第10章 复数 章末总结-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册创新导学案word（人教B版2019）

堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.待定系数法是数学中特别重要的一种解题方法，在本章的复数的运算当中，待定系数法用的较多，常设z＝a＋bi(a，b∈R)，建立a，b的关系式，然后求解问题． 2．解决复数问题时，要注意从整体角度去分析求解，若遇见复数便设为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，有时会导致计算量过大．运用整体代换及结合几何意义，可以大大地简化计算过程． 3．复数相等的充要条件是复数问题实数化的理论依据． 4．复数的模是复数的一个重要概念，也是高考重点考察的对象之一．求复数的模的最值时，常用的方法有：(1)设出代数形式，利用求模公式，把模表示成实数范围的函数，然后利用函数来求最值；(2)利用不等式||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|求解；(3)利用几何法求解． 5．求复平面内的点的轨迹问题通常有两种途径：一是设z＝x＋yi(x，y∈R)，依据条件转化为关于x与y的方程，从而得出所求轨迹．二是结合“基本轨迹方程”，充分考虑复数的整体性，运用条件及有关性质，探求轨迹上的点所对应的复数所具有的特征及满足的方程(代入法是求轨迹时常用的思想方法). 一、复数的基本概念 复数的概念是掌握复数的基础，要认清复数的类型与复数相等的充要条件，以便于快速准确地解题． (1)设z是复数，则下列命题中的假命题是(　　) A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2<0，则z是纯虚数 C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2<0 (2)设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 (3)已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝____，n＝____． [解析]　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，若z2≥0，则即b＝0，故z是实数，A是真命题；若z2<0，则即故z是纯虚数，B是真命题；若z是虚数，则b≠0，如果a≠0，则z2＝a2－b2＋2abi无法与0比较大小，故C是假命题；若z是纯虚数，则z2＝－b2<0，故D是真命题．故选C. (2)a－＝a－＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，由其为纯虚数得a＝3. (3)由复数相等的充要条件有 解得 [答案]　(1)C　(2)D　(3)2　±2 二、复数的四则运算 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式． 计算：(1)；(2). [解]　(1)原式＝＝＝i. (2)原式＝ ＝ ＝＝ ＝＝－1＋i. 三、复数及其运算的几何意义 1．任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内一点Z(a，b)对应，而任一点Z(a，b)又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量对应，这些对应都是一一对应，即 2．设z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，y1，x2，y2∈R)，其对应的复平面内的点分别为Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)，所以点Z1，Z2之间的距离为|Z1Z2|＝||＝|z2－z1|＝|(x2＋y2i)－(x1＋y1i)|＝|(x2－x1)＋(y2－y1)i|＝. 已知z是复数，z＋2i，均为实数，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． [解]　设z＝x＋yi(x，y∈R)， 因为z＋2i＝x＋(y＋2)i，且z＋2i为实数， 所以y＝－2，z＝x－2i. 因为＝＝(x－2i)(2＋i) ＝(2x＋2)＋(x－4)i， 且为实数， 所以x＝4，所以z＝4－2i， 所以(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i， 根据条件，可知 解得2<a<6， 所以实数a的取值范围是(2，6)． 已知复数z1＝i(1－i)3. (1)求|z1|； (2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值． [解]　(1)∵z1＝i(1－i)3＝i(1－i)(－2i)＝2－2i，∴|z1|＝＝2. (2)解法一：设z与z1对应的点分别为Z，Z1， ∵|z|＝1， ∴点Z在以原点为圆心，1为半径的圆上， ∵z1＝2－2i， ∴Z1(2，－2)， ∴|z－z1|为点Z1到圆上一点的距离， ∴|z－z1|max＝|ZZ1|max＝＋1＝2＋1. 解法二：∵|z|＝1， ∴可设z＝cosθ＋isinθ(θ∈R)， ∴|z－z1|＝|cosθ＋isinθ－2＋2i| ＝ ＝ ＝. ∴当sin＝1时，|z－z1|取得最大值，为＝2＋1. 四、复数方程问题 在解决复数方程问题时，常利用待定系数法，并结合复数相等的充要条件，得到一个方程组，从而求得结果． 设关于x的方程是x2－(tanθ＋i)x－(2＋i)＝0. (1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根； (2)证明：对任意θ≠kπ＋(k∈Z)，方程无纯虚数根． [解]　(1)设实数根是a， 则a2－(tanθ＋i)a－(2＋i)＝0， 即a2－atanθ－2－(a＋1)i＝0. ∵a，tanθ∈R， ∴ ∴a＝－1，且tanθ＝1. 又0<θ<，∴θ＝. (2)证明：若方程存在纯虚数根，设为x＝bi(b∈R，b≠0)，则(bi)2－(tanθ＋i)bi－(2＋i)＝0， 即此方程组无实数解． ∴对任意θ≠kπ＋(k∈Z)，方程无纯虚数根． 五、数学学科思想 1．数形结合思想 复数既可用代数形式表示，也可用几何形式表示．因此，在解决某些复数问题时，若能以形助数可使解答更加形象、直观． i为虚数单位，若复数z满足|z|＝1，则的最大值为(　　) A.－1 B．2－ C.＋1 D．2＋ [解析]　解法一：设复数z对应的点为Z，＝＝ ＝|z－1－i|＝|z－(1＋i)|，其几何意义为复平面内的动点Z到定点P(1，1)的距离．又|z|＝1，所以点Z在以O为圆心，1为半径的圆上，如图所示，连接PO并延长，与圆O交于点Z1，当点Z与点Z1重合时，点Z到定点P的距离最大，且最大距离为＋1.故所求最大值为＋1. 解法二：＝＝|z－1－i|≤|z|＋|1＋i|＝＋1，当且仅当z＝－－i时等号成立． 解法三：由题意可设z＝cosx＋isinx(x∈R)，则＝|z－1－i|＝|(cosx－1)＋i(sinx－1)|.又(cosx－1)2＋(sinx－1)2＝3－2(sinx＋cosx)＝3－2sin，而－1≤sin≤1，所以3－2≤(cosx－1)2＋(sinx－1)2≤3＋2，所以|(cosx－1)＋i(sinx－1)|≤＝＋1.故所求最大值为＋1. [答案]　C 2.函数与方程思想 在解决复数问题时，常常需要根据复数的性质列方程，再根据函数的性质解决问题． 设z＝a＋bi(a，b∈R，|a|≠1)，|z|＝1. (1)求证：u＝是纯虚数； (2)求|z＋2＋2|的取值范围． [解]　(1)证明：由题意可得|z|2＝a2＋b2＝1， ∴u＝＝＝ ＝＝－. ∵|a|≠1，∴b≠0，∴u＝是纯虚数． (2)∵z＋2＋2＝a＋bi＋2(a－bi)＋2＝(3a＋2)－bi， ∴|z＋2＋2|2＝(3a＋2)2＋b2＝9a2＋12a＋4＋b2＝8a2＋12a＋5＝8＋. ∵a2＋b2＝1，∴b2＝1－a2≥0，解得－1≤a≤1. ∵|a|≠1，∴－1＜a＜1， ∴|z＋2＋2|2＝8＋∈， ∴|z＋2＋2|∈. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$