精品解析：天津市第二南开学校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年第二学期高一年级领航计划（一） 数学学科试卷 考试时间：100分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共9小题，共36分. 1. 化简等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量线性运算计算即可． 【详解】， 故选：D． 2. 已知为坐标原点，点，，是线段AB的中点，那么向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由中点坐标公式以及向量的坐标运算即可求解. 【详解】由中点坐标公式可得,所以, 故选：B 3. 在中，已知角，，边，则边（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理直接求解即可. 【详解】因为在中，角，，边， 所以由正弦定理得，即， 所以，解得. 故选：A 4 如图，已知，用表示，则等于　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将向量转化成，向量转化成，然后化简整理即可求出所求． 【详解】解： 化简整理得 故选：． 【点睛】本题主要考查了向量的减法运算的逆用，同时考查了化简转化的能力，属于基础题． 5. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示和向量垂直的坐标表示，列方程求的值. 【详解】， ，则有，解得. 故选：B 6. 在中，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量数量积的运算律及投影向量的公式求解即可． 【详解】因为，所以， 所以，即， 在中，，，则， 所以在方向上的投影向量为， 故选：C． 7. 由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（ ） A. ，，，有两解 B. ，，，有两解 C. ，，，有两解 D. ，，，无解 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的几何性质，及正弦定理、余弦定理，逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，可得，，， 则，故只能有一个值，所以三角形有一解，故A错误； 对于B，由于，即，所以三角形有两解，故B正确； 对于C，由于，故三角形为直角三角形，有一解，故C错误； 对于D，因为，，，有余弦定理，可求得唯一，所以三角形有一解，故D错误. 故选：B. 8. 的内角的对边分别为．已知 ，，则为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换可得，进而可求得，由余弦定理得，可求的值. 【详解】由，可得， 所以，因为，所以， 所以，因，所以， 在中，由余弦定理得， 所以，所以，解得. 故选：C. 9. 在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出，再由，，可得出，由三点共线得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值. 【详解】如下图所示： ，即，， ，，，， ，、、三点共线，则. ， 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B. 【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，共24分. 10. 已知向量与的夹角为，且，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义即可得解. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以. 故答案为：. 11. 已知向量且，，若向量与向量的夹角是，则的值是______；向量在向量上的投影向量的坐标是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，以及平面向量的夹角公式，即可求解. 【详解】向量且，， 则， 故，解得； 向量在向量上的投影向量是： . 故答案为：①；②. 12. 在中，角的对边分别为，且的面积为，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理可求得的值. 【详解】因为，且面积为， 则，可得， 由余弦定理可得 ， 因此，. 故答案为: . 13. 在中，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由的面积，求得，再求得，再利用数量积的定义求出. 【详解】由，得，则， 则. 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，数量积的定义，同角三角函数的基本关系式，属于容易题. 14. 如图，在中，，，D，F分别为，的中点，P为与的交点，且．若，则______；若，，，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接中位线，利用三角形相似得到，再利用加法的三角形法则表示出，即可得到的值；同理表示出，利用向量的数量积运算即可得到结果. 【详解】 如图所示：连接， 因为D，F分别为，的中点， 所以是的中位线，所以， 则， 所以，所以； 因为， 所以 . 故答案为：；. 15. 已知在中，，，且的最小值为3，则___________，若P为边上任在一点，则的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. ##-3.0625 【解析】 【分析】根据数量积的运算律，可推得，令，即可得出的值；以点为坐标原点，建立直角坐标系，根据点的关系，表示出，求出最小值即可. 【详解】因为 ， 当且仅当时等号成立. 又因为的最小值为，所以， 解得，所以. 如图所示建立直角坐标系，则，，， 设，. 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：本题考查了向量的模的最值，向量的数量积的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，建立直角坐标系可以简化运算，是解题的关键. 三、解答题：本题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知向量和，且，求： （1）的值 （2）的值 （3）的夹角的余弦值. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义即可求解； （2）由即可求解； （3）由向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 ， 17. 已知向量，． （1）当且时，求； （2）当，与夹角为钝角，求x范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示即可求解； （2）根据向量平行的坐标关系可求，进而根据数量积为负即可求解. 【小问1详解】 ，，则，， 由于可得， 由于，故， 此时，，故，则， 【小问2详解】 ，， 由，可得，解得， 由可得， 故当与夹角为钝角时，则且 18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，． （1）求的值； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得到方程解得，由同角三角函数的关系求出，由正弦定理求出； （2）由三角形面积公式即可得到答案. 【小问1详解】 由余弦定理可得，即， 即，解得或（舍去）， ∵，∴， 由正弦定理可知，即，解得 【小问2详解】 . 19. 如图，在梯形ABCD中，，， （1）求； （2）求BC的长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）计算出、，利用两角和的余弦公式可求得的值. （2）在中，利用正弦定理可求出的长，然后在中利用余弦定理可求得的长. 【小问1详解】 在中，，，则、均为锐角， 则，， . 【小问2详解】 在中，由正弦定理得，， 由，得，在中，由余弦定理得：， 所以. 20. 在中，角的对边分别为，若，其中， （1）求角的大小； （2）若的面积为． ①求的值； ②求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由便得到，进行数量积的坐标运算便可得到，从而得出； （2）①利用余弦定理及三角形面积公式计算可求；②利用正弦定理求得，再由三角恒等变换计算可求的值. 【小问1详解】 因为，则， 又， 所以， 由正弦定理得， 即， 又是内角，则, 所以，即, 又是内角，则. 【小问2详解】 ①在中，，由（1）及余弦定理得 ， 又，， 联立解得，或（舍去）； ②由正弦定理可得，， 因，，所以， 所以， 由可知， 所以， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期高一年级领航计划（一） 数学学科试卷 考试时间：100分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共9小题，共36分. 1. 化简等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知为坐标原点，点，，是线段AB的中点，那么向量的坐标是（ ） A. B. C D. 3. 在中，已知角，，边，则边（ ） A. B. C. 1 D. 4. 如图，已知，用表示，则等于　　 A. B. C. D. 5. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 0 6. 在中，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 7. 由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（ ） A. ，，，有两解 B. ，，，有两解 C. ，，，有两解 D. ，，，无解 8. 的内角的对边分别为．已知 ，，则为（ ） A. B. C. 2 D. 9. 在中，点满足，过点直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为 A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，共24分. 10. 已知向量与的夹角为，且，，则的值为______. 11. 已知向量且，，若向量与向量的夹角是，则的值是______；向量在向量上的投影向量的坐标是______. 12. 在中，角的对边分别为，且的面积为，，则____________． 13. 在中，，则______． 14. 如图，在中，，，D，F分别为，的中点，P为与的交点，且．若，则______；若，，，则______． 15. 已知在中，，，且的最小值为3，则___________，若P为边上任在一点，则的最小值为___________． 三、解答题：本题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知向量和，且，求： （1）值 （2）的值 （3）的夹角的余弦值. 17. 已知向量，． （1）当且时，求； （2）当，与夹角为钝角，求x范围． 18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，． （1）求的值； （2）求的面积． 19. 如图，梯形ABCD中，，， （1）求； （2）求BC的长． 20. 在中，角对边分别为，若，其中， （1）求角的大小； （2）若的面积为． ①求的值； ②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$