第9章 解三角形 章末总结-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册创新导学案word（人教B版2019）

堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能运用它们解三角形，通过解三角形，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力． 1．解三角形常见类型及解法 在三角形的六个元素中要知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法见下表： 已知条件 应用定理 一般解法 一边和两角(如a，B，C) 正弦定理 由A＋B＋C＝180°，求角A； 由正弦定理求出b与c. 在有解时只有一解 两边和夹角(如a，b，C) 余弦定理 由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角，再由A＋B＋C＝180°，求出另一角. 在有解时只有一解 三边(a，b，c) 余弦定理 由余弦定理求出角A，B，再利用A＋B＋C＝180°，求出角C. 在有解时只有一解 两边和其中一边的对角(如a，b，A) 正弦定理 由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理求出c. 可有两解、一解或无解 余弦定理 利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，解方程求出第三边，进而利用余弦定理的推论求其他角 2.三角形解的个数的确定 已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理． (1)利用正弦定理讨论：若已知a，b，A，由正弦定理＝，得sinB＝.若sinB>1，无解；若sinB＝1，有一解；若sinB<1，有一解或两解． (2)利用余弦定理讨论：已知a，b，A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，即c2－(2bcosA)c＋b2－a2＝0，这是关于c的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解． 3．三角形形状的判断方法 判断三角形的形状通常有两种途径：一是通过正弦定理、余弦定理，化边为角(如：a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：sinA＝sinB⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝等；二是利用正弦定理、余弦定理，化角为边，如：sinA＝，cosA＝等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断． 4．解三角形应用题的基本思路 解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决．其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，最后运用合适的定理解决问题． 5．正、余弦定理的综合应用 正、余弦定理将三角形边和角的关系进行量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值问题． (1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解． (2)解三角形与其他知识交汇问题，可以运用三角形的基础知识，正、余弦定理，三角形的面积公式与三角恒等变换，通过等价转化构造方程及函数求解． 一、利用正、余弦定理解三角形 利用正弦定理和余弦定理求解三角形中的边、角等基本量是历年高考命题的重点，从高考的形式和内容上看，有以下几种考查形式：(1)求三角形的内角或角的三角函数值；(2)求三角形的边长；(3)求三角形的面积． 如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosB＋b＝2c. (1)求角A的大小； (2)若AC边上的中线BD的长为，且AB⊥BD，求BC的长． [解]　(1)由题意知2acosB＋b＝2c， 由正弦定理可得2sinAcosB＋sinB＝2sinC， 2sinAcosB＋sinB＝2sinC＝2sin(A＋B)＝2sinAcosB＋2cosAsinB， 整理得sinB＝2cosAsinB. 因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以cosA＝， 又A∈(0，π)，所以A＝. (2)在Rt△ABD中，AD＝＝＝2， 则AB＝＝1. 因为D为AC的中点，所以AC＝2AD＝4. 在△ABC中，由余弦定理可得 BC2＝42＋12－2×4×1×cos＝13， 所以BC＝. 二、判断三角形的形状 判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解． 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC. (1)求角A的大小； (2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状． [解]　(1)由已知，根据正弦定理，得 2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c， 即a2＝b2＋c2＋bc. 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA， 故cosA＝－，又0°<A<180°， 所以A＝120°. (2)解法一：由a2＝b2＋c2＋bc，得 sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC， ∴＝1－sinBsinC，∴sinBsinC＝. 又sinB＋sinC＝1，故sinB＝sinC＝. ∵0°<B<90°，0°<C<90°，故B＝C， ∴△ABC是等腰钝角三角形． 解法二：∵A＝120°且sinB＋sinC＝1， ∴sinB＋sin(60°－B)＝sinB＋cosB＝sin(B＋60°)＝1， 又60°<B＋60°<120°， ∴B＋60°＝90°，∴B＝30°，从而C＝30°， ∴△ABC是等腰钝角三角形． 三、正、余弦定理的实际应用 正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常见的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题，解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求． 如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度大小为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？ [解]　由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB中，由正弦定理， 得＝， ∴DB＝＝ ＝＝ ＝10(海里)， 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC＝20海里， 在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝BD2＋BC2－2BD×BCcos∠DBC ＝300＋1200－2×10×20×＝900， ∴CD＝30海里，则需要的时间t＝＝1(小时)． ∴该救援船到达D点需要1小时． 四、三角形中的综合问题 高考综合考查三角函数知识，常以三角形为载体，在三角形中综合考查三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正、余弦定理，向量等知识． 已知函数f(x)＝m·n，其中m＝(sinωx＋cosωx，cosωx)，n＝(cosωx－sinωx，2sinωx)，其中ω>0，若f(x)相邻两对称轴间的距离不小于. (1)求ω的取值范围； (2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a＝，b＋c＝3，当ω最大时，f(A)＝1，求△ABC的面积． [解]　(1)f(x)＝cos2ωx－sin2ωx＋2sinωx·cosωx ＝cos2ωx＋sin2ωx＝2sin. ∵ω>0，∴函数f(x)的周期为T＝＝， 由题意可知≥，解得0<ω≤1， 即ω的取值范围为{ω|0<ω≤1}． (2)由(1)知，ω的最大值为1， ∴f(x)＝2sin，∵f(A)＝1， ∴sin＝，而<2A＋<， ∴2A＋＝，∴A＝. 由余弦定理，知cosA＝， ∴b2＋c2－bc＝3， 又b＋c＝3， 联立解得或 ∴S△ABC＝bcsinA＝. 五、数学学科思想 1．函数与方程思想 本章重点内容是应用正、余弦定理解三角形，通常是已知某些边、角的大小(或边角关系)求另外的边、角、面积的大小(或范围、最值)，这一求解过程中蕴含着函数与方程思想． 已知2a＋1，a，2a－1是钝角三角形的三边长，则实数a的取值范围为____． [解析]　∵2a＋1，a，2a－1是钝角三角形的三边长，∴∴a＞.∵2a＋1，a，2a－1能构成三角形，∴∴a＞2.由题意，知长为2a＋1的边是三角形的最长边．设其所对的角为θ(钝角)，则cosθ＝＜0，∴a2＋(2a－1)2－(2a＋1)2＜0，解得0＜a＜8.综上，实数a的取值范围是(2，8)． [答案]　(2，8) 2.数形结合思想 解三角形自然要有三角形，正弦定理和余弦定理本身就是数形结合的产物，求三角形的“边”“角”或“面积”往往需要“以形助数”，根据题意先画出图形再解决问题，充分体现了数形结合的思想． 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长． [解]　在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°. 由正弦定理，得＝， sin∠ABC＝＝＝. ∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC， 于是sin∠BAD＝sin∠ABC＝. 在△ABD中，由正弦定理， 得＝，解得BD＝. 故BD的长为. 3.分类与整合思想 本章中已知三角函数值或等式求三角形内角及边时，往往需要对解的情况进行分类讨论． (多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2C＝sinB(sinA＋sinB)，则下列结论一定正确的是(　　) A．c＞b B．a＞c C．c＝2bcosB D．0＜B＜ [解析]　∵sin2C＝sinB(sinA＋sinB)＝sinB·sinA＋sin2B，∴c2＝ab＋b2＞b2，∴c＞b，故A一定正确；∵c2＝ab＋b2＝b(a＋b)，c2－b2＝ab，∴cosB＝＝＝＝，∴c＝2bcosB，故C一定正确；由c＝2bcosB可得sinC＝2sinBcosB＝sin2B，∴C＝2B或C＋2B＝π.当C＝2B时，由A＋B＋C＝π，可得A＝π－3B＞0，∴0＜B＜，当C＋2B＝π时，由A＋B＋C＝π，可得A＝B，即a＝b，∴c2＝a2＋b2，此时C＝，A＝B＝，故D一定正确；当C＝2B时，推不出a＞c，当C＋2B＝π时，c＞a，所以B不一定正确．故选ACD. [答案]　ACD 4.化归与转化思想 化归与转化的思想在本章中几乎无处不在，在解三角形时，求三角形的某个角的大小，一般要利用正弦定理或余弦定理将条件转化为该角的正弦值或余弦值的大小，利用正弦定理或余弦定理进行三角形的边角互化更是化归与转化思想的精彩体现． 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2sinA，b＝2cosB，则B＝____，a的取值范围为____． [解析]　由a＝2sinA可得＝2，所以b＝2cosB＝cosB·，由正弦定理得sinB＝cosB·＝cosB，所以tanB＝，又B∈(0，π)，所以B＝.a＝2sinA＝2sin[π－(B＋C)]＝2sin(B＋C)＝2sin，因为B＝，所以C∈，所以C＋∈，所以sin∈(0，1]，即a∈(0，2]． [答案]　　(0，2] 9 学科网（北京）股份有限公司 $$