11.1.4 棱锥与棱台-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册创新导学案word（人教B版2019）

11.1.4　棱锥与棱台 (教师独具内容) 课程标准：1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱锥、棱台的结构特征，能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道棱锥、棱台的表面积计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 教学重点：棱锥、棱台的定义及其相关概念． 教学难点：棱锥、棱台中的相关计算问题． 核心素养：1.通过观察空间图形，认识棱锥、棱台的结构特征，培养数学抽象素养和直观想象素养.2.通过棱锥、棱台的表面积的计算，培养数学运算素养． 知识点一　棱锥的结构特征 1．棱锥的定义、图形及相关概念 定义 图形及表示 相关概念 棱锥 如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥 如图可记作：棱锥P－ABCD或棱锥P－AC 底面(底)： 多边形面 侧面：有公共顶点的各三角形 顶点：各侧面的公共顶点 侧棱：相邻两侧面的公共边 高：过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度) 2.棱锥的分类 (1)依据：按底面的形状分类． (2)举例：三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)…… (3)正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥．正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也相等，称为棱锥的斜高． 3．棱锥的侧面积 (1)若正棱锥的底面边长为a，底面周长为c，斜高为h′，则正n棱锥的侧面积公式为S正棱锥侧＝nah′＝ch′，即正棱锥的侧面积等于它的底面的周长和斜高乘积的一半． (2)棱锥的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和． 知识点二　棱台的结构特征 1．棱台的定义、图形及相关概念 定义 图形及表示 相关概念 棱台 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台 如图可记作：棱台ABCD－A1B1C1D1 下底面：原棱锥的底面 上底面：截面 侧面：其余各面 侧棱：相邻两侧面的公共边 顶点：侧面与上下底面的公共顶点 高：过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度) 2.棱台的分类 (1)依据：按底面的形状分类． (2)举例：三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)…… (3)正棱台：由正棱锥截得的棱台称为正棱台．正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高．正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高． 3．棱台的侧面积 棱台的展开图是由棱台的各个侧面和上下底组成；正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，设棱台下底面边长为a，周长为c，上底面边长为a′，周长为c′，斜高为h′，则正n棱台的侧面积公式为S正棱台侧＝n(a＋a′)h′＝(c＋c′)h′. [拓展]　直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的关系 其中c′为正棱台上底面周长，c为直棱柱底面、正棱锥底面、正棱台下底面周长，h′为正棱台和正棱锥的斜高，h为直棱柱的高． 用图表示直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的关系如图所示． 　 1．(正三棱锥表面积的计算)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 答案：A 2．(棱锥、棱台的结构特征)将下图中的平面图形沿虚线折起并粘合，制作成几何体，请把几何体的名称填在对应的横线上． ①____　　②____ 答案：①四棱台　②四棱锥 3．(正四棱台的有关计算)已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，侧棱长为1，则该正四棱台的高为____． 答案： 题型一　棱锥、棱台的结构特征　 　(1)下列命题中，真命题是____(填序号)． ①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点； ②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形； ③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点； ④棱锥的底面一定是三角形． [解析]　棱锥的侧面都是有一个公共顶点的三角形，故①是真命题；棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故②是假命题，③是真命题；棱锥的底面是多边形，故④是假命题． [答案]　①③ (2)观察下列多面体，试指明其类别． [解]　①中多面体为棱柱．②中多面体为棱锥．③中多面体为棱台． 【感悟提升】　关于棱锥、棱台结构特征问题的解题方法 (1)正确认识棱锥的结构特征 棱锥是一种非常重要的多面体，它有两个本质特征： ①有一个面是多边形； ②其余各面都是有一个公共顶点的三角形． (2)正确认识棱台的结构特征 ①上底面与下底面是互相平行的相似多边形； ②侧面都是梯形； ③侧棱延长线必相交于一点． 【跟踪训练】 1．(1)有下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确说法的序号是____． 答案：①② 解析：①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥． (2)判断下图甲、乙、丙所示的多面体是不是棱台？ 解：根据棱台的定义，可以得到判断一个多面体是不是棱台的标准有两个：一是共点，二是平行，即各侧棱延长线要交于一点，上、下两个底面要平行，二者缺一不可．据此，图甲中多面体侧棱延长线不相交于同一点，不是棱台；图乙中多面体不是由棱锥截得的，不是棱台；图丙中多面体虽是由棱锥截得的，但截面与底面不平行，因此也不是棱台． 题型二　与棱锥有关的计算问题　 　正三棱锥的底面边长为4 cm，它的侧棱与高所成的角为45°，求正三棱锥的侧面积和表面积． [解]　如图，过点S作SO⊥平面ABC于点O，则O为△ABC的中心，连接AO并延长与BC交于点D，由正三角形的性质得D为BC的中点，连接SD，则SD为正三棱锥的斜高． 在Rt△ASO中，∠ASO＝45°，AO＝×4＝(cm)，得SO＝AO＝(cm)． 在Rt△SOD中，OD＝AO＝(cm)， 故SD＝＝＝(cm)． 根据正三棱锥的侧面积公式得 S侧＝ch′＝×(3×4)×＝4(cm2)． 又S△ABC＝×42＝4(cm2)， 所以S表面积＝S侧＋S△ABC＝4(＋) cm2. 故正三棱锥的侧面积为4 cm2，表面积为4(＋) cm2. 【感悟提升】　在解决与正棱锥有关的计算问题时，我们经常运用由侧棱、高、底面中心到底面顶点的连线和斜高、高、底面中心到边的垂线构成的两个直角三角形，然后运用勾股定理解决问题． 【跟踪训练】 2．已知一个正三棱锥的高为h，侧棱长为l，求它的底面边长和斜高． 解：如图，在正三棱锥S－ABC中，SO为它的高，作OM⊥AB于点M，则M为AB的中点， 连接SM，则SM为三棱锥的斜高． 连接OB，则SO⊥OM，SO⊥OB，OB＝＝， 而BC＝OB， 所以底面边长为， 所以SM＝＝ ＝. 所以正三棱锥的底面边长为，斜高为. 题型三　与棱台有关的计算问题　 　正四棱台ABCD－A′B′C′D′的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm. (1)写出直线AA′与直线CD，直线AA′与平面CDD′C′之间的关系； (2)求这个棱台的侧棱长和斜高． [解]　(1)直线AA′与直线CD异面，直线AA′与平面CDD′C′相交． (2)设棱台两底面的中心分别是O和O′，B′C′，BC的中点分别是E′，E.连接OO′，E′E，O′B′，OB，O′E′，OE，则四边形OBB′O′，OEE′O′都是直角梯形，如图． 在正方形ABCD中，∵BC＝16 cm，∴OB＝8 cm，OE＝8 cm. 在正方形A′B′C′D′中，∵B′C′＝4 cm， ∴O′B′＝2 cm，O′E′＝2 cm. 在直角梯形OBB′O′中， BB′＝ ＝＝19(cm)． 在直角梯形OEE′O′中， EE′＝ ＝＝5(cm)． 故这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为5 cm. 【感悟提升】　本题中正棱台的两底面中心的连线、两底面相应的内切圆的半径和斜高组成一个直角梯形；两底面中心的连线、侧棱和两底面相应的外接圆的半径组成一个直角梯形．在求解有关棱台的问题时，一般是根据这两个直角梯形来转化棱台的高、斜高、侧棱与底面边长之间的关系． 【跟踪训练】 3．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高是 cm.求此三棱台的侧面积及全面积． 解：如图，O1，O分别是上、下底面的中心，连接O1O，则O1O＝ cm，连接A1O1并延长交B1C1于点D1，连接AO并延长交BC于点D，连接DD1，过D1作D1E⊥AD于点E，在Rt△D1ED中，D1E＝O1O＝(cm)． DE＝DO－OE＝DO－D1O1＝××(6－3)＝(cm)， DD1＝ ＝＝(cm)， S正三棱台侧＝(c＋c′)DD1＝×3×(3＋6)×＝(cm2)， S正三棱台全＝S正三棱台侧＋S△ABC＋S△A1B1C1＝＋×62＋×32＝(cm2)． 故三棱台的侧面积为 cm2，全面积为 cm2. 1．下列说法中正确的是(　　) A．棱锥的各个侧面都是正三角形 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥 C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 D．棱锥的各侧棱长相等 答案：C 解析：由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，不一定都是正三角形，故A错误；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故B错误；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，故C正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故D错误．故选C. 2．设棱锥的底面面积为8 cm2，那么这个棱锥的中截面(过棱锥高的中点且平行于底面的截面)的面积是(　　) A．4 cm2 B．2 cm2 C．2 cm2 D. cm2 答案：C 解析：中截面的面积应是底面面积的，即8×＝2(cm2)．故选C. 3．(多选)下面图形所表示的几何体中，是棱锥的为(　　) 答案：BCD 解析：A中的几何体不满足有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，所以不是棱锥；B，C，D中的几何体是棱锥．故选BCD. 4．(2024·安徽铜陵高一下期中)某施工队要给一个正四棱锥形的屋顶铺设油毡进行防水，已知该正四棱锥的高为3 m，底面边长为8 m，接缝处忽略不计，则需要油毡的面积为____ m2. 答案：80 解析：设该正四棱锥的斜高为h′.∵高为3 m，底面边长为8 m，∴根据勾股定理得h′＝＝5(m)，∴该正四棱锥的侧面积为4××5×8＝80，即需要油毡的面积为80 m2. 5．(2024·宁夏银川贺兰一中高一期中)正四棱台两底面边长分别为2和4. (1)若侧棱长为，求棱台的表面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高． 解：(1)如图，设O1，O分别为上、下底面的中心，分别取BC，B1C1的中点E，F，连接O1O，OE，EF，O1F，则EF为正四棱台的斜高， EF＝ ＝＝， 则棱台的表面积S＝×(2＋4)××4＋2×2＋4×4＝12＋20. (2)两底面的面积之和为22＋42＝20， 正四棱台的侧面积为4××(2＋4)×EF＝20，解得EF＝， 正四棱台的高O1O＝ ＝＝. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★ 对点 棱锥的结构特征 棱台的结构特征 正四棱锥的侧面积 正四棱台的相关计算 正方体与正四面体的表面积计算 棱锥、棱台的结构特征 棱台的结构特征 四面体的结构特征 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 四面体的相关计算 三棱锥的展开图的相关计算(最短路径问题) 正六棱台的相关计算 四棱锥的侧面积及相关计算 四棱锥的相关计算问题与解三角形的结合 正六棱锥中的相关计算 正四棱台的侧面积 正四棱台的展开图的相关计算(最短距离问题) 一、单选题 1．有两个面平行的多面体不可能是(　　) A．棱柱 B．棱锥 C．棱台 D．以上都错误 答案：B 解析：棱锥没有平行的面．故选B. 2．下列叙述中正确的有(　　) ①两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台； ②如图所示，截正方体所得的几何体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：A 解析：①不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交于一点；②不正确，因为所得几何体两底面不相似，侧棱延长后不交于一点；③不正确，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点． 3．如果一个正四棱锥的底面边长为6，高为3，那么它的侧面积为(　　) A．36 B．36 C．72 D．72 答案：B 解析：如图所示，连接AC，BD交于点O，取BC的中点E，分别连接SO，SE，OE，由题意可得SO为正四棱锥的高，SE为正四棱锥的斜高，在Rt△SOE中，OE＝AB＝3，SO＝3，可得SE＝＝3，所以正四棱锥S－ABCD的侧面积为S＝4××6×3＝36.故选B. 4．(2024·安徽师范大学附属中学高一期中)一个正四棱锥的侧棱长为10，底面边长为6，该四棱锥截去一个小四棱锥后得到一个正四棱台，正四棱台的侧棱长为5，则正四棱台的高为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 答案：B 解析：根据题意，正四棱台是由原正四棱锥过侧棱的中点且与底面平行的平面截得的，如图所示．对原正四棱锥，BD＝BC＝12，故其高PO＝＝＝8，又△PO1B1∽△POB，其相似比为，故正四棱台的高h＝PO＝4. 5．(2024·河北唐山高一下期中)若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：正方体的棱长为a，此时正四面体的棱长为a，则正方体的表面积为6a2，正四面体的表面积为4××(a)2sin＝2a2，两者之比为＝.故选A. 二、多选题 6．观察如图所示的四个几何体，下列判断正确的是(　　) A．①是棱柱 B．②不是棱锥 C．③不是棱锥 D．④是棱台 答案：ACD 解析：由棱柱、棱锥、棱台的结构特征，可知A，C，D正确，B错误． 7.(2024·甘肃庆阳高一下期末)如图，不能推断这个几何体可能是三棱台的是(　　) A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4 B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3 C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4 D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，AC＝A1C1 答案：ABD 解析：对于A，因为≠，所以几何体不是三棱台，故A符合题意；对于B，因为≠，所以几何体不是三棱台，故B符合题意；对于C，因为＝＝，所以几何体可能是三棱台，故C不符合题意；对于D，该几何体可能是三棱柱，故D符合题意．故选ABD. 三、填空题 8．如图，正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是____． 答案：三棱锥(或四面体) 解析：此多面体由四个面构成，故为三棱锥，也叫四面体． 9.(2024·浙江省桐庐中学高二阶段练习)我国古代数学著作《九章算术·商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．”鳖臑是一类特殊的三棱锥，它的四个面都是直角三角形．如图，已知三棱锥P－ABC是一个鳖臑，且PA＝AB＝BC＝1，则PC＝____． 答案： 解析：由题设，△PAC，△ABC，△PAB，△PBC均为直角三角形，又PA＝AB＝BC＝1，∴PB2＝PA2＋AB2，PC2＝PB2＋BC2，则PC2＝PA2＋AB2＋BC2＝3，∴PC＝. 10.如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝2，∠APB＝∠BPC＝∠APC＝30°，一只蚂蚁从A点出发，经过棱PB，PC，沿三棱锥的表面绕一周，再回到A点，则蚂蚁经过的最短路程是____． 答案：2 解析：将三棱锥P－ABC的侧面沿PA剪下，再展开，得五边形PABCA′，如图1.∵在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝2，∠APB＝∠BPC＝∠APC＝30°，∴图1中∠A′PA＝3×30°＝90°，连接AA′，交PC于E，交PB于D.在Rt△AA′P中，AA′＝＝2.如图2，再将此展开图围成三棱锥P－ABC的侧面，得到折线AD－DE－EA.∵AA′＝AD＋DE＋EA′，∴蚂蚁从A点出发，沿AD－DE－EA的路线行走，即为回到A点的最短路线，因此蚂蚁从A点出发，回到A点的最短路程为2. 四、解答题 11．(2025·江苏南京一中高一阶段考试)已知正六棱台的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm，侧棱长是5 cm. (1)求该正六棱台的高； (2)求该正六棱台的侧面积． 解：(1)如图，在正六棱台ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，正六棱台的高为OO1＝＝3 cm. (2)因为A1B1＝2 cm，AB＝6 cm，AA1＝5 cm， 所以侧面梯形ABB1A1的高即为正六棱台的斜高，为＝ cm， 所以梯形ABB1A1的面积为 S＝×(2＋6)×＝4 cm2， 故正六棱台的侧面积为 6S＝6×4＝24 cm2. 12．正四棱锥S－ABCD的高为，侧棱长为. (1)求侧面上的斜高； (2)求一个侧面的面积； (3)求底面的面积． 解：(1)如图所示，在正四棱锥S－ABCD中，高SO＝，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝， 在Rt△SOA中，根据勾股定理，得 OA＝＝＝2， 则AC＝4， 所以AB＝BC＝CD＝DA＝2. 作OE⊥AB于E，则E为AB的中点， 所以OE＝BC＝. 连接SE，则SE为斜高． 因为SO＝， 所以SE＝＝＝， 即侧面上的斜高为. (2)由(1)知SE＝，AB＝2， 所以S侧面SAB＝SE·AB＝××2＝. (3)S底面＝AB·BC＝2×2＝8. 13．(2023·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则△PBC的面积为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：C 解析：连接AC，BD交于点O，连接PO，则O为AC，BD的中点，如图，因为底面ABCD为正方形，AB＝4，所以AC＝BD＝4，则DO＝CO＝2，又PC＝PD＝3，PO为公共边，所以△PDO≌△PCO，则∠PDO＝∠PCO，又PC＝PD＝3，AC＝BD＝4，所以△PDB≌△PCA，则PA＝PB.在△PAC中，PC＝3，AC＝4，∠PCA＝45°，则由余弦定理可得PA2＝AC2＋PC2－2AC·PCcos∠PCA＝32＋9－2×4×3×＝17，故PA＝，则PB＝，故在△PBC中，PC＝3，PB＝，BC＝4，所以cos∠PCB＝＝＝，又0＜∠PCB＜π，所以sin∠PCB＝＝，所以△PBC的面积为S＝PC·BCsin∠PCB＝×3×4×＝4.故选C. 14.(2024·北京西城高一下期末)如图，已知正六棱锥P－ABCDEF的侧棱长为6，底面边长为3，Q是底面上一个动点，PQ≤4，则点Q所形成区域的面积为____． 答案：5π 解析：因为P－ABCDEF为正六棱锥，则顶点P在底面的投影为底面中心O，如图，又因为底面边长为3，则OC＝3，可得PO＝＝3，且PQ≤4，则OQ＝≤，可知点Q所形成区域为以O为圆心，为半径的圆面，其面积为π()2＝5π. 15．正四棱台的高、侧棱、体对角线长分别为7 cm，9 cm，11 cm，求它的侧面积． 解：如图，在△AA1C1中过A作AE⊥A1C1于点E，则AE＝OO1＝7 cm， 所以A1E＝ ＝4(cm)， C1E＝＝6(cm)， AO＝O1E＝A1O1－A1E＝(C1E－A1E)＝(cm)，A1O1＝A1E＋O1E＝5(cm)． 上底面边长AB＝AO＝2(cm)， 下底面边长A1B1＝A1O1＝10(cm)， 斜高h′＝＝(cm)， 所以S侧＝(c＋c′)h′＝×(8＋40)× ＝24(cm2)． 16．(2024·福建龙岩高一下期中)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3A1B1＝6，AA1＝4，点P为棱BB1上的动点(含端点)，求AP＋PC的最小值． 解：把四边形A1ABB1，BB1C1C展开至同一个平面，连接AC，过点B1作B1E⊥AB，则BE＝2， 又BB1＝AA1＝4，则∠ABB1＝60°， 在△ABC中，AB＝BC＝6，∠ABC＝120°，则AC＝2×6×＝6， 此时线段AC的中点到点B的距离ABcos60°＝3<4＝BB1，即线段AC与BB1相交， 因此AP＋PC的最小值就是展开图中AC的长，点P为AC与BB1的交点， 所以AP＋PC的最小值为6. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$