精品解析：河南省漯河市第三初级中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年漯河三中八年级下第一次月考数学 （时间100分钟 满分120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子一定是二次根式是（　　） A. B. C. D. 2. 已知是整数，则正整数的最小值是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，的对应边分别是，，，下列条件不能说明是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，是四根长度均为5的火柴棒，均位于一条不完整的数轴上方．若点、点分别对应实数，且，则点所对应的实数为（ ） A 8 B. 9 C. 10 D. 11 6. 如图，已知，，，，则点C到的距离为（ ）． A. B. C. D. 7. 与根式的值相等的是（ ） A. B. C. D. 8. 有下列说法： ①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形； ②三边长为、、3的三角形为直角三角形； ③等腰三角形的两边长为3、4，则等腰三角形的周长为10； ④一边上中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形． 其中正确的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 9. 如图，在中，，点是边上一点，且平分，若，，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，以AC为直角边向外作，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知，，，则S4为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若代数 实数范围内有意义，则实数 的取值范围是_____________． 12. 若最简二次根式与二次根式可以合并，则的值为_________． 13. 如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点M，交于点N，若平行四边形的周长为20，，则四边形的周长为______． 14. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为m的半圆，其边缘AB＝CD＝15m，点E在CD上，CE＝3m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为_____m．（边缘部分的厚度忽略不计） 15. 一直角三角形的两条边长分别为1和2，则该三角形的斜边长为______． 16. 已知，则_________________． 17. 我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是和，那么的值为______． 18. 如图，在中，，，点M为边的中点，点D为边上一动点，连接，将边沿直线翻折得到线段，连接，则长度的取值范围为______． 三、解答题（共66分） 19. 计算： (1)÷－×＋； (2)－－( －2)； (3)(2－)2017×(2＋)2016－2－(－)0 (4)(a＋2＋b)÷(＋)－(－)． 20. 已知 ， ，分别求下列分式值： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，四边形平行四边形，和分别平分和，交于，．与相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 24. （1）如图，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数； 分析：由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数，请写出解答过程． （2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2 ． 25. 一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． （1）若，，如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标． （2）在（1）的条件下如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于E点，求的面积． （3）若，，当为等腰三角形时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年漯河三中八年级下第一次月考数学 （时间100分钟 满分120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，根指数是2即可得出答案． 【详解】解：A、∵x2≥0， ∴x2+1＞0，故该选项符合题意； B、当x＝0时，x2﹣1＝﹣1，故该选项不符合题意； C、当x＝﹣1时，，故该选项不符合题意； D、的根指数是3，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 2. 已知是整数，则正整数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将化简为最简二次根式，然后再根据是整数求解即可． 【详解】解：，是整数， 是一个完全平方数， 的最小值是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是二次根式的性质，由是整数，得出是一个完全平方数是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别化简二次根式判断即可． 【详解】A、无解，故该项错误，不符合题意； B、，故该项错误，不符合题意； C、，故该项正确，符合题意； D、，故该项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确利用二次根式运算法则是解题的关键． 4. 在中，，，的对应边分别是，，，下列条件不能说明是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理以及三角形内角和定理对各项逐一判断即可. 【详解】解：A. ， 设 ∴ 此三角形是直角三角形；故A选项不符合题意； B. 设，则：，， ， 解得：， 此三角形不是直角三角形；故B选项符合题意； C.，且， ， ， 此三角形是直角三角形；故C选项不符合题意； D.∵，即 ∴， 此三角形是直角三角形；故D选项不符合题意； 故选：B. 【点睛】本题考查直角三角形的判定，如果有边长，则可利用勾股定理的逆定理进行判定；如果有角度相关条件，则利用有一个角是的三角形是直角三角形进行判定. 5. 如图，是四根长度均为5的火柴棒，均位于一条不完整的数轴上方．若点、点分别对应实数，且，则点所对应的实数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求数轴上点对应的实数，涉及等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，过点作于，过点作于，如图所示，利用等腰三角形性质得到相关角与边的关系，再由全等三角形的判定与性质得到，最后由勾股定理求出即可得到答案，熟练掌握等腰三角形性质、全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于，过点作于，如图所示： ， ， 是四根长度均为5的火柴棒， 、是等腰三角形， ，， 由等腰三角形三线合一可得，，且， ， 在和中， ， ， 在中，，，则由勾股定理可得， ， ，即点所对应的实数为， 故选：C． 6. 如图，已知，，，，则点C到的距离为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据三角形的面积相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ， ∴是直角三角形，且， ∴点C到BD的距离为． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟悉勾股定理，勾股定理的逆定理的计算是解题的关键． 7. 与根式的值相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简二次根式，再计算二次根式的乘法即可. 【详解】由题意可得x是负数， 所以=， 故选：D. 【点睛】此题考查二次根式的化简，二次根式的乘法计算法则，正确化简二次根式是解题的关键，注意题目中x的符号是负号，这是解题的难点. 8. 有下列说法： ①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形； ②三边长为、、3的三角形为直角三角形； ③等腰三角形的两边长为3、4，则等腰三角形的周长为10； ④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形． 其中正确的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据等边三角形的性质可知，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故①正确； 根据三边可知：，，3²=9，因此可知：，由勾股定理的逆定理可知其是直角三角形，故②正确； 由等腰三角形的三边可知其边长为：3，3，4或3，4，4，则周长为10或11，故③不正确； 由一边上的中线等于这边长的一半的直角三角形是等腰直角三角形，故④不正确. 故选C 9. 如图，在中，，点是边上一点，且平分，若，，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用；根据平行四边形的性质，角平分线的定义得出，等角对等边可得，进而证明得出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴； ∵ ∴ ∴, ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的周长为， 故选：B． 10. 如图，在中，以AC为直角边向外作，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知，，，则S4为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S1，S2，S3，S4，再分别用含AB、BC、CD、AD的式子表示S1，S2，S3，S4，结合 可得S1＋S2＝S3﹣S4，从而可得答案． 【详解】解：∵以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S1，S2，S3，S4， ∴， ， ∴， ， ∵∠ABC＝∠CAD＝90°， ∴ ∴， ∴S1＋S2＝S3﹣S4， ∵S1＝3，S2＝1，S3＝7， ∴3＋1＝7﹣S4， ∴S4＝3， 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，利用勾股定理建立面积之间的关系是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若代数 实数范围内有意义，则实数 的取值范围是_____________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数；分式有意义的条件：分母不等于0是解决问题的关键．根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数；再根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得，解得， 根据分式有意义的条件可得，解得：， 综上可得且， 故答案为：且． 12. 若最简二次根式与二次根式可以合并，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式、最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据最简二次根式与二次根式可以合并，得出最简二次根式与二次根式是同类二次根式，将化简为最简二次根式，得出方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵最简二次根式与二次根式可以合并， ∴最简二次根式与二次根式是同类二次根式， 又∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点M，交于点N，若平行四边形的周长为20，，则四边形的周长为______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 先利用平行四边形的性质求出，，可利用全等的性质得到，求出，即可求出四边形的周长． 【详解】∵四边形是平行四边形，周长为20， ， ， 在和中， ， ， ， 则四边形的周长， ， 故答案为：14． 14. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为m的半圆，其边缘AB＝CD＝15m，点E在CD上，CE＝3m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为_____m．（边缘部分的厚度忽略不计） 【答案】20 【解析】 【分析】要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：如图是其侧面展开图：AD==16（m）， AB=CD=15m．DE=CD-CE=15-3=12（m）， 在Rt△ADE中，AE=（m）． 故他滑行的最短距离约为20m． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 15. 一直角三角形的两条边长分别为1和2，则该三角形的斜边长为______． 【答案】或##2或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的知识．注意2可能是直角边，也可能是斜边，所以得分两种情况讨论． 【详解】解：当1和2都是两条直角边时， 斜边； 当1是直角边，2是斜边时， 斜边为． 故答案为：或2． 16. 已知，则_________________． 【答案】 【解析】 【分析】化简，把已知条件整体代入求值即可． 【详解】由题可得： ∵ ∴原式 故答案是． 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算和代数式求值，准确计算是解题的关键． 17. 我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是和，那么的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意求出四个直角三角形的面积和，继而利用三角形面积公式进行求解即可 【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1， ∴四个直角三角形的面积和是25﹣1=24， 即=24 ∴ab=12， 故答案为12． 【点睛】本题考查组合图形中的直角三角形边长之积，想到直角三角形面积就是直角边之积再乘以二分之一是本题解题关键． 18. 如图，在中，，，点M为边的中点，点D为边上一动点，连接，将边沿直线翻折得到线段，连接，则长度的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】当点A、E、M三点共线时最短，求出的值；当点D与点B重合时最大，求出的值，即可求解． 【详解】解：当点A、E、M三点共线时最短，如图所示， ∵，，点M为边的中点， ∴， ∴， 由折叠性质可得：， ∴； 当点D与点B重合时最大，如图所示， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由折叠性质得：，， ∴， ∵点M为边的中点， ∴， ∴， ∴最长为， 综上所述：长度的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段的取值范围，找出当点A、E、M三点共线时最短，当点D与点B重合时最大是关键． 三、解答题（共66分） 19. 计算： (1)÷－×＋； (2)－－( －2)； (3)(2－)2017×(2＋)2016－2－(－)0 (4)(a＋2＋b)÷(＋)－(－)． 【答案】(1)4+;(2);(3) ; (4) 2 【解析】 【分析】(1)先根据二次根式的乘法和除法法则进行计算,再根据二次根式减法法则计算, (2)先对二次根式进行化简,再计算括号里二次根式的减法,最后计算括号外二次根式的减法, (3)先根据幂的运算法则进行简便计算,再化简绝对值和零指数幂的运算,再进行二次根式减法计算, (4)先利用完全平方公式因式分解,再利用二次根式除法法则计算,最后计算二次根式减法. 【详解】(1)÷－×＋, =÷－×＋ =4-＋, =4+, (2)－－( －2), =－－( －), =, =, (3)(2－)2017×(2＋)2016－2－(－)0 , =2017×(2-)－2－(－)0 , =2017×(2-)－2－(－)0 , =(2-)－－1 , =, (4)(a＋2＋b)÷(＋)－(－), =(＋)2÷(＋)－(－), =(＋)－(－) =＋－+, =. 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算,解决本题的关键是要熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则. 20. 已知 ， ，分别求下列分式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）10 （2）98 【解析】 【分析】本题考查了分母有理数、分式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把和进行分母有理化处理，得，再代入，进行化简，即可作答． （2）先把和进行分母有理化处理，得，再代入，进行化简，即可作答． 【小问1详解】 解： ∵ ∴ 【小问2详解】 解：∵ ． ∴ 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．根据二次根式的定义对式子进行化简，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：， ， 当时， 原式， ， 22. 如图，四边形是平行四边形，和分别平分和，交于，．与相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，线段的和差，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，由平行线的性质得，，结合角平分线得出，，得，，则可得出，即可证明； （2）利用，得出，再利用线段的和差即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵和分别平分和， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）海港受台风影响，理由见解析 （2）持续小时 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）过点作，利用勾股定理求出，再利用等面积法得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （3）假设当，时，正好影响港口，利用勾股定理得出，，再得出的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【小问1详解】 解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港受台风影响； 【小问2详解】 解：如图，假设当，时，正好影响港口， ∴，， ∴， ∵台风的速度为千米/小时， ∴（小时）， 答：海港受台风影响的时间会持续小时． 24. （1）如图，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数； 分析：由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数，请写出解答过程． （2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2 ． 【答案】（1）150°，过程见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）此类题要充分运用旋转的性质，以及全等三角形的性质得对应角相等，对应边相等，得出∠PAP′=60°，再利用等边三角形的判定得出△APP′为等边三角形，即可得出∠APP′的度数，即可得出答案； （2）利用已知首先得出△AEG≌△AFE，即可把EF，BE，FC放到一个三角形中，从而根据勾股定理即可证明． 【详解】解：（1）将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，连接PP′， 则△BAP≌△CAP′， ∴AB=AC，AP=AP′，∠BAP=∠CAP′， ∵∴∠BAC=∠PAP′=60°， ∴△APP′是等边三角形， ∴∠A P′P=60°，PP′=PA=3， 连接PC，则P′C=PB=4， ∵32+42=52， ∴P′P 2+P′C2= PC 2， ∴△PP′C是直角三角形， ∴∠PP′C=90°， ∴∠APB=∠AP′C=150°， ∴∠BPA=150°； （2）把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG． 则△ACF≌△ABG， ∴AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°． ∵∠BAC=90°，∠GAF=90°，∴∠GAE=∠EAF=45°， 在△AEG和△AFE中， ∵， ∴△AEG≌△AFE， ∴EF=EG， 又∵∠GBE=90°， ∴BE2+BG2=EG2，即BE2+CF2=EF2． 【点睛】本题考查了三角形综合题，需要掌握旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形是解题的关键． 25. 一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． （1）若，，如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标． （2）在（1）的条件下如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于E点，求的面积． （3）若，，当为等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】（1）点P的坐标为 （2） （3）当为等腰三角形时，点P的坐标为或． 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，等腰三角形的性质，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论，分类时注意不能重复，不能遗漏． （1）首先根据勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，设，则，在中，利用勾股定理得到，求出，得到，进而可求出点P的坐标； （2）首先根据平行线的性质和折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理求出，得到，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）根据为等腰三角形，分三种情况进行讨论：①，②，③分别求得的长，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵将沿折叠，点C落在点处， ∴，，， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵沿将折叠得， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积； 【小问3详解】 解：①如图，当时，连接，则点在线段垂直平分线上，也在线段垂直平分线上， ∴， 由折叠得，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∴点P的坐标为； ②如图，当时，连接， 由折叠得，，， ∴， 在中，， ∴（不合题意）， 故这种情况不存在； ③如图，当时， 由折叠得，，， ∴， ∴点落在上的中点处， 此时，， ∴， ∴ ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，当为等腰三角形时，点P的坐标为或． 故答案：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$