专题02 直线与直线、直线与平面的位置关系知识归纳与题型突破（15类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（湘教版2019必修第二册）

专题02 直线与直线、直线与平面的位置关系 知识归纳与题型突破 知识点1 空间两直线的位置关系 1.直线与直线的位置关系： 2.平行直线： （1）基本事实：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 符号表示： （2）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行且方向相同，那么这两个角相等 3.异面直线： （1）异面直线的判定方法： 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线； 符号表示：若则直线与是异面直线 （2）异面直线所成的角： ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．若异面直线所成的角是直角，则称异面直线互相垂直，记作 ②范围：. 知识点2 空间中直线与平面的位置关系 1. 直线与平面的位置关系： （1）直线与平面的位置关系： （2） 直线在平面外：直线与平面平行或相交. l在α外，记作l⊄α，图示或 知识点3 直线与平面平行 1.定义： 2.判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. （2）图形语言： （3）符号语言：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α；即： （4）作用：证明直线与平面平行 3.直线与平面平行的性质定理 （1）定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. （2）图形语言： （3）符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b （4）作用：证明两直线平行. 知识点4 直线与平面垂直 1. 直线与平面垂直 （1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直. （2）记法：l⊥α （3）有关概念： 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.它们唯一的公共点P叫做垂足. （4）图示与画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 2. 直线与平面垂直的判定定理 （1）定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 （2）图形语言 （3）符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α， a∩b＝P⇒l⊥α （4）作用：判断直线与平面垂直. 3. 直线与平面垂直的性质定理 （1）定理：垂直于同一个平面的两条直线平行 （2）图形语言： （3）符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b （4）作用：证明两直线平行. 4.点到平面的距离： 定义：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离. 5.直线与平面间的距离： 定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这这条直线和这个平面的距离. 6.直线与平面所成的角 （1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． （2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0°.因此，直线与平面所成的角的范围是 [0°，90°]. 题型一 空间直线的位置关系 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）若直线，，满足，，异面，则与（    ） A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 【变式1-1】（21-22高二上·北京·阶段练习）在以下四图中，直线与直线可能平行的位置关系只能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知平面、满足，若异面直线、满足，，则与、的位置关系是（    ） A．至多与、中的一条相交 B．至少与、中的一条相交 C．至少与、中的一条异面 D．至少与、中的一条平行 【变式1-3】（多选）（23-24高一下·浙江金华·期末）已知与分别是异面直线与上的不同点，，，，分别是线段，，，上的点.以下命题正确的是（    ） A．直线与直线可以相交，不可以平行 B．直线与直线可以异面，不可以平行 C．直线与直线可以垂直，可以相交 D．直线与直线可以异面，可以相交 题型二 平行公理的应用 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形和四边形都是梯形，，，分别为，的中点．    (1)证明：四边形是平行四边形； (2)，，，四点是否共面？为什么？ 【变式2-1】（21-22高一·江苏·课后作业）设分别是空间四边形的边，，，的中点，若，则四边形的形状是 . 【变式2-2】（24-25高一下·全国·课前预习）取一块长方形纸板， 分别为的中点，将纸板沿折起，在空间中直线AD与BC的位置关系如何？    【变式2-3】（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如图所示，已知三棱锥的点G，F，E，H分别是的中点，四边形是什么图形. 题型三 等角定理及其应用 【例3】（24-25高一下·全国·课后作业）若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【变式3-1】（24-25高一下·全国·课后作业）若，且，与方向相同，则下列结论正确的是（    ） A．且方向相同 B．，方向可能不同 C．与不平行 D．与不一定平行 【变式3-2】（多选）（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如图所示，在四面体中，M，N，P，Q，E分别是的中点，则下列说法正确的是（    ） A．四边形是菱形 B． C． D．四边形为矩形 【变式3-3】（19-20高一·全国·课后作业）如图，分别为正方体的棱的中点．求证：． 题型四 线面平行的判断与证明 【例4】（24-25高一下·全国·课后作业）在三棱柱中，E，F分别是的中点，如图，求证：平面． 【变式3-1】（18-19高一上·江苏南通·阶段练习）在空间四边形中，分别为边上的点，且，又分别为的中点，则（ ） A．平面，且四边形是矩形 B．平面，且四边形是梯形 C．平面，且四边形是菱形 D．平面，且四边形是平行四边形 【变式4-2】（多选）（21-22高二下·云南昆明·期末）如图，在正方体中，分别是棱的中点，则（    ）    A．平面 B．平面 C．点在平面内 D．点在平面内 【变式4-3】（24-25高一下·全国·单元测试）在多面体中，点O是矩形的对角线的交点，棱且．求证：平面． 题型五 补全（探索）线面平行的条件 【例5】（21-22高一下·山东青岛·期中）如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 【变式5-1】（23-24高一下·广东深圳·期中）四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则 . 【变式5-2】（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点. (1)证明：AF平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明. 【变式5-3】（23-24高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，E为侧棱PD上的点，且. (1)证明：； (2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 题型六 线面平行性质的应用 【例6】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．    (1)求证：平面； (2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 【变式6-1】（18-19高一·全国·课后作业）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，交于点O，E为中点，F在上，，∥平面，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D．3 【变式6-2】（多选）（23-24高三上·江西南昌·开学考试）在下列底面为平行四边形的四棱锥中，是四棱锥的顶点或棱的中点，则平面的有（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为 ． 题型七 异面直线的判断 【例7】（23-24高二上·上海崇明·期中）如图，已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)证明：和是异面直线． 【变式7-1】（多选）（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）如图，在正方体中，､､､､､分别是棱､､､､､的中点，则下列结论错误的是（    ）    A．直线和平行，和异面 B．直线和平行，和相交 C．直线和相交，和异面 D．直线和异面，和异面 【变式7-2】（19-20高一上·吉林·期末）如图，在正方体的所有棱所在直线中，与直线异面的共有 条． 【变式7-3】（24-25高一上·上海·期中）如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.    (1)求证：点在直线上； (2)求证：与是异面直线. 题型八 求异面直线所成的角 【例8】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，直线平面为正方形，，则直线与所成角的大小为 ． 【变式8-1】（21-22高二上·山东济宁·期中）在四面体中，，，两两垂直且相等，是的中点，则异面直线和所成角为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高一下·云南曲靖·期末）如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为（    ）    A．1 B． C． D． 题型九 由异面直线所成的角求其它量 【例9】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，已知分别是三棱锥的棱的中点，与所成的角为60°，且，求EG的长．    【变式9-1】（17-18高二下·湖南·期末）在长方体中，与所成的角为，则（    ） A． B．3 C． D． 【变式9-2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为，则的长为 ． 【变式9-3】（23-24高一下·江西·期末）在四面体ABCD中，，AD与BC所成的角为60°，若E，F分别为棱AC，BD的中点，则线段EF的长等于 . 题型十 直线与平面垂直的判断与证明 【例10】（2025高一下·全国·专题练习）如图①，平面四边形中，，，，将沿BC边折起如图②，使__________，点，分别为AC，AD中点.在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题.①；②AC为四面体外接球的直径；③平面. (1)证明：直线平面； (2)判断直线MN与平面的位置关系，并说明理由. 【变式10-1】（2022高二下·河北·学业考试）如图，在正方体中，分别为棱，的中点.下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【变式10-2】（多选）（23-24高一下·河南漯河·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则（    ） A． B．平面与平面的交线平行于平面 C．在棱上存在点，使得平面 D．到平面的距离为 【变式10-3】（21-22高一下·江苏扬州·阶段练习）如图所示，平面为圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的任意一点． (1)求证：平面； (2)若为的中点，求证：平面． 题型十一 直线与平面垂直性质的应用 【例11】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，，D，E分别是棱BC，上的点（点不同于点），且平面，F为的中点．求证：直线平面． 【变式11-1】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）在正三棱柱中，，点为的中点．Q是棱上一点，且AQ⊥平面，则 . 【变式11-2】（21-22高一下·福建福州·期末）如图，在三棱柱中，已知平面，当底面满足条件 时，有. 【变式11-3】（24-25高一下·全国·课后作业）已知平面平面，平面，于点． (1)判断与的关系； (2)求证：． 题型十二 求点到平面的距离 【例12】（23-24高一下·广西玉林·期中）如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【变式12-1】（23-24高二上·上海·期末）正四面体的棱长为1，则点A到平面的距离为 【变式12-2】（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）正方体的棱长为a，E为棱中点． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离． 【变式12-3】（22-23高一下·山东泰安·期末）如图，平面，，，F为CE中点． (1)求证：平面； (2)求点C到平面的距离． 题型十三 求直线到平面的距离 【例13】（24-25高一下·全国·课后作业）已知在长方体中，棱，．求： (1)点到平面的距离； (2)到平面的距离． 【变式13-1】（23-24高二上·北京·期中）正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（    ） A． B．a C． D． 【变式13-2】（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知棱长为1的正方体中，分别为和的中点，则到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】（2023高三·全国·专题练习）如图，为菱形外一点，平面，，为棱的中点.若，求到平面的距离.    题型十四 求直线与平面所成的角 【例14】（24-25高一下·全国·课后作业）在正方体中，E，F分别是，的中点，求： (1)与平面所成角的余弦值； (2)EF与平面所成的角. 【变式14-1】（22-23高一下·湖南衡阳·期末）在三棱锥中，，记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（23-24高一下·广东广州·期末）如图，是半球O的直径，P是半球底面圆周上一点，Q是半球面上一点，且． (1)求证：； (2)若,求直线与平面所成角的正弦值． 【变式14-3】（2021高二上·新疆·学业考试）如图，在正方体中． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角． 题型十五 由直线与平面所成的角求其它量 【例15】（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点.    (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，，记与平面所成角为，求的最大值. 【变式15-1】（22-23高一下·湖北·期末）已知空间中，，直线与平面所成的角为，则为（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（23-24高一下·河北保定·开学考试）如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 .    【变式15-3】（22-23高一下·河南周口·期末）如图，在直棱柱中，底面是边长为2的正方形，是上的一点，平面．    (1)请确定点的位置； (2)若直线与平面所成的角为求. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直线与直线、直线与平面的位置关系 知识归纳与题型突破 知识点1 空间两直线的位置关系 1.直线与直线的位置关系： 2.平行直线： （1）基本事实：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 符号表示： （2）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行且方向相同，那么这两个角相等 3.异面直线： （1）异面直线的判定方法： 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线； 符号表示：若则直线与是异面直线 （2）异面直线所成的角： ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．若异面直线所成的角是直角，则称异面直线互相垂直，记作 ②范围：. 知识点2 空间中直线与平面的位置关系 1. 直线与平面的位置关系： （1）直线与平面的位置关系： （2） 直线在平面外：直线与平面平行或相交. l在α外，记作l⊄α，图示或 知识点3 直线与平面平行 1.定义： 2.判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. （2）图形语言： （3）符号语言：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α；即： （4）作用：证明直线与平面平行 3.直线与平面平行的性质定理 （1）定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. （2）图形语言： （3）符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b （4）作用：证明两直线平行. 知识点4 直线与平面垂直 1. 直线与平面垂直 （1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直. （2）记法：l⊥α （3）有关概念： 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.它们唯一的公共点P叫做垂足. （4）图示与画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 2. 直线与平面垂直的判定定理 （1）定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 （2）图形语言 （3）符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α， a∩b＝P⇒l⊥α （4）作用：判断直线与平面垂直. 3. 直线与平面垂直的性质定理 （1）定理：垂直于同一个平面的两条直线平行 （2）图形语言： （3）符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b （4）作用：证明两直线平行. 4.点到平面的距离： 定义：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离. 5.直线与平面间的距离： 定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这这条直线和这个平面的距离. 6.直线与平面所成的角 （1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． （2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0°.因此，直线与平面所成的角的范围是 [0°，90°]. 题型一 空间直线的位置关系 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）若直线，，满足，，异面，则与（    ） A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 【答案】C 【知识点】异面直线的判定、异面直线的概念及辨析 【分析】在正方体中，，和是异面直线，；，和是异面直线，和是异面直线；直线，，满足，，异面，则由平行公理得与不可能是平行直线． 【详解】解：在正方体中， A．，和是异面直线，， 故直线，，满足，，异面，则与可能相交，不一定是异面直线，故A错误； B．，和是异面直线，和是异面直线， 故直线，，满足，，异面，则与可能是异面直线，故B错误； C．直线，，满足，，异面，则由平行公理得与不可能是平行直线，故C正确； D．，和是异面直线，， 故直线，，满足，，异面，则与可能相交，故D错误． 故选：C． 【变式1-1】（21-22高二上·北京·阶段练习）在以下四图中，直线与直线可能平行的位置关系只能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】异面直线的判定、异面直线的概念及辨析 【分析】利用异面直线的判定及公理的应用判定选项即可. 【详解】选项A中，平面内的两直线异面，则a与b异面； 选项B中，平面内的两直线异面，则a与b异面； 选项C中，平面内的两直线相交，两相交直线能确定一个平面， 则a与b有可能平行； 选项D中，平面内的两直线异面，则a与b异面． 故选：C． 【变式1-2】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知平面、满足，若异面直线、满足，，则与、的位置关系是（    ） A．至多与、中的一条相交 B．至少与、中的一条相交 C．至少与、中的一条异面 D．至少与、中的一条平行 【答案】B 【知识点】异面直线的概念及辨析 【分析】根据异面直线的定义直接判断. 【详解】异面直线、满足，，， 则与平行或相交，与平行或相交， 但直线与，不能同时平行， 若直线与，同时平行，则与平行，与两直线异面矛盾， 所以至少与、中的一条相交， 故选：B. 【变式1-3】（多选）（23-24高一下·浙江金华·期末）已知与分别是异面直线与上的不同点，，，，分别是线段，，，上的点.以下命题正确的是（    ） A．直线与直线可以相交，不可以平行 B．直线与直线可以异面，不可以平行 C．直线与直线可以垂直，可以相交 D．直线与直线可以异面，可以相交 【答案】BCD 【知识点】异面直线的判定、异面直线的概念及辨析、平面的基本性质及辨析 【分析】A可假设直线与直线相交，推出矛盾；B先根据特殊位置得到两直线异面，再假设两直线平行，推出矛盾；C根据特殊位置可以得到两直线垂直和相交；D由特殊位置得到两直线可能异面，可能相交，也可以平行. 【详解】A选项，若直线与直线相交，则四点共面，则直线与共面， 与题目条件直线与异面矛盾，故直线与直线不可以相交，A错误； B选项，当分别和重合时，直线与直线异面， 直线与直线不可以平行，假如直线与直线平行， 平面，平面，故平面， 但与平面有交点，显然这是不可能的，假设不成立，B正确； C选项，当均与重合，此时直线与直线相交， 当调整的位置，可能有⊥，且令分别与重合， 此时满足直线与直线垂直， 故直线与直线可以垂直，可以相交，C正确； D选项，当均与重合，或均与重合时，直线与直线相交， 当时，与平行，当时，与平行，此时与平行， 其他情况，直线与直线异面， 故直线与直线可以异面，可以相交，D正确. 故选：BCD 题型二 平行公理的应用 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形和四边形都是梯形，，，分别为，的中点．    (1)证明：四边形是平行四边形； (2)，，，四点是否共面？为什么？ 【答案】(1)证明见解析 (2)共面，理由见解析 【知识点】平行公理、空间中的点（线）共面问题 【分析】（1）利用中位线的性质及平行四边形的判定定理证明即可； （2）利用平行四边形的判定定理与性质定理得出即可判断. 【详解】（1）由，分别为，的中点， 可得， 又，， 所以， 四边形为平行四边形． （2），，，四点共面， 理由如下：由题意易知， 四边形为平行四边形，． 由（1）知， ，与共面． 又， ，，，四点共面． 【变式2-1】（21-22高一·江苏·课后作业）设分别是空间四边形的边，，，的中点，若，则四边形的形状是 . 【答案】矩形 【知识点】平行公理 【分析】画出图形，根据中位线定理可得为平行四边形，再根据即可求解. 【详解】如图所示， 因为分别是空间四边形的边，，，的中点， 所以，且，，且， 所以四边形为平行四边形. 又，，， 所以, 则四边形的形状是矩形. 故答案为：矩形. 【变式2-2】（24-25高一下·全国·课前预习）取一块长方形纸板， 分别为的中点，将纸板沿折起，在空间中直线AD与BC的位置关系如何？    【答案】平行 【知识点】平行公理 【详解】由于分别为的中点，四边形为矩形，所以,故. 【变式2-3】（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如图所示，已知三棱锥的点G，F，E，H分别是的中点，四边形是什么图形. 【答案】平行四边形 【知识点】平行公理 【分析】利用中位线，平行关系，即可判断四边形的形状； 【详解】因为点G，F，E，H分别是 的中点，， 所以，且， 所以四边形是平行四边形. 题型三 等角定理及其应用 【例3】（24-25高一下·全国·课后作业）若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【知识点】等角定理的应用、等角定理及其辨析 【分析】根据空间等角定理判断即可. 【详解】因为，，且， 所以或. 故选：C 【变式3-1】（24-25高一下·全国·课后作业）若，且，与方向相同，则下列结论正确的是（    ） A．且方向相同 B．，方向可能不同 C．与不平行 D．与不一定平行 【答案】D 【知识点】等角定理及其辨析 【分析】依题意画出图形，即可判断. 【详解】如图， ，，与的方向相同， 但是与不平行， 如图，，，与的方向相同， 此时且方向相同， 故与不一定平行，故D正确. 故选：D 【变式3-2】（多选）（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如图所示，在四面体中，M，N，P，Q，E分别是的中点，则下列说法正确的是（    ） A．四边形是菱形 B． C． D．四边形为矩形 【答案】BC 【知识点】等角定理的应用、棱锥中截面的有关计算 【分析】由由等角定理即可判断BC，由三角形的中位线即可判断四边形形状判断A，D. 【详解】由三角形中位线的性质知，，，， 所以，所以四边形为平行四边形，但不能确定是否为菱形或矩形，故AD不正确． 在中中位线定理得同理在中，由中位线定理得, 所以由等角定理知，，所以B正确; 在中，由中位线定理得 所以, 所以由等角定理可知，，,, 所以，所以C正确; 故选：BC． 【变式3-3】（19-20高一·全国·课后作业）如图，分别为正方体的棱的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】平行公理、等角定理的应用 【分析】先根据平行四边形的判定得四边形为平行四边形推得．再根据平行的传递性有，从而得到，，最后根据两角两边同向且平行得证. 【详解】连接，根据条件分别为棱的中点可知， 四边形为平行四边形． 又， 所以四边形是平行四边形， 所以，同理． 又与∠CEB两边的方向相同， 因此． 题型四 线面平行的判断与证明 【例4】（24-25高一下·全国·课后作业）在三棱柱中，E，F分别是的中点，如图，求证：平面． 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面平行 【分析】由已知可得，进而由线面平行的判定定理可证平面． 【详解】因为E，F分别是AC，的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． 【变式3-1】（18-19高一上·江苏南通·阶段练习）在空间四边形中，分别为边上的点，且，又分别为的中点，则（ ） A．平面，且四边形是矩形 B．平面，且四边形是梯形 C．平面，且四边形是菱形 D．平面，且四边形是平行四边形 【答案】B 【知识点】判断线面平行、棱锥中截面的有关计算 【分析】根据比值关系，利用线面平行判定定理证明平面，然后证明平行且不相等即可. 【详解】如图所示，在平面内，​ ，又平面，平面 平面． 分别是的中点， ． 又​， ．在四边形中，且​ 四边形为梯形． 故选：B． 【变式4-2】（多选）（21-22高二下·云南昆明·期末）如图，在正方体中，分别是棱的中点，则（    ）    A．平面 B．平面 C．点在平面内 D．点在平面内 【答案】BD 【知识点】证明线面平行、空间中的点（线）共面问题 【分析】B选项，根据正方体和平行四边形的性质得到，然后利用线面平行的判定定理即可得到平面；D选项，利用中位线的性质得到，然后利用平行的传递性得到，即可证明点在平面内；A选项，根据图形即可判断；C选项，根据平面判断. 【详解】    连接， 在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，故B正确. 因为分别为中点，所以，所以，所以四点共面，即点在平面内，故D正确； 再连接，显然不在平面内，所以与平面不平行，故A错误； 由平面，可知点不在平面内，故C错误. 故选：BD. 【变式4-3】（24-25高一下·全国·单元测试）在多面体中，点O是矩形的对角线的交点，棱且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面平行 【分析】取CD中点，连接OM，EM，利用平行四边形的判定与性质得，然后利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】如图所示，取CD中点，连接OM，EM， 在矩形中，且． 又且，则且． 所以四边形为平行四边形，所以． 又因为平面，平面，所以平面． 题型五 补全（探索）线面平行的条件 【例5】（21-22高一下·山东青岛·期中）如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析， 【知识点】证明线面平行、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】（1）由已知结合线面平行的判定定理可得出结论； （2）连接交于，连接，由线面平行的性质定理可得出，利用计算出的值，进而可求得的值. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面； （2）连接交于，连接， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 则，可得， 又因为，可知，则， 因此，. 【变式5-1】（23-24高一下·广东深圳·期中）四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则 . 【答案】 【知识点】证明线面平行、补全线面平行的条件 【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE，结合平面ACE，则证明平面平面ACE，再利用利用面面平行的性质则有，即可得到答案. 【详解】连接BD，交AC于点O，连接OE，由是正方形，得， 在线段PE取点G，使得，如下图所示： 由，得， 连接BG，FG，则， 由平面，平面，得平面， 而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面， 平面平面，则， 所以. 故答案为：. 【变式5-2】（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点. (1)证明：AF平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，证明见解析 【分析】（1）取中点，证明四边形为平行四边形即可； （2）设，取中点，先证明平面，即可证明点在线段靠近端的三等分点时符合题意. 【详解】（1）证明：取中点，连接，在中，为的中点， . 为的中点，， 即四边形为平行四边形，. 平面平面平面. （2）设，取中点，连接，则在中， 分别是的中点， 平面平面， 平面. 与相似，且相似比为， 为的三等分点. 在点位置时满足平面. 即点在线段靠近端的三等分点时符合题意. 【变式5-3】（23-24高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，E为侧棱PD上的点，且. (1)证明：； (2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【知识点】证明面面平行、面面平行证明线线平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）设交AC于点O，由题意可得PO⊥AC，，可证得平面，进而证得结论. （2）在线段PE取一点G，使得，由题意可得，可证得平面，进而可得平面平面，再证得，可得的值. 【详解】（1）设交于点O，连接，正方形中，则，， 又，则，又平面， 因此平面，而平面， 所以. （2）侧棱上存在一点F，满足条件， 证明如下：如图，正方形中，， 在线段取一点G，使得，由，得， 连接，则，而平面，平面， 则平面，由平面，，平面， 得平面平面，而平面平面，平面平面， 于是，， 所以＝. 题型六 线面平行性质的应用 【例6】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．    (1)求证：平面； (2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】线面平行的性质、证明线面平行 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得证. 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）连接，交于，连接    因为四边形是平行四边形， 所以是的中点，又因为M是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以，平面 又因为平面，平面平面， 所以， 【变式6-1】（18-19高一·全国·课后作业）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，交于点O，E为中点，F在上，，∥平面，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、线面平行的性质 【分析】根据∽，得到，利用平面，得到，结合比例式的性质，得到，即可求解. 【详解】设与交于点，连接，如图所示，    因为为的中点，则， 由四边形是平行四边形，可得，则∽， 所以，所以， 又因为平面，平面，平面平面， 所以，所以. 故选：D. 【变式6-2】（多选）（23-24高三上·江西南昌·开学考试）在下列底面为平行四边形的四棱锥中，是四棱锥的顶点或棱的中点，则平面的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】证明线面平行、线面平行的性质 【分析】利用线面平行的性质定理结合平面内过一点有且仅有一条直线和已知直线平行可判断A，D；根据线面平行的判定定理可判断B，C； 【详解】对于A，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 设交于点，连接， 则， 又, 故，即四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 平面平面， 假设平面，则， 即在平面内过点有两条直线和都平行， 这是不可能的，因此与平面不平行，故A错误； 对于B，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 则， 又，, 故，即四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 故平面，故B正确； 对于C，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 则， 又，， 故，即四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 故平面，故C正确； 对于D，设底面为平行四边形， 连接交于点，交于点， 则为的中点，连接， 由于为的中点，故； 又平面，平面，平面平面， 假设平面，则， 即在平面内过点有两条直线和都平行，这是不可能的， 因此与平面不平行，故D错误； 故选：BC. 【变式6-3】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】连接相交于，根据线面平行的性质、可得答案. 【详解】连接相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 可得. 故答案为：. 题型七 异面直线的判断 【例7】（23-24高二上·上海崇明·期中）如图，已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)证明：和是异面直线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】平行公理、空间中的点（线）共面问题、异面直线的判定 【分析】（1）利用三角形中位线性质，结合平行公理即可求证． （2）利用反证法来证明． 【详解】（1）证明：因为已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点． 所以线段是的中位线，所以且， 同理可得且，所以且， 所以四边形为平行四边形． （2）证明：（反证法）假设和不是异面直线，则和平行或相交， 所以和可以确定一个平面，所以，，，， 这与是空间四边形矛盾，故和是异面直线． 【变式7-1】（多选）（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）如图，在正方体中，､､､､､分别是棱､､､､､的中点，则下列结论错误的是（    ）    A．直线和平行，和异面 B．直线和平行，和相交 C．直线和相交，和异面 D．直线和异面，和异面 【答案】CD 【知识点】异面直线的判定 【分析】利用平行线的传递性可判断出直线和平行，利用三角形全等可证得和相交，由异面直线的定义可判断出和异面，即可得出合适的选项. 【详解】如下图所示：    因为､分别为､的中点，则，同理可证， 在正方体中，且， 所以，四边形为平行四边形，则，所以，， 延长交直线于点， 因为，则， 又因为，，所以，，所以，， 延长交的延长线于点，同理可证， 因为，所以，，即点､重合， 所以，､相交， 由异面直线的定义结合图形可知，､异面，故AB对，CD均错. 故选：CD. 【变式7-2】（19-20高一上·吉林·期末）如图，在正方体的所有棱所在直线中，与直线异面的共有 条． 【答案】 【知识点】异面直线的判定 【分析】直接找出与直线异面的棱即可. 【详解】与直线有公共点的棱均与直线不异面，有、、、、、共条， 与直线异面的棱有、、、、、共条. 故答案为： 【变式7-3】（24-25高一上·上海·期中）如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.    (1)求证：点在直线上； (2)求证：与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】异面直线的判定、空间中的线共点问题 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上. （2）利用反证法可证明与是异面直线. 【详解】（1）平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点在直线上. （2）假设与不是异面直线. 则与是共面直线，又在直线外， 则过与直线有唯一平面，所以可得平面， 这与在平面外矛盾，故与是异面直线. 题型八 求异面直线所成的角 【例8】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，直线平面为正方形，，则直线与所成角的大小为 ． 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的角就是异面直线所成的角或补角，再利用解三角形的知识求出此角即可； 【详解】令，取中点分别为， 连结，则， 就是直线与所成角或其补角. 又因为在中，， 连结，得， ， 则， ∴直线与所成角为. 故答案为：. 【变式8-1】（21-22高二上·山东济宁·期中）在四面体中，，，两两垂直且相等，是的中点，则异面直线和所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】由于是的中点，取的中点，证明或补角即为异面直线与所成的角．解三角形求结论． 【详解】由于是的中点，取的中点，连接， 则， 则或补角即为异面直线与所成的角． 可设， 由于、、两两垂直，且均相等， 则，，， 即有，，， 则有． 故选：A．    【变式8-2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】先补充图形，找到异面直线的夹角，将其放在直角三角形内，利用锐角三角函数的定义求解余弦值即可. 【详解】如图所示，将直三棱柱补成直四棱柱， 其中四棱柱的底面为平行四边形，连接，， 则，所以（或其补角）为异面直线与所成的角． 因为，，， 且由题意得， 所以，．在中， ，，， 由余弦定理得， 解得(负根舍去)，则， 所以，所以，故C正确. 故选：C 【变式8-3】（23-24高一下·云南曲靖·期末）如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】取的中点，则（或其补角）为异面直线与所成角，解三角形即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接、，易知，    所以异面直线与所成角就是直线与直线所成的角，即（或其补角）， 由题意可知正三棱柱的所有棱长都相等， 可设三棱柱的棱长都为，则，，， 因为，所以为直角三角形， 所以 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：. 题型九 由异面直线所成的角求其它量 【例9】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，已知分别是三棱锥的棱的中点，与所成的角为60°，且，求EG的长．    【答案】或 【知识点】由异面直线所成的角求其他量、求异面直线所成的角 【分析】根据线线平行可证四边形是平行四边形，即可利用线线角求解. 【详解】因为分别是三棱锥的棱的中点， 所以为的中位线，故且， 同理GH为的中位线，故且， 所以，所以四边形是平行四边形且． 同理且． 因为与所成的角为，所以或， 当时，为等边三角形，故； 当时，为等腰三角形，故． 【变式9-1】（17-18高二下·湖南·期末）在长方体中，与所成的角为，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】连接，由，可得是异面直线与所成的角，再利用长方体的性质、直角三角形的边角关系即可得出. 【详解】如图所示，连接，由图知为锐角，   是异面直线与所成的角，即， 在中，， 在中，有，即. 故选：D. 【变式9-2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】取中点，连接，，即可得到为异面直线与所成的角（或补角），再由勾股定理计算可得. 【详解】取中点，连接，， 又因为，，，分别为，的中点， 所以且，且， 则为异面直线与所成的角（或补角）， 又因为异面直线与所成的角为， 所以， 所以，所以， 故答案为：5 【变式9-3】（23-24高一下·江西·期末）在四面体ABCD中，，AD与BC所成的角为60°，若E，F分别为棱AC，BD的中点，则线段EF的长等于 . 【答案】1或 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】设G为CD中点，分别连接EG，FG，构造新的根据余弦定理可得到EF的长. 【详解】设G为CD中点，分别连接EG，FG，则EG是的中位线， 可得，                           同理可得， 因为AD与BC所成的角为60° 所以等于60°或120°， 当 在中根据余弦定理得， 当同理可得 故答案为：1或 题型十 直线与平面垂直的判断与证明 【例10】（2025高一下·全国·专题练习）如图①，平面四边形中，，，，将沿BC边折起如图②，使__________，点，分别为AC，AD中点.在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题.①；②AC为四面体外接球的直径；③平面. (1)证明：直线平面； (2)判断直线MN与平面的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)平面，理由见解析 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直、证明线面平行 【分析】（1）运用中位线性质，结合线面平行判定定理证明即可； （2）结合条件及线面垂直的判定定理，可得平面，进而证得平面. 【详解】（1）分别为中点，. 又平面，平面，直线平面. （2）直线平面，理由如下： 选①，，在中，，，则， 又，，则， 又，，平面， 平面，， 又，，平面， 平面，又分别为的中点， ，则平面. 选②，为四面体外接球的直径， 则，，又，， 平面，平面， 分别为AC，AD的中点， ，则平面. 选③，平面，平面，， 又，，平面，平面， 分别为的中点，，则平面. 【变式10-1】（2022高二下·河北·学业考试）如图，在正方体中，分别为棱，的中点.下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】A 【知识点】判断线面是否垂直、判断线面平行 【分析】根据线面平行、线面垂直的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，连接，由于是的中点，是的中点， 所以，而， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以，由于平面，平面， 所以平面，所以A选项正确. 由A选项的分析可知，而平面， 所以与平面相交，所以C选项错误. 由于与的夹角为，所以与平面不垂直，D选项错误. 设正方体的边长为，则，不满足勾股定理， 所以与不垂直，而平面，所以与平面不垂直， 所以B选项错误. 故选：A 【变式10-2】（多选）（23-24高一下·河南漯河·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则（    ） A． B．平面与平面的交线平行于平面 C．在棱上存在点，使得平面 D．到平面的距离为 【答案】ABD 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、线面垂直证明线线垂直、线面平行的性质 【分析】对于A，根据线面垂直的判定与性质即可判断；对于B，根据线面平行的性质即可判断；对于C，利用反证法并结合线面垂直的性质即可判断，对于D，利用等体积法可求出点到平面距离. 【详解】对于A，如图所示，取中点，连接， 因为底面是菱形，，则为三角形，又因为侧面为正三角形， 则，则， 又平面，所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 对于B，因为底面为菱形，所以，又平面平面， 所以平面.设平面与平面的交线为， 因为平面，平面，平面平面，所以. 又因为平面平面，所以平面，故B正确； 对于C，假设在棱上存在点，使得平面，因为平面，则， 因为，所以为的中点， 连接，因为平面，平面，则， 所以为锐角，与不垂直，因为， 则与不垂直，因为平面，这与平面矛盾， 所以不存在这样的点，使得平面，故C错误； 对于D，因为平面平面，，平面平面，平面， 所以平面，所以为三棱锥的高， 因为和为等边三角形，则，， 因为平面，平面，则，则， 所以， 设到平面的距离为， 则由得，解得，故D正确. 故选：ABD. 【变式10-3】（21-22高一下·江苏扬州·阶段练习）如图所示，平面为圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的任意一点． (1)求证：平面； (2)若为的中点，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【知识点】证明线面垂直、证明线面平行 【分析】（1）为的直径，点为上的异于，的任意一点，可得, 又圆柱中，底面可得，得证． （2）取中点，连结、，应用三角形中位线定理得，又圆柱中，，且，推出为平行四边形，得到即得证． 【详解】（1）∵为的直径，点为上的异于，的任意一点， ∴．又在圆柱中，底面，底面， ∴，又，平面， ∴平面． （2）取的中点，连接，， ∵为的中点，∴在中，，且， 又在圆柱中，，且， ∴，，∴四边形为平行四边形， ∴．而平面，平面， ∴平面. 题型十一 直线与平面垂直性质的应用 【例11】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，，D，E分别是棱BC，上的点（点不同于点），且平面，F为的中点．求证：直线平面． 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线平行 【分析】先应用线面垂直的判定定理得出平面，再根据线面垂直的性质得出线线平行，进而得出线面平行即可. 【详解】因为，F为的中点，所以． 因为平面，且平面，所以． 又平面，平面，平面，所以平面． 又平面，所以． 又平面，平面，所以平面． 【变式11-1】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）在正三棱柱中，，点为的中点．Q是棱上一点，且AQ⊥平面，则 . 【答案】 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明面面垂直、证明线面垂直 【分析】证明，证明，证明平面平面，在平面内过点作交于点，根据求出. 【详解】在正三棱柱中，因为点为的中点， 所以，因为平面，平面， 所以，因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面， 在平面内过点作交于点， 因为平面平面， 所以平面，显然， 所以，所以，所以， 所以. 故答案为：. 【变式11-2】（21-22高一下·福建福州·期末）如图，在三棱柱中，已知平面，当底面满足条件 时，有. 【答案】 【知识点】线面垂直证明线线垂直 【分析】根据线面垂直的判定定理来确定正确答案. 【详解】当底面满足条件时，有. 理由如下：平面，，平面， 面，. ，四边形是正方形，，， 又平面， 平面. 平面. 平面， . 平面， 平面,平面,. 当底面满足条件时，有. 故答案为： 【变式11-3】（24-25高一下·全国·课后作业）已知平面平面，平面，于点． (1)判断与的关系； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）应用面面垂直的性质定理即可得到；（2）应用线面垂直的性质和判定定理即可得证． 【详解】（1），理由如下： 平面平面，于点， 平面平面，平面， 平面．又平面，． （2）证明：平面，平面， ．，，平面, 平面．又平面，． 题型十二 求点到平面的距离 【例12】（23-24高一下·广西玉林·期中）如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求点面距离、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据已知可得，再由线面平行的判定证结论； （2）根据已知是等腰直角三角形，应用线面垂直的判定和性质证，并求出相关线段长，应用等体积法有，求点面距离. 【详解】（1）由O是的交点，又为正方形，则O为的中点，又D是中点， 在中，又面面，故平面. （2）三棱柱中，，且， 易知是等腰直角三角形，点D是棱的中点， 所以， 四边形为正方形，，则， 又，而，且，则， 由在面内，则面，面， 所以，而，在面内， 则面，面，故，所以， 由，则，又， 若到平面的距离为d，则，可得. 【变式12-1】（23-24高二上·上海·期末）正四面体的棱长为1，则点A到平面的距离为 【答案】/ 【知识点】求点面距离 【分析】作出辅助线，得到即为点A到平面的距离，为等边三角形的中心，结合勾股定理求出答案. 【详解】取的中点，连接，则⊥， 过点作⊥平面，垂足为，即为点A到平面的距离， 则点在上，且为等边三角形的中心， 因为正四面体的棱长为1，则， 由勾股定理得，则， 因为，由勾股定理得， 则点A到平面的距离为. 故答案为： 【变式12-2】（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）正方体的棱长为a，E为棱中点． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求点面距离、证明线面平行、锥体体积的有关计算 【分析】（1）作中位线并利用线面平行的判定定理即可证明得出结论； （2）利用等体积法以及三棱锥的体积公式即可计算求出结果. 【详解】（1）证明：设AC与BD交于点O，连结OE，如图所示： 因为是正方体，所以ABCD为正方形，O为BD中点． 又E为中点，可知； 又平面AEC，平面， 所以平面AEC， （2）设点D到平面AEC的距离为d，则由图可知： 在中，，，可得， 由可得， 即， 解得， 即点D到平面AEC的距离为． 【变式12-3】（22-23高一下·山东泰安·期末）如图，平面，，，F为CE中点． (1)求证：平面； (2)求点C到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、求点面距离 【分析】（1）取的中点，连接，证明出四边形为平行四边形，得出，即可证明； （2）设点到平面的距离为，根据等体积法，由列出方程求解即可． 【详解】（1）取的中点，连接， 因为F为CE中点，所以且， 又，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）因为，，所以， 所以， 又平面，所以， 因为，，所以， 由平面，平面，所以， 又， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，解得， 所以点C到平面的距离为． 题型十三 求直线到平面的距离 【例13】（24-25高一下·全国·课后作业）已知在长方体中，棱，．求： (1)点到平面的距离； (2)到平面的距离． 【答案】(1) (2)． 【知识点】证明线面垂直、求点面距离 【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出平面，再应用三角形计算求解点到平面距离即可； （2）先应用线面平行判定定理得出平面，结合（1）得出点到平面距离即可. 【详解】（1）如图，过点作于点． 由题意知平面，且平面，． 平面，平面，线段的长即为所求． 在中，， 点到平面的距离为． （2），且平面，平面， 平面．点到平面的距离即为所求， 直线到平面的距离为． 【变式13-1】（23-24高二上·北京·期中）正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（    ） A． B．a C． D． 【答案】C 【知识点】求直线与平面的距离 【分析】连接，它们交于点，证明平面，得的长即为棱到面的距离， 【详解】如图，连接，它们交于点，正方形中， 又平面，平面，所以， 平面，所以平面， 所以的长即为棱到面的距离，而， 所以所求距离为． 故选：C． 【变式13-2】（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知棱长为1的正方体中，分别为和的中点，则到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求直线与平面的距离 【分析】在正方体中，连接，交于，连接，交于，过作于，由已知可证平面，即为到平面的距离，求解即可. 【详解】在正方体中，连接，交于， 连接，交于，过作于， 因为分别为和的中点，所以， 又在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，从而可得， 所以，又因为平面，平面， 所以平面，所以到平面的距离即为点到平面的距离， 由正方形可得， 又由正方体，可得平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 又平面平面，，所以平面， 所以为点到平面的距离， 在中，可得， 所以， 又易求得， 所以. 故选：C. 【变式13-3】（2023高三·全国·专题练习）如图，为菱形外一点，平面，，为棱的中点.若，求到平面的距离.    【答案】 【知识点】求直线与平面的距离、求点面距离、证明线面平行 【分析】先把到平面的距离转化为点到平面的距离,再利用等体积法求解即可. 【详解】因为平面，不在平面内，所以平面， 则到平面的距离即为点到平面的距离， 设点到平面的距离为， 因为，， 平面,，四边形为菱形， 所以，解得， 即到平面的距离为. 题型十四 求直线与平面所成的角 【例14】（24-25高一下·全国·课后作业）在正方体中，E，F分别是，的中点，求： (1)与平面所成角的余弦值； (2)EF与平面所成的角. 【答案】(1) (2)45° 【知识点】线面角的概念及辨析、求线面角 【分析】首先根据已知条件，指出线面的夹角，进一步利用解直角三角形知识求出结果 【详解】（1）如图所示，连接DB， 平面，是在平面内的射影， 则即为与平面所成的角. ，，， 即与平面所成角的余弦值为. （2）是的中点，平面， 是EF与平面所成的角. 在中，是的中点，是的中点， ，即EF与平面所成的角为45°. 【变式14-1】（22-23高一下·湖南衡阳·期末）在三棱锥中，，记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求异面直线所成的角、求线面角 【分析】先利用三余弦定理判定，再根据已知线段长及余弦定理得出，利用等体积法计算比较的关系即可. 【详解】 假设B在底面的投影为E，过A作，作， 则， 显然，则． 因为， 所以由余弦定理知：， 同理， 所以， 因为， 所以． 点B到平面ACD的距离为，设点C到平面ABD的距离为， 则由，得． 又， 所以．所以． 故选：A． 【变式14-2】（23-24高一下·广东广州·期末）如图，是半球O的直径，P是半球底面圆周上一点，Q是半球面上一点，且． (1)求证：； (2)若,求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求线面角 【分析】（1）要证，只需证平面，只需证（易证）和，只需证平面，根据题意容易证； （2）利用等体积法求得点P到平面的距离，设直线与平面所成的角为，则根据即可得到答案. 【详解】（1）因为 为半球 的直径， 为 半球底面圆周上一点, 所以 , 因为 、 平面 , 所以 平面 ，又因为 平面 , 所以 , 又因为 为半球面上一点, 所以 , 又因为 平面 所以 平面 , 又 平面 , 所以 ; （2）因为三角形 为直角三角形, 所以 , 又因为 平面 , 所以 ， 又因为三角形 也是直角三角形， 所以 , 所以， 设点 到平面 的距离为 , 则有 ，即 , 所以 ， 设直线 与平面 所成的角为 ，则 . 【变式14-3】（2021高二上·新疆·学业考试）如图，在正方体中． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角． 【答案】(1)证明见解析； (2)直线与平面所成的角为. 【知识点】求线面角、证明线面垂直、证明线面平行 【分析】（1）先证明，，再证明，根据线面平行判定定理证明结论； （2）连接交与点，证明为直线与平面所成的角，解三角形求其大小. 【详解】（1）连接， 由正方体性质可得，，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）连接交与点， 因为四边形为正方形，所以， 由已知平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面，即平面， 所以为直线与平面所成的角， 设，则，， 在中，，，， 所以，又， 所以. 所以直线与平面所成的角为. 题型十五 由直线与平面所成的角求其它量 【例15】（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点.    (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，，记与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】求线面角、证明线面垂直、证明线面平行 【分析】（1）连接，设，连接，通过证明以及得到为等腰三角形，进而可得结论； （2）取的中点,通过证明平面以及平面可得面面平行，即可求证； （3）利用体积法求点到平面的距离，设与平面所成的角为，表示出，求其最值。 【详解】（1）连接，设，连接.    因为，平面，平面，故， 而，，平面， 故平面，而平面，故， 由四边形为平行四边形可得， 故为等腰三角形，即； （2）取的中点，连结，    由中位线性质可得，且，所以， 因为平面平面，所以平面， 同理可证平面， 因为平面平面， 所以平面//平面；. 又平面, 所以//平面, （3）设，， 由（1）可得平面，而平面，故， 故四边形为菱形，而，故. 因为平面，平面，故， 故，同理. 而，故. 设为点到平面的距离，与平面所成的角为， 故. 又， 而， 故，故， 故， 当且仅当即时等号成立， 所以 【变式15-1】（22-23高一下·湖北·期末）已知空间中，，直线与平面所成的角为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求线面角、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】作平面，即可说明为直线与平面所成的角，然后通过作垂线求得线段之间的数量关系，解直角三角形即可求得答案. 【详解】如图，作平面，垂足为C，连接， 则为直线与平面所成的角，    作,垂足为E，连接， 因为平面，故， 平面，故平面， 平面，则， 同理作,垂足为F，连接，可证, 由于，为的公共边， 故≌，则， 而，故≌，故, 即为的平分线，即, 设，则，故, 则， 故选：A 【变式15-2】（23-24高一下·河北保定·开学考试）如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 .    【答案】 【知识点】由线面角的大小求长度、立体几何中的轨迹问题 【分析】先利用直线与平面所成的角为，求得点的轨迹，进而求得点的轨迹长度. 【详解】若直线与平面所成的角为，则点的轨迹为圆锥的侧面与正方体的表面的交轨， 在平面内，点的轨迹为对角线（除掉点，不影响）； 在平面内，点的轨迹为对角线（除掉点，不影响）； 在平面内是以点为圆心2为半径的圆弧，如图， 故点的轨迹长度为． 故答案为：.    【变式15-3】（22-23高一下·河南周口·期末）如图，在直棱柱中，底面是边长为2的正方形，是上的一点，平面．    (1)请确定点的位置； (2)若直线与平面所成的角为求. 【答案】(1)点为的中点; (2)AE＝2或. 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、求线面角 【分析】（1）连接与相交于点，连接，由线面平行的性质定理可知，再由为中点，则可得为的中点; （2）记和的交点为，过点作的垂线，垂足为，连接，易证平面，即直线与平面所成的角的平面角为，，易得，，在中，，解方程即可得出答案． 【详解】（1）如图，连接与相交于点，连接， ∵平面，平面，平面∩平面， ∴， ∵为正方形的对角线的交点，∴， ∵，， ∴， ∴点为的中点；    （2）设,如图，记和的交点为，过点作的垂线，垂足为，连接，    ∵四边形为正方形，为对角线的交点，∴， ∵，，，∴， ∵，，∴， ∵，，，平面，, ∴平面， ∵平面，平面，∴， ∵，，，，平面， ∴平面， ∵平面， ∴直线与平面所成的角的平面角为， ∴， 在正方形中，由，可得． 在中，，有， 在长方形中，由，，有， 可得， 在中，， 又由，有，解得或， 故或． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$