第10章 复数 单元质量测评-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册创新导学案word（人教B版2019）

第十章　单元质量测评 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ ★ 对点 共轭复数；复数的加法、乘法运算 复数为实数的条件；充分条件的选择 判断复数对应的点的位置 复数减法的几何意义 复数的乘方运算；求共轭复数的模 实系数一元二次方程根与系数的关系 复数四则运算的应用 复数模的几何意义；求复数乘积的最大值 复数的实部和虚部；复数的模；复数相等的条件 复数的除法运算；共轭复数的写法；复数的虚部；复数对应的点的位置 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ 对点 复数相等；复数的运算；共轭复数的概念 复数的坐标表示；复数的除法运算；共轭复数的概念 由复数是纯虚数求参数的取值　 求复数对应的点的坐标；由向量夹角的范围求参数的取值范围 复数的乘方及乘除法运算；由复数相等求参数的值 复数的运算；由复数的分类求参数的取值范围 由复数的模及运算结果求复数 复数的向量表示；由复数的分类求参数的值；求向量的数量积 复数的运算；由复数满足的条件求复数的模及实部的取值范围 　时间：120分钟　　满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2024·全国甲卷)若z＝5＋i，则i(＋z)＝(　　) A．10i B．2i C．10 D．－2 答案：A 解析：由z＝5＋i，得＝5－i，z＋＝10，则i(＋z)＝10i.故选A. 2．已知复数z(1＋i)2＝(1－ai)2(a∈R)，则z为实数的一个充分不必要条件是(　　) A．a＝0 B．a＝1 C．a＝ D．a＝±1 答案：B 解析：∵z＝＝－a＋i，∴若z为实数，则＝0，即a＝1或a＝－1，∴z为实数的一个充分不必要条件是a＝1.故选B. 3．若a，b∈R，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：D 解析：复数对应的点的坐标为(a2－6a＋10，－b2＋4b－5)，又因为a2－6a＋10＝(a－3)2＋1>0，－b2＋4b－5＝－(b－2)2－1<0，所以复数对应的点在第四象限． 4．已知z1＝2－5i，z2＝－3＋i，z1，z2对应的点分别为P1，P2，则向量对应的复数为(　　) A．－5＋6i B．5－6i C．5＋6i D．－1－4i 答案：B 解析：∵＝－，∴对应的复数为z1－z2＝(2－5i)－(－3＋i)＝5－6i. 5．若复数z满足＝i2025，则||＝(　　) A．2 B．2025 C. D．1 答案：D 解析：因为i2025＝i506×4＋1＝i，所以＝i2025＝i，则z－1＝i(z＋1)，即z－1＝zi＋i，故(1－i)z＝1＋i，则z＝＝＝＝i，故＝－i，||＝1.故选D. 6．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则(　　) A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1 答案：B 解析：因为1＋i是实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，所以1－i也是方程的根，则1＋i＋1－i＝2＝－b，(1＋i)(1－i)＝3＝c，解得b＝－2，c＝3. 7．已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，为z的共轭复数，给出下列关于z的四个命题： 甲：z＋＝－2；乙：z－＝2i； 丙：z＝4；丁：＝－－i. 若其中只有一个假命题，则该命题是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案：B 解析：设z＝a＋bi(a＜0，b＞0)，则＝a－bi.若甲是真命题，则z＋＝2a＝－2，即a＝－1，若乙是真命题，则z－＝2bi＝2i，b＝1，若丙是真命题，则z＝a2＋b2＝4，所以甲、乙、丙中有一个是假命题．若甲是假命题，则b＝1，a＝－，则＝＝－i，不符合题意；若乙是假命题，则a＝－1，b＝，则＝－－i，符合题意；若丙是假命题，则z＝－1＋i，＝－1－i，则＝－i，不符合题意．综上，该假命题是乙． 8．复数z满足|z＋1＋i|＝1(i为虚数单位)，则z·的最大值是(　　) A．3 B．7 C．9 D．10 答案：C 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，因为|z＋1＋i|＝1，所以点(a，b)到点(－1，－)的距离为1，所以点(a，b)在以C(－1，－)为圆心，1为半径的圆上．设k＝z·，则k＝|z|2＝a2＋b2， 所以点(a，b)在以点(0，0)为圆心，为半径的圆上，如图，可知()max＝|OC|＋1＝3，所以kmax＝9. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则(　) A．z2≥0 B．z的虚部是yi C．若z＝1＋2i，则x＝1，y＝2 D．|z|＝ 答案：CD 解析：∵复数z＝x＋yi(x，y∈R)，∴z2＝(x＋yi)2＝x2－y2＋2xyi，不能判断正负，故A错误；z的虚部是y，故B错误；若z＝1＋2i，则x＝1，y＝2，故C正确；|z|＝，故D正确．故选CD. 10．已知i为虚数单位，复数z＝，则以下命题为真命题的是(　　) A．z的共轭复数为－i B．z的虚部为 C．|z|＝3 D．z在复平面内对应的点在第一象限 答案：BD 解析：∵z＝＝＝＋i，∴z的共轭复数为－i，z的虚部为，|z|＝＝，z在复平面内对应的点为，在第一象限．故选BD. 11．设z1，z2是复数，则下列命题中是真命题的是(　) A．若|z1－z2|＝0，则1＝2 B．若z1＝2，则1＝z2 C．若|z1|＝|z2|，则z11＝z22 D．若|z1|＝|z2|，则z＝z 答案：ABC 解析：对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，所以1＝2，故A是真命题；对于B，若z1＝2，则z1与z2互为共轭复数，所以1＝z2，故B是真命题；对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，若|z1|＝|z2|，则＝，z11＝a＋b，z22＝a＋b，所以z11＝z22，故C是真命题；对于D，若z1＝1，z2＝i，虽然|z1|＝|z2|，但是z＝1，z＝－1，z≠z，故D是假命题．故选ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数的共轭复数是____． 答案：－i 解析：由题图知z＝2＋i，则＝＝＝i，其共轭复数是－i. 13．若复数z＝sinθ－＋i(θ∈R)是纯虚数，则cosθ＝____，tanθ＝____． 答案：－　－ 解析：因为z＝sinθ－＋i是纯虚数，所以则所以cosθ＝－，所以tanθ＝－. 14．已知复数z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若∠BAC是钝角，则实数c的取值范围为____． 答案：∪(9，＋∞) 解析：由题意，可得A(3，4)，B(0，0)，C(c，2c－6)．因为∠BAC是钝角，所以·＜0，且A，B，C三点不共线．由(－3，－4)·(c－3，2c－10)＜0，得c＞.当c＝9时，＝(6，8)＝－2，此时A，B，C三点共线，所以实数c的取值范围为∪(9，＋∞)． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)已知z＝1＋i，若＝1－i，求实数a，b的值． 解：∵z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝a＋b＋(2＋a)i，z2－z＋1＝(1＋i)2－(1＋i)＋1＝i， ∴＝(2＋a)－(a＋b)i＝1－i， 由复数相等的充要条件得 解得 16．(本小题满分15分)已知复数z＝(2＋i)m2－－2(1－i)．求实数m取什么值时，复数z是(1)零；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数． 解：由于m∈R， 所以复数z＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i. (1)当即m＝2时，z为零． (2)当m2－3m＋2≠0， 即m≠2且m≠1时，z为虚数． (3)当即m＝－时，z为纯虚数． (4)当2m2－3m－2＝－(m2－3m＋2)， 即m＝0或m＝2时，z是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数． 17．(本小题满分15分)已知复数z1，z2满足条件|z1|＝2，|z2|＝3，且3z1＋2z2＝6，求复数z1和z2. 解：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则a2＋b2＝4，c2＋d2＝9， 由3z1＋2z2＝6，得(3a＋2c)＋(3b＋2d)i＝6， 由复数相等得 解方程组 得或 所以或 18．(本小题满分17分)设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，a∈R.若1＋z2可以与任意实数比较大小，求·的值． 解：由题意，得1＝－(10－a2)i， 则1＋z2＝－(10－a2)i＋＋(2a－5)i＝＋(a2＋2a－15)i. 因为1＋z2可以与任意实数比较大小， 所以1＋z2是实数， 所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3. 又因为a＋5≠0，所以a＝3， 所以z1＝＋i，z2＝－1＋i， 所以＝，＝(－1，1)， 所以·＝×(－1)＋1×1＝. 19．(本小题满分17分)设z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1. (1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围； (2)若ω＝，求证：ω为纯虚数． 解：设z1＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)， 则z2＝z1＋＝a＋bi＋ ＝＋i. (1)因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，还可得z2＝2a. 由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－≤a≤，即z1的实部的取值范围是. (2)证明：ω＝＝ ＝＝－i. 因为a∈，b≠0，所以ω为纯虚数． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$