精品解析：上海市上海师范大学康城实验学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试卷

康城实验学校2024学年第二学期九年级数学学科 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 以下四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上 1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知，下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一组数据a，2，4，1，6的中位数是4，那么a可以是（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 5 5. 如图，与相切于点，的延长线交于点，连接，若，则等于( ) A. B. C. D. 6. 下列命题是假命题的是（ ） A. 对边之和相等的平行四边形是菱形 B. 一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形 C. 一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角四边形是菱形 D. 被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7 计算：_________． 8. 在实数范围内因式分解__________ 9. 函数定义域是__________． 10. 不等式组的解集是　 11. 已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为________________． 12. 布袋中有大小、质地完全相同的5个小球，每个小球上分别标有数字1，2，3，4，5，如果从布袋中随机抽一个小球，那么这个小球上的数字是合数的概率是______． 13. 某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台，已知九年级200名学生义卖所得金额频数分布直方图如图所示，那么20﹣30元这个小组的组频率是_____． 14. 如图，△ABC中，AC、BC上的中线交于点O，且BE⊥AD．若BD=5，BO=4，则AO的长为___． 15. 如图，在中，点D在边上，且，点E是的中点，连接，设向量，，如果用、表示，那么___________． 16. 我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点、、、分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的弦的长为___________． 17. 在中，，将绕着点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，如果点A在的延长线上，且，那么的余弦值为___________． 18. 已知矩形中，，以为半径的圆A和以为半径的圆C相交于点D、E，如果点E到直线的距离不超过3，设的长度为m，则m的取值范围是______． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 20. 解方程组：． 21. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，sinC=，点D是BC上一点，且DC=AC． （1）求BD的长； （2）求tan∠BAD． 22. 如图，某水渠的横断面是以为直径的半圆O，其中水面截线，小明在A处测得点B处小树的顶端C的仰角为，已知小树的高为米． （1）求直径的长； （2）如果要使最大水深为2.8米，那么此时水面的宽度约为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：，） 23. 已知：如图，在菱形中，点E是边上的任意一点（不与点D、C重合），交对角线于F，过点E作交于点G． （1）求证：； （2）当时，求证：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式及点的坐标； （2）已知点，联结，过点作，垂足为，点是轴上的动点，分别联结、，以、为边作平行四边形． ① 当时，且的顶点正好落在轴上，求点的坐标； ② 当时，且点在运动过程中存在唯一的位置，使得是矩形，求的值． 25. 已知以为直径的半圆上有一点，，垂足为点，点是半径上一点（不与点、重合），作交弧于点，连接． （1）如图，当的延长线经过点时，求的值； （2）如图，作，垂足点，连接． 试判断与的大小关系，并证明你的结论； 当是等腰三角形，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 康城实验学校2024学年第二学期九年级数学学科 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 以下四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上 1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项不符合题意； B、=，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项不符合题意； C、，是最简二次根式；故C选项符合题意； D．=，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项不符合题意； 故选C． 2. 已知，下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，易错在不等式的基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．不等式性质：基本性质1．不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变．基本性质2．不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．基本性质3．不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据性质逐一分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故不符合题意； B． ∵， ∴， ∴，故符合题意； C．∵， ∴，故不符合题意； D． ∵， ∴，故不符合题意． 故选：B． 3. 下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数、反比例函数和二次函数的性质，熟练掌握各类函数的性质是解决问题的关键．根据一次函数，反比例函数、二次函数的性质进行逐项分析即可． 【详解】A． ，二次项系数为，故函数开口向上，且对称轴为，当时，函数值y随自变量x的值增大而减小；当时，函数值y随自变量x的值增大而增大；而不是函数值y随自变量x的值增大而增大，故不符合题意； B．，比例系数为，当时，函数值y随自变量x的值增大而增大；当时，函数值y随自变量x的值增大而增大；而不是函数值y随自变量x的值增大而增大，故不符合题意； C． ，一次项系数为，函数值y随自变量x的值增大而增减小，故不符合题意； D． ，一次项系数为，函数值y随自变量x的值增大而增大，故符合题意； 故选：D 4. 已知一组数据a，2，4，1，6的中位数是4，那么a可以是（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中位数的定义，属于基本题型，熟知中位数的概念是解题的关键．根据中位数的定义先确定从小到大排列后a的位置，再解答即可． 【详解】解：根据题意，a的位置按照从小到大的排列是：1，2，4，a，6或1，2，4，6，a； ∴． ∴D符合题意 故选D． 5. 如图，与相切于点，的延长线交于点，连接，若，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据切线的性质可得，进而求得，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵与相切于点， ∴， ∵， ∴ ∴ 故选：D． 6. 下列命题是假命题的是（ ） A. 对边之和相等的平行四边形是菱形 B. 一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形 C. 一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形 D. 被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、∵平行四边形的对边相等，且对边之和相等， ∴平行四边形邻边相等， ∴平行四边形是菱形，故本选项命题是真命题； B、如图，是的边上的高，是边上的高，且 由面积公式得， ∴ ∴是菱形， 即：一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形，故本选项命题是真命题； C、如图，分别是四边形的两条对角线，交于点O，其中平分，平分 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形， 即：一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形，是真命题，不符合题意； D、有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形不一定是菱形，故被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形是假命题，符合题意； 故选：D． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：_________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂，熟练掌握负整数指数幂的计算方法是解题的关键．利用负整数指数幂的计算方法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 实数范围内因式分解__________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案是：． 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，掌握是解题的关键． 9. 函数的定义域是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式即可． 【详解】解：根据题意可得，＞0， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，解题关键是熟练运用相关性质列不等式，确定自变量的取值范围． 10. 不等式组的解集是　 【答案】＜x≤2． 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可确定出不等式组的解集． 详解】 由①得：x＞； 由②得：x≤2， 则不等式组的解集为＜x≤2． 11. 已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键．根据换元法即可求解． 【详解】解：方程，如果设， ∴ 即， 故答案为：． 12. 布袋中有大小、质地完全相同的5个小球，每个小球上分别标有数字1，2，3，4，5，如果从布袋中随机抽一个小球，那么这个小球上的数字是合数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．求出事件全部结果数及摸出的小球所标数字是合数的全部结果数，由概率计算公式即可求得答案． 【详解】解：∵共五个数，合数为4，共1个， ∴从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是合数的概率为， 故答案为：． 13. 某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台，已知九年级200名学生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示，那么20﹣30元这个小组的组频率是_____． 【答案】0.25 【解析】 【详解】【分析】根据“频率=频数÷总数”即可求得答案． 【详解】一共有200个学生，20﹣30这个小组的频数为50， 所以，20﹣30元这个小组的组频率是50÷200=0.25， 故答案为0.25． 【点睛】本题考查了频率，属于简单题，熟记“频率=频数÷总数”是解题的关键. 14. 如图，△ABC中，AC、BC上的中线交于点O，且BE⊥AD．若BD=5，BO=4，则AO的长为___． 【答案】6. 【解析】 【分析】先根据勾股定理得到OD的长，再根据重心的性质即可得到AO的长． 【详解】∵BE⊥AD，BD=5，BO=4， ∴OD=， ∵AC、BC上的中线交于点O， ∴AO=2OD=6． 15. 如图，在中，点D在边上，且，点E是的中点，连接，设向量，，如果用、表示，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查向量，首先由向量的知识，得到与的值，即可得到的值． 【详解】解：在中，，，则 ∵，点E是的中点， ∴， ∴ 故答案为：． 16. 我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点、、、分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的弦的长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，，由抛物线的解析式可求出，，的坐标，进而求出，，的长，在直角三角形中，利用相似三角形的判定和性质可求出的长，进而可求出的长． 本题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键． 【详解】解：连接，， 抛物线的解析式为， 点的坐标为， 的长为， 设，则， 解得：或， ， ，， 为半圆的直径， ， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 故答案为：． 17. 在中，，将绕着点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，如果点A在的延长线上，且，那么的余弦值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由旋转，平行线的性质以及等腰三角形的性质证明，再对运用内角和定理可求，即可求解的余弦值． 【详解】解：由旋转得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，由内角和定理得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质以及特殊角的锐角三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键． 18. 已知矩形中，，以为半径的圆A和以为半径的圆C相交于点D、E，如果点E到直线的距离不超过3，设的长度为m，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，当在的左侧时，连接，，，过作于，作于，如图，当在的右侧时，连接，，，过作于， 交于，再分别求解的值，从而可得答案． 【详解】解：如图，当在的左侧时，连接，，，过作于，作于， ∵矩形，，， ∴四边形为矩形，，， ∴，， ∴， ∵，为圆心， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 解得：； 如图，当在的右侧时，连接，，，过作于， 交于， ∵矩形，，， ∴，，四边形为矩形， ∴， 同理可得： ，， ∵， ∴， ∴， ∵ 在中，， ∴， 综上：点E到直线的距离不超过3，则； 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，勾股定理的应用，两圆的位置关系，线段的垂直平分线的性质，确定临界点是解本题的关键． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先求一个数的立方根，化简绝对值，分母有理化，求一个数的零指数幂，依次计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，立方根的性质、绝对值的性质、分母有理化、零指数幂的性质，正确化简是解题的关键． 20. 解方程组：． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是二元二次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，先把方程组化为或，再解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 由②得：， ∴， ∴或， ∴或， 解得：或． 21. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，sinC=，点D是BC上一点，且DC=AC． （1）求BD的长； （2）求tan∠BAD． 【答案】(1)6.(2) ． 【解析】 【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，求出CE，BE，再由CD=AC，可求出BD的长度． （2）过点D作DF⊥AB于点F，在Rt△BDF中求出DF，BF，继而可得AF，从而可求tan∠BAD． 【详解】（1）过点A作AE⊥BC于点E， ∵AB=AC， ∴BE=CE， 在Rt△ACE中，AC=10，sin∠C=， ∴AE=6， ∴CE==8， ∴CD=2CE=16， ∴BD=BC-BD=BC-AC=6． （2）过点D作DF⊥AB于点F， Rt△BDF中，BD=6，sin∠B=sin∠C=， ∴DF=， ∴BF=， ∴AF=AB-BF=， ∴tan∠BAD=． 22. 如图，某水渠的横断面是以为直径的半圆O，其中水面截线，小明在A处测得点B处小树的顶端C的仰角为，已知小树的高为米． （1）求直径的长； （2）如果要使最大水深为2.8米，那么此时水面的宽度约为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：，） 【答案】（1）7米 （2）6.7米 【解析】 【分析】（1）由题意知，根据，求的值即可； （2）如图，过点O作于D，并延长交于H，连接，则米，米，米，在中，由勾股定理求的值，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， ∴， ∴， 答：直径的长为7米； 【小问2详解】 解：如图，过点O作于D，并延长交于H，连接， ∴米， ∵的直径为7米， ∴米 ∴米， 在中，由勾股定理得， ∴， 答：水面的宽度约为6.7米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 23. 已知：如图，在菱形中，点E是边上的任意一点（不与点D、C重合），交对角线于F，过点E作交于点G． （1）求证：； （2）当时，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判断，菱形的性质： （1）证明，得到，证明得到，则可得，即； （2）如图所示，连接交于O，由菱形的性质得到，，则，证明，进而证明,即可得到，即． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图所示，连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式及点的坐标； （2）已知点，联结，过点作，垂足为，点是轴上的动点，分别联结、，以、为边作平行四边形． ① 当时，且的顶点正好落在轴上，求点的坐标； ② 当时，且点在运动过程中存在唯一的位置，使得是矩形，求的值． 【答案】（1）；点 （2）①；②的值为或 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入表达式求出a的值即可得到函数表达式，进而根据对称性求出点B的坐标； （2）①在中，，则；得到；过点作，垂足为．在中，，；证明四边形是矩形，则；即可得到答案；②根据m的取值分三种情况分别进行解答即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 解得； ∴抛物线的表达式为； ∵抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴交于点和点， ∴点． 【小问2详解】 ①由题意，得，， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴； 又点在轴上， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，； 在中，， ∴； ∴； 过点作，垂足为． 在中，，； ∵， ∴四边形是矩形， ∴； ∴． ②当时，根据不同取值分三种情况讨论： 当时，即点与点重合时，符合题意； 当时，如图情况符合题意，取的中点P，以为直径作圆P，则在圆上， 此时圆P和x轴有唯一切点D，符合题设条件， 则， ∵， 由①知， ，则， 则， ∵，, ∴，解得； 当时，可得，所以符合题意的不存在； 综合、、，符合题意的的值为或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合题，考查了解直角三角形，切线的性质、勾股定理、矩形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，分类讨论是解题的关键． 25. 已知以为直径的半圆上有一点，，垂足为点，点是半径上一点（不与点、重合），作交弧于点，连接． （1）如图，当的延长线经过点时，求的值； （2）如图，作，垂足为点，连接． 试判断与的大小关系，并证明你的结论； 当是等腰三角形，且，求的值． 【答案】（1）； （2），理由见解析；的值为或或． 【解析】 【分析】（）利用垂径定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质解答即可； （）延长交于点，延长交于点，延长交于点，连接，，，，利用垂径定理，三角形的中位线定理得到，利用垂径定理得到，再利用四边形的内角和定理和邻补角的性质得到，再利用相等的圆心角所对的弧相等的性质，等弧对等弦的性质得到则结论可得； 利用分类讨论的方法分三种情况解答： 当时，利用全等三角形的判定与性质和勾股定理解答即可；当 时，过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理解答即可；当时，则，连接，利用矩形的判定与性质和勾股定理解答即可． 【小问1详解】 当的延长线经过点时， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 与的大小关系为：， 理由：延长交于点，延长交于点，延长交于点，连接，，，，如图， ∵ ∴， ∵为直径，， ∴, ∴为的中位线， ∴， ∵为直径，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴设，则， ∴， 当时， 由（）知：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， 过点作于点，如图， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ，， ∴， 当时，则，连接，如图， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴ ，， ∴， ∴， ∴， ∴ 综上，当是等腰三角形，且，的值为或或． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，三角形的中位线定理，添加适当的辅助线和利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$