8.1.3 向量数量积的坐标运算-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

8.1.3　向量数量积的坐标运算 (教师独具内容) 课程标准：1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.2.能用坐标表示平面向量垂直的条件． 教学重点：平面向量数量积的坐标表示以及模、角度、垂直关系的坐标表示． 教学难点：用坐标法处理模、角度、垂直问题． 核心素养：通过学习向量数量积的坐标表示及运算提升逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　向量数量积的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2． 知识点二　向量模的坐标表示 设a＝(x1，y1)，则|a|＝__． 知识点三　两向量的夹角公式 设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝． 知识点四　平面上两点间的距离公式 在平面直角坐标系中，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝__． 知识点五　两向量垂直的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0． [拓展]　若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，由|a·b|≤|a||b|得|x1x2＋y1y2|≤·， 当且仅当a∥b，即x1y2－x2y1＝0时取等号， 即不等式(x1x2＋y1y2)2≤(x＋y)(x＋y)成立． 1．(两向量的夹角公式)已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b的夹角的大小为________． 答案： 2．(向量模的坐标表示)已知a＝(1，)，b＝(－2，0)，则|a＋b|＝________． 答案：2 3．(向量数量积的坐标表示)设a＝(2，0)，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则a·b＝________． 答案：1 4．(两向量垂直的坐标表示)(教材P89练习B T3(1)改编)已知a＝(3，4)，则与a垂直的单位向量为____________，与a共线的单位向量为____________． 答案：或　或 题型一　向量数量积的坐标运算 例1　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)． [解]　解法一：(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2. ∵a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a2＝22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13， ∴(3a－b)·(a－2b)＝3×5－7×8＋2×13＝－15. 解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)， ∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)， a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4，3)， ∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15. (2)已知a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，若(5a－b)·(b－3a)＝－55，试求b的坐标． [解]　解法一：∵a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)， ∴5a－b＝(－11，－10－k)，b－3a＝(5，k＋6)， ∴(5a－b)·(b－3a)＝(－11，－10－k)·(5，k＋6)＝－55－(k＋10)(k＋6)＝－55， ∴(k＋10)(k＋6)＝0， ∴k＝－10或k＝－6， ∴b＝(－4，－10)或b＝(－4，－6)． 解法二：∵(5a－b)·(b－3a)＝5a·b－15a2－b2＋3a·b＝－15a2＋8a·b－b2＝－15×(9＋4)＋8[(－3)×(－4)－2k]－(16＋k2)＝－55， 整理得k2＋16k＋60＝0， 解得k＝－10或k＝－6. ∴b＝(－4，－10)或b＝(－4，－6)． 【感悟提升】　 (1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系． (2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充． 【跟踪训练】 1．已知向量a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10，求： (1)向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b. 解：(1)∵a与b同向，且b＝(1，2)， ∴设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)． 又a·b＝10，∴λ＋4λ＝10， ∴λ＝2，∴a＝(2，4)． (2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0， ∴(a·c)b＝0. 题型二　向量的模 例2　(1)向量a，b满足|a|＝3，b＝(1，2)，a·b＝2，则|2a－b|＝________． [解析]　由题意可得b2＝12＋22＝5，因此|2a－b|＝＝＝＝. [答案]　 (2)(2024·山东潍坊高一期末)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则实数t＝________，·＝________． [解析]　由＝(2，3)，＝(3，t)可知＝－＝(1，t－3)．∵||＝1，∴ ＝1，解得t＝3.∴·＝2＋0＝2. [答案]　3　2 【感悟提升】　注意区别m＝n与|m|＝|n|，其中m＝n表示的是向量关系，即(x1，y1)＝(x2，y2)，而|m|＝|n|表示的是数量关系，即　＝ . 【跟踪训练】 2．(1)(2023·北京高考)已知向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，则|a|2－|b|2＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 答案：B 解析：向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，所以|a|2－|b|2＝(a＋b)·(a－b)＝2×(－2)＋3×1＝－1.故选B. (2)若向量＝(1，－3)，||＝||，·＝0，则||＝________． 答案：2 解析：解法一：设＝(x，y)，由||＝||，知 ＝　①.由题意知·＝x－3y＝0　②.由①②组成方程组，解得或当x＝3，y＝1时，＝－＝(2，4)，则||＝2；当x＝－3，y＝－1时，＝(－4，2)，则||＝2.故||＝2. 解法二：由题意知，||就是以，对应线段为邻边的正方形的对角线长，因为||＝，所以||＝×＝2. 题型三　向量的夹角 例3　(1)已知向量a＝(3，1)，b＝(2，2)，则cos〈a＋b，a－b〉＝(　　) A． B． C． D． [解析]　因为a＝(3，1)，b＝(2，2)，所以a＋b＝(5，3)，a－b＝(1，－1)，则|a＋b|＝＝，|a－b|＝＝，(a＋b)·(a－b)＝5×1＋3×(－1)＝2，所以cos〈a＋b，a－b〉＝＝＝.故选B. [答案]　B (2)已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8，16)，求a与b的数量积及a与b的夹角的余弦值． [解]　由得 ∴a·b＝(－3，4)·(5，－12)＝(－3)×5＋4×(－12)＝－63. cos〈a，b〉＝＝ ＝＝－. ∴a与b的夹角的余弦值为－. 【感悟提升】　利用数量积求两向量夹角的步骤 提醒：已知两个非零向量的坐标，就可以利用该公式求得两个向量的夹角，因为向量的夹角范围为[0，π]，故不存在讨论角的终边所在象限的问题． 【跟踪训练】 3．已知平面向量a＝(1，3)，b＝(2，λ)，设a与b的夹角为θ. (1)若θ＝120°，求λ的值； (2)要使θ为锐角，求λ的取值范围． 解：(1)由于a＝(1，3)，b＝(2，λ)， 则a·b＝2＋3λ， 当θ＝120°时，由cos120°＝＝－，得 ＝－， 平方整理得13λ2＋24λ－12＝0， 解得λ＝， 由于a·b＝2＋3λ<0， 所以λ<－，所以λ＝. (2)由θ为锐角，得cosθ>0，且cosθ≠1， 因为a·b＝|a||b|cosθ>0， 所以1×2＋3λ>0， 解得λ>－. 若a∥b，则1×λ－2×3＝0，即λ＝6. 但若a∥b，则θ＝0或θ＝π，这与θ为锐角相矛盾， 所以λ≠6. 综上所述，λ的取值范围为. 题型四　两向量垂直条件的应用 例4　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 [解析]　因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，解得x＝2.故选D. [答案]　D (2)以原点O和点A(5，2)为两个顶点作等腰直角三角形AOB，使∠B＝90°，求点B的坐标． [解]　设点B(x，y)， 则＝(x，y)，＝(x－5，y－2)． 因为∠B＝90°，所以x(x－5)＋y(y－2)＝0， 又||＝||， 所以x2＋y2＝(x－5)2＋(y－2)2， 即 解得或 即点B的坐标为或. 【感悟提升】　利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．常用方法是建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算将向量问题转化为代数问题来解决． 【跟踪训练】 4．(1)(2024·辽宁辽阳高一下期末)已知向量a＝(1，2)，b＝(1，m)．若(a＋b)⊥a，则m＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 答案：B 解析：因为a＝(1，2)，b＝(1，m)，所以a＋b＝(2，2＋m)．又(a＋b)⊥a，所以(a＋b)·a＝(2，2＋m)·(1，2)＝2＋4＋2m＝0，解得m＝－3.故选B. (2)在等腰直角三角形ABC中，∠ACB是直角，AC＝BC，D是BC的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE. 证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设CA＝CB＝2，则A(2，0)，B(0，2)，C(0，0)，设E(x，y)． ∵D为BC的中点，∴D(0，1)． ∵AE＝2EB，∴＝， ∴(x－2，y)＝(－2，2)， ∴解得∴E. ∴·＝(－2，1)·＝－＋＝0， ∴⊥，即AD⊥CE. 题型五　向量数量积的综合应用 例5　(1)若函数f(x)＝2sin(－2<x<10)的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，O为坐标原点，则(＋)·＝(　　) A．－32 B．－16 C．16 D．32 [解析]　令f(x)＝2sin＝0，得x＋＝kπ，k∈Z，∴x＝6k－2，k∈Z.∵－2<x<10，∴x＝4，即A(4，0)．设B(x1，y1)，C(x2，y2)，∵过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，∴B，C两点关于点A对称，即x1＋x2＝8，y1＋y2＝0.故(＋)·＝(x1＋x2，y1＋y2)·(4，0)＝4(x1＋x2)＝32. [答案]　D (2)(2024·云南昆明高一下期末)在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝，AB＝AD＝2CD＝2，P为线段BC上的动点，则·的最小值为________． [解析]　在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝，AB＝AD＝2CD＝2，以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则A(0，0)，B(2，0)，C(1，2)，D(0，2)，设E为线段AD的中点，则E(0，1)，设＝λ＝λ(－1，2)＝(－λ，2λ)，其中0≤λ≤1，则·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2，＝＋＋＝(0，－1)＋(2，0)＋(－λ，2λ)＝(2－λ，2λ－1)，则＝(λ－2，1－2λ)，所以·＝2－2＝(λ－2)2＋(1－2λ)2－1＝5λ2－8λ＋4＝5＋≥，当且仅当λ＝时，等号成立，故·的最小值为. [答案]　 【感悟提升】　与三角函数、平面几何图形相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考的热点问题．解决此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角函数的图象和性质、二次函数的性质、平面几何图形的性质等知识． 【跟踪训练】 5．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动． (1)求证：·为定值； (2)求·的最大值． 解：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，C(1，1)，D(0，1)， 设E(x，0)，x∈[0，1]． (1)证明：·＝(1－x，1)·(0，1)＝1(定值)． (2)由上述可知，C(1，1)，M，E(x，0)，x∈[0，1]， 则·＝(1－x，1)·＝(1－x)2＋， 当x∈[0，1]时，y＝(1－x)2＋单调递减， 所以当x＝0时，·取得最大值. 1．(2024·全国甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　) A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件 B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件 C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件 D．“x＝－1＋”是“a∥b”的充分条件 答案：C 解析：对于A，当a⊥b时，a·b＝0，所以x(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或x＝－3，即必要性不成立，故A错误；对于B，当a∥b时，2(x＋1)＝x2，解得x＝1±，即必要性不成立，故B错误；对于C，当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(0，2)，故a·b＝0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；对于D，当x＝－1＋时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误．故选C. 2．已知A(1，2)，B(4，0)，C(8，6)，D(5，8)四点，则四边形ABCD是(　　) A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 答案：B 解析：∵＝(3，－2)，＝(3，－2)，∴＝，又＝(4，6)，∴·＝0，∴⊥.∵||≠||，∴四边形ABCD是矩形．故选B. 3．(多选)(2024·山东烟台高一期中)已知向量a＝(3，4)，b＝(－4，－3)，则下列说法正确的是(　　) A．a与b的夹角是锐角 B．a与b的夹角是钝角 C．a＋b与a－b的夹角是直角 D．a在b上的投影的数量等于b在a上的投影的数量 答案：BCD 解析：由向量a＝(3，4)，b＝(－4，－3)，得a·b＝－24<0，且a与b不共线，所以a与b的夹角是钝角，故A不正确，B正确；因为(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，所以a＋b与a－b的夹角是直角，故C正确；a在b上的投影的数量为|a|cos〈a，b〉＝＝－，b在a上的投影的数量为|b|cos〈a，b〉＝＝－，故D正确．故选BCD. 4．(2024·安徽蚌埠高一下期末)已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，3)，若a⊥(ka＋b)，则k＝________． 答案：－ 解析：因为向量a＝(1，2)，b＝(－2，3)，所以ka＋b＝k(1，2)＋(－2，3)＝(k－2，2k＋3)，因为a⊥(ka＋b)，所以a·(ka＋b)＝k－2＋2(2k＋3)＝5k＋4＝0，解得k＝－. 5．如图，已知△ABC的面积为，AB＝2，·＝1，求边AC的长． 解：以A为坐标原点，为x轴正方向建立平面直角坐标系，设点C的坐标为(x，y)(y>0)， ∵AB＝2，∴点B的坐标为(2，0)， ∴＝(2，0)，＝(x－2，y)． ∵·＝1，∴2(x－2)＝1，解得x＝. 又S△ABC＝，∴|AB|·y＝，∴y＝， ∴点C的坐标为，则＝， ∴||＝ ＝， 故边AC的长为. 课后课时精练 基础题(占比60%) 　中档题(占比30%) 　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 主考点 向量数量积的坐标运算 利用向量数量积的坐标运算判断图形的形状 向量数量积的坐标运算，向量垂直的应用 利用向量数量积的坐标表示及向量的模求向量的坐标 利用坐标求向量、向量的夹角、数量积 利用向量数量积的坐标表示求参数的取值范围 利用向量数量积的坐标表示求向量的夹角 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 主考点 利用向量的坐标求向量模的最值 向量的坐标运算，利用向量垂直求参数的值，利用向量平行求向量的夹角 利用点的坐标求向量的模，利用向量数量积的坐标表示求点的坐标 利用图形中的关系求向量的坐标及向量的投影 利用坐标求数量积，利用图形中的关系求夹角 利用向量数量积的坐标表示求向量的夹角及参数的值 利用向量数量积的坐标表示求向量的坐标及向量模的取值范围 一、选择题 1．已知a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则a·b＝(　　) A．23 B．7 C．－23 D．－7 答案：D 解析：a·b＝(－3)×5＋4×2＝－7.故选D. 2．已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 答案：A 解析：∵＝(1，1)，＝(－3，3)，∴·＝1×(－3)＋1×3＝0，∴⊥，∴A＝90°.故选A. 3．已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为(　　) A．(3，－2) B．(3，2) C．(－3，－2) D．(－3，2) 答案：C 解析：设c＝(x，y)，由c⊥a，b·c＝1，知解得 4．与已知向量a＝，b＝的夹角相等，且模为1的向量是(　　) A． B．或 C． D．或 答案：B 解析：设与向量a＝，b＝的夹角相等，且模为1的向量为(x，y)，则解得或故选B. 5．(多选)(2024·湖南邵阳邵东一中高一下期末)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D为线段AB上靠近点A的三等分点，E为CD的中点，则下列结论正确的是(　　) A．＝＋ B．与的夹角的余弦值为 C．·＝－ D．△AED的面积为2 答案：AC 解析：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，故以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，0)，B(3，0)，C(0，4)，D(1，0)，E，所以＝，＝(3，0)，＝(0，4)，＝，＝(1，－4)．对于A，＋＝(3，0)＋(0，4)＝＝，故A正确；对于B，·＝×－22＝－，||＝，||＝，与的夹角的余弦值cos〈，〉＝＝－，故B错误；对于C，·＝×1－2×4＝－，故C正确；对于D，S△AED＝·||·|yE|＝×1×2＝1，故D错误．故选AC. 二、填空题 6．向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则实数k的取值范围是________． 答案：∪ 解析：2a－3b＝(2k－3，－6)，因为2a－3b与c的夹角为钝角，所以(2a－3b)·c<0，即2(2k－3)－6<0，解得k<3，又当2a－3b与c共线时，有2k－3＝－12，解得k＝－.此时2a－3b与c的夹角为180°，不是钝角，故舍去．综上所述，实数k的取值范围是∪. 7．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为________． 答案：120° 解析：由已知，得a＋b＝－a，∴a与c的夹角和c与a＋b的夹角互补．又cos〈a＋b，c〉＝＝，∴〈a＋b，c〉＝60°，∴a与c的夹角是120°. 8．已知向量a＝(cos2θ，sin2θ)，b＝(2，0)，则|2a－b|的最大值是________． 答案：2 解析：令t＝cos2θ(0≤t≤1)，则a＝(t，1－t)，所以|2a－b|2＝(2t－2)2＋(2－2t)2＝8(t－1)2，所以|2a－b|＝2|t－1|＝2(1－t)，故当t＝0时，|2a－b|取得最大值2. 三、解答题 9．(2024·广东肇庆第一中学高一下期中)已知向量a＝(3，2)，b＝(x，－1)． (1)若(a＋2b)⊥(2a－b)，求实数x的值； (2)若c＝(－8，－1)，a∥(b＋c)，求向量a与b的夹角θ. 解：(1)已知a＝(3，2)，b＝(x，－1)， 所以a＋2b＝(3＋2x，0)，2a－b＝(6－x，5)． 又因为(a＋2b)⊥(2a－b)， 所以(a＋2b)·(2a－b)＝0， 所以(3＋2x)(6－x)＋0×5＝0， 解得x＝6或x＝－. (2)因为c＝(－8，－1)， 所以b＋c＝(x－8，－2)． 又a∥(b＋c)，所以3×(－2)－2×(x－8)＝0， 解得x＝5，所以b＝(5，－1)． 所以cosθ＝＝＝， 因为0≤θ≤π，所以θ＝. 10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，0)，B(2，5)，C(－2，1)． (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)在△ABC中，设AD是BC边上的高，求点D的坐标． 解：(1)由题意，可得＝(1，5)，＝(－3，1)， 则＋＝(－2，6)，－＝(4，4)， ∴|＋|＝2，|－|＝4， ∴两条对角线的长分别为2和4. (2)设点D的坐标为(x，y)，由题意知点D在BC边上， 设＝λ， 则(x＋2，y－1)＝λ(4，4)， ∴x＝4λ－2，y＝4λ＋1， 即点D的坐标为(4λ－2，4λ＋1)， ∴＝(4λ－3，4λ＋1)， ∵AD⊥BC， ∴·＝(4λ－3，4λ＋1)·(4，4)＝0， 即(4λ－3)×4＋(4λ＋1)×4＝0， 解得λ＝， 即点D的坐标为(－1，2)． 11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)．若点C在∠AOB的平分线上，且||＝2，则＝________，在上的投影为________． 答案：　 解析：如图，已知A(0，1)，B(－3，4)，设E(0，5)，D(－3，9)，∴四边形OBDE为菱形，∴∠AOB的平分线是菱形OBDE的对角线OD所在的射线．设C(x1，y1)，∵||＝2，||＝3，∴＝，∴＝(x1，y1)＝(－3，9)＝.∵＝(0，1)，∴在上的投影为·＝(0，1)＝. 12．如图，已知三点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值． 解：(1)证明：∵A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)， ∴＝(1，1)，＝(－3，3)， ∴·＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴⊥， 即AB⊥AD. (2)∵⊥，四边形ABCD为矩形， ∴＝. 设点C的坐标为(x，y)， 则＝(x＋1，y－4)． 又＝(1，1)，∴解得 ∴点C的坐标为(0，5)． ∴＝(－2，4)，＝(－4，2)， ∴||＝2，||＝2， ·＝8＋8＝16. 设与的夹角为θ， 则cosθ＝＝＝. 故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为. 13．(2024·北京延庆期中)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，CD∥OB，CD＝2OB，OA＝2AD，且AD＝OB＝2，P是线段AB上的动点． (1)用，表示和； (2)当P为线段AB的中点时，求，的坐标和cos∠PCB； (3)设＝λ，是否存在实数λ，使得∠PCD＝？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由． 解：(1)因为CD∥OB，CD＝2OB，OA＝2AD，且AD＝OB＝2，所以OA＝4，CD＝4， 即A(4，0)，D(6，0)，B(0，2)，C(6，4)， 所以＝－，＝＋＝－2－. (2)当P为线段AB的中点时，P(2，1)， 所以＝(－4，－3)，＝(－6，－2)， 所以·＝－4×(－6)＋(－2)×(－3)＝30，||＝5，|CB|＝2， 所以cos∠PCB＝＝＝. (3)假设存在满足题意的λ， 则＝λ＝(4λ，－2λ)， 则P(4λ，2－2λ)， 所以＝(4λ－6，－2λ－2)，＝(0，－4)， 所以·＝8λ＋8， ||＝，||＝4， 所以cos＝＝>0， 整理，得3λ2－14λ＋8＝0，解得λ＝或λ＝4， 又P是线段AB上的动点，所以λ＝， 即存在实数λ＝，使得∠PCD＝. 14．已知向量m＝(1，1)，向量n与向量m的夹角为，且m·n＝－1. (1)求向量n； (2)设向量a＝(1，0)，b＝(1＋cosx，2)，其中0<x<，若n·a＝0，试求|n＋b|的取值范围． 解：(1)设n＝(x，y)， 因为m·n＝－1，且m与n的夹角为，m＝(1，1)， 所以 解得或 所以n＝(0，－1)或n＝(－1，0)． (2)因为n·a＝0且a＝(1，0)， 所以n＝(0，－1)． 又b＝(1＋cosx，2)，故n＋b＝(1＋cosx，1)， 所以|n＋b|2＝(1＋cosx)2＋1. 因为0<x<， 所以－<cosx<1. 故<|n＋b|2<5.所以<|n＋b|<. 18 学科网（北京）股份有限公司 $$