第7章 三角函数 章末总结-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．三角函数值在四个象限的符号 一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．诱导公式的记忆方法 概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式，奇变偶不变(看k)，符号看象限． 3．三角函数变形的常见方法 (1)弦化切； (2)“1”的代换． 4．sinθ±cosθ的符号的判定方法 5．已知三角函数的图象或性质求解析式的方法 形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的解析式的求解步骤： (1)用|A|＝求A； (2)用k＝求k； (3)用周期求ω； (4)利用特殊点(一般是最高点或最低点或零点)求φ. 6．已知三角函数值求角的步骤 (1)确定角所在的象限； (2)表示相应的锐角； (3)利用诱导公式求解. 一、三角函数的概念及三角函数线 三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面： (1)任意角和弧度制：理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算． (2)任意角的三角函数：掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域． 典例1　(2024·山东烟台高一下期末)已知角α的终边与单位圆的交点为P，则cosα的值为(　　) A． B．－ C． D．－ [解析]　因为角α的终边与单位圆的交点为P，所以cosα＝－.故选B. [答案]　B 典例2　(多选)对于①sinθ>0，②sinθ<0，③cosθ>0，④cosθ<0，⑤tanθ>0，⑥tanθ<0，则θ为第二象限角的充要条件为(　　) A．①③ B．①④ C．④⑥ D．②⑤ [解析]　若θ为第二象限角，则sinθ>0，cosθ<0，tanθ<0，所以θ为第二象限角⇔或或故选BC. [答案]　BC 典例3　求函数y＝＋ 的定义域． [解]　⇒ 作单位圆如图，函数的定义域为图中双阴影部分，即. 二、同角三角函数基本关系及诱导公式 牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tanα，并能运用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在运用时，要注意掌握三角函数变形的技巧．三角函数变形的关键是观察特点，选择恰当的公式和方法进行变形，在本章所涉及的变形中，常用的变形方法有化弦、化切和“1”的代换等． 典例4　(1)(2024·河南安阳高一下期末)已知sinαcosα＝－，α∈，求cosα－sinα的值． [解]　因为α∈， 所以cosα>0，sinα<0，则cosα－sinα>0. 又因为sinαcosα＝－， 所以(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝. 所以cosα－sinα＝. (2)求证：tan2θ－sin2θ＝tan2θsin2θ. [证明]　左边＝－sin2θ＝sin2θ ＝sin2θ·＝sin2θ·＝tan2θsin2θ＝右边， ∴原等式成立． (3)化简：sin2αtanα＋＋2sinαcosα. [解]　原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sinαcosα ＝＝ ＝. (4)已知tanθ＝2，求sin2θ－2sinθcosθ＋1的值． [解]　原式＝ ＝ ＝ ＝＝1. 典例5　已知f(α)＝ . (1)化简f(α)； (2)若α是第三象限角，且cos＝，求f(α)的值； (3)若α＝－，求f(α)的值． [解]　(1)f(α)＝ ＝＝－cosα. (2)cos＝－sinα＝， 所以sinα＝－. 因为α是第三象限角， 所以cosα＝－ ＝－， 所以f(α)＝－cosα＝. (3)当α＝－时， f＝－cos＝－cos ＝－cos＝－. 三、三角函数的图象 三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质． 典例6　(多选)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若函数g(x)的图象由f(x)的图象向左平移个单位得到，则下列关于函数g(x)的描述正确的是(　　) A．g(x)＝2sin B．g(x)＝2sin C．函数g(x)的图象关于直线x＝－对称 D．函数g(x)的图象关于点中心对称 [解析]　对于A，B，由图象可得，且f(x)在x＝的附近单调递减，所以 因为|φ|<，所以φ＝－，所以＝＋2kπ，k∈Z，所以ω＝＋2，k∈Z.又因为T>，所以ω＝<.又ω>0，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin.由f(x)的图象向左平移个单位，得到g(x)＝2sin＝2sin的图象，故A错误，B正确；对于C，因为2×＋＝－，直线x＝－是函数y＝sinx图象的一条对称轴，所以函数g(x)的图象关于直线x＝－对称，故C正确；对于D，因为2×＋＝－π，(－π，0)是函数y＝sinx图象的一个对称中心，所以函数g(x)的图象关于点中心对称，故D正确．故选BCD. [答案]　BCD 典例7　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的一系列对应值如下表： x － f(x) －1 1 3 1 －1 1 3 (1)根据表格提供的数据求函数f(x)的解析式； (2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k>0)的最小正周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围． [解]　(1)设f(x)的最小正周期为T， 则T＝－＝2π， 由T＝，得ω＝1. 又由解得 令ω·＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 解得φ＝－＋2kπ，k∈Z， 又|φ|<，∴φ＝－， ∴f(x)＝2sin＋1. (2)∵函数y＝f(kx)＝2sin＋1的最小正周期为， 又k>0，∴k＝3.令t＝3x－，s＝. ∵x∈，∴t∈， y＝sint的图象如图． 若sint＝s在上有两个不同的解，则s∈，∴若方程f(kx)＝m在x∈时恰有两个不同的解，则∈，解得m∈[＋1，3)，即实数m的取值范围是[＋1，3)． 四、三角函数的性质 高考中，三角函数的性质是必考内容之一，在考查时，往往和后面的三角知识相联系，着重考查三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等有关性质． 典例8　(多选)关于函数f(x)＝4sin(x∈R)，下列说法正确的是(　　) A．y＝f为偶函数 B．要得到函数g(x)＝－4sin2x的图象，只需将f(x)的图象向右平移个单位 C．y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称 D．y＝f(x)在[0，2π]内的增区间为和 [解析]　对于A，因为f＝4sin＝4sin，所以y＝f不是偶函数，故A错误；对于B，把函数f(x)＝4sin的图象向右平移个单位，得到函数f1(x)＝4sin＝4sin(2x－π)＝－4sin2x＝g(x)的图象，故B正确；对于C，当x＝－时，f(x)取得最小值，故C正确；对于D，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，代入k＝0，1，可知D错误．故选BC. [答案]　BC 典例9　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．将y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位得到y＝g(x)的图象． (1)求f(x)的解析式； (2)求函数g(x)的单调递减区间； (3)若对任意x1，x2∈，f(x1)＋m≥g(x2)恒成立，求m的取值范围． [解]　(1)由图象可知，T＝＝4×＝π， 所以ω＝2，即f(x)＝Asin(2x＋φ)， 又f＝Asin＝A， 所以sin＝1， 因为|φ|<，所以φ＝－， 故f(x)＝Asin， 由f＝Asin＝Asin＝－A＝－1，可得A＝2， 所以f(x)＝2sin. (2)由f(x)＝2sin图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位得到g(x)＝2sin＝2sin＝2cos4x的图象， 令2kπ≤4x≤2kπ＋π，k∈Z，解得≤x≤＋，k∈Z，即函数g(x)的单调递减区间为，k∈Z. (3)由f(x1)＋m≥g(x2)对任意x1，x2∈恒成立，得m≥g(x2)－f(x1)对任意x1，x2∈恒成立， 所以只需m≥g(x)max－f(x)min，x∈， 当－≤x≤时，－≤4x≤， 故g(x)max＝g(0)＝2cos0＝2， 当－≤x≤时，－≤2x－≤， 故f(x)min＝f＝2sin＝－， 所以m≥2＋. 所以m的取值范围为[2＋，＋∞)． 五、数学学科思想 1．数形结合思想 有关三角函数的综合性问题，一般借助单位圆或三角函数图象来处理．数形结合思想是处理三角函数问题的重要思想． 典例10　(多选)(2024·河南信阳高一检测)已知函数f(x)＝cos(ω>0)，x1，x2，x3∈[0，π]，且∀x∈[0，π]都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，满足f(x3)＝0的实数x3有且只有3个，则下列四个结论中正确的是(　　) A．满足题目条件的实数x1有且只有1个 B．满足题目条件的实数x2有且只有1个 C．f(x)在区间上单调递增 D．ω的取值范围是 [解析]　因为∀x∈[0，π]都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，所以在[0，π]上f(x1)为最小值，f(x2)为最大值．设t＝ωx－，当0≤x≤π时，－≤t≤πω－，作出y＝cost的部分图象如图，若y＝cost有且只有3个零点，则≤πω－<，得≤ω<，即ω的取值范围是，故D正确；由图象知，y＝cost在上只有1个最小值点，有1个或2个最大值点，则满足题目条件的实数x1有且只有1个，故A正确；满足题目条件的实数x2有1个或2个，故B错误；当x∈时，ωx－∈，当≤ω<时，－<－<0，则y＝cost在上单调递增，故C正确．故选ACD. [答案]　ACD 2．转化与化归思想 转化与化归思想是把不熟悉的、复杂的、难解决的问题转化为熟悉的、简单的、易解决的问题的一种思想．在本章中，三角变换处处体现转化与化归思想，如弦切互化，化异角为同角、化异名为同名、化异次为同次等． 典例11　函数y＝的值域为________． [解析]　由y＝， 得(y－1)tan2x＋(y＋1)tanx＋y－1＝0. 若y＝1，则只需tanx＝0. 若y≠1，则由Δ＝(y＋1)2－4(y－1)2≥0， 得(3y－1)(y－3)≤0， 解得≤y≤3(y≠1)． 当x＝kπ＋(k∈Z)时，y＝； 当x＝kπ－(k∈Z)时，y＝3. 综上可知，所求函数的值域为. [答案]　 3．分类讨论思想 数学问题中，所给的对象不能进行统一研究时，就需要把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决问题的思想，称为分类讨论思想．分类时需要注意： (1)每级分类按同一标准进行； (2)分类应逐级进行； (3)同级互斥、不得越级． 典例12　已知函数f(x)＝2sin2x－2asinx＋a2－2a－1的最小值为－2，求实数a的值，并求此时f(x)的最大值． [解]　f(x)＝2sin2x－2asinx＋a2－2a－1 ＝2＋－2a－1. 由0≤x≤，得0≤sinx≤1. 当0≤a≤2时，0≤≤1，f(x)的最小值在sinx＝处取得，为－2a－1＝－2，解得a＝2－(a＝2＋舍去)，此时f(x)的最大值为f＝－1. 当a>2时，>1，f(x)的最小值在sinx＝1处取得，为a2－4a＋1＝－2，解得a＝3(a＝1舍去)，此时f(x)的最大值为f(0)＝2. 当a<0时，<0，f(x)的最小值在sinx＝0处取得，为a2－2a－1＝－2，解得a＝1，舍去． 综上所述，当a＝2－时，f(x)的最大值为－1； 当a＝3时，f(x)的最大值为2. 11 学科网（北京）股份有限公司 $$