8.1.1 向量数量积的概念-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

8.1.1　向量数量积的概念 (教师独具内容) 课程标准：1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 教学重点：平面向量数量积的含义及几何意义． 教学难点：向量的投影及数量积的几何意义． 核心素养：通过学习向量数量积的定义及其几何意义培养数学抽象素养、直观想象素养和数学运算素养． 知识点一　两个向量的夹角 (1)定义：给定两个非零向量a，b(如图所示)，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉． (2)根据向量夹角的定义可知，两个非零向量的夹角是唯一确定的，而且0≤〈a，b〉≤π，〈a，b〉＝〈b，a〉． (3)垂直：当〈a，b〉＝时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b．在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直． 知识点二　向量数量积(内积)的定义 一般地，当a与b都是非零向量时，称|a|·|b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 由定义可知，两个非零向量a与b的数量积是一个实数． 知识点三　向量数量积的性质 (1)当e是单位向量时，因为|e|＝1，所以a·e＝|a|cos〈a，e〉． (2)a⊥b⇔a·b＝0． (3)a·a＝|a|2，即|a|＝ . (4)cos〈a，b〉＝(|a||b|≠0)． (5)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立． 知识点四　向量的投影 如图1，设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量为向量a在直线l上的投影向量或投影． 类似地，给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影．如图2中，向量a在向量b上的投影为．可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们的方向既有可能相同，也有可能相反． 知识点五　向量数量积的几何意义 如图(1)(2)(3)所示． 当〈a，b〉<时，的方向与b的方向相同，而且||＝|a|cos〈a，b〉； 当〈a，b〉＝时，为零向量，即||＝0； 当〈a，b〉>时，的方向与b的方向相反，而且||＝－|a|cos〈a，b〉． 一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|cos〈a，b〉 为向量a在向量b上的投影的数量．投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数． 两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义． [拓展]　a·b的符号和a与b的夹角θ的关系 (1)若a·b>0⇔θ为锐角或零角，当θ＝0°时，a与b共线同向，a·b>0. (2)a·b＝0⇔θ＝90°. (3)a·b<0⇔θ为钝角或平角，当θ＝180°时，a与b共线反向，a·b<0. 1．(投影的数量)(教材P79练习A T5改编)已知向量a与向量b的夹角为30°且|a|＝，则a在b上的投影的数量为________． 答案： 2．(向量数量积的定义)(教材P79练习A T1改编)已知|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角为135°，则a·b＝________． 答案：－8 3．(投影的数量)在直角坐标系xOy内，已知向量与x轴和y轴正向的夹角分别为120°和30°，则在x轴、y轴上的投影的数量分别为________和________． 答案：||　－|| 题型一　两个向量的夹角 例1　已知向量a与b的夹角为60°，试求下列向量的夹角： (1)－a与b；(2)2a与b. [解]　如图，由向量夹角的定义可知， (1)向量－a与b的夹角为120°. (2)向量2a与b的夹角为60°. 【感悟提升】　 (1)向量的夹角是针对非零向量定义的． (2)注意向量夹角的范围是0°≤θ≤180°. (3)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角，作＝，则∠BAD才是向量与的夹角． 【跟踪训练】 1．已知向量a与b的夹角为60°且|b|＝|a|，求a－b与a的夹角． 解：如图，作＝a，＝b，则∠BOA＝60°，连接BA，则＝a－b. 取OA的中点D，连接BD， ∵|b|＝|a|，∴OD＝OB＝BD＝DA， ∴∠BDO＝60°＝2∠BAO， ∴∠BAO＝30°，∴a－b与a的夹角为30°. 题型二　向量数量积的定义 例2　(1)已知|a|＝5，|b|＝2，若①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°，分别求a·b. [解]　①当a∥b时，若a与b同向， 则它们的夹角为0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝5×2×1＝10； 若a与b反向，则它们的夹角为180°， ∴a·b＝|a||b|cos180°＝5×2×(－1)＝－10. ②当a⊥b时，它们的夹角为90°， ∴a·b＝|a||b|cos90°＝5×2×0＝0. ③当a与b的夹角为30°时， a·b＝|a||b|cos30°＝5×2×＝5. (2)已知|a|＝4，|b|＝2，b2－a2＝3a·b，求向量a与b的夹角． [解]　由题意，得4－16＝3a·b， ∴a·b＝－4， ∴cos〈a，b〉＝＝－， 又0°≤〈a，b〉≤180°， ∴向量a与b的夹角为120°. 【感悟提升】　 1．求向量数量积的一般步骤及注意事项 (1)确定向量的模和夹角，根据定义求出数量积． (2)a与b垂直当且仅当a·b＝0. (3)非零向量a与b共线当且仅当a·b＝±|a||b|. (4)求解向量模的问题要灵活运用a2＝|a|2，|a|＝ ，勿忘记开方． 2．求向量夹角的一般步骤及注意事项 (1)步骤 (2)注意：在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos〈a，b〉的值． 【跟踪训练】 2．(1)已知|a|＝4，|b|＝5，向量a与b的夹角θ＝，求a·b. 解：a·b＝|a||b|cosθ＝4×5×＝10. (2)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，求a与b的夹角． 解：设a与b的夹角为θ，cosθ＝＝＝.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 题型三　向量的投影与投影的数量　　 例3　(1)(2024·湖北武汉江岸区高一下期末)已知向量a与b的夹角为，且|a|＝2，|b|＝3，则a在b上的投影是(　　) A．b B．－a C．－b D．－b [解析]　因为向量a与b的夹角为，且|a|＝2，|b|＝3，所以a·b＝|a||b|cos＝2×3×＝－3，所以a在b上的投影为·＝×＝－b.故选C. [答案]　C (2)(2024·广东珠海斗门区第一中学高一下期中)已知BC是圆O的直径，点A是圆O上异于B，C的点，且||＝||，则向量在向量上的投影为(　　) A． B． C． D． [解析]　如图，由题意知AB⊥AC，又||＝||，所以tan∠ABC＝，又∠ABC是三角形的内角，所以∠ABC＝60°，所以AB＝BC，作AD⊥BC于点D，则BD＝AB，即BD＝BC，所以向量在向量上的投影为＝.故选A. [答案]　A (3)已知向量， ①||＝4，〈，〉＝60°，求在上的投影的数量； ②||＝4，〈，〉＝90°，求在上的投影的数量； ③||＝4，〈，〉＝135°，求在上的投影的数量． [解]　①4cos60°＝4×＝2. ②4cos90°＝4×0＝0. ③4cos135°＝4×＝－2. 【感悟提升】　对向量投影的理解 从定义上看，非零向量b在非零向量a上的投影是一个向量，投影的数量可正、可负、可为零． (1)当θ∈时，该数量为正实数． (2)当θ∈时，该数量为负实数． (3)当θ＝0时，该数量为|b|. (4)当θ＝π时，该数量为－|b|. (5)当θ＝时，该数量为0. 【跟踪训练】 3．(1)已知|a|＝8，e为单位向量，当它们的夹角为时，a在e上的投影的数量为(　　) A．4 B．4 C．4 D．8＋ 答案：B 解析：a在e上的投影的数量为|a|cos＝4.故选B. (2)(2024·河北张家口高一下期末)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，a·b＝1，则b在a上的投影为(　　) A．a B．a C．b D．b 答案：A 解析：根据投影的定义可得，b在a上的投影为·＝×＝a.故选A. (3)(2024·广东珠海高一下期末)已知a·b＝16，e是与b方向相同的单位向量，若a在b上的投影为8e，则＝________． 答案：2 解析：因为a在b上的投影为|a|cos〈a，b〉e＝|a|e＝e＝8e，所以|b|＝2. 题型四　向量数量积的几何意义及应用 例4　(1)已知|b|＝3，a在b上的投影的数量是，则a·b为(　　) A．3 B． C．2 D． [解析]　设a与b的夹角为θ，a·b＝|a||b|·cosθ＝|b||a|cosθ＝3×＝. [答案]　B (2)如图，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝2DC＝4.E为腰BC上的动点．求·的取值范围． [解]　如图，过E作EE′⊥AB，垂足为E′，过C作CC′⊥AB，垂足为C′. 则在上的投影为， ∴在上的投影的数量为||， 由向量数量积的几何意义知 ·＝||||＝4||. ∵E在腰BC上运动， ∴点E′在线段C′B上运动， ∴||≤||≤||， ∴2≤||≤4， ∴8≤4||≤16， ∴·的取值范围是[8，16]． 【感悟提升】　利用向量数量积的几何意义求两向量的数量积需明确两个关键点：相关向量的模和一个向量在另一向量上的投影的数量，代入向量数量积的公式即可． 利用向量数量积判断几何图形形状或解决最值、范围问题时，常结合图形直观分析得到结果． 【跟踪训练】 4．(1)若E，F，G，H分别为四边形ABCD所在边的中点，且(＋)·(＋)＝0，则四边形EFGH是(　　) A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 答案：C 解析：因为(＋)·(＋)＝0，所以·＝0，所以⊥.又因为E，F，G，H分别为四边形ABCD所在边的中点，所以四边形EFGH的两组对边分别与AC，BD平行，且EF⊥EH，所以四边形EFGH为矩形．故选C. (2)已知a·b＝16，若a在b上的投影的数量为4，则|b|＝________． 答案：4 解析：设a与b的夹角为θ，因为a·b＝16，所以|a||b|cosθ＝16.又a在b上的投影的数量为4，所以|a|cosθ＝4，所以|b|＝4. 1．已知|a|＝4，|b|＝2，当它们之间的夹角为时，a·b＝(　　) A．4 B．4 C．8 D．8 答案：B 解析：根据向量数量积的定义得a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝4×2×cos＝4.故选B. 2．(2024·山东潍坊高一期中联考)已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影的数量为(　　) A． B．3 C．4 D．5 答案：A 解析：设a与b的夹角为θ，则向量a在b上的投影的数量为|a|cosθ＝＝.故选A. 3．(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是(　　) A．e1在e2上的投影的数量为sinθ B．e＝e C．任给θ∈[0，π]，(e1＋e2)⊥(e1－e2) D．不存在θ，使e1·e2＝ 答案：BCD 解析：对于A，因为e1，e2为单位向量，所以e1在e2上的投影的数量为|e1|cosθ＝cosθ，A错误；对于B，e＝e＝1，B正确；对于C，如图，设＝e1，＝e2，则易知四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，即(e1＋e2)⊥(e1－e2)，C正确；对于D，e1·e2＝1×1×cosθ＝cosθ≤1，所以D正确．故选BCD. 4．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角θ的取值范围是________． 答案： 解析：由题意可得，Δ＝|a|2－4a·b≥0，∵|a|＝2|b|，∴cosθ≤，∴θ∈. 5．如图，在平行四边形ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°.求： (1)·；(2)·； (3)·. 解：(1)·＝2＝9. (2)·＝－||2＝－16. (3)·＝||||cos(180°－60°)＝4×3×＝－6. 课后课时精练 基础题(占比60%) 　中档题(占比30%) 　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 主考点 向量数量积的概念 向量数量积的几何意义 向量的投影数量，求向量的夹角 向量的投影 向量数量积的运算，数量积的符号与夹角大小的关系 根据图形中的关系求数量积 根据图形中的关系求向量的投影 关联点 向量的减法 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 主考点 根据图形中的关系求数量积，向量的投影，求向量的模 求向量的数量积 利用向量模的关系求向量的夹角 利用数量积求向量的模 根据图形中的关系求数量积及投影的数量 向量数量积的几何意义 利用数量积及图形中的关系求向量夹角的取值范围 关联点 向量加、减法的几何意义 三角形的面积公式 一、选择题 1．若|a|＝2，|b|＝，〈a，b〉＝60°，则a·b＝(　　) A． B． C．1 D．2 答案：A 解析：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2××＝. 2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·＝(　　) A．－16 B．－8 C．8 D．16 答案：D 解析：解法一：∵△ACB为直角三角形，∴在上的投影为，∴·＝2＝16.故选D. 解法二：∵·＝||||cosA，△ACB为直角三角形，∴·＝||||·＝||2＝16.故选D. 3．已知向量a在b上的投影的数量为－6，|a|＝12，则向量a与b的夹角〈a，b〉＝(　　) A．150° B．120° C．60° D．30° 答案：B 解析：依题意，|a|cos〈a，b〉＝－6，∴cos〈a，b〉＝＝－，又0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°. 4．(2024·广东肇庆高一下期末)已知向量a，b，且|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则向量a在b上的投影是(　　) A．－2 B．－2b C．－ D．－b 答案：D 解析：由题设，得cos〈a，b〉＝＝－，则向量a在b上的投影为|a|cos〈a，b〉·＝－b.故选D. 5．(多选)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，则下列结论中正确的是(　　) A．·(－)＝0 B．·<0⇒△ABC为钝角三角形 C．·＝csinB D．·(－)＝a2 答案：ACD 解析：因为－＝，且AH⊥BC，所以·(－)＝0，故A正确；在△ABC中，由·<0，只能得出角B为锐角，不能判断出△ABC的形状，故B不正确；是的单位向量，依据数量积的几何意义可知·为在上的投影的数量，为bsinC＝csinB，故C正确；因为－＝，所以·(－)＝||2＝a2，故D正确．故选ACD. 二、填空题 6．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝3，b＝1，C＝30°，则·＝________． 答案：－ 解析：·＝||||cos(180°－30°)＝abcos150°＝－. 7．(2024·宁夏石嘴山月考)在△ABC中，D是BC边上的一点，且满足BD＝2CD，AD⊥BC，则在上的投影是________(用表示)． 答案： 解析：如图，因为AD⊥BC，在上的投影是，又BD＝2CD，所以＝，所以在上的投影是. 8．(2024·河南开封高一下期末考试)已知A，B是圆C上的两点，弦AB的长度为2，则·＝________，若在上的投影为，则||＝________． 答案：2　 解析：过点C作CD⊥AB于点D，则在上的投影为，易知||＝||＝1，所以·＝||·||cos〈，〉＝||·||＝2×1＝2.又在上的投影为，所以·＝||2＝2，所以||＝. 三、解答题 9．(2024·广东肇庆鼎湖中学高一下期中)已知|a|＝1，b2＝4，a与b的夹角为θ.满足下列条件时，分别求a与b的数量积． (1)a⊥b； (2)a∥b； (3)a与b的夹角为150°. 解：因为b2＝4，所以|b|＝2. (1)当a⊥b时，a与b的夹角为90°，由已知及数量积公式，得a·b＝|a||b|cos90°＝0. (2)当a∥b时， 若a与b同向，则其夹角为0°， 此时a·b＝|a||b|cos0°＝2； 若a与b反向，则其夹角为180°， 此时a·b＝|a||b|·cos180°＝－2. (3)当a与b的夹角为150°时， a·b＝|a||b|cos150°＝－. 10．已知a，b是两个非零向量． (1)若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a与b的夹角； (2)若|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角． 解：(1)∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉， ∴|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝6. 又|a|＝3，|b|＝4， ∴|cos〈a，b〉|＝＝＝， ∴cos〈a，b〉＝±. ∵〈a，b〉∈[0，π]， ∴a与b的夹角为或. (2)如图所示，在平面内取一点O，作＝a，＝b，使||＝||，以，为邻边作平行四边形OACB，则四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时＝a＋b，＝a－b.由于|a|＝|b|＝|a－b|， 即||＝||＝||， ∴∠AOC＝，即a与a＋b的夹角为. 11．已知向量a，b满足|a|＝4，|a·b|≥10，则|a－2b|的最小值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：设a，b的夹角为θ，因为|a·b|＝4|b||cosθ|≥10，所以|b|≥≥，由向量形式的三角不等式，得|a－2b|≥||a|－|2b||＝|2|b|－4|≥＝1. 12．在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求： (1)·； (2)在上的投影的数量； (3)在上的投影的数量． 解：∵||＝5，||＝4，||＝3， ∴△ABC为直角三角形，且C＝90°. ∴cosA＝＝，cosB＝＝. (1)·＝||||cos(π－B)＝5×4×(－cosB)＝20×＝－16. (2)在上的投影的数量为||cos〈，〉＝3×cosA＝3×＝. (3)在上的投影的数量为||cos〈，〉＝5×cos(π－B)＝－5cosB＝－5×＝－4. 13．如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC边的中点，F为CD边上一点，且·＝5，求||. 解：∵正方形ABCD的边长为2，E为BC边的中点，∴AE＝. ∵·＝5， ∴在上的投影的数量为. 如图所示，连接EF，由两个向量数量积的几何意义可知EF⊥AE. 由E是BC边的中点，易知点F是靠近C点的四等分点， ∴||＝. 14．已知△ABC的面积S满足≤S≤3，且·＝6，与的夹角为θ，求θ的取值范围． 解：∵·＝||||cosθ＝6>0， ∴cosθ>0， ∴θ为锐角，即θ∈. 如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，则|CD|＝|BC|sinθ. 由题意，知·＝||||cosθ＝6，　① S＝|AB|·|CD|＝||||sinθ. ② 由②÷①得＝tanθ，即3tanθ＝S. ∵≤S≤3， ∴≤3tanθ≤3，即≤tanθ≤1. 又θ∈，∴θ∈. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$