为求二次函数定区间的值域，结论①②分别对应恒能成立问题，结合集合包含关系判定即可. 三.解答题（共5题，48分） 17. 已知三个内角所对的边分别为 （1）若，求的面积； （2）设线段的中点为，若，求外接圆半径的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题知，进而根据余弦定理，结合已知得，，再根据三角形面积公式计算即可； （2）在中由余弦定理得，进而在中，，再根据正弦定理求解即可. 【小问1详解】 解：因为，所以， 因为， 所以， 因为，所以， 所以的面积为. 【小问2详解】 解：因为线段的中点为，，， 所以在中，由，解得（舍）， 所以在中，，即， 因为，所以， 所以由正弦定理得外接圆半径满足， 所以外接圆半径 18. 在某次数学课上，小朱老师带大家做函数性质卡片，并提供了一样范例. 函数解析式：； 定义域：； 值域：__________ 是否具有线性：曲线 奇偶性：____________ 最小正周期：__________ 单调区间：______________ （1）请完成对小朱老师制作的卡片填写； （2）根据该卡片格式，在上面方框内绘制函数性质卡片. 【答案】（1）[1，]；偶函数； ；单调增区间：[2k，2k]，单调减区间：[2k，2k]， （2）答案见解析 【解析】 【分析】对于函数，利用可判断奇偶性，利用，分类讨论可求得的值域，单调性，最小正周期；类似可得的性质. 【小问1详解】 因为，所以函数是偶函数， 因为，所以是的周期， 当时，， 由，得，所以，所以； 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以是最小正周期；所以的单调增区间为：，；单调减区间为：，； 故答案为：；偶函数；；单调增区间：，；单调减区间：，； 【小问2详解】 因为，所以函数是偶函数， 因为，所以是的周期函数， 当时，， 由，得，所以，所以； 所以在上单调递增， 当时，， 由，得，所以，所以； 所以在上单调递减， 所以是最小正周期；所以的单调增区间为：，；单调减区间为：，； 综上所述：函数的性质卡片如下： 函数解析式：； 定义域：； 值域：； 是否具有线性：曲线； 奇偶性：偶函数； 最小正周期：； 单调区间：单调增区间：，；单调减区间：，. 19. 已知函数的最小正周期为． （1）求的解析式； （2）设函数,若对任意的,总存在,使得成立,求的取值范围； （3）若函数在上有3个零点,求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简得，再由最小正周期为，求得，即可得到的解析式； （2）利用指数函数和正弦函数的性质可得，的值域，再根据值域的包含关系列不等式组求解即可； （3）由题意，令，则函数有两个零点，且的图象与直线，共有3个公共点，结合的图象求的取值范围即可. 【小问1详解】 因为 ， 函数的最小正周期为，又，则，所以， 所以. 【小问2详解】 因为是增函数，当时， 当时，，则， 所以， 由题意可知， 则解得，即的取值范围为． 【小问3详解】 （3）令，由（2）知当时，，即， 则函数有两个零点， 且的图象与直线，共有3个公共点， 由的图象可知，当，时，，得， 由，得，，符合题意． 当，时，，解得， 综上，取值范围为． 20. 人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为 （1）若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）已知，，，若，，求的值 （3）已知，、，，若，，求、之间的曼哈顿距离. 【答案】（1），余弦距离等于 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据公式直接计算即可. （2）根据公式得到，，计算得到答案. （3）利用两角和与差的正弦、余弦公式可求出点、的坐标，结合题中定义可求得、之间的曼哈顿距离. 【小问1详解】 ， ，故余弦距离等于； 【小问2详解】 ； 故，，则. 【小问3详解】 因为，， 所以. 因为，所以. 因， 所以. 因为，则， 所以. 因为， ，所以. 因为， ， 所以. 因为， 所以、之间曼哈顿距离是. 21. 新定义：若函数（为非零整数），则称为的“b级飘带函数”. （1）试判断：是否为某个函数的“级飘带函数”，并说明理由； （2）已知为的“b级飘带函数”.小张同学研究的性质中得出以下两个命题： 命题①：的奇偶性与相同； 命题②：的周期性与相同. 请你判断命题是否正确，若正确，请证明；若错误，请修改成真命题. （3）已知为的“b级飘带函数”，若，求：的最小值 【答案】（1）是，理由见解析 （2）命题①正确，证明见解析；命题②错误，答案见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据正切函数、余切函数的关系，结合“级飘带函数”的定义进行判断. （2）根据函数奇偶性的判断方法证明命题①；结合函数的周期性改写命题②并证明. （3）结合“耐克函数”的图象分情况求函数的最小值. 【小问1详解】 是，当时，是的“1级飘带函数”. 【小问2详解】 命题①正确，命题②错误.命题①的证明如下： 若是偶函数，即，则 即也是偶函数； 若是奇函数，即，则 .即：也是奇函数 综上，与奇偶性相同 对命题②： 当，时，首先函数是以为周期的周期函数. 再者：. 是周期为周期函数. 所以的周期性与相同，这一说法错误. 命题②可订正为：存在，，使得的周期与的周期不同. 小问3详解】 可求得值域为. 当时，令，由定义法可证明为严格增函数，则当时，取得最小值. 当时，结合耐克函数的性质可得，在上单调递减，在上单调递增. 所以：当，即，又因为为非零整数，所以该情况不成立； 当，即（即或时），由基本不等式易得取得最小值（2或）. 当，即时，由耐克函数图象性质易得当时，取得最小值. 综上可知：当且时，的最小值为； 当时，的最小值为2； 当且时，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年上海市复旦大学附属中学高一下学期3月月考卷（A卷） 数学试卷 （考试时间120分钟 满分100分） 考生注意： 1. 带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具； 2. 本试卷共4页，21道试题，满分100分，考试时间120分钟； 3. 请将答案正确填写在答题纸上，作答在原卷上不予评分. 一.填空题（每小题3分，共36分） 1. 若，则______. 2. 记，那么______.（用表示） 3. 函数的定义域与值域的交集为________. 4. 函数单调减区间为_________ 5. 在中，已知，，，则的面积为__________. 6. 如果锐角满足，则的值是___________． 7. 若对满足的任何都有，则数组______． 8. 在中，角、、所对的边分别为、、，若为锐角三角形，且满足，则的取值范围是________. 9. 已知定义域为的函数是奇函数，且在上严格单调递增，若对△ABC的内角满足不等关系：有解但不恒成立，则实数的取值范围是________. 10. 在锐角中，若，且，则的取值范围是__________. 11. 对于，若存在，满足，则称为“类三角形”，则“类三角形”一定满足有一个内角为定值，为________. 12. 已知定义在上的偶函数，当时满足，关于的方程有且仅有6个不同实根，则实数的取值范围是______. 二.选择题（每小题4分，共16分） 13. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 一台“傻瓜”计算器只会做以下运算：1减去输入数并将得到的差取倒数，然后将输出的结果再次输入这台“傻瓜”计算器，如此不断地的进行下去．若第一次输入的是，则第2024次输出的是（ ） A B. C. D. 15. 已知设，求：的值（用a表示）.针对这一问题，有两位同学给出了不同的解答.小张同学的答案：；小姚同学的答案：；对此你的判断是（ ） A. 小张对，小姚错 B. 小张错，小姚对 C. 两人都错 D. 两人都对 16. 对于任意，不等式有以下两个结论：①当时，对于任意实数，不等式成立；②对于任意实数，总存在，使不等式成立那么（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①正确②正确 D. ①错误②错误 三.解答题（共5题，48分） 17. 已知三个内角所对的边分别为 （1）若，求的面积； （2）设线段的中点为，若，求外接圆半径的值. 18. 在某次数学课上，小朱老师带大家做函数性质卡片，并提供了一样范例. 函数解析式：； 定义域：； 值域：__________ 是否具有线性：曲线 奇偶性：____________ 最小正周期：__________ 单调区间：______________ （1）请完成对小朱老师制作的卡片填写； （2）根据该卡片格式，在上面方框内绘制函数性质卡片. 19. 已知函数最小正周期为． （1）求解析式； （2）设函数,若对任意的,总存在,使得成立,求的取值范围； （3）若函数在上有3个零点,求的取值范围． 20. 人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为 （1）若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）已知，，，若，，求的值 （3）已知，、，，若，，求、之间的曼哈顿距离. 21. 新定义：若函数（为非零整数），则称为的“b级飘带函数”. （1）试判断：是否为某个函数的“级飘带函数”，并说明理由； （2）已知为的“b级飘带函数”.小张同学研究的性质中得出以下两个命题： 命题①：的奇偶性与相同； 命题②：的周期性与相同. 请你判断命题是否正确，若正确，请证明；若错误，请修改成真命题. （3）已知为“b级飘带函数”，若，求：的最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$