精品解析：北京市育才学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷

北京育才学校2024—2025学年度第二学期 高一数学3月月考试卷 （100分钟） 一、选择题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分.） 1. 化简的值是（ ） A. B. C. D. 2. 若,则角的终边位于 A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 3. 下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是 A. B. C. D. 4. 函数是 A. 周期为的奇函数 B. 周期为的奇函数 C. 周期为的偶函数 D. 周期为的偶函数 5. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象 A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 7. 若函数在上单调递增，则最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知是实数，则函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分.） 9. 已知一扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的周长为_________． 10. 函数定义域是______. 11. 已知角的终边经过点，则的值等于_____． 12. 若函数y＝cos (3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ＝________． 13. 设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为______. 14. 设函数，，有以下四个结论. ①函数周期函数： ②函数的图像是轴对称图形： ③函数的图像关于坐标原点对称： ④函数存在最大值 其中，所有正确结论的序号是___________. 三、解答题（本大题共4小题，共44分.写出必要的步骤和文字说明.） 15. 已知，.求，及值． 16. 已知函数（，，）的部分图象如图所示. （1）求出，，的值； （2）求函数的单调递增区间和对称轴； （3）求在上最小值，并求出取最小值时x的取值. 17. 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的解析式； （3）若图象的对称轴只有一条落在区间上，求的取值范围． 条件①：的最小值为； 条件②：图象的一个对称中心为； 条件③：的图象经过点． 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 设函数的定义域为.若存在常数，（，），使得对于任意，成立，则称函数具有性质. （1）判断函数和是否具有性质P?（结论不要求证明） （2）若函数具有性质P，且其对应的，.已知当时，，求函数在区间上的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京育才学校2024—2025学年度第二学期 高一数学3月月考试卷 （100分钟） 一、选择题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分.） 1. 化简的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式和常见三角函数值得出结论即可. 【详解】 故选：D 2. 若,则角的终边位于 A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由可得 或又三角函数在各个象限的符号可求角的终边所在象限. 【详解】由可得 或当时角的终边位于第四象限，当时角的终边位于第二象限. 故选C. 【点睛】本题考查角函数在各个象限的符号，属基础题. 3. 下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数的最小正周期是，故先排除选项D；又对于选项C：，对于选项A：，故A、C均被排除，应选B. 4. 函数是 A. 周期为的奇函数 B. 周期为的奇函数 C. 周期为的偶函数 D. 周期为的偶函数 【答案】A 【解析】 【分析】 利用求得周期；再根据奇偶性定义求得奇偶性. 【详解】，即周期为 ，即函数为奇函数 本题正确选项： 【点睛】本题考查正切函数奇偶性的判断、周期性的求解问题，属于基础题. 5. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角的关系，再结合诱导公式，即可求解. 【详解】由条件可知，， 所以. 故选：C 6. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象 A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数，要得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位． 本题选择B选项. 点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同． 7. 若函数在上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出函数的单调区间，再根据题意求出的取值范围，即可得解. 【详解】对于函数，令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，， 当时函数的一个单调递增区间为， 又函数在上单调递增，所以， 则的最大值为. 故选：B 8. 已知是实数，则函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分类讨论，结合性质可得． 【详解】由题知，．若，选项C满足； 若，，，其中，，函数周期，选项A满足；若，，，其中，，函数周期，选项B满足； 若，则，且周期为．而选项D不满足以上四种情况，故图象不可能是D． 故选：D． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分.） 9. 已知一扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的周长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式：求出扇形的弧长，即可求出扇形的周长． 【详解】由题意，扇形的弧长为，所以扇形的周长为 故答案为 【点睛】本题考查扇形的弧长公式，属于基础题． 10. 函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正切函数的定义域即可求解. 【详解】要使函数有意义，则有， 所以， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 11. 已知角的终边经过点，则的值等于_____． 【答案】 【解析】 【详解】因为角的终边经过点，过点P到原点的距离为，所以，所以 ，故填 . 12. 若函数y＝cos (3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ＝________． 【答案】kπ＋（k∈Z） 【解析】 【详解】由题意，得y＝cos （3x＋φ）是奇函数，cos φ＝0，所以φ＝kπ＋（k∈Z）. 13. 设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】 由题意可得的最小值为，可得，，解方程可得的最小值. 【详解】解：若对任意的实数x都成立， 可得的最小值为， 可得，， 即有，， 由， 可得的最小值为2，此时. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 14. 设函数，，有以下四个结论. ①函数是周期函数： ②函数的图像是轴对称图形： ③函数的图像关于坐标原点对称： ④函数存在最大值 其中，所有正确结论的序号是___________. 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据正弦型函数和二次函数的周期性、对称性、值域进行逐一判断即可. 【详解】①：函数最小正周期为：，函数没有周期性，所以函数不是周期函数，故本结论不正确； ②：因为函数，所以该函数的对称性为：， 因为，所以函数也关于对称， 因此函数的图像是轴对称图形，故本结论说法正确； ③：令， ，对于不恒成立， 所以对于不恒成立， 因此函数不是奇函数，故图象不关于原点对称，所以本结论说法不正确； ④：因为，所以， 因为，所以 所以， 因此本结论正确， 故答案为：②④ 【点睛】关键点睛：正确理解函数的周期性和对称性是解题的关键. 三、解答题（本大题共4小题，共44分.写出必要的步骤和文字说明.） 15. 已知，.求，及的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】由平方关系可以求出，由商数关系可以求出，由诱导公式可以求出. 【详解】因为，，， 则， 由商数关系可得：， 由诱导公式可得：， 所以，，. 16. 已知函数（，，）的部分图象如图所示. （1）求出，，的值； （2）求函数的单调递增区间和对称轴； （3）求在上的最小值，并求出取最小值时x的取值. 【答案】（1），，； （2）单调递增区间（）；对称轴方程（）； （3）最小值为，此时. 【解析】 【分析】（1）通过观察图象先求出和周期,进而求出，再代入特殊值求出即可； （2）利用整体代换的方法，结合正弦函数的单调递增区间及对称轴方程求解即可； （3）先由的范围，得到的范围，结合正弦函数的图像求解即可. 【小问1详解】 由图可知，，，所以， 因为，所以， 由， 得（），得（）， 因为，所以， 所以，，； 【小问2详解】 由（1）可知. 令（）， 解得（）， 所以的单调递增区间为（）. 令（），得（）， 所以的对称轴方程为（）； 【小问3详解】 因为，所以， 所以当，即当时，取到最小值. 17. 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的解析式； （3）若图象的对称轴只有一条落在区间上，求的取值范围． 条件①：的最小值为； 条件②：图象的一个对称中心为； 条件③：的图象经过点． 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，求出函数的最小正周期. （2）根据最小正周期确定的值，选择①②，求出的值，由条件②可得出关于的等式结合的取值范围，可求得的值，由此可求得函数的解析式； 选择①③，求出的值，由已知条件可得出，求出的取值范围，可求得的值，由此可求得函数的解析式； 选择②③，由条件②可得出关于的等式结合的取值范围，可求得的值，将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，可得出函数的解析式； （3）由可求得取值范围，结合题意可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 所以，所以. 函数的最小正周期. 小问2详解】 由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为， 所以的最小正周期，．此时． （1）选条件①②；因为，所以． 因为图象的一个对称中心为，所以， 因为，所以，此时，所以； 选条件①③：因为，所以． 因为函数的图象过点，则，即，， 因为，即，，所以，，解得. 所以； 选条件②③：因为函数的一个对称中心为， 所以，所以． 因为，所以，此时，所以． 因为函数的图象过点，所以，即，，即，所以． 所以； 【小问3详解】 因为，所以， 因为图象的对称轴只有一条落在区间上，所以，得， 所以的取值范围为． 【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路： （1）将函数解析式变形为或的形式； （2）将看成一个整体； （3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题. 18. 设函数的定义域为.若存在常数，（，），使得对于任意，成立，则称函数具有性质. （1）判断函数和是否具有性质P?（结论不要求证明） （2）若函数具有性质P，且其对应的，.已知当时，，求函数在区间上的最大值. 【答案】（1）函数不具有性质；函数具有性质； （2） 【解析】 【分析】(1)只要找到满足条件的即可判断； (2)将已知条件代入可得，再利用的解析式可求出时的解析式，即可求解. 【小问1详解】 假设函数符合性质P，则存在常数，（，），使得恒成立， 显然不可能，所以函数不具有性质； 当时，函数对于任意，成立，所以函数具有性质； 【小问2详解】 因为函数具有性质，且其对应的，，所以， 因为当时，， 所以设，则， 所以，所以，，① 又当时，，当时，， 所以，满足①式， 所以，， 因为，所以，所以，即， 所以函数在区间上的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$