第9章 解三角形 单元质量测评-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册创新导学案word（人教B版2019）

第九章　单元质量测评 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ ★ 对点 利用正弦定理边角互化求角 已知三边关系求角　 已知两边及一边的对角求第三边　 利用余弦定理求最大角 已知边角求三角形面积　 利用正弦定理角化边；利用余弦定理求角的范围 高度问题(平面图形中的高度) 利用余弦定理求边之间的关系；利用正弦定理角化边 已知两边及一边的对角求第三边的取值 判断三角形解的个数 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 已知三边关系求角的关系；判断三角形形状；求外接圆半径 已知边角关系求角的正弦值 高度问题(立体图中的高度) 三角形面积公式、余弦定理与三角函数的综合 利用正、余弦定理解三角形 利用余弦定理进行边角转化求角；已知边角关系求边 正、余弦定理在几何图形中的应用(面积最值问题) 余弦定理与平面向量的综合；利用三角恒等变换公式求值；求三角函数的最值 航行问题(求航行时间及费用) 　时间：120分钟　　满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝b，A＝2B，则cosB＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由正弦定理，得＝，∴a＝b可化为＝.又A＝2B，∴＝，∴cosB＝. 2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若(a＋b＋c)(sinA＋sinB－sinC)＝3asinB，则C＝(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案：B 解析：根据正弦定理，由已知条件可得(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab，再根据余弦定理，得cosC＝＝，故C＝60°. 3．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且A＝75°，则b＝(　　) A．2 B.－ C．4－2 D．4＋2 答案：A 解析：sinA＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝，由a＝c，知C＝75°，B＝30°，sinB＝.由正弦定理，得＝＝＝4，所以b＝4sinB＝2. 4．已知△ABC的三边长分别是x2＋x＋1，x2－1和2x＋1(x>1)，则△ABC的最大角为(　　) A．150° B．120° C．60° D．75° 答案：B 解析：令x＝2，得x2＋x＋1＝7，x2－1＝3，2x＋1＝5，∴最大边x2＋x＋1应对最大角，设最大角为α，∴cosα＝＝－，又α∈(0°，180°)，∴最大角为120°. 5．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cosA＝，则△ABC的面积为(　　) A. B. C. D．6 答案：A 解析：由b2－bc－2c2＝0可得(b＋c)(b－2c)＝0，∴b＝2c，在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，即6＝4c2＋c2－4c2×，∴c＝2，b＝4.∴S△ABC＝bcsinA＝×4×2×＝. 6．在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)<sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由题意，得sin2A<sin2B＋sin2C，再由正弦定理，得a2<b2＋c2，即b2＋c2－a2>0，则cosA＝>0，∴0<A<，又a为最大边，∴A>，∴角A的取值范围是. 7．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 m(如图所示)，则旗杆的高度为(　　) A．10 m B．30 m C．10 m D．20 m 答案：B 解析：依题意知，在△ABC中，∠ABC＝30°＋15°＝45°，∠ACB＝180°－60°－15°＝105°，所以∠BAC＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理知＝，所以AC＝·sin∠ABC＝×＝20(m)，在Rt△ACD中，AD＝ACsin∠ACD＝20×＝30(m)，即旗杆的高度为30 m. 8．(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sinA＋sinC＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：因为B＝，b2＝ac，则由正弦定理，得sinAsinC＝sin2B＝.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac＝ac，即a2＋c2＝ac，再由正弦定理，得sin2A＋sin2C＝sinAsinC＝，所以(sinA＋sinC)2＝sin2A＋sin2C＋2sinAsinC＝，因为A，C为三角形的内角，所以sinA＋sinC>0，所以sinA＋sinC＝.故选C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝30°，则c的可能取值为(　　) A. B．2 C. D．2 答案：AB 解析：∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴5＝15＋c2－2×c×.化简，得c2－3c＋10＝0，即(c－2)(c－)＝0，∴c＝2或c＝.故选AB. 10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(　　) A．若A＝150°，a＝3，b＝4，则△ABC有一解 B．若A＝30°，a＝1，b＝4，则△ABC无解 C．若A＝45°，a＝，b＝，则△ABC有两解 D．若A＝60°，a＝b＝2，则△ABC有两解 答案：BC 解析：对于A，因为a＝3<b＝4，所以A<B，因为A＝150°，所以150°<B，所以这样的三角形不存在，即△ABC无解，所以A错误；对于B，由正弦定理＝，得＝，所以sinB＝4×＝2>1，即△ABC无解，所以B正确；对于C，由正弦定理＝，得＝，所以sinB＝，因为45°<B<135°，所以B＝60°或B＝120°，所以△ABC有两解，所以C正确；对于D，因为A＝60°，a＝b＝2，所以△ABC是边长为2的等边三角形，所以△ABC有一解，所以D错误．故选BC. 11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是(　) A．sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6 B．△ABC是钝角三角形 C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D．若c＝6，则△ABC外接圆的半径为 答案：ACD 解析：因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，所以可设a＋b＝9t，a＋c＝10t，b＋c＝11t，t>0，解得a＝4t，b＝5t，c＝6t，所以sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝4∶5∶6，故A正确；由c为最大的边，可得C为最大的内角，又cosC＝＝＝>0，即C为锐角，故B错误；由a为最小的边，可得A为最小的内角，又cosA＝＝＝，所以cos2A＝2cos2A－1＝2×－1＝＝cosC，又2A，C∈(0，π)，所以2A＝C，故C正确；若c＝6，可得2R＝＝＝，所以△ABC外接圆的半径为，故D正确．故选ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sinC＝____． 答案：1 解析：在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋C＝2B，∴B＝.由正弦定理，知sinA＝＝.又a<b，∴A＝，C＝，∴sinC＝1. 13.如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，某人在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登4千米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登8千米方到达C处，则索道AC的长为____千米． 答案：4 解析：∵在△ABD中，BD＝4千米，∠ABD＝120°，∠ADB＝180°－∠ADC＝30°，∴∠DAB＝180°－120°－30°＝30°，∴AB＝BD＝4千米．在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcos∠ABC＝42＋(4＋8)2－2×4×(4＋8)×＝208，∴AC＝4千米． 14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则＋的最大值为____． 答案：2 解析：因为S△ABC＝×a×＝bcsinA，所以a2＝2bcsinA.由余弦定理得cosA＝，所以b2＋c2＝a2＋2bccosA＝2bcsinA＋2bccosA，所以＋＝＝2sinA＋2cosA＝2sin，因为A∈(0，π)，所以当A＋＝，即A＝时，＋取得最大值，为2. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分13分)在△ABC中，B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝. (1)求sin∠BAD； (2)求BD，AC的长． 解：(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，∠ADC∈(0，π)， 所以sin∠ADC＝， 所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－B) ＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB ＝×－×＝. (2)在△ABD中，由正弦定理得 BD＝＝＝3. 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcosB＝82＋52－2×8×5×＝49，所以AC＝7. 16．(本小题满分15分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知3acosA＝ccosB＋bcosC. (1)求cosA的值； (2)若a＝1，cosB＋cosC＝，求边c的值． 解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC有ccosB＋bcosC＝a， 代入已知条件得3acosA＝a，即cosA＝. (2)由cosA＝，得sinA＝. 则cosB＝－cos(A＋C) ＝－cosC＋sinC， 代入cosB＋cosC＝得cosC＋sinC＝， 从而得sin(C＋φ)＝1， 其中sinφ＝，cosφ＝，0<φ<. 则C＋φ＝，于是sinC＝， 由正弦定理，得c＝＝. 17.(本小题满分15分)如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧． (1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数； (2)求四边形OPDC面积的最大值． 解：(1)在△POC中，由余弦定理，得PC2＝OP2＋OC2－2OP×OCcosθ＝5－4cosθ， 所以y＝S△OPC＋S△PCD ＝×1×2sinθ＋(5－4cosθ) ＝2sin＋(0<θ<π)． (2)当θ－＝，即θ＝时，ymax＝2＋. 18．(本小题满分17分)已知向量m＝，n＝，函数f(x)＝m·n. (1)若f(x)＝1，求cos的值； (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosC＋c＝b，求f(B)的取值范围． 解：由题意，得f(x)＝sincos＋cos2 ＝sin＋cos＋＝sin＋. (1)由f(x)＝1，得sin＝， 则cos＝2cos2－1 ＝2sin2－1＝－. (2)已知acosC＋c＝b，由余弦定理，得 a×＋c＝b， 即b2＋c2－a2＝bc， 则cosA＝＝， 又A为三角形的内角， 所以A＝，B＋C＝， 易知0<B<，0<<， 则<＋<， 所以1<sin＋<， 故f(B)的取值范围为. 19．(本小题满分17分)如图，岛A，C相距10海里．上午9点整有一客轮在岛C的北偏西40°且距岛C10海里的D处沿直线方向匀速开往岛A，在岛A停留10分钟后前往B市．上午9：30测得客轮位于岛C的北偏西70°且距岛C 10海里的E处，此时小张从岛C乘坐速度为v海里/时的小艇沿直线方向前往岛A换乘客轮去B市． (1)若v∈(0，30]，问小张能否乘上这班客轮？ (2)现测得cos∠BAC＝－，sin∠ACB＝.已知速度为v海里/时(v∈(0，30])的小艇每小时的总费用为元，若小张由岛C直接乘小艇去B市，则至少需要多少费用？ 解：(1)如题图，根据题意，得CD＝10海里，CE＝10海里，AC＝10海里，∠DCE＝70°－40°＝30°. 在△CDE中，由余弦定理，得 DE＝ ＝ ＝10(海里)， 所以客轮的航行速度v1＝10×2＝20(海里/时)． 因为CD＝DE，所以∠DEC＝∠DCE＝30°， 所以∠AEC＝180°－30°＝150°. 在△ACE中，由余弦定理，得 AC2＝AE2＋CE2－2AE×CEcos∠AEC， 整理得AE2＋30AE－400＝0， 解得AE＝10或AE＝－40(不符合题意，舍去)． 所以客轮从E处到岛A所用的时间 t1＝＝(小时)， 小张到岛A所用的时间至少为 t2＝＝(小时)． 由于t2>t1＋， 所以若小张9：30出发，则无法乘上这班客轮． (2)在△ABC中，cos∠BAC＝－，sin∠ACB＝， 所以∠BAC为钝角，∠ACB为锐角，sin∠BAC＝，cos∠ACB＝. 所以sinB＝sin[180°－(∠BAC＋∠ACB)] ＝sin(∠BAC＋∠ACB) ＝sin∠BACcos∠ACB＋cos∠BACsin∠ACB ＝×－×＝. 由正弦定理得＝， 所以BC＝＝15(海里)， 所以小张由岛C直接乘小艇去B市的总费用为f(v)＝ ＝15 ≥165(v∈(0，30])， 当且仅当v＝，即v＝10时，f(v)min＝165(元)． 所以若小张由岛C直接乘小艇去B市，其费用至少需要165元． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$