专题17.7 勾股定理压轴题综合测试卷-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（人教版）

第17章 勾股定理压轴题综合测试卷 【人教版】 考试时间：120分钟；满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级·浙江绍兴·期末）等腰，，，，则（   ） A．3 B． C． D．4 2．（3分）（24-25八年级·福建泉州·期末）四条线段的长分别为1，x，5，9（其中x为正数），用它们拼成两个直角三角形，且与是其中的两条线段（如图），则x可能取值的个数为（   ） A．2 B．3 C．6 D．4 3．（3分）（24-25八年级·浙江金华·期末）如图，在中，，，点D为边上的中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），过点A作交于点F，过点B作交的延长线于点G．若已知的长，则可求出（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 4．（3分）（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，在中，，平分交于点，点在边上，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 5．（3分）（24-25八年级·四川眉山·期末）如图，在中，，，．如果D、E分别为、上的动点，那么的最小值是（   ） A． B．5 C． D．6 6．（3分）（24-25八年级·浙江绍兴·期末）某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有的全等三角形纸片（如图①）拼成一个正三角形（如图②），即．连接，，，若长是2，的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 7．（3分）（2024·天津和平·三模）如图，在边长为2的等边三角形中，为边上一点，且．点，分别在边上，且为边的中点，连接交于点．若，则的长为(　　) A． B． C． D． 8．（3分）（24-25八年级·山东淄博·期末）把一副三角板如图①放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点顺时针旋转得到（如图②），此时与交于点，则线段的长度为（    ） A．4 B． C． D． 9．（3分）（24-25八年级·山东济南·期中）如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…则第2024个等边三角形的边长等于（   ） A． B． C． D． 10．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，是等边三角形外一点，连接，，．若，，，则三角形的面积为（ ） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，在中，，点为外一点，且满足，则的长为 ． 12．（3分）（24-25八年级·山西晋中·期末）如图，直线分别与、轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且．点是轴上的一点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，此时点的坐标为 ． 13．（3分）（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在等腰直角中，，点D在边（不含A，C两点）上，连，以为直角边向右侧作邻腰直角，，连接．若， ，则线段的长为 ． 14．（3分）（24-25八年级·辽宁沈阳·期末）若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形ABCO的两边分别在坐标轴上，点的坐标是．在正方形的边上找一点，使得是边上的“完美三角形”，点P的坐标为 ． 15．（3分）（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在中，平分，交边于点，若，，，则线段的长为 ． 16．（3分）（24-25八年级·浙江丽水·期末）如图，在四边形中，对角线，F为上一点，连接交于点E，，已知，且． （1）则的长是 ； （2）若，且，则 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级·河北石家庄·期末）如图，在中，，，点从点出发，沿折线的路径，以每秒1个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． 【问题探究】 （1）当时 ①判断的形状，并说出理由． ②点在边上运动，当时，求的值． 【深入探索】 （2）在（1）的条件下①当点运动到的角平分线上时，的值为_____． ②如图，当点运动到边上时，过点作，交边于点，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于_____． 【引发思考】 （3）如图3，以为边，在下方作等腰，，的最大值为_____． 18．（6分）（24-25八年级·四川达州·阶段练习）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 19．（8分）（24-25八年级·上海浦东新·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，，，试证明．    【知识运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距24千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为　 　千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，要在上建造一个供应站，使得，求的长． （4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值　　． 20．（8分）（24-25八年级·福建泉州·期末）小明学习了勾股定理之后，探究“如何用一条已知线段构造一个直角三角形且使其周长恰好等于线段的长”． (1)如图1，已知线段，小明在线段上取点和，使得，，再将线段，，围成三角形，求证：所围成的三角形是直角三角形； (2)如图2，点为线段上一点，请在线段上作点，使，，恰好能构成一个直角三角形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)已知正方形、正方形的边长分别为有理数、有理数，且满足，，若正方形的面积等于正方形和正方形的面积之和，求证：正方形的边长也是有理数． 21．（10分）（24-25八年级·贵州六盘水·期末）（1）【问题提出】如图1，在和中，，，，，三点在一条直线上，，，则的长度为________；    （2）【问题探究】如图2，在中，，，，且，求点到的距离； （3）【问题解决】如图3，在四边形中，，，，求的周长． 22．（10分）（24-25八年级·福建福州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，． (1)求点A的坐标； (2)如图2，点是轴正半轴上的点，点是轴正半轴上的点，若，求证：； (3)在（2）条件下，如图3，连接，过点A作于，并延长交于，求点的坐标．（用含的式子表示） 23．（12分）（24-25八年级·辽宁沈阳·期末）【问题背景】 数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系． 【问题初探】 （1）如图1，在中，，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．判断线段与的关系为______． 【问题深探】 （2）如图2，在中，，点为斜边中点，射线交边于点，射线交边于点，且满足 问题①：线段与满足什么数量关系？请说明理由； 问题②：请直接写出线段之间的数量关系____________． 【问题拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点为斜边中点，轴上有一点，动直线绕着点旋转，与轴相交于点，且满足，直线的表达式为____________（直接写出表达式即可）． 24．（12分）（24-25八年级·广东深圳·期末）（1）如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．易求∠DCE＝ °； （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．CE＝10，BC＝6，求AE的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章 勾股定理压轴题综合测试卷 【人教版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级·浙江绍兴·期末）等腰，，，，则（   ） A．3 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，正确作辅助线是解题的关键. 将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则，，得到，可求出，，可证明，得到，可证明，，则，得出，，则，求出，即可得到结论. 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 故选：B. 2．（3分）（24-25八年级·福建泉州·期末）四条线段的长分别为1，x，5，9（其中x为正数），用它们拼成两个直角三角形，且与是其中的两条线段（如图），则x可能取值的个数为（   ） A．2 B．3 C．6 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用．首先过作交的延长线于，根据题意即可得，，，可得是最长边，长为9或，然后由勾股定理可得，然后分别从，为9或5或1；，或5或1去分析求解，即可求得答案．此题难度很大，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解． 【详解】解：如图，过作交的延长线于， 根据题意得：，，， ， 是最长边，长为9或， 若，，则， 若，，则， 若，，则， 若，，则， 若，，则， 若，，则， 共6个， 故选：C． 3．（3分）（24-25八年级·浙江金华·期末）如图，在中，，，点D为边上的中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），过点A作交于点F，过点B作交的延长线于点G．若已知的长，则可求出（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，延长，交的延长线于，由可证，可得，，由可证，可得，，可证，由勾股定理可得，即可求解．添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：延长，交的延长线于， ，， ， ， 点是的中点， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 已知的长， 可求的长， 故选：A． 4．（3分）（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，在中，，平分交于点，点在边上，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，过作交的延长线于，过作于，可得，即得，，得到，得到，， 得到，进而根据角平分线可得，得到是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作交的延长线于，过作于， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：． 5．（3分）（24-25八年级·四川眉山·期末）如图，在中，，，．如果D、E分别为、上的动点，那么的最小值是（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】延长到点F，使得，则直线是线段的垂直平分线，连接，于是得到，，于是就变成了，根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到的最小值就是的高，过点F作于点G，求即可． 此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 【详解】解：延长到点F，使得， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， 连接， ∴，， ∴就变成了， 根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到的最小值就是的高， 过点F作于点G， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6．（3分）（24-25八年级·浙江绍兴·期末）某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有的全等三角形纸片（如图①）拼成一个正三角形（如图②），即．连接，，，若长是2，的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，正确得出与的面积相等是解题关键．过点作于点，过点作，交延长线于点，先求出和，根据含30度角的直角三角形的性质可得，，从而可得，根据三角形的面积公式可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据等边三角形的性质和勾股定理求出，由此即可得． 【详解】解：如图②，过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵，， ∴，，，，， ∴， ∴在中，， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ， ∴在中，， ∴， ∴， 同理可得：， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可证：， ∴，， ∴， 又∵，， ∴是等边三角形， 如图②，过点作于点， 则， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．（3分）（2024·天津和平·三模）如图，在边长为2的等边三角形中，为边上一点，且．点，分别在边上，且为边的中点，连接交于点．若，则的长为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形边长为2，在中求得的长，再根据垂直平分，在中求得，利用三角形中位线求得的长，最后根据线段和可得的长． 【详解】解：等边三角形边长为2，， ∴，， 等边三角形中，， ， ， ， ， ，， 如图，连接，则中，， ， 是等边三角形， ， 垂直平分， ， 中，，，， ∵EM=FM，DN=FN， ∴， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键． 8．（3分）（24-25八年级·山东淄博·期末）把一副三角板如图①放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点顺时针旋转得到（如图②），此时与交于点，则线段的长度为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题关键．先求出，再根据旋转角可得，可判定是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出，从而得到，最后由勾股定理即可得到． 【详解】解：， 绕点顺时针旋转得到 又 是等腰直角三角形 又，， 在中， 故选：D． 9．（3分）（24-25八年级·山东济南·期中）如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…则第2024个等边三角形的边长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标，等边三角形的性质，含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解一次函数图象上点的坐标的特征，等边三角形的性质，灵活运用含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理进行计算是解决问题的关键，根据计算归纳总结出规律，第个等边三角形的边长为是解决问题的难点．先求出，，，则，，根据等边三角形性质得，则，在中，由勾股定理得，则第1个等边三角形的边长为，再分别计算出，，则，在中，得，则第2个等边三角形的边长为，同理第3个等边三角形的边长为，，依次类推，第个等边三角形的边长为，由此可得第2024个等边三角形的边长． 【详解】解：对于，当时，，当时，， 点，点， ，， 在中，由勾股定理得：， ，则， 是等边三角形， ，， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， 即第1个等边三角形的边长为：， ， 是等边三角形， ，， ， 在中，， 在中，，， ， 即第2个等边三角形的边长为：， 同理：第3个等边三角形的边长为：， ，依次类推，第个等边三角形的边长为：， 第2024个等边三角形的边长等于． 故选：B． 10．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，是等边三角形外一点，连接，，．若，，，则三角形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质及全等三角形的判定和性质，可将绕点C顺时针旋转，再利用勾股定理逆定理证明直角三角形，最后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：将绕点C顺时针旋转，则点B与点A重合，点D的对应点为点E，连接， 由旋转可知，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴． 又∵， 则， ∴是直角三角形，且， 过点C作的垂线，垂足为G， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 在中，， 过点A作的垂线，垂足为H，则， ∴， ∴， 故选：B． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，在中，，点为外一点，且满足，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形、勾股定理．作于点，于点，交的延长线于点，则，先由两条平行线之间的距离处处相等得到，再证明得到，然后在中由求出，，，，再利用得到，接着利用勾股定理依次求出，，，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，于点，交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（3分）（24-25八年级·山西晋中·期末）如图，直线分别与、轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且．点是轴上的一点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，此时点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理和折叠综合等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． 由直线过点，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出的值，进而可得出点的坐标及的长度，结合可求出点的坐标，设，则或，在中，利用勾股定理可得出关于的方程，解之即可得出结论． 【详解】∵直线过点， ， ， 当时，， ∴点的坐标为，即， ， ， ∵点在轴正半轴， ∴点的坐标为， 依照题意画出图形，如图所示． 由翻折得，， ，， ， ， ∴设，则或， 在中，， ∴，即或， 解得：或， 点P的坐标为或． 故答案为：或 13．（3分）（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在等腰直角中，，点D在边（不含A，C两点）上，连，以为直角边向右侧作邻腰直角，，连接．若， ，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 过点作，交的延长线于点，设，则，证明和全等得，则，在中，由勾股定理可求出，则，进而得，然后在中，由勾股定理即可求出线段的长． 【详解】过点作，交的延长线于点，如图所示： ， 设， ， ， ∵是等腰直角三角形，， ， ， ∵是等腰直角三角形，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 即， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 在中，由勾股定理得： ． 故答案为：． 14．（3分）（24-25八年级·辽宁沈阳·期末）若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形ABCO的两边分别在坐标轴上，点的坐标是．在正方形的边上找一点，使得是边上的“完美三角形”，点P的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 利用正方形的性质得到，进而得到中点D的坐标为，再分当点P在上时、当点P在上时、当点P在上时三种情况，分别利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，点B的坐标是， ∴， ∴中点D的坐标为， 如图所示，当点P在上时，设； ∵是边上的“完美三角形”， ∴， ∴，解得． ∴点P的坐标为． 如图2所示，当点P在上时，设； ∵是边上的“中线三角形”， ∴， ∴，解得（负值舍去）， ∴点P的坐标为， 如图3所示，当点P在上时，设； ∵是边上的“中线三角形”， ∴， ∴，解得（负值舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 15．（3分）（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在中，平分，交边于点，若，，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 在上截取，连接，过点作交的延长线于点，设，证明是等腰直角三角形得，则，证明和全等得，，进而得，根据三角形的面积公式得，，，再根据，解出，进而得，，然后在由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：在上截取，连接，过点作交的延长线于点，如图所示： 设， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴，， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 16．（3分）（24-25八年级·浙江丽水·期末）如图，在四边形中，对角线，F为上一点，连接交于点E，，已知，且． （1）则的长是 ； （2）若，且，则 ． 【答案】 10 6 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）延长交的延长线于点H，易得是等腰直角三角形，可证，所以，即可得解； （2）由条件易证 ，得到，所以，即可求解． 【详解】解：（1）延长交的延长线于点H， ， ， ， ∴， ，即是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， 在中，， 即， ； 故答案为：10； （2），， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ． 故答案为：6． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级·河北石家庄·期末）如图，在中，，，点从点出发，沿折线的路径，以每秒1个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． 【问题探究】 （1）当时 ①判断的形状，并说出理由． ②点在边上运动，当时，求的值． 【深入探索】 （2）在（1）的条件下①当点运动到的角平分线上时，的值为_____． ②如图，当点运动到边上时，过点作，交边于点，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于_____． 【引发思考】 （3）如图3，以为边，在下方作等腰，，的最大值为_____． 【答案】（1）①为直角三角形；理由见解析；②；（2）①；②或；（3） 【分析】（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断即可； ②根据勾股定理求出，再求出即可； （2）①过点P作于点Q，根据角平分线性质得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案； ②分两种情况讨论：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可； （3）将绕点E逆时针旋转到，连接，，过点E作于点G，证明，得出，根据三角形三边关系得出，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，即可得出，求出，即可求出结果。 【详解】解：（1）①为直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴为直角三角形； ②∵为直角三角形，， ∴时，， ∴， ∴； （2）①过点P作于点Q，如图所示： ∵，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴； ②当时，过点P作于点M，于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 即； 综上分析可知：的长为或． （3）将绕点E逆时针旋转到，连接，，过点E作于点G，如图所示： 根据旋转可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 18．（6分）（24-25八年级·四川达州·阶段练习）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（2）（2）甲方案所修的水渠较短；理由见解析 【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形； （2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果． 【详解】解：（1）△ABC是直角三角形； 理由如下： ∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； （2）甲方案所修的水渠较短； 理由如下： ∵△ABC是直角三角形， ∴△ABC的面积＝AB•CH＝AC•BC， ∴CH＝（m）， ∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m）， ∴AC+BC＜CH+AH+BH， ∴甲方案所修的水渠较短． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键． 19．（8分）（24-25八年级·上海浦东新·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，，，试证明．    【知识运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距24千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为　 　千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，要在上建造一个供应站，使得，求的长． （4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值　　． 【答案】（1）见解析；（2）25；（3）6.3125千米；（4）20 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，，，则，分别用含，，的式子，结合图形表示出梯形、四边形、的面积，根据，代入计算即可求解； （2）如图2所示，连接，作于点，可得，的长，在中，运用勾股定理即可求解； （3）如图3所示，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求；利用勾股定理得，，进而得，再根据千米，千米，千米得千米，即可解答； （4）根据轴对称最短路线的求法即可求出． 【详解】（1）证明：根据题意，，，，， 则， 四边形的面积， ， ， ； （2）解：如图2所示，连接，过点作于点，   ，， ， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， （千米）， 由勾股定理得：（千米）， 则两个村庄之间的距离为25千米． 故答案为：25； （3）解：如图3所示，连接，作线段的垂直平分线交于，则点即为所求；    连接，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 在（2）的背景下，则千米，千米，千米， 千米， ， 千米． 即的长为6.3125千米； （4）解：如图4，， 设，则， 先作出点关于的对称点，连接，过点作于点，    则， 当点三点共线时，有最小值， 由轴对称可得：， 的最小值为， 即：就是代数式的最小值． 代数式的最小值为． 故答案为：20． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． 20．（8分）（24-25八年级·福建泉州·期末）小明学习了勾股定理之后，探究“如何用一条已知线段构造一个直角三角形且使其周长恰好等于线段的长”． (1)如图1，已知线段，小明在线段上取点和，使得，，再将线段，，围成三角形，求证：所围成的三角形是直角三角形； (2)如图2，点为线段上一点，请在线段上作点，使，，恰好能构成一个直角三角形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)已知正方形、正方形的边长分别为有理数、有理数，且满足，，若正方形的面积等于正方形和正方形的面积之和，求证：正方形的边长也是有理数． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）分别算出每个线段的长度，再运用勾股逆定理进行验证，即可作答． （2）以点为圆心，的长为半径，画弧交线段于一点，即，再分别以点和为圆心，画弧，交于一点D，连接，直线是的垂直平分线，即在的上方的处取一点E，使得，连接，再作的垂直平分线，与交于一点F，再以点为圆心，为半径画弧，交线段于一点，即为点，则，，在，则，所以，即可作答． （3）先设正方形C的边长为，则，因为，所以，则，整理得，结合，故，因为，所以，结合都是有理数，即正方形C的边长为有理数． 本题考查了完全平方公式以及勾股逆定理，垂直平分线的性质，第（2）问难度较大，对学生的尺规作图能力有一定的要求，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴以线段，，围成三角形，所围成的三角形是直角三角形； （2）解：依题意，使，，恰好能构成一个直角三角形，如图所示： （3）解：设正方形C的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵都是有理数， ∴也是有理数， 即正方形C的边长为有理数． 21．（10分）（24-25八年级·贵州六盘水·期末）（1）【问题提出】如图1，在和中，，，，，三点在一条直线上，，，则的长度为________；    （2）【问题探究】如图2，在中，，，，且，求点到的距离； （3）【问题解决】如图3，在四边形中，，，，求的周长． 【答案】（1）5；（2）点到的距离为3；（3）的周长为 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及等腰直角三角形、三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形（型全等)． （1）由，得，可证明，即得，，利用勾股定理求出即可； （2）过作交延长线于，由，得，即得，可证明，得，据此求解即可； （3）过作于，过作交延长线于，由，，得是等腰直角三角形，即得，，根据，可得，，即有，即可证明，从而，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5； （2）过D作交延长线于E，如图：    ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点到的距离为3； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，如图：    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴的周长为． 22．（10分）（24-25八年级·福建福州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，． (1)求点A的坐标； (2)如图2，点是轴正半轴上的点，点是轴正半轴上的点，若，求证：； (3)在（2）条件下，如图3，连接，过点A作于，并延长交于，求点的坐标．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了一次函数、等腰直角三角形、勾股定理及逆定理的知识，解题的关键是熟练掌握一次函数、勾股定理的性质； （1）过点A作轴于点P，根据等腰直角三角形三线合一的性质分析，即可得到答案； （2）过点A作轴于点P，过点A作轴于点Q，连接，根据勾股定理及逆定理的性质计算，即可得到答案； （3）过点A作轴于点M，连接，过点A作轴于点N，根据，结合勾股定理，分别得到，，从而得到，同理推算出，从而得到等式，设点的坐标，建立等式即可得到答案． 【详解】（1）如图，过点A作轴于点P， ∵ ∴ ∴点A的坐标为； （2）如图，过点A作轴于点P，过点A作轴于点Q，连接， 根据（1）的结论，得点A的坐标为， ∴,, ∵点是轴正半轴上的点，点是轴正半轴上的点， ∴，， ∴ ∵ ∴，即, ∴，即； （3）如下图所示，过点A作轴于点M，连接，过点A作轴于点N， 得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标， 在直角三角形中，, ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，即点的坐标为． 23．（12分）（24-25八年级·辽宁沈阳·期末）【问题背景】 数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系． 【问题初探】 （1）如图1，在中，，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．判断线段与的关系为______． 【问题深探】 （2）如图2，在中，，点为斜边中点，射线交边于点，射线交边于点，且满足 问题①：线段与满足什么数量关系？请说明理由； 问题②：请直接写出线段之间的数量关系____________． 【问题拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点为斜边中点，轴上有一点，动直线绕着点旋转，与轴相交于点，且满足，直线的表达式为____________（直接写出表达式即可）． 【答案】（1）且，理由见解析；（2）①，理由见解析；②（3）或 【分析】本题主要考查的是一次函数综合运用、全等三角形的判定与性质、一次函数的图象和性质、勾股定理的运用等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）用证明即可求解； （2）①先证明得到即可解答；②先说明，再在中，即可求解； （3）先求得，再证明，则；设点，则，解得：（舍去）或4，即点；然后运用勾股定理求得直线的表达式为，当直线l和上述垂直时，也符合题意，求得点F的坐标，最后运用待定系数法求出直线直线l的表达式即可求解． 【详解】解：（1）且，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：且． （2）①，理由如下： 如图：连接， ∵，点为斜边中点， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②∵， ∴； 在中，，即． 故答案为：． （3）∵在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，， ∴ ∵点为斜边中点， ∴点， ∵， ∴，则， 设点，则，解得：（舍去）或4， ∴点， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为：， 如图：当直线和上述垂直时， ∵在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，， ∴，， ∵点为斜边中点， ∴点，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：该直线l符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为，则有： 则，解得：， ∴直线的解析式为． 综上，直线的表达式为或． 故答案为：或． 24．（12分）（24-25八年级·广东深圳·期末）（1）如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．易求∠DCE＝ °； （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．CE＝10，BC＝6，求AE的长． 【答案】（1）120°；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）利用等式的性质判断出∠BAD=∠CAE，进而得出△ABD≌△ACE，即可得出答案； （2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，进而得出BD=CE，∠BCE=90°，即可得出结论； （3）同（2）的方法，即可得出结论． 【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠B=∠ACB=∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B=∠ACE=60°， ∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°， 故答案为：120； （2）DE2=CD2+BD2；理由如下： 在Rt△ABC中，AB=AC， ∴∠B=∠ACB=45°， ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAD=∠CAE， ∵AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， 根据勾股定理得，DE2=CD2+CE2=CD2+BD2； （3）∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABC＝∠ACE＝45°，BD＝CE， ∴∠ABC+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°， ∴∠BCE＝∠ECD＝90° ∵BC＝6，CE＝10， ∴BD＝CE＝10， ∴CD＝BD﹣BC=10﹣6＝4， ∴Rt△DCE中，DE＝ ∵△ADE是等腰直角三角形， ∴AE＝ 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△ABD≌△ACE是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$