11.1.3 多面体与棱柱-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册创新导学案word（人教B版2019）

11.1.3　多面体与棱柱 (教师独具内容) 课程标准：1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识多面体、棱柱的结构特征，能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道棱柱的表面积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 教学重点：多面体、棱柱的定义及其相关概念． 教学难点：与多面体、棱柱有关的计算问题． 核心素养：通过观察空间图形，认识多面体、棱柱的结构特征，培养数学抽象素养，提升直观想象素养． 知识点一　多面体 1．多面体的概念及相关定义 一般地，由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体.围成多面体的各个多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点，连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的面对角线，连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的体对角线． 2．凸多面体 把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则称这样的多面体为凸多面体．多面体至少有4个面．多面体可以按照围成它的面的个数来命名．例如：四面体、五面体、六面体、…. [注意]　(1)多面体最少有四个面、四个顶点、六条棱． (2)不是所有的多面体都有体对角线，有些多面体就没有体对角线，如图中的①②③.但如果多面体有体对角线，就可能有多条体对角线，如图中的④⑤，多面体的体对角线和多面体的面对 角线是有区别的，所谓面对角线就是指围成多面体的面的对角线，在理解概念时要特别注意． 3．截面 一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，称为这个几何体的一个截面． 4．表面积 多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积(或全面积)． [拓展]　正多面体的顶点数V、面数F、棱数E之间满足关系V＋F－E＝2. 知识点二　棱柱 1．棱柱的概念及相关定义 多面体有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱．棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的底面(底面水平放置时，分别称为上底面、下底面)，其他各面称为棱柱的侧面，两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱，过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的高．棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积． 2．棱柱的分类 (1)棱柱可以按照底面的形状分类，例如三棱柱、四棱柱、五棱柱等． (2)侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱(不是直棱柱的棱柱称为斜棱柱)，底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱． (3)底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱长都相等的长方体是正方体． [拓展]　几种常见的四棱柱之间的关系 1.(长方体的结构特征)如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1平行的棱的条数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：A 2．(长方体中线段的计算)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，BC＝4，M，N分别为棱AB，CC1的中点，则M，N两点的距离为(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 答案：D 3.(多面体的展开图)将如图所示的平面图形沿虚线折起并粘合，制作成几何体，则该几何体的名称为____． 答案：六棱柱 4．(棱柱的结构特征)一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为____cm. 答案：12 题型一　多面体的概念与判断　 　观察如图所示的几何体，关于其结构特征，判断下列说法是否正确．若不正确，请给出理由． (1)该几何体是一个多面体； (2)该几何体有12条棱、6个顶点； (3)该几何体有8个面，并且各面均为三角形； (4)该几何体有9个面，其中有一个四边形，其余的为三角形． [解]　(1)正确，由该几何体有8个面，可知它是一个八面体． (2)正确，该几何体有12条棱，分别为AB，AD，AM，AN，BC，BM，BN，CD，CM，CN，DM，DN；有6个顶点，分别为A，B，C，D，M，N. (3)正确，分别为平面ABN，平面ABM，平面BCN，平面BCM，平面ADN，平面ADM，平面CDM，平面CDN. (4)错误，平面ABCD不是该几何体的面． 【感悟提升】　多面体是一个“封闭”的几何体，包括它的内部部分．也就是说多面体是个实体，且多面体中一定不能有曲面． 【跟踪训练】 1．(1)在如图所示的几何体中，____是凸多面体． 答案：①② 解析：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，那么这个多面体就是凸多面体，所以①②是凸多面体，③不是凸多面体． (2)已知集合A＝{多面体}，B＝{长方体}，C＝{凸多面体}，求集合A，B，C之间的关系． 解：∵多面体可分为凸多面体和非凸多面体， ∴CA. ∵长方体是凸多面体，但凸多面体不一定是长方体，∴BC，∴BCA. 题型二　棱柱的结构特征　 　如图，长方体ABCD－A1B1C1D1. (1)写出AA1所在直线与平面ABCD之间的关系，并用符号表示； (2)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (3)用平面ABC1D1把这个长方体分成两部分，各部分的几何体还是棱柱吗？ [解]　(1)AA1所在直线与平面ABCD垂直，即AA1⊥平面ABCD. (2)是棱柱．是四棱柱，因为长方体中相对的两个面是平行的，且长方体的顶点都在这两个面上，其余的每个面都是矩形(平行四边形)，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．又这两个面是四边形，所以是四棱柱． (3)截后的各部分都是棱柱，分别为棱柱ADD1－BCC1和棱柱AA1D1－BB1C1. 【感悟提升】　棱柱判断的方法 依据棱柱的定义，先确定两个平行的面——底面，顶点都在这两个面上，再判断其余面——侧面是否为平行四边形． 【跟踪训练】 2．有下列四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长相等的直四棱柱是正方体； ③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体； ④体对角线相等的平行六面体是直平行六面体． 其中真命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：①不是真命题，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体；②不是真命题，若底面是菱形，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；③不是真命题，因为有两条侧棱垂直于底面一边，这时两个相对的侧面是矩形，但是不能推出侧棱与底面垂直；④是真命题，由体对角线相等，可得出平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，这个平行六面体是直平行六面体．故选A. 题型三　多面体、棱柱中的有关计算　 　直平行六面体的底面是菱形，连接其不相邻的两条侧棱得到的两个面(又称对角面)的面积分别为Q1，Q2，求直平行六面体的侧面积． [解]　如图，设底面边长为a，侧棱长为l，两条底面对角线的长分别为c，d， 则 由①得c＝，由②得d＝， 代入③得＋＝a2， ∴Q＋Q＝4l2a2，∴2la＝， ∴S侧＝4al＝2. 【感悟提升】　直平行六面体的结构特征：底面是平行四边形且侧棱与底面垂直，对角面是矩形．在解方程组时要注意运用整体代入的方法，充分运用代数式的特征来解决问题． 【跟踪训练】 3．(1)将一个边长为a的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了(　　) A．6a2 B．12a2 C．18a2 D．24a2 答案：B 解析：边长为a的正方体的表面积为S1＝6a2，由边长为a的正方体切成的27个全等的小正方体的表面积和为S2＝27×＝18a2，因此表面积增加了12a2.故选B. (2)如图所示，等腰直角三角形A2B2C2的三个顶点分别在正三棱柱ABC－A1B1C1的三条侧棱上，且∠B2A2C2＝90°，已知正三棱柱的底面边长为2，则B2C2＝____． 答案：2 解析：如图所示，过点C2作C2E⊥AA1，垂足为E，过点B2作B2F⊥AA1，垂足为F.由题可设A2E＝A2F＝x.在Rt△A2B2C2中，A2B2＝A2C2＝.过点F作FG⊥CC1，垂足为G，易得C2G＝EF＝2x，连接B2G，在Rt△GB2C2中，B2C2＝＝.在Rt△A2B2C2中，由勾股定理得，2(x2＋4)＝4x2＋4，解得x2＝2，所以B2C2＝2. 题型四　几何体的展开图问题　 　如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题： ①点H与点C重合； ②点D与点M、点R重合； ③点B与点Q重合； ④点A与点S重合． 其中正确命题的序号是____． [解析]　将其还原成正方体，如图．故正确命题的序号为②④. [答案]　②④ 【感悟提升】　几何体展开图问题的解题策略 (1)由展开图复原几何体：首先想象出复原后的几何体，再将展开图中的面、点标注到该几何体上． (2)几何体表面上两点间的最短距离问题常常要归纳为求平面上两点间的最短距离问题．常见的解法是先把几何体的表面展开成平面图形，再用平面几何知识求有关线段的长度． 【跟踪训练】 4．长方体AC1的长、宽、高分别为3，2，1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为____． 答案：3 解析：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1. 如图(1)所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开，则有AC1＝＝， 即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是； 如图(2)所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝＝3，即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是3； 如图(3)所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝＝2，即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2. 由于3<2<，所以从A到C1沿长方体表面的最短距离为3. 1．四棱柱有(　　) A．四条侧棱，四个顶点 B．八条侧棱，四个顶点 C．四条侧棱，八个顶点 D．六条侧棱，八个顶点 答案：C 解析：根据四棱柱的定义可知选C. 2．一个长方体共一个顶点的三个面的面积分别是，，，则这个长方体对角线的长是(　　) A．2 B．3 C．6 D. 答案：D 解析：设长方体同一顶点处的三条棱长分别为a，b，c.则由①×②×③，得abc＝，∴c＝，a＝，b＝1，∴对角线长l＝＝. 3．(多选)(2024·浙江衢州高一期末)用一个平面去截正方体，所得截面不可能是(　　) A．正三角形 B．直角梯形 C．正五边形 D．正六边形 答案：BC 解析：当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；截面为四边形时，可能出现矩形、平行四边形、等腰梯形，但不可能出现直角梯形；当截面为五边形时，不可能出现正五边形；截面为六边形时，可能出现正六边形．故选BC. 4．已知某多面体的平面展开图如图所示，其中是三棱柱的有____个． 答案：2 解析：根据平面展开图，还原几何体如下图所示： 故第二个和第四个为三棱柱，三棱柱的个数为2. 5.如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m，底面外接圆的半径是0.46 m，问：制造这个滚筒需要多少铁板(精确到0.1 m2)? 解：因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46 m， 所以底面正六边形的边长是0.46 m. 所以S侧＝ch＝6×0.46×1.6＝4.416(m2)． 所以S表＝S侧＋S上底＋S下底＝4.416＋2××0.462×6≈5.5(m2)． 故制造这个滚筒约需要5.5 m2铁板． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ 对点 棱柱的结构特点 棱柱的结构特点 正四面体展开图的判断 正三棱柱截面面积的计算 四面体的结构特征及判断 正方体截面形状的判断 长方体表面上两点的距离 求长方体的体对角线 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★ ★★ ★★★ ★★ ★★★ 对点 棱柱的结构特征的判断 正方体表面积的计算 棱柱结构的判断 求棱柱的侧面积 求几何体的表面积 求正方体的截面面积 求三棱柱中截面面积的最值 异面直线的判断；求三棱柱侧面展开图的对角线长；求几何体表面两点间距离的最值 一、单选题 1．下列多面体是棱柱的有(　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：D 解析：根据棱柱的定义知，这4个多面体都是棱柱． 2．下列说法中正确的是(　　) A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B．棱柱中互相平行的两个面称为棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 答案：D 解析：A不符合棱柱的特点；对于B，如图①，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知面ABB1A1∥面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；对于C，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D符合棱柱的特点．故选D. 3．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的四面体)的展开图的是(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 答案：C 解析：由四面体的结构特征，将展开图进行还原，可知③④不符合．故选C. 4．一个正三棱柱下底面是等边三角形，各侧面是全等的矩形，已知正三棱柱的高是6，底面边长是4，过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点作截面，则此截面的面积为(　　) A．12 B．4 C．8 D．4 答案：C 解析：如图，正三棱柱ABC－DEF，底面边长是4，高是6，过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点作截面，截面为△ABF，∵AB＝4，AD＝6，过C作CG⊥AB于G，连接FG，则FG⊥AB，∴CG＝AB＝2，∴FG＝＝＝4，∴△ABF的面积为AB×FG＝×4×4＝8，即截面面积为8. 5．在正方体的顶点中任意选择4个顶点，关于由这4个顶点构成的四面体的以下判断中，正确结论的个数是(　　) ①能构成每个面都是等边三角形的四面体；②能构成每个面都是直角三角形的四面体；③能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体；④能构成三个面为不都全等的直角三角形，一个面为等边三角形的四面体． A．1 B．2 C．3 D．4 答案：D 解析：如图所示的正方体ABCD－EFGH，四面体E－BDG的每个面都是等边三角形，故①正确；四面体E－ABC的每个面都是直角三角形，故②正确；四面体E－ABD的三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形，故③正确；四面体G－ABD的三个面为不都全等的直角三角形，一个面为等边三角形，故④正确． 二、多选题 6.(2024·浙江杭州期中)如图，一个正方体密封容器中装有一半的水量，若将正方体随意旋转放置，则容器中水的上表面形状可能是(　　) A．三角形 B．矩形 C．非矩形的平行四边形 D．六边形 答案：BCD 解析：因为正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心．过正方体的一条棱和中心可作一截面，截面形状为矩形，如图1，故B正确；过正方体一面上一边的任意一点(非顶点)和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，截面形状为非矩形的平行四边形，如图2，故C正确；在正方体一面上相邻两边各取一点(非顶点)，过这两点以及正方体的中心作一截面，截面形状为六边形，如图3，故D正确；至于截面三角形，过正方体的中心不可能作出截面为三角形的图形．故选BCD. 7.(2024·新疆乌鲁木齐高一阶段练习)长方体ABCD－A1B1C1D1的棱长AA1＝2，AB＝4，AD＝5，则从点A沿长方体表面到达点C1的距离可以为(　　) A. B. C. D. 答案：ABC 解析：从点A沿长方体表面到达点C1有三种展开方式，若以A1B1为轴展开，如图1，则AC1＝＝＝；若以BC为轴展开，如图2，则 AC1＝＝＝；若以B1B为轴展开，如图3，则 AC1＝＝＝.故选ABC. 三、填空题 8．长方体的表面积为11，所有棱的长度之和为24，则这个长方体的一条体对角线长为____． 答案：5 解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，体对角线长为d，则有2(ab＋bc＋ca)＝11　①，4(a＋b＋c)＝24　②.由②得a＋b＋c＝6，得d＝＝＝＝5. 9．下列说法中正确的是____(写出所有正确说法的序号)． ①棱柱的侧面可以是三角形；②正方体和长方体都是特殊的四棱柱；③棱柱的各条棱都相等；④棱柱的所有的侧棱都平行． 答案：②④ 解析：①错误，棱柱的侧面都是平行四边形；②正确；③错误，棱柱的侧棱都相等，但底面上的棱与侧棱不一定相等；④正确． 10．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是____． 答案：8 解析：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图可知正方形的边长为2，其面积为8. 四、解答题 11．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，由这些面围成的几何体是棱柱吗？ 解：棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱．显然题中漏掉了“多面体的顶点都在这两个面上”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱． 12．现有一个底面是菱形的直四棱柱(侧棱与底面垂直)，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积． 解：如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O， 对角线A1C＝15，B1D＝9， ∴a2＋52＝152，b2＋52＝92， ∴a2＝200，b2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2＝＋＝＝＝64， ∴AB＝8. ∴该直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160. 13．(2024·山西怀仁市校级期中)如图①是棱长为a的正方体，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图②所示的几何体，那么拼成的几何体的表面积为(　　) A．(2＋2)a2 B．(4＋2)a2 C．(8＋2)a2 D．(9＋2)a2 答案：B 解析：拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，∵截面为矩形，长为a，宽为a，面积为a2，∴拼成的几何体的表面积为4a2＋2a2＝(4＋2)a2. 14.(2024·上海期中)如图，在边长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BC的中点，过M，N，D1作正方体的截面为α，则截面α的面积是____． 答案： 解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线MN与直线DA，DC分别交于点E，F，连接D1E，D1F分别与AA1，CC1交于点P，Q，连接PM，QN，则五边形D1PMNQ是过M，N，D1的正方体的截面α，由M为AB的中点，N为BC的中点，得AM＝BM＝BN＝CN＝1，AE＝AM＝1，CF＝CN＝1，＝＝，即AP＝，同理，CQ＝，D1E＝D1F＝＝，EF＝3EM＝3，PE＝PM＝QN＝QF＝＝，等腰三角形D1EF中，cos∠D1EF＝＝，则sin∠D1EF＝＝，S△D1EF＝EF×D1Esin∠D1EF＝×3××＝，S△PEM＝EM×PEsin∠D1EF＝×××＝，所以截面α的面积S＝S△D1EF－2S△PEM＝－2×＝. 15．如图，棱长均为2 cm的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AC的中点，P是侧棱AA1上的动点，求△PBD面积的最大值． 解：正三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为正三角形， ∵△ABP，△ADP，△ABD都是直角三角形，D为棱AC的中点， ∴BP2＝AB2＋PA2，PD2＝PA2＋AD2，BD2＝AB2－AD2， ∴BP2＝PD2＋BD2， ∴BD⊥PD， ∴S△PBD＝BD·PD＝PD ＝·＝·. ∴当点P与点A1重合时，△PBD的面积最大，最大值为. 16．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，从顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M. (1)哪些棱所在的直线与BB1所在的直线异面？ (2)求正三棱柱侧面展开图的对角线长； (3)求从B经过M到C1的最短路线长及此时的值． 解：(1)棱AC和棱A1C1所在的直线与BB1所在的直线异面． (2)沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B1′B′(如图)． 矩形BB1B1′B′的长为BB′＝6，宽为BB1＝2. 所以正三棱柱侧面展开图的对角线长为＝2. (3)由侧面展开图可知，当B，M，C1三点共线时，从B经过M到达C1的路线最短． 所以最短路线长为BC1＝＝2. 显然Rt△ABM≌Rt△A1C1M， 所以A1M＝AM，即＝1. 故从B经过M到C1的最短路线长为2， 此时的值为1. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$