精品解析：山东省宁津县张宅中学2024-2025学年下学期第一次月考九年级数学试题

2024-2025学年第二学期3月教学质量检测 九年级数学学科试题 （120分钟，150分） 一、选择题（每题4分，共计48分） 1. 在四个实数，，，中，最小数是（ ） A. B. C. D. 0 2. 下列计算正确的是（　　） A B. C. D. 3. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 风云二号是我国自行研制的第一代地球静止气象卫星，它在地球赤道上空距地面约35800公里的轨道上运行．将35800用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 5. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从上面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 6. 若，是一元二次方程两根，则的值是（ ） A. 13 B. C. 14 D. 7. 若等腰三角形两边长分别是2和6，则它的周长是（ ） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8 8. 一次函数（k，b为常数）的图像经过点P（－2，－1）且y随着x的增大而减小，则该图像不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图，与位似，点O为位似中心，且的面积是面积的9倍，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其的钱给乙．则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，，，，线段长是5，且两个端点、分别在边，上滑动，点、分别是、的中点，求的最小值（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 12. 如图1，四边形是菱形，点以的速度从点出发，沿着的路线运动，同时点以相同的速度从点出发，沿着的路线运动，设运动时间为，，两点之间的距离为，与的函数关系的图象如图所示，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共计24分） 13. 因式分解：____________________． 14. 若分式有意义，则a的取值范围是__. 15. 将直线向上平移m个单位长度得到新直线，则m的值为____________． 16. 如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作的外接圆，则的长等于_____． 17. 如图，反比例函数的图象经过的顶点A，点D是的中点，若反比例函数的图象经过点D，则k的值为___________． 18. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a＋c；③4a＋2b+c>0；④2c＜3b；⑤a＋b＜m (am＋b)（m≠1的实数）．其中正确结论的序号有_____． 三、解答题（共计78分） 19. 先化简代数式，再求值：．其中a值为式子的值． 20. 我市教育局想了解各学校教职工参与志愿服务的情况，在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工，对他们的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成两幅不完整的统计图表． 志愿服务时间(小时) 频数 请根据两幅统计图表中的信息回答下列问题： （1）表中_____；扇形统计图中“”部分所占百分比为_____，若我市共有名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于小时的教职工人数大约为_____人； （2）若陈老师和李老师参加志愿服务活动，社区随机安排他们两人到三个不同的路口做文明劝导员．他们被安排在每一个路口的可能性相同．请用列表或画树状图的方法求出李老师和王老师恰好被安排在同一路口的概率． 21. 某数学实践小组准备测量路灯杆高度．先从水平地面上一点C处，测得C到路灯杆AB底部B的距离为10米，在C处放置高为1米的测角仪，测得路灯杆顶部的仰角为，求路灯杆的高度（结果保留根号）． 22. 如图，在中，，，延长至点，使，连接，交于点，连接，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）求的面积． 23. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同． （1）问： A、B两款的进货单价分别是多少元？ （2）小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 24. 如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若OB=2，求BD的长． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期3月教学质量检测 九年级数学学科试题 （120分钟，150分） 一、选择题（每题4分，共计48分） 1. 在四个实数，，，中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．根据实数的大小比较方法即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴最小的数是， 故选：A 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的乘方、同底数幂除法、合并同类项、同底数幂乘法等运算法则分别计算即可． 【详解】解：A、，错误，不符合题意； B 、，错误，不符合题意； C、和不是同类项，不能合并，不符合题意； D、，正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂除法、合并同类项、同底数幂乘法，熟练运用相关运算法则是解本题的关键． 3. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与原来的图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、图形是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 风云二号是我国自行研制第一代地球静止气象卫星，它在地球赤道上空距地面约35800公里的轨道上运行．将35800用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数．本题小数点往左移动到3的后面，所以 【详解】解：35800 故选D 【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响． 5. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从上面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看简单组合体，掌握从上面看得到的图形是关键．画出从几何体的上面看到的图形，实际上就是从上面“正投影”所得到的图形，据此即可获得答案． 【详解】解：从上面看，底层是两个小正方形，上层有两个小正方形．即 故选：D． 6. 若，是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. 13 B. C. 14 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 7. 若等腰三角形两边长分别是2和6，则它的周长是（ ） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】分腰为2和6两种情况分别讨论，再根据三角形的三边关系进行取舍，再求周长即可． 【详解】解：当腰为2时，则三边为2、2、6，此时，不满足三角形的三边关系，不符合题意； 当腰为6时，则三边为6、6、2，满足三角形的三边关系，周长为，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，注意利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键． 8. 一次函数（k，b为常数）的图像经过点P（－2，－1）且y随着x的增大而减小，则该图像不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分别求得和，再进行判断即可． 【详解】∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵一次函数中y随着x的增大而减小， ∴， ∴， ∵，， ∴该图像不经过的象限是第一象限， 故答案为：A． 【点睛】本题考查了一次函数的问题，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 9. 如图，与位似，点O为位似中心，且的面积是面积的9倍，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的性质得到，，进而得到以及，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：与位似， ，， ，， 又的面积是面积的9倍， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 10. 《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其的钱给乙．则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50”和“甲把其的钱给乙．则乙的钱数也为50”两个等量关系，即可列出方程组. 【详解】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y； 由甲得乙半而钱五十，可得： 由甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50；可得： 故答案为:A 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题，解题的关键在于，找到正确的等量关系. 11. 如图，中，，，，线段长是5，且两个端点、分别在边，上滑动，点、分别是、的中点，求的最小值（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理，最短距离等知识，连接、,由勾股定理求得,再由直角三角形斜边上的中线性质得出，当在同一直线上时，取最小值，即可得出答案，熟练掌握其性质得出三点在同一直线上时，取最小值是解决此题的关键． 【详解】解：如图，连接, 在中，, 由勾股定理得：, ,点、分别是、中点， ,, 当在同一直线上时，取最小值， 的最小值为：, 故选：． 12. 如图1，四边形是菱形，点以的速度从点出发，沿着的路线运动，同时点以相同的速度从点出发，沿着的路线运动，设运动时间为，，两点之间的距离为，与的函数关系的图象如图所示，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，函数图象，垂线段最短，勾股定理，连接，交于点，由菱形性质得，，，根据图可知，，，由勾股定理求出，当时，最小，即最小，最后由等面积法即可求解，读懂图象信息，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， 根据图可知，，， ∴，， ∴， ∵同时运动， ∴当时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 二、填空题（每题4分，共计24分） 13. 因式分解：____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，首先提出公因式，然后再利用平方差公式进行分解因式． 【详解】解： ． 故答案为： ． 14. 若分式有意义，则a的取值范围是__. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件列不等式计算即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键． 15. 将直线向上平移m个单位长度得到新直线，则m的值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将直线向上平移m个单位长度得到函数的图象， ∴ ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 16. 如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作的外接圆，则的长等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】由AB、BC、AC长可推导出△ACB为等腰直角三角形，连接OC，得出∠BOC＝90°，计算出OB的长就能利用弧长公式求出的长了． 【详解】∵每个小方格都是边长为1的正方形， ∴AB＝2，AC＝，BC＝， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ACB为等腰直角三角形， ∴∠A＝∠B＝45°， ∴连接OC，则∠COB＝90°， ∵OB＝ ∴的长为：＝ 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是利用三角形三边长通过勾股定理逆定理得出△ACB为等腰直角三角形． 17. 如图，反比例函数的图象经过的顶点A，点D是的中点，若反比例函数的图象经过点D，则k的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，根据题意设点A坐标，由D为斜边的中点，可得出，从而得出过点D的反比例函数的解析式． 【详解】解：设点A坐标， ∵反比例函数的图象经过的顶点A，D为斜边的中点， ∴， ∴， ∴k的值为． 故答案为：． 18. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a＋c；③4a＋2b+c>0；④2c＜3b；⑤a＋b＜m (am＋b)（m≠1的实数）．其中正确结论的序号有_____． 【答案】①③④ 【解析】 【详解】①由图象可知：a<0，c>0， ∴b>0， ∴abc<0，故此选项正确； ②当x=−1时，y=a−b+c<0，故a−b+c>0，错误； ③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c>0，故此选项正确； ④当x=3时函数值小于0,y=9a+3b+c<0,且， 即,代入得，得2c<3b，故此选项正确； ⑤当x=1时，y的值最大.此时，y=a+b+c， 而当x=m时,y=am2+bm+c， 所以a+b+c>am2+bm+c， 故a+b>am2+bm即a+b>m(am+b)，故此选项错误. 故①③④正确. 故答案为：①③④. 三、解答题（共计78分） 19. 先化简代数式，再求值：．其中a的值为式子的值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简与求值、特殊角三角函数值的混合运算、负整数指数幂、实数的运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先利用特殊角三角函数值、负整数指数幂、实数的运算求出a的值，再利用分式的运算法则化简代数式，最后代入a的值即可求解． 【详解】解： ， ， 代入，原式． 20. 我市教育局想了解各学校教职工参与志愿服务的情况，在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工，对他们的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成两幅不完整的统计图表． 志愿服务时间(小时) 频数 请根据两幅统计图表中的信息回答下列问题： （1）表中_____；扇形统计图中“”部分所占百分比为_____，若我市共有名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于小时的教职工人数大约为_____人； （2）若陈老师和李老师参加志愿服务活动，社区随机安排他们两人到三个不同的路口做文明劝导员．他们被安排在每一个路口的可能性相同．请用列表或画树状图的方法求出李老师和王老师恰好被安排在同一路口的概率． 【答案】（1）；， （2） 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表与扇形统计图，画树状图法求概率； （1）先根据“”部分的人数与占比求得总人数，进而求得的值，根据“”的人数除以总人数求得占比，进而根据样本估计总体求得志愿服务时间多于小时的教职工人数； （2）设三个路口分别为，，，画树状图法求概率，即可求解． 【小问1详解】 解：总人数为人， ∴， 扇形统计图中“”部分所占百分比为 若我市共有名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于小时的教职工人数大约为 故答案为：；，． 【小问2详解】 设三个路口分别为，，，画树状图如下： 共有种结果，并且它们出现的可能性相等，李老师和王老师在同一路口的结果有种． 所以， 21. 某数学实践小组准备测量路灯杆的高度．先从水平地面上一点C处，测得C到路灯杆AB底部B的距离为10米，在C处放置高为1米的测角仪，测得路灯杆顶部的仰角为，求路灯杆的高度（结果保留根号）． 【答案】（米） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，理解题意，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．先在Rt中求出，再利用即可求出路灯杆的高度． 【详解】解：由题意知：四形是矩形， ∴米，米， 在Rt中， ∵， ∴（米）， ∴（米）， 答：路灯杆的高度为（）米． 22. 如图，在中，，，延长至点，使，连接，交于点，连接，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，得，，再证，即可得证； （2）由矩形的性质得，由勾股定理求出，即可得解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形外角的定义及性质等知识，掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 23. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同． （1）问： A、B两款的进货单价分别是多少元？ （2）小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 【答案】（1）A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元 （2）购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进B款个，先根据“A款数量不小于B款的一半”求得；再设总利润为，则，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴， 答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元； 【小问2详解】 解：设购进B款个，则购进A款个， 又A款的数量不小于B款的一半， ， 解得：， 设总利润为，则， ， ∴随的增大而增大， 当取得最大整数解50时，取得最大值，最大值为， 此时，则， 答：购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元． 24. 如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若OB=2，求BD的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）BD=． 【解析】 【分析】（1）连接OC，由已知可得∠BOC=90°，根据SAS证明△OCE≌△BFE，根据全等三角形的对应角相等可得∠OBF=∠COE=90°，继而可证明直线BF是⊙O的切线； （2）由（1）的全等可知BF=OC=2，利用勾股定理求出AF的长，然后由S△ABF=，即可求出BD=． 【详解】解：（1）连接OC， ∵AB是⊙O的直径，， ∴∠BOC=90°， ∵E是OB的中点， ∴OE=BE， 在△OCE和△BFE中， ， ∴△OCE≌△BFE（SAS）， ∴∠OBF=∠COE=90°， ∴直线BF是⊙O的切线； （2）∵OB=OC=2，由（1）得：△OCE≌△BFE， ∴BF=OC=2， ∴AF=， ∴S△ABF=， 即4×2=2BD， ∴BD=． 【点睛】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的不同表示方法，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为；的最大值为 （3）点M的坐标为：， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点P作轴，交于点Q，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点，得出，根据轴，得出，根据，求出点P的坐标和最大值即可； （3）证明，得出，设，，得出，，根据，得出，求出或或，根据当时，点P、M、C、四点重合，不存在舍去，求出点M的坐标为，． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 小问2详解】 解：过点P作轴，交于点Q，如图所示： 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点， ∵点P在直线上方的抛物线上， ∴， ∵轴， ∴， ∴ ∵， ∴ ， ∴当时，有最大值， 此时点P的坐标为． 【小问3详解】 解：根据折叠可知，，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ， ， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∴或， 解得：或或， ∵当时，点P、M、C、四点重合，不存在， ∴， ∴点M的坐标为，． 【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，二次函数的综合应用，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，作出辅助线或画出图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $