重难点05 函数大综合（6题型）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

重难点05 函数大综合 题型01 点恒过定直线问题 1．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数（a为常数）． (1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点； (2)当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式； (3)若二次函数图象对称轴为直线，该函数图象与x轴交于两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为的中点，过点M的直线l（直线l不过两点）与二次函数图象交于两点，直线与直线相交于点P． ①求证：点P在一条定直线上； ②若，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由． 2．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线交轴于两点（在的左边），交轴于点．    (1)直接写出三点的坐标； (2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于三点，连接．若与相似，求的值； (3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于两点，过的中点作直线（异于直线）交抛物线于两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由． 3．（2024·福建漳州·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线：上． (1)求抛物线的对称轴； (2)若， ①不管d取任何实数，抛物线上的三个点，，中至少有两个点在x轴的上方，求a的取值范围； ②平移抛物线得到抛物线，过点P，且其顶点为O，过点作直线（不与直线重合）交抛物线于M，N两点（点M在点N左侧），直线与直线交于点H．求证：点H在一条定直线上． 4．（2023·广东广州·二模）平面直角坐标系中，抛物线，与轴交于点． (1)时，过点作直线垂直于轴，与抛物线的另一个交点记为点．求的长； (2)拋物线的开口方向和开口大小均与抛物线相同，顶点在上，的顶点横坐标为，且解析式记为． ①与直线l交于点、两点，若，求的范围； ②若，当抛物线与抛物线的交点始终在定直线（为常数）上时，求此时的最小值（用含的代数式表示）． 5．（2024·四川成都·一模）如图，直线分别交x轴，y轴于A，C两点，点B在x轴正半轴上．抛物线过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作交y轴于点D，交抛物线于点F．若点P为直线下方抛物线上的一动点，连接交于点E，连接，求的最大值及最大值时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线与新抛物线交于O，G两点，点H是线段的中点，过H作直线（不与重合）与新抛物线交于R，Q两点，点R在点Q左侧．直线与直线交于点T，点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由． 题型02 直线过定点问题 6．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若的面积与的面积相等，求的值； (3)延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 7．（2023·湖南·中考真题）如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线．    (1)求a的值． (2)将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)抛物线上是否存在点P，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 8．（2024·湖北·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，抛物线与轴交于点，交轴于、两点（在的左边），为抛物线第一象限上一动点． (1)直接写出，两点坐标； (2)连接，过作轴交于，当时，求点的横坐标； (3)连接，平移至，使，对应，使，分别与，对应，且，均落在抛物线上，连接，判断并证明直线是否经过一个定点． 题型03 恒定值的有关计算问题 9．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线经过的三个顶点，其中O为原点，，，点F在线段上运动，点G在直线上方的抛物线上，，于点E，交于点I，平分，，于点H，连接． (1)求抛物线的解析式及的面积； (2)当点F运动至抛物线的对称轴上时，求的面积； (3)试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由． 10．（2024·河南商丘·模拟预测）已知抛物线交轴于，，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记的中点为，直线，的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，，且，求证：，，三点共线； (3)小明研究发现，无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，的面积恒为定值，请求出此定值． 11．（2023·云南·模拟预测）已知抛物线，其中． (1)求证：该抛物线与x轴恒有两个不同的交点； (2)如图，设抛物线与轴的交点为，（点在点的左边），与轴的交点为，已知点，直线交抛物线于另一点，连接，过点作轴，交于． ①请直接写出，，的坐标（可用含的式子表示）； ②求证：当变化时，线段的长度恒为定值． 12．（2024·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．    (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图1，点T是x轴上一动点，将顶点M绕点T旋转刚好落在抛物线上的点N处，求点T的坐标； (3)点P为抛物线的对称轴上一定点，过点P的直线交抛物线于点E、F(点E在F的左侧)．若恒为定值m，求m的值． 题型04 特殊角的唯一存在性 13．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于，两点（在的左边），与轴正半轴交于点，的面积为4． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点是第一象限抛物线上一点，外接圆的圆心在抛物线的对称轴上，若点的纵坐标为2，求的值； (3)如图3，已知直线，将抛物线沿直线方向平移，平移过程中抛物线与直线相交于，两点．设平移过程中若抛物线的顶点的横坐标为，在轴上存在唯一的一点，使，求的值． 14．（2020·山东淄博·中考真题）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E． （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是平行四边形OABC的面积的，求点R的坐标； （3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．    15．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和，点为线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，连结．    (1)求抛物线的解析式； (2)当为直角三角形时，求线段的长度； (3)在抛物线上是否存在这样的点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．   16．（2024·江苏苏州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，拋物线与轴交于点、两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q为抛物线上的一点（不与点A重合），当的面积等于面积的2倍时，求此时点Q的坐标； (3)如图2，点在轴下方的抛物线上，点为抛物线的顶点．过点作轴于点，连接交于点，连接，，探究抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型05 等角与相似三角形存在性综合 17．（2023·湖北武汉·一模）抛物线 交轴于，两点（在的左边），是抛物线的顶点．    (1)当时，直接写出，两点的坐标： (2)点是对称轴右侧抛物线上一点，， ①如图（1），求线段长度； ②如图（2），当，，为线段上一点．若与相似，并且符合条件的点有个，求和之间的数量关系． 18．（21-22九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，抛物线经过点，点，D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上找一点Q，使，求点Q的坐标； (3)在坐标平面内找一点P，使与相似，且，求出所有点P的坐标． 19.（2023·湖南长沙·模拟预测）已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点C (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接，当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型06 新定义与函数综合 20．（2025·湖南长沙·一模）定义：若一次函数和反比例函数交于两点和，满足，则称为一次函数和反比例函数的“属合成”函数． (1)试判断一次函数与是否存在“属合成”函数？若存在，求出的值及“属合成”函数；若不存在，请说明理由； (2)已知一次函数与反比例函数交于两点，它们的“属合成”函数为，若点在直线上，求的解析式； (3)如图，若与的“2属合成”函数的图象与轴交于两点（在点左侧），它的顶点为，为第三象限的抛物线上一动点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，射线与射线交于点，连接，若，求点的坐标． 21．（2024·湖南·模拟预测）定义：若抛物线沿轴向右平移个单位长度得到抛物线，那么我们称抛物线是的“友好抛物线”，称为“友好值”．如图，抛物线与轴交于两点，抛物线是的“友好抛物线”，“友好值”为2，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线，点是抛物线上一动点． (1)抛物线的表达式为_________； (2)若点在第四象限，过点作轴于点，交于点，当时，求的长； (3)是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（2024·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边长为n（n为正整数，且），点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．若点在等腰直角三角形边上，且x，y均为整数，定义点M为等腰直角三角形的“整点”．若某函数的图像与等腰直角三角形只有两个交点且交点均是等腰直角三角形的“整点”，定义该函数为等腰直角三角形的“整点函数”．    (1)如图1，当时，一次函数是等腰直角三角形的“整点函数”，则符合题意的一次函数的表达式为______（写出一个即可）； (2)如图2，当时，函数的图像经过，判断该函数是否为“整点函数”，并说明理由； (3)当时，二次函数经过的中点，若该函数是“整点函数”，求的取值范围； (4)在（3）的条件下，是二次函数图象上两点，若点、之间的图象（包括点、）的最高点与最低点纵坐标的差为，求的值 【命题预测】 1．（2024·湖北·模拟预测）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图（1），P是抛物线上异于A，B的一点，将点B绕点P顺时针旋转得到点Q，若点Q恰好在直线上，求点P的坐标 (3)如图（2），M，N是抛物线上异于B，C的两个动点，直线与直线交于点T，若直线经过定点，求证：点T的运动轨迹是一条定直线． 2．（2024·山东德州·一模）已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴：______． (2)将抛物线平移，使其顶点是坐标原点，得到抛物线，且抛物线经过点和点（点在点的左侧）． ①求的函数解析式； ②若的面积为4，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，直线与抛物线交于点，分别过点的两条直线交于点，且与轴不平行，当直线与抛物线均只有一个公共点时，请说明点在一条定直线上． 3．（2025·云南·模拟预测）已知函数（k为正整数）． (1)若函数的图象与坐标轴有3个不同的交点，且交点的横、纵坐标均为整数，求此函数的解析式； (2)无论k为何值，该函数都经过定点，且，求的值． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C，点P为第一象限抛物线上一个动点． (1)直接写出该抛物线的解析式； (2)如图1，若，求点P的坐标； (3)如图2，过A作交抛物线于点Q，当点P在运动过程中，直线是否经过一个定点，若经过定点，求出该定点的坐标． 5．（2024·四川南充·三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴直线． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，直线与抛物线，轴分别交于点，，于点，点在坐标平面内，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)如图2，若过（2）中点的直线与抛物线交于、两点（点在点左侧），过点的直线与抛物线交于点，探究直线是否经过某个定点？若经过某定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由． 6．（2024·江苏泰州·三模）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．点P是第一象限抛物线上的一个动点． (1)求抛物线解析式． (2)如图2，若点P是抛物线顶点，连接、、，求面积． (3)如图3，点Q是第四象限抛物线上的另一动点，交y轴于H点，交y轴于G点．在点P、Q运动的过程中始终满足，试探究直线是否经过某一个定点，若是，则求出该定点的坐标；若不是，说明理由． 7．（2024·甘肃酒泉·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，连接． (1)求B、C两点的坐标； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，过点P作于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，抛物线上是否存在一点Q，使，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2024·四川·中考真题）【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点， ，请直接写出的取值范围．    9．（2023·湖南益阳·中考真题）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与抛物线交于B，C两点（B在C的左边）．    (1)求A点的坐标； (2)如图1，若B点关于x轴的对称点为点，当以点A，，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值； (3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如，等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围． 10．（2023·江苏南通·中考真题）定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”． (1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”?若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)点与其“级变换点” 分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：； (3)关于x的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求n的取值范围． 11．（2025·山东·一模）新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为，已知抛物线：的“关联抛物线”为，与y轴交于点E． (1)若点E的坐标为，求的解析式； (2)设的顶点为F，若是以为底的等腰三角形，求点E的坐标； (3)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，，于点M，N． ①当时，求点P的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为，求a的值． 12．（2024·广西·模拟预测）阅读与探究．定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，将原函数中的自变量x替换为，从而形成一个新的函数，这个新函数叫做原函数的“绝对函数”．例如，函数y=x+1的“绝对函数”是，即；函数的“绝对函数”是，即；函数的图象如图1，则它的“绝对函数”的图象如图②所示． (1)的“绝对函数”是______； (2)在图3的平面直角坐标系中画出的绝对函数的图象； (3)在（1）的“绝对函数”图象上取一点A，点A关于y轴的对称点为，O是平面直角坐标系的原点，则的面积是______； (4)函数的“绝对函数”与直线有四个交点时，求m的取值范围． 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点05 函数大综合 题型01 点恒过定直线问题 1．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数（a为常数）． (1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点； (2)当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式； (3)若二次函数图象对称轴为直线，该函数图象与x轴交于两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为的中点，过点M的直线l（直线l不过两点）与二次函数图象交于两点，直线与直线相交于点P． ①求证：点P在一条定直线上； ②若，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)①证明见解析；②或 【分析】（1）令，则，根据根的判别式求得，得到不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根，进而即可得证； （2）由二次函数的解析式得到图象对称轴为直线，最大值为4，判断，得到当时，y取得最小值，最小值为，根据二次函数的最大值与最小值之差为9，即可列出方程，求解后进行取舍即可解答； （3）①根据对称轴为直线，求得，得到二次函数解析式为．令，求得，令，求得，从而．设，采用待定系数法求得直线的解析式为．把点代入，得到．同理求得直线的解析式为，直线的解析式为．联立直线，，求得点．设点P所在的定直线的解析式为，代入点P的坐标可求得，从而得证点P在定直线上； ②根据，得到，化简得到，由①知，从而，分两种情况分别讨论： 当时或，根据①中的点P的横坐标可得，整理得，结合，即可求出m，n的值，进而得到，的值，从而得到直线l的解析式．同理可求出当时直线l的解析式，即可解答． 【详解】（1）证明：令，则， ∵， ∴不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根， ∴二次函数图象与x轴总有两个公共点． （2）解：由二次函数的解析式得， 函数图象对称轴为直线，最大值为4． ， ， ∴当时，y取得最小值，最小值为， ，解得或（舍去）， 二次函数的解析式为． （3）①证明：对称轴为直线， ∴ ∴二次函数解析式为． 令，则，解得或， 则， 令，则，则 ∴． 设，由题意知，且均不为0，2． 设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为．（记为①式） 又直线过点， ，即． 同理设直线的解析式为， 把代入得 解得， 直线的解析式为．（记为②式） 同理得直线的解析式为．（记为③式） 由②③式联立得， 解得 ． 若点P在一条定直线上，设点P所在直线解析式为，代入点P的坐标得 ，将①式代入化简得， 由对应系数相等得， ∴点P所在直线解析式为，即点P在一条定直线上． ②解：直线l的解析式为或 理由：， ∴， ， ， ， ∴， 由①知， ∴， ∴ 当时，，整理得． 又， ∴ 整理得， 解得（不符合题意，舍去）， ， ， 直线l的解析式为； 当时，，整理得． 又， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）， ， ∴直线l的解析式为． 综上所述，当时，直线l的解析式为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，二次函数与方程，二次函数与坐标轴的交点等，综合运用相关知识是解题的关键． 2．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线交轴于两点（在的左边），交轴于点．    (1)直接写出三点的坐标； (2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于三点，连接．若与相似，求的值； (3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于两点，过的中点作直线（异于直线）交抛物线于两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)的值为2或 (3)点在定直线上 【分析】（1）令，解一元二次方程求出值可得、两点的坐标，令求出值可得点坐标，即可得答案； （2）分和两种情况，利用相似三角形的性质分别列方程求出值即可得答案； （3）根据平移的性质可得解析式，联立直线与解析式可得点坐标，即可得出中点的坐标，设，利用待定系数法可得直线的解析式为，同理得出直线的解析式为，联立两直线解析式可得，设点在直线上，把点代入，整理比较系数即可得出、的值即可得答案，也可根据点的纵坐标变形得出横坐标与纵坐标的关系，得出答案． 【详解】（1）∵抛物线解析式为， ∴当时，， 解得：，， 当时，， ∴，，． （2）解：是直线与抛物线的交点， ， ①如图，若时， ， ∴ ， ∴， 解得，（舍去）或． ②如图，若时．过作轴于点． ， ∴， ∴， ， ， ∴ ， ∴，， ， ∴， 解得，（舍去）或．    综上，符合题意的的值为2或． （3）解：∵将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点， ∴， ∵直线的解析式为， ∴联立直线与解析式得：， 解得：（舍去），， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 设，直线的解析式为， 则， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴ 同理，直线的解析式为；直线的解析式为． 联立，得， 解得：． ∵直线与相交于点， ． 设点在直线上，则，① 整理得，， 比较系数得：， 解得：， ∴当时，无论为何值时，等式①恒成立． ∴点在定直线上． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合、二次函数图象的平移及相似三角形的性质，正确作出辅助线，熟练掌握待定系数法求函数解析式及相似三角形的性质是解题关键． 3．（2024·福建漳州·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线：上． (1)求抛物线的对称轴； (2)若， ①不管d取任何实数，抛物线上的三个点，，中至少有两个点在x轴的上方，求a的取值范围； ②平移抛物线得到抛物线，过点P，且其顶点为O，过点作直线（不与直线重合）交抛物线于M，N两点（点M在点N左侧），直线与直线交于点H．求证：点H在一条定直线上． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)①a的取值范围是；②见解析 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合， （1）把代入解析式得到，再根据对称轴计算公式求解即可； （2）①先求出抛物线解析式为，当抛物线 与x轴没有交点或只有一个交点时，符合题意，则，可得；当抛物线与x轴有两个不同交点时，，设两个交点的横坐标为，由抛物线开口向上，则，，这三个点最多只有一个点在x轴下方，则，据此求解即可；②先利用待定系数法求出；设，直线的解析式为，求出直线的解析式为．进而得到．同理， 直线的解析式为，直线的解析式为．联立，解得可得，进而可得点H在定直线上． 【详解】（1）解：∵点在抛物线：上， ∴， ∴， ∴抛物线得对称轴为直线 （2）解： ①当时， 抛物线解析式为， ∵无论d取任何实数，三个点中至少有两个点在x轴的上方， ∴当抛物线 与x轴没有交点或只有一个交点时，符合题意． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 当抛物线与x轴有两个不同交点时，． 设两个交点的横坐标为， ∴当时，，，中至少有两个点在x轴的上方， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得 综上所述，a的取值范围是； ②由题可知抛物线 ， ∵经过， ∴， ∴， ∴； 设，直线的解析式为． ∴， 解得 ∴直线的解析式为． ∵直线M经过点 ， ∴． 同理， 直线的解析式为，直线的解析式为． ∵直线与相交于点 H， ∴． 联立，解得 ∵，               ∴点H在定直线上． 4．（2023·广东广州·二模）平面直角坐标系中，抛物线，与轴交于点． (1)时，过点作直线垂直于轴，与抛物线的另一个交点记为点．求的长； (2)拋物线的开口方向和开口大小均与抛物线相同，顶点在上，的顶点横坐标为，且解析式记为． ①与直线l交于点、两点，若，求的范围； ②若，当抛物线与抛物线的交点始终在定直线（为常数）上时，求此时的最小值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）当时，抛物线，由题意知，过点作直线垂直于轴，即直线与抛物线的另一个交点记为点，得到，即，解得或，即可求出； （2）①由（1）知过点作直线垂直于轴，即直线，再由题意可得解析式，根据与直线l交于点、两点，得到，从而由列出不等式，求解即可得到答案；②根据题意，联立，求出抛物线与抛物线的交点横坐标为，从而由，根据二次函数最值求法，将其化为顶点式，得到当时，有最小值，为；进而由变形为，将化为，即可知当时，有最小值的最小值为，进而求出答案． 【详解】（1）解：当时，抛物线， 抛物线与轴交于点， 当时，，即， 过点作直线垂直于轴，即直线与抛物线的另一个交点记为点， 当时，，即，解得或， ，即； （2）解：拋物线的开口方向和开口大小均与抛物线相同， 两个抛物线表达式中相同为， 顶点在上，的顶点横坐标为， 的顶点坐标为，即解析式， ① 与直线l交于点、两点， 当时，，解得或，当，即时才能满足题意， ， ， ，解得， 综上所述，若，的范围； ② ，， 联立方程得，当抛物线与抛物线的有交点时，得①②得， 由可知， 抛物线与抛物线的交点横坐标为， 抛物线与抛物线的交点始终在定直线（为常数）上， ， ， ， 当时，有最小值，为， ，即， ， 当时，有最小值的最小值为， 即的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数最值、二次函数交点问题等，综合性较强，熟练掌握二次函数的图像与性质，根据题意灵活运用恒等变形是解决问题的关键． 5．（2024·四川成都·一模）如图，直线分别交x轴，y轴于A，C两点，点B在x轴正半轴上．抛物线过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作交y轴于点D，交抛物线于点F．若点P为直线下方抛物线上的一动点，连接交于点E，连接，求的最大值及最大值时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线与新抛物线交于O，G两点，点H是线段的中点，过H作直线（不与重合）与新抛物线交于R，Q两点，点R在点Q左侧．直线与直线交于点T，点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为2，此时点P的坐标为 (3)点T在定直线上，该直线解析式为 【分析】（1）由题意易得，然后利用待定系数法可求解函数解析式； （2）由（1）可得，则有直线的解析式为，连接，过点P作轴交于点M，设点，则，则，然后根据铅垂法及二次函数的性质可进行求解； （3）由题意可知平移后的二次函数解析式为，则有，根据中点坐标公式可得，设点，然后可得直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为，进而可联立函数解析式进行求解． 【详解】（1）解：当时，则有，即；当时，则有； ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）可知抛物线解析式为， 当时，则有，解得：， ∴， 由可设直线的解析式为，把点代入得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，则有，即， 连接，过点P作轴交于点M，如图所示： 设点，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，开口向下， ∴当时，则取得最大值，最大值为2，此时点P的坐标为； （3）解：点T在某条定直线上，理由如下： 由题意可知平移后的二次函数解析式为，则联立方程得：， 解得：， ∴， ∵点H是线段的中点， ∴根据中点坐标公式可得：，即， 设点，直线的解析式为，则有： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 代入点H得：， ∴， 同理可得直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立上述两个函数表达式得： ， 解得：， ∴代入直线的解析式得， ∴， 设点T在直线，则有： ∴，即， 整理得：， 比较系数得：， ∴当时，无论m、n为何值时，都符合题设条件， ∴点T在定直线上． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质、铅垂法及设而不求的思想是解题的关键． 题型02 直线过定点问题 6．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若的面积与的面积相等，求的值； (3)延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)抛物线与交于定点 【分析】（1）根据题意可得，整理得，即可知则有； （2）由题意得抛物线：，则设 ，可求得，结合题意可得直线解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点E，则，即可求得，进一步解得点，过D作于点H，则，即可求得； （3）设可求得直线解析式为，过点D作，可得，结合题意得 设抛物线解析式为，由于过点，可求得抛物线解析式为，根据解得，即可判断抛物线与交于定点． 【详解】（1）解：∵抛物线：与轴交于A，B两点， ∴，整理得，解得 ∴ 则； （2）当时，抛物线：， 则 设 ，则， 设直线解析式为， ∵点D在直线上， ∴，解得， 则直线解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点E，则， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴，解得， ∴点， 过点D作于点H，则， 则； （3）设直线解析式为， 则，解得， 那么直线解析式为， 过点D作，如图， 则， ∵， ∴， ∵将沿方向平移得到， ∴ 由题意知抛物线平移得到抛物线，设抛物线解析式为， ∵点，都落在抛物线上   ∴ 解得， 则抛物线解析式为 ∵ 整理得，解得， ∴抛物线与交于定点． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、两点之间的距离、一次函数的性质、求正切值、二次函数的平移、等腰三角形的性质和抛物线过定点，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移过程中数形结合思想的应用． 7．（2023·湖南·中考真题）如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线．    (1)求a的值． (2)将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)抛物线上是否存在点P，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，理由见详解 (3)存在点P，直线的解析式为或． 【分析】（1）根据待定系数法即可得出结果； （2）设与轴交于点，设，过点作轴交于点，作于点，先证明是等腰直角三角形，再表示出的长度，根据二次函数的性质即可得出结果； （3）分两种情况讨论，当点在直线下方时，与当点在直线上方时． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点， 得， 解得：； （2）解：存在，理由如下： 设与轴交于点，由（1）中结论，得抛物线的解析式为， 当时，，即， ，，即是等腰直角三角形， ， ， ， 设，过点作轴交于点，作于点，   ，即是等腰直角三角形， 设直线的解析式为，代入， 得，解得， 故直线的解析式为， 将直线向下平移个单位长度，得直线的解析式为， ， ， 当时，有最大值， 此时也有最大值，； （3）解：存在点P，理由如下： 当点在直线下方时， 在轴上取点，作直线交抛物线于（异于点）点，    由（2）中结论，得， ， ， ， ， 设直线的解析式为，代入点， 得，解得， 故直线的解析式为； 当点在直线上方时，如图，在轴上取点，连接，过点作交抛物线于点，      ∴， ∴， ， ， ， 设直线的解析式为，代入点， 得，解得， 故设直线的解析式为， ，且过点, 故设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． 综上所述：直线的解析式为或． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 8．（2024·湖北·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，抛物线与轴交于点，交轴于、两点（在的左边），为抛物线第一象限上一动点． (1)直接写出，两点坐标； (2)连接，过作轴交于，当时，求点的横坐标； (3)连接，平移至，使，对应，使，分别与，对应，且，均落在抛物线上，连接，判断并证明直线是否经过一个定点． 【答案】(1)，； (2)点的横坐标是或； (3)直线经过一个定点，理由见解析 【分析】（1）令可得点和两点的坐标； （2）当时，，可得点的坐标，利用待定系数法可得直线的解析式，设点的横坐标为，则点的坐标为，根据两点的距离公式和可得结论； （3）设点的坐标为，点的坐标为，表示点的坐标并代入抛物线的解析式中，计算的解析式可得结论． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， ，； （2）解：如图： 当时，， ， 设直线的解析式为：， ， ∴， 解得：， 的解析式为：， 设点的横坐标为，则点的坐标为， 轴， ∴， ， ∴， ∴， 解得：（舍），，， 点的横坐标是或； （3）解：直线经过一个定点，理由如下： 设点的坐标为，点的坐标为， 由平移得：，， ， ∴， 即点的坐标为， 点在抛物线上， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ， 得：， ， ∵， ∴， 把代入得：， ∴， 直线的解析式为：， 直线经过一个定点． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，两点的距离公式，平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和平移的性质． 题型03 恒定值的有关计算问题 9．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线经过的三个顶点，其中O为原点，，，点F在线段上运动，点G在直线上方的抛物线上，，于点E，交于点I，平分，，于点H，连接． (1)求抛物线的解析式及的面积； (2)当点F运动至抛物线的对称轴上时，求的面积； (3)试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由． 【答案】(1)，的面积为12 (2)当点F运动至对称轴上时，的面积为3 (3)的值是定值，定值为 【分析】（1）运用待定系数法可得．设点到的距离为，点的纵坐标为，根据三角形面积公式即可求得； （2）当点运动至对称轴上时，点的横坐标为3，可得．连接、，由点与点关于原点对称，可得点、、三点共线，且为的中点．推出，可得点到的距离为．再根据三角形面积公式即可求得答案； （3）过点作于点，过点作于点．运用勾股定理可得．再证得为等腰直角三角形．设，则，再运用解直角三角形可求得，，即可求得答案． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 将，代入上式，得， 整理得， 解得， ， 设点O到的距离为d，点A的纵坐标为，则，， ∴的面积； （2）解：由（1）得抛物线的对称轴为， 当点F运动至对称轴上时，点F的横坐标为3， ， 即， 连接，， ∵，， ∴A与点C关于原点O对称， ∴点A，O，C三点共线，且O为的中点， ， ， . 平分， ， ， ∴， 与间的距离为d， ∴点H到的距离为d， ，， ， ∴当点F运动至对称轴上时，的面积为3； （3）解：过点A作于点L，过点F作于点K， 由题意得，， ， ， ∴在中，， . ， ，即为等腰直角三角形， 设，则， ∵， ∴， 在和中，， 即， ， 解得， ， 又， 即， ，解得， ， 的值是定值，定值为. 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，图形的面积计算，解直角三角形等，添加辅助线构造直角三角形是解题关键． 10．（2024·河南商丘·模拟预测）已知抛物线交轴于，，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记的中点为，直线，的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，，且，求证：，，三点共线； (3)小明研究发现，无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，的面积恒为定值，请求出此定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查属于二次函数综合题，考查二次函数的交点式，一次函数解析式，两条直线的交点坐标等． （1）根据抛物线与x轴的交点坐标设交点式，与对比，求出a的值即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再求出点D坐标，证明点D满足直线的解析式即可； （3）在（2）的条件下，求出直线，的解析式，联立求出点P的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 即抛物线的函数表达式为； （2）证明：设直线对应的函数表达式为， 为中点， ． 又 ， ，解得：， 直线对应的函数表达式为， 点在抛物线上， ， 解得：或， ， ，， ，即满足直线对应的函数表达式， 点在直线上，即，，三点共线； （3）解：小明研究发现，无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，的面积恒为定值， 故在（2）的条件下，，，，， 直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为， 联立上述两式得：， 解得：， 则点，， 此时的面积． 11．（2023·云南·模拟预测）已知抛物线，其中． (1)求证：该抛物线与x轴恒有两个不同的交点； (2)如图，设抛物线与轴的交点为，（点在点的左边），与轴的交点为，已知点，直线交抛物线于另一点，连接，过点作轴，交于． ①请直接写出，，的坐标（可用含的式子表示）； ②求证：当变化时，线段的长度恒为定值． 【答案】(1)见解析 (2)① ；②见解析 【分析】（1）只需证明△即可； （2）①令，解方程可求、点坐标，令，可求点坐标；②先求出直线的解析式，再求直线与抛物线的交点的坐标，用待定系数法求出直线的解析式，即可求点坐标，由于，即可得到为定值． 【详解】（1）证明：， △， ， △， 该抛物线与轴恒有两个不同的交点； （2）①解：令，则， 或， 点在点的左边，， ，， 令，则， ； ②证明：设直线的解析式为， ， ， ， 联立方程组， ， 是方程的一个根， 方程的另一个根为， ，， 设直线的解析式为， ， ， ， 轴，交于， ， ， 当变化时，线段的长度恒为定值1． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键． 12．（2024·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．    (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图1，点T是x轴上一动点，将顶点M绕点T旋转刚好落在抛物线上的点N处，求点T的坐标； (3)点P为抛物线的对称轴上一定点，过点P的直线交抛物线于点E、F(点E在F的左侧)．若恒为定值m，求m的值． 【答案】(1) (2)或或或； (3) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）求解，如图，当绕逆时针旋转得到点，且在抛物线上，过作轴的平行线，分别过作平行线的垂线，垂足分别为，证明， 可得，，则，再建立方程求解即可，如图，当绕顺时针旋转得到点，且在抛物线上，同理可得答案； （3）如图，过作轴于，过作轴于，对称轴与轴的交点记为，可得，可得，，可得设，直线为，，，再结合根与系数的关系进一步解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过， ∴， ∵抛物线与轴交于点两点， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为 ； （2）解：∵， ∴， 如图，当绕顺时针旋转得到点，且在抛物线上， ∴，，    过作轴的平行线，分别过作此平行线的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∴， ∴，而，， ∴，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴或； 第二个点如图示： 如图，当绕逆时针旋转得到点，且在抛物线上， 同理可得：， ∴，即， 解得：， ∴或； 综上：或或或； （3）解：如图，过作轴于，过作轴于，对称轴与轴的交点记为， ∴， ∴，， ∵， ∴ 设，直线为，，， ∴， ∴， ∴直线为， ∴， 整理得：， ∴，， ， 而，，， ， ∴ ， 设，由为定点，则为定值， ∴， ∴，而为定值，则的值与无关， ∴， ∴，而，， ∴，即， ∴， 整理得：， 解得：；（不符合题意的根舍去） 【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查求解二次函数的解析式，二次函数与旋转及角度问题，平行线分线段成比例的应用，定值的应用，熟练的利用数形结合的方法以及根与系数的关系解题是关键． 题型04 特殊角的唯一存在性 13．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于，两点（在的左边），与轴正半轴交于点，的面积为4． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点是第一象限抛物线上一点，外接圆的圆心在抛物线的对称轴上，若点的纵坐标为2，求的值； (3)如图3，已知直线，将抛物线沿直线方向平移，平移过程中抛物线与直线相交于，两点．设平移过程中若抛物线的顶点的横坐标为，在轴上存在唯一的一点，使，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出，，，则，根据，即可算出，即可求解； （2）作于点．根据题意求出，算出．根据等面积法求出．两点距离公式求出，勾股定理求出，再根据即可求解． （3）根据抛物线平移方式可设顶点沿直线平移，求出．得出平移后的顶点，即可得出抛物线平移后解析式为，联立解析式得，根据一元二次方程根与系数关系可得，，，则的中点．分为①如图4，当与轴相切时，，根据，列方程求解；②如图5，当与轴有一个交点是直线与轴交点时，也有唯一点，使，将代入抛物线，即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线， 令，得， ， ． 令，得， ， ，， ，，则． ， ， ， ． （2）作于点． ， ∵点的纵坐标为2，则，解得或0（舍去）， ， ． ， ． 又， ， ． （3）抛物线沿直线方向平移， 可设顶点沿直线平移，将代入，得， ． ，平移后的顶点， 抛物线平移后解析式为， 联立， 得， ，， ， 则的中点． ①如图4，当与轴相切时，， ， 而， ， ， ； ②如图5，当与轴有一个交点是直线与轴交点时，也有唯一点，使， 将代入抛物线， 得， ， ，解得． 综上可知，或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法、二次函数图象和性质、二次函数的最值、勾股定理、解直角三角形、圆的基本知识、根与系数关系的运用、图形的平移等，利用辅助圆是解题关键． 14．（2020·山东淄博·中考真题）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E． （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是平行四边形OABC的面积的，求点R的坐标； （3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．    【答案】（1）y＝﹣x2+x+；（2）（，）或（，）或（1+，）或（1﹣，）；（3）点P的坐标为（1，）或（1，3）或（1，-3）． 【分析】（1）根据平行四边形的性质及点A坐标可得抛物线的对称轴为直线x=1，可得﹣＝1，把点A坐标代入抛物线不等式可得0＝4a﹣2b+，解方程组求出a、b的值即可得答案； （2）根据抛物线对称轴方程及点A坐标可得点D坐标，根据△ADR的面积是平行四边形OABC的面积的可得出点R的纵坐标，代入抛物线解析式可求出点R横坐标，即可得答案； （3）作△PEQ的外接圆R，根据圆周角定理可得∠PRE=90°，可得△PRE为等腰直角三角形，由在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°可得⊙R与直线MD相切，可得RQ⊥MD，根据对称轴可得点M坐标，即可得出DE、DE的长，根据勾股定理可求出DM的长，设点P（1，2m），根据等腰直角三角形的性质可得PH＝HE＝HR＝m，即可得出R（1+m，m），利用S△MED＝S△MRD+S△MRE+S△DRE可求出m的值，即可得点P坐标；根据DE=ME可得∠MDE=45°，可得点M符合题意，过点D作DF⊥DM交对称轴于F，可得∠FDE=45°，可得点F符合题意，根据DE=EF可求出点F坐标，综上即可得答案． 【详解】（1）∵A（-2，0），四边形OABC是平行四边形， ∴BC//OA，BC=OA=2， ∵抛物线与y轴交于点B， ∴抛物线的对称轴为直线x＝=1，则x＝﹣＝1①， 将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+②， 联立①②得， 解得， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+； （2）∵A（-2，0），抛物线对称轴为直线x＝1， ∴点D（4，0）； ∵△ADR的面积是▱OABC的面积的， ∴×AD×|yR|＝×OA×OB，则×6×|yR|＝×2×， 解得：yR＝±， 当y=时，， 解得：，， ∴R1（，）或R2（，）， 当y=-时，， 解得：x3=，x2=， ∴R3（，）或R4（，） 综上所述：点R的坐标为（，）或（，）或（1+，）或（1﹣，）． （3）作△PEQ的外接圆R，过点R作RH⊥ME于点H， ∵∠PQE＝45°， ∴∠PRE＝90°， ∵RP=RE， ∴△PRE为等腰直角三角形， ∵直线MD上存在唯一的点Q， ∴⊙R与直线MD相切， ∴RQ⊥MD， ∵抛物线对称轴为直线x=1， ∴当x=1时y==3， ∴点M坐标为（1，3）， ∵D（4，0）， ∴ME＝3，ED＝4﹣1＝3， ∴MD＝=， 设点P（1，2m），则PH＝HE＝HR＝m，则圆R的半径为m，则点R（1+m，m）， ∵S△MED＝S△MRD+S△MRE+S△DRE，即×ME•ED＝×MD×RQ+×ED•yR+×ME•RH， ∴×3×3＝××m+×4×m+×3×m， 解得m＝， ∴点P坐标为（1，），    ∵ME=MD=3， ∴∠MDE=45°， ∴点P与点M重合时，符合题意，即P（1，3）， 过点D作DF⊥MD，交对称轴于F，则∠FDE=45°，符合题意， ∴EF=DE=3， ∴点F坐标为（1，-3）， ∴点P坐标为（1，-3），    综上所述：点P的坐标为（1，）或（1，3）或（1，-3）． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质并灵活运用分类讨论的思想是解题关键． 15．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和，点为线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，连结．    (1)求抛物线的解析式； (2)当为直角三角形时，求线段的长度； (3)在抛物线上是否存在这样的点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)存在， 【分析】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质． （1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）利用分类讨论的方法分两种情况点为直角顶点，点为直角顶点讨论解答，设，则点，用的代数式表示出的长度，利用已知条件列出方程，解方程即可求得结论； （3）在抛物线上存在点，使得，延长交轴于点，利用∽求得线段的长，利用待定系数法求得直线的解析式，与抛物线解析式联立，解方程组即可求得结论． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于和， ， 解得：． 抛物线的解析式为． （2）令，则， ． 设直线的解析式为， ， 解得：． 直线的解析式为． 点为线段上一点， 设，则点， ． ，， ． ． ∵轴， ， 点不可能是直角的顶点． ①当点为直角的顶点时，设交轴于点，   ，， ． 为等腰直角三角形． ． ． ． 解得：或不合题意，舍去． ． ． ②当点为直角顶点时，此时边在轴上，点与点重合， ． ． 综上，当为直角三角形时，线段的长度为． （3）在抛物线上存在点，使得，理由： ， ． ． ． 延长交轴于点，如图，    由知：， ． ， ． ． ， ∽． ． ． ． ， ． 设直线的解析式为， ， 解得：． 直线的解析式为． ， 解得：，． 点的坐标为． 16．（2024·江苏苏州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，拋物线与轴交于点、两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q为抛物线上的一点（不与点A重合），当的面积等于面积的2倍时，求此时点Q的坐标； (3)如图2，点在轴下方的抛物线上，点为抛物线的顶点．过点作轴于点，连接交于点，连接，，探究抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点，使的坐标为)或 【分析】（1）用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）设，求出，直线函数表达式为，知，分为当点Q在直线下方时和点Q在直线上方时，分别求解即可． （3）过A作轴交延长线于，过作于，过作轴于，过作于，分两种情况：当在上方时，求出顶点，可得 ，故，有，而，即可得，从而证明，得，得，故，即可得 是等腰直角三角形，证明，有，设，则，解得，得直线函数表达式为，联法，可得；当在下方时，同理可得． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设，过点Q作轴，交于点， 在中，令得， 解得：或， ， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴设直线的函数表达式为，代入B得，解得：， ∴直线的函数表达式为， ， ， 当点Q在直线下方时：， 即，无解； 当点Q在直线上方时： ， 即，解得：或； 综上，此时，点Q的坐标为或； （3）解：存在点，使， 理由如下：过A作轴交延长线于，过作于，过作轴于，过作于， 当在上方时，如图： ， ∴顶点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ， 设， ， 解得， ， ∵ 设直线函数表达式为，则， 解得， 故直线函数表达式为， 联立， 解得或， ； 当在下方时，同理可得， 可得函数表达式为， 联立， 解得或， ， 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，待定系数法等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 题型05 等角与相似三角形存在性综合 17．（2023·湖北武汉·一模）抛物线 交轴于，两点（在的左边），是抛物线的顶点．    (1)当时，直接写出，两点的坐标： (2)点是对称轴右侧抛物线上一点，， ①如图（1），求线段长度； ②如图（2），当，，为线段上一点．若与相似，并且符合条件的点有个，求和之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)； 【分析】（1）根据，得，即可求出于，两点的坐标； （2）根据，对称轴，得到顶点坐标，延长交轴于点，根据，得，求出点的坐标；设直线的解析式为：，求出解析式，根据点在上，求出点的坐标；再根据两点间的距离，即可；由得，的值，设直线的解析式为：，求出解析式，则设点，求出，，；根据相似三角形的性质，分类讨论，对应边成比例，即可得到和之间的数量关系． 【详解】（1）∵抛物线 交轴于，两点， ∴当， ∴， ∴，， ∴，． （2）∵， ∴对称轴， ∴顶点坐标， 延长交轴于点，设点 ， ∵， ∴， ∴ 解得：， ∴点的坐标为：， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴， ∴， 解得：（舍），； ∴点， ∴．    设直线的解析式为：， ∴， ∴设点， ∴，， 当， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴； 当， ∴， ∴， 整理得：， ∵仅存在一个点， ∴不符合题意； ∴综上，和之间的数量关系为：． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质． 18．（21-22九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，抛物线经过点，点，D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上找一点Q，使，求点Q的坐标； (3)在坐标平面内找一点P，使与相似，且，求出所有点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组即可解决； （2）如图2中，点M是中点，求出点M坐标，设点，根据，列出方程即可解决问题； （3）如图3中，作于K，当在直线上方时，因为，所以当时，点在x轴上，根据，求解即可，当时，，求出，作于M，利用即可解决问题．当直线在直线下方时，根据对称性，即可解决问题． 【详解】（1）把代入得解得， 故抛物线的解析式为． （2）令得到， 解得或3， 故点， 如图2中，连接． ∵， ∴抛物线对称轴是直线， 设点，取的中点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或2， ∴点Q坐标或． （3）如图3中，作于K， ∵点D坐标，点C坐标， ∴， ∴， ∵与相似，， 当在直线上方时， ∵， ∴当时，点在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 作于M， ∵， ∴， ∴， ∴， 当直线在直线下方时，根据对称性，可知：，此时， ∵，同理可得． 综上所述点P坐标或或或． ． 【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、相似三角形的性质、勾股定理．直角三角形斜边中线性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会正确画出图形，本题一题多解，属于中考压轴题． 19.（2023·湖南长沙·模拟预测）已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点C (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接，当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的坐标为或． 【分析】（1）用待定系数法可得； （2）由，可得直线解析式为，设，由，有，即可解得； （3）可得直线的表达式为，知在直线上，，，过点作轴于点，过作轴于，根据，可得直线和直线关于直线对称，有，，，从而可得直线的表达式为，点的坐标为，即得，，故，与相似，点与点是对应点，设点的坐标为，当时，有，解得；当时，，解得． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ； （2）解：由，可得直线解析式为， 设，则， ， ，要使四边形恰好是平行四边形，只需， ， 解得， ； （3）解：在直线上存在点，使得与相似，理由如下： 是的中点，点， 点， 由（2）知， 直线的表达式为， ， 在直线上，，， 过点作轴于点，过作轴于，如图： ，故， ， ， 直线和直线关于直线对称， ，， ， 由点，可得直线的表达式为， 联立， 解得或， 点的坐标为， ， ，，， ， ， ， ， ，即， 与相似，点与点是对应点， 设点的坐标为，则， 当时，有， ， 解得或（在右侧，舍去）， ； 当时，， ， 解得（舍去）或， ， 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行四边形，相似三角形等知识，难度较大，综合性较强，解题的关键是证明，从而得到与相似，点与点是对应点． 题型06 新定义与函数综合 20．（2025·湖南长沙·一模）定义：若一次函数和反比例函数交于两点和，满足，则称为一次函数和反比例函数的“属合成”函数． (1)试判断一次函数与是否存在“属合成”函数？若存在，求出的值及“属合成”函数；若不存在，请说明理由； (2)已知一次函数与反比例函数交于两点，它们的“属合成”函数为，若点在直线上，求的解析式； (3)如图，若与的“2属合成”函数的图象与轴交于两点（在点左侧），它的顶点为，为第三象限的抛物线上一动点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，射线与射线交于点，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1)存在，，“属合成”函数解析式为 (2)的解析式为或 (3) 【分析】（1）根据“属合成”函数的定义，联立方程组求解即可； （2）设两函数图象的交点横坐标为和，根据一元二次方程根与系数的关系得到，根据存在“属合成”函数为，得到，即，可求出，再分类讨论计算即可； （3）根据题意，结合（2）的计算方法得到，“2属合成”函数解析式为，根据二次函数顶点坐标可得，，如图，作垂线和，可证，设，可求得，可证，求出，，点在以为圆心，为半径的圆上，设，根据数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：根据“属合成”函数的定义，联立方程组得， 解得，或， ∴两函数图象的交点为和， ∵， ∴， ∴， ∴它们存在“属合成”函数， ∵， ∴“属合成”函数解析式为． （2）解：设一次函数与反比例函数的两个交点为， ∴的解为和，即， ∴， ∵存在“属合成”函数为， ∴，即， ∴， ∴． ①当时， 联立， 解得， ∴， 把点代入解得（舍）， ∴； ②当时， 联立， 解得或， ∴， 把点代入，解得或（舍）， ∴， 综上，的解析式为或． （3）解：∵与存在“2属合成”函数， ∴根据（2）的计算可得，则，设其两个根为， ∴， ∴，则， ∴， ∴“2属合成”函数解析式为， ∵的顶点为， ∴， ∴， 如图，作垂线和， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， 又， ∴， 设，可求得， 由可求得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， 设， ， 解得或（舍）， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，定义新运算，二元一次方程组求解，一元二次方程根与系数的关系，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，数形结合分析思想是解题的关键． 21．（2024·湖南·模拟预测）定义：若抛物线沿轴向右平移个单位长度得到抛物线，那么我们称抛物线是的“友好抛物线”，称为“友好值”．如图，抛物线与轴交于两点，抛物线是的“友好抛物线”，“友好值”为2，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线，点是抛物线上一动点． (1)抛物线的表达式为_________； (2)若点在第四象限，过点作轴于点，交于点，当时，求的长； (3)是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，然后根据“友好值”为2即可求出抛物线的解析式； （2）先求出，用待定系数法求出直线的表达式，设，则，则，然后根据列式即可求解； （3）分点M在直线上方和点M在直线下方两种情况求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵“友好值”为2， ∴抛物线的解析式为． 故答案为：； （2）解：抛物线的表达式为， ∴． 设直线的表达式为， 将点，C的坐标代入， 得， 解得 ， ∴．直线的表达式为． 设，则， ∴ ∵ ∴ 解得或（舍去）， ∴当时，， ∴点M的坐标为， ∴； （3）解：当点M在直线上方时，设直线交x轴于点D， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入，可得， ∴直线的解析式为， 令， 解得（舍去），， 当时，， ∴； 当点M在直线下方时，设直线交x轴于点E， ∵， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入，可得， ∴直线的解析式为， 令， 解得（舍去），， 当时，， ∴； 综上可知，当时，点的坐标为或 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的平移，二次函数与几何综合，以及解直角三角形等知识，数形结合是解答本题的关键． 22．（2024·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边长为n（n为正整数，且），点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．若点在等腰直角三角形边上，且x，y均为整数，定义点M为等腰直角三角形的“整点”．若某函数的图像与等腰直角三角形只有两个交点且交点均是等腰直角三角形的“整点”，定义该函数为等腰直角三角形的“整点函数”．    (1)如图1，当时，一次函数是等腰直角三角形的“整点函数”，则符合题意的一次函数的表达式为______（写出一个即可）； (2)如图2，当时，函数的图像经过，判断该函数是否为“整点函数”，并说明理由； (3)当时，二次函数经过的中点，若该函数是“整点函数”，求的取值范围； (4)在（3）的条件下，是二次函数图象上两点，若点、之间的图象（包括点、）的最高点与最低点纵坐标的差为，求的值 【答案】(1)（答案不唯一） (2)函数是“整点函数”，理由见解析 (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，一次函数与几何综合，二次函数综合： （1）求出恰好经过A、B的直线解析式即可得到答案； （2）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再利用直线和反比例函数解析式，求出二者的交点坐标即可得到结论； （3）先利用待定系数法求出，进而得到对称轴为直线，则抛物线一定经过点，再分当，当两种情况讨论求解即可； （4）根据（3）所求分当，当两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 当直线恰好经过A、B时符合题意， ∴， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：把代入中得， ∴反比例函数解析式为， 由题意得，，， 直线的解析式为． 联立，解得或， 与线段有两个交点，分别为和，且都是整点； 函数是“整点函数”； （3）解：当时，，， ∴中点坐标， 过， ， ， ， ∴抛物线的对称轴为直线， 由题意，抛物线一定经过点， 当时，抛物线是“整点函数”，且顶点坐标为， ， ， ； 当时，则抛物线与轴正半轴的交点在点右侧，即当时，，， ∴， ． 综上，的取值范围是或． （4）解：由（3）可知抛物线的对称轴为直线． ①当时，则顶点为最高点，为最低点， ， 整理得，，（舍）， ②当时，， 抛物线开口向上，在对称轴右侧，随的增大而增大， 最高点为点，最低点为点． ． 解得（舍），． 综上所述，的值为1． 【命题预测】 1．（2024·湖北·模拟预测）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图（1），P是抛物线上异于A，B的一点，将点B绕点P顺时针旋转得到点Q，若点Q恰好在直线上，求点P的坐标 (3)如图（2），M，N是抛物线上异于B，C的两个动点，直线与直线交于点T，若直线经过定点，求证：点T的运动轨迹是一条定直线． 【答案】(1)， (2)或 (3)见解析 【分析】（1）分别令，即可求解； （2）以为斜边向上作等腰直角三角形，得出，依题意， ，是半径为的与抛物线的交点，设，其中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （3）设，分别表示出直线的解析式，进而联立抛物线解析式，得出，，依题意，直线的解析式为，即，联立抛物线解析式，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，进而得出关于的恒等式，即可求解． 【详解】（1）解：对于抛物线，当时，，则， 当，即 解得：， ∴ （2）解：如图所示，以为斜边向上作等腰直角三角形，    ∵，则， ∴ ∴ 依题意， ， ∴是半径为的与抛物线的交点， 设，其中 ∴， 整理得 解得： ∵ ∴或 则或； （3）解：设， ∵，， 设直线的解析式分别为 ∴， 解得：， ∴ 联立， 消去得：， ∴，即 由可得 依题意，直线的解析式为 即 联立 则 ∴，， ∴ 消去得： 解得：（与直线重合，故舍去）或 即点的运动轨迹是一条定直线． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，一次函数与二次函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系，圆周角定理，二次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（2024·山东德州·一模）已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴：______． (2)将抛物线平移，使其顶点是坐标原点，得到抛物线，且抛物线经过点和点（点在点的左侧）． ①求的函数解析式； ②若的面积为4，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，直线与抛物线交于点，分别过点的两条直线交于点，且与轴不平行，当直线与抛物线均只有一个公共点时，请说明点在一条定直线上． 【答案】(1) (2)①；② (3)见解析 【分析】本题考查了抛物线的对称轴、求二次函数的解析式、解一元二次方程、一元二次方程的根的情况、求直线交点坐标等知识点，解题的关键是利用所画图形帮助探索解法思路． （1）根据抛物线的对称轴公式直接可得出答案． （2）根据抛物线的顶点坐标在原点上可设其解析式为，然后将点A的坐标代入求得的解析式，于是可设B的坐标为且，过点分别作x轴的垂线，利用可求得t的值，于是可求得点B的坐标． （3）设，联立抛物线与直线的方程可得出再利用直线、直线分别与抛物线相切可求得直线、直线的解析式，再联立组成方程组可求得交点P的纵坐标为一定值，于是可说明点P在一条定直线上． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为：直线． 故答案为：直线． （2）解：①∵抛物线平移到顶点是坐标原点O，得到抛物线， ∴可设抛物线的解析式为： ∵点有抛物线上， ∴ 解得：． ∴抛物线的解析式为： ②∵点B在抛物线上，且在点A的左侧， ∴设点B的坐标为且， 如图，过点分别作x轴的垂线，垂足为点． ∵ 又 ∴ 解得： ∴（不合题意，舍去），则 ∴． （3）解：设，联立方程组 整理得：， ∴ 设过点M的直线解析式为， 联立得方程组， 整理得．① ∵过点M的直线与抛物线只有一个公共点， ∴ ∴． ∴由①式可得： 解得：． ∴． ∴过M点的直线的解析式为． 用以上同样的方法可以求得：过N点的直线的解析式为， 联立上两式可得方程组， 解得， ∵ ∴， ∴点P在定直线上． 3．（2025·云南·模拟预测）已知函数（k为正整数）． (1)若函数的图象与坐标轴有3个不同的交点，且交点的横、纵坐标均为整数，求此函数的解析式； (2)无论k为何值，该函数都经过定点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，幂的混合运算等知识． （1）先解，解出，．根据已知条件即可得出，进而求出函数的解析式． （2）由二次函数与y轴的交点可知函数图象经过定点，结合条件可得出，再计算幂的混合运算，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，令，则， 解得，． ∵函数图象与坐标轴有3个不同的交点，且交点的横、纵坐标均为整数，k为正整数， ∴， ∴该函数的解析式为． （2）解：∵当时，， ∴函数图象经过定点， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C，点P为第一象限抛物线上一个动点． (1)直接写出该抛物线的解析式； (2)如图1，若，求点P的坐标； (3)如图2，过A作交抛物线于点Q，当点P在运动过程中，直线是否经过一个定点，若经过定点，求出该定点的坐标． 【答案】(1) (2)点P不存在 (3)存在，直线恒过点 【分析】本题主要考查运用待定系数法求函数解析式，二次函数图象与性质，正切的应用以及直线恒过定点的求法： （1）直接运用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）过点A作于点D，交于点F，设交x轴于点E，求出，，设则，，证明得出即得方程组，解得，得点E的坐标为，进一步可判断点P不存在； （3）设，；过点Q作轴于点E，过点P作轴于点F，可得出，，，根据得出，运用待定系数法求出直线的解析式为，整理得，从而可得直线恒过点 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于和两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点A作于点D，交于点F，设交x轴于点E， 当时， ∴， 又，， ∴， ∴， 又 ∴ ∴， ∴； 又且， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 又， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， 解得，， ∴点E的坐标为， 又， ∴此时点B与点E重合，即此时点P的坐标为，这与点P在第一象限矛盾，故点P不存在； （3）解：如图，设，， 过点Q作轴于点E，过点P作轴于点F， ∵， ∴，，， ∵， ∴ 又 ∴ ∴ 又，， ∴，即， 整理得，， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为 ∵ ∴， ∴ ； 即当时，即时，与的取值无关， ∴， 即：直线恒过点． 5．（2024·四川南充·三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴直线． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，直线与抛物线，轴分别交于点，，于点，点在坐标平面内，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)如图2，若过（2）中点的直线与抛物线交于、两点（点在点左侧），过点的直线与抛物线交于点，探究直线是否经过某个定点？若经过某定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或； (3)经过定点． 【分析】（1）根据抛物线与轴交于，对称轴为直线，得，即可解得抛物线解析式为； （2）过作轴于，求出，，可得，故，，都是等腰直角三角形，又，即得，设，分三种情况：①，为对角线，则，的中点重合，，②，为对角线，同理，③，为对角线，同理，解方程组可得答案； （3）设过点的直线为，则，即得直线解析式为，由得，设，，则，，有，设，可得，，即可得，设直线解析式为，把，代入可解得直线解析式为，从而知直线解析式为，故直线必过定点． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，对称轴为直线， ， 解得， 抛物线解析式为； （2）过作轴于，如图： 在中，令得， ，， ， ， ，轴， ，，都是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中，令得， ， 设，又， ①，为对角线，则，的中点重合， ， 解得， ； ②，为对角线，同理， 解得， ； ③，为对角线，同理， 解得， ， 综上所述，的坐标为或或； （3）直线必经过某个定点，理由如下： 设过点的直线为，则， ， 直线解析式为， 由得， 设，，则，， ， 设， ，在直线上， ，， ， 整理得， 设直线解析式为，把，代入得： ， 解得， 直线解析式为， ， 直线解析式为， ， 直线解析式为， 令得， 直线必过定点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用，抛物线与直线的交点问题等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关函数的解析式． 6．（2024·江苏泰州·三模）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．点P是第一象限抛物线上的一个动点． (1)求抛物线解析式． (2)如图2，若点P是抛物线顶点，连接、、，求面积． (3)如图3，点Q是第四象限抛物线上的另一动点，交y轴于H点，交y轴于G点．在点P、Q运动的过程中始终满足，试探究直线是否经过某一个定点，若是，则求出该定点的坐标；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)经过定点，见解析 【分析】（1）由待定系数法求解即可． （2）先求出A，B，P点的坐标，再用待定系数法求出的解析式，然后求出与y轴的交点，最后根据三角形面积公式求出结果即可； （3）设直线的解析式为，，，设直线的解析式为，直线的解析式为，可分别得出，，，，由即，进一步即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点C， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：． （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 即点P的坐标为， 令， 解得：，， ∴，， 设的解析式为：， ∴， 解得： ∴的解析式为：， 把代入得：， ∴， ∴， ∴； （3）解：直线过定点，理由如下∶ 设直线的解析式为，，， 当时， 整理得：， ∴，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 当时， 整理得： ，， ∴， 当时， 整理得∶ ， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 整理得，， ∴直线经过点． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合应用，二次函数的图像和性质，二次函数的解析式以及一次函数的解析式．解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数和二次函数的交点． 7．（2024·甘肃酒泉·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，连接． (1)求B、C两点的坐标； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，过点P作于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，抛物线上是否存在一点Q，使，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的最大值为，此时点P的坐标 (3)存在，所有符合条件的点Q的坐标为或 【分析】（1）时，，即，当时，，计算求解，然后作答即可； （2）由勾股定理得，，待定系数法求直线的解析式为，如图1，作轴，交于，则，，即，可得，当最时，最大，设，，则，，由，可知当时，最大，最大值为，进而可求的最大值和此时点P的坐标； （3）如图2，作于，使，连接，过作轴，作于，于，则，，，，同理（2）可求直线的解析式为，联立得，，计算求解，进而可得；如图2，作于，使，连接，作轴于，同理，，，，直线的解析式为，联立得，，计算求解，进而可得． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，， 解得，或， ∴，， ∴，； （2）解：由勾股定理得，， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 如图1，作轴，交于， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴当最时，最大， 设，，则，， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴的最大值为，此时点P的坐标； （3）解：如图2，作于，使，连接，过作轴，作于，于， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理（2）可求直线的解析式为， 联立得，， 解得，或， ∴； 如图2，作于，使，连接，作轴于， 同理，，， ∴， ∴， 同理，直线的解析式为， 联立得，， 解得，或， ∴； 综上所述，存在，所有符合条件的点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，勾股定理，二次函数与线段综合，二次函数与角度综合，余弦，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数与坐标轴的交点，勾股定理，二次函数与线段综合，二次函数与角度综合，余弦，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式是解题的关键． 8．（2024·四川·中考真题）【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点， ，请直接写出的取值范围．    【答案】（1）2；；（2）①；②或 【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键． （1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解； ②根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果． 【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：，， 解得：，， 故答案为：2；； （2）①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得：， ∴； ②∵与x轴有两个不同的交点，， 由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图像上滑动， 顶点为， 当时， 解得：或， 抛物线与x轴交两个点， 当顶点在下方时，抛物线有两个交点，， ∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． ∴在 上， 当顶点在下方时，； 综上可得：或． 9．（2023·湖南益阳·中考真题）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与抛物线交于B，C两点（B在C的左边）．    (1)求A点的坐标； (2)如图1，若B点关于x轴的对称点为点，当以点A，，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值； (3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如，等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或； (3)或． 【分析】（1）对于直线，令，求出x，即可求解； （2）表示出点，，的坐标，利用勾股定理解方程求解，注意直角顶点不确定，需分类讨论； （3）直线与抛物线所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在轴和直线上，各为13个，分别求出的范围． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，， ∴A点的坐标为； （2）解：联立直线与抛物线得： ， ， 或， ，， 点关于轴的对称点为点， ， ， ， ， 若，则，即，所以， 若，则，即，所以， 若，则，即，此方程无解． 或； （3）解：如图，直线与抛物线所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在轴和直线上，   ，，， ， 格点数恰好是26个， 落在轴和直线上的格点数应各为13个， 落在轴的格点应满足，即， ①若，即， 所以线段上的格点应该为，，，， ②若，，，所以线段上的格点正好13个， 综上，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，勾股定理，关键是弄清格点只能落在轴和直线上，各为13个，并对点、进行定位． 10．（2023·江苏南通·中考真题）定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”． (1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”?若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)点与其“级变换点” 分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：； (3)关于x的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求n的取值范围． 【答案】(1)存在， (2)见解析 (3)n的取值范围为且 【分析】（1）根据“级变换点”定义求解即可； （2）求出点的坐标为，得到直线，的解析式分别为和，根据进行证明． （3）由题意得，二次函数的图象上的点的“1级变换点”都在函数的图象上，得到函数的图象与直线必有公共点．分当时和当，时分类讨论即可． 【详解】（1）解：函数的图象上存在点的“级变换点” 根据“级变换点”定义，点的“级变换点”为， 把点代入中， 得，解得． （2）证明：点为点的“级变换点”， 点的坐标为． 直线，的解析式分别为和． 当时，． ， ． ， ． ． （3）解：由题意得，二次函数的图象上的点的 “1级变换点”都在函数的图象上． 由，整理得． ， 函数的图象与直线必有公共点． 由得该公共点为． ①当时，由得． 又得， 且． ②当，时，两图象仅有一个公共点，不合题意，舍去． 综上，n的取值范围为且． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，根据题意理解新定义是解题的关键． 11．（2025·山东·一模）新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为，已知抛物线：的“关联抛物线”为，与y轴交于点E． (1)若点E的坐标为，求的解析式； (2)设的顶点为F，若是以为底的等腰三角形，求点E的坐标； (3)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，，于点M，N． ①当时，求点P的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)①或；②a的值为或 【分析】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出的顶点坐标； （2）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式，之后得到函数的顶点，过点作轴于点，连接，进而得到，，，于是根据即可得到结论； （3）①设点的横坐标为，则可表达点和点的坐标，根据两点间距离公式可表达的长，列出方程，可求出点的坐标； ②当时得出的最大值和最小值，进而列出方程，可求出的值． 【详解】（1）解：∵与y轴交点的坐标为， ∴，解得． ∴的解析式为 ； （2）解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为， ∵， ∴的顶点的坐标为 易得点， 过点作轴于点，连接．    ∴，，， ∵， ∴，即． 解得， ∴点E的坐标为； （3）解：①设点P的横坐标为m， ∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线，于点， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得或， ∴或； ②∵的解析式为， ∴当时，， 当时，； 当时，． 根据题意可知，需要分三种情况讨论： Ⅰ．当时，，且当时，函数的最大值为；函数的最小值为． ∴，解得或（舍）或（舍）； 当时，函数的最大值为，函数的最小值为． ∴，解得或（舍）或（舍）； Ⅱ．当时，，函数的最大值为；函数的最小值为， ∴，解得（舍）或（舍）； Ⅲ．当时，，不符合题意，舍去． 综上，a的值为或． 【点睛】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及等腰三角形以及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键． 12．（2024·广西·模拟预测）阅读与探究．定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，将原函数中的自变量x替换为，从而形成一个新的函数，这个新函数叫做原函数的“绝对函数”．例如，函数y=x+1的“绝对函数”是，即；函数的“绝对函数”是，即；函数的图象如图1，则它的“绝对函数”的图象如图②所示． (1)的“绝对函数”是______； (2)在图3的平面直角坐标系中画出的绝对函数的图象； (3)在（1）的“绝对函数”图象上取一点A，点A关于y轴的对称点为，O是平面直角坐标系的原点，则的面积是______； (4)函数的“绝对函数”与直线有四个交点时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)6 (4) 【分析】本题考查二次函数与反比例函数的综合应用，一次函数的应用；理解并运用新定义“绝对函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键． （1）根据定义直接写出函数即可； （2）根据定义画出函数图象即可； （3）根据函数对称的特点，求出对称的函数的点，再由两个函数与y轴的交点不变，三角形面积计算公式即可； （3）先根据解析式，求出函数图象与y轴的交点，再根据两个函数交点与方程关系，列出方程组求解即可． 【详解】（1）根据题意得： 的“绝对函数”是， 故答案为： （2）的绝对函数是即 如图所示的绝对函数的图象为 （3）如图所示： 的“绝对函数”是，点A关于y轴的对称点为， 设点，则 ， 到x轴距离为y， 的面积是， （4）如图所示： 令，得则函数图象与y轴的交点是； 当直线经过时，直线与图象有三个交点， 此时 当直线向下平移，若直线与函数只有一个交点时， 可得方程有两个相等的实数根， 则， 解得 ， 若函数的“绝对函数”与直线有四个交点时， m的取值范围是． 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$