第8章 向量的数量积与三角恒等变换 章末总结-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．向量的数量积运算 (1)求模：|a|＝. (2)求角度：cos〈a，b〉＝. (3)坐标运算 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0； a·b＝x1x2＋y1y2； a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 2．三角恒等变换常用的方法 (1)变角(角的变换)． (2)变名(函数名称的变换)． (3)变幂(升幂与降幂的变换)． (4)变数(常数的变换)． 3．三角函数化归的常用方法 (1)化异为同．(2)弦切互化．(3)单角化倍角． (4)单角化复角．(5)倍角化复角．(6)复角化复角． 4．角的常用变换技巧 (1)α＝(α＋β)－β. (2)α＝β－(β－α)． (3)α＝(2α－β)－(α－β)． (4)α＝[(α＋β)＋(α－β)]． (5)α＝[(α＋β)－(β－α)]． (6)＝－. 一、向量的数量积运算 数量积的运算是本章的重点，由于数量积的运算及其性质涵盖向量的长度、夹角以及不等式等，因此它的应用也最为广泛．利用数量积可以求长度，也可以判断直线与直线之间的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向量的坐标运算将代数中的有关函数、不等式等知识融合在一起． 典例1　(2024·广东新丰第一中学高一下期中)已知向量a＝(1，)，|b|＝3，向量a与b的夹角为. (1)求(a－b)·(2a＋b)的值； (2)求|a－3b|. [解]　(1)由a＝(1，)，|b|＝3，向量a与b的夹角为，得|a|＝＝，a·b＝|a||b|·cos＝， 所以(a－b)·(2a＋b)＝2a2－a·b－b2＝6－－9＝－﹒ (2)由(1)，得|a－3b|2＝a2－6a·b＋9b2＝3－27＋81＝57， 所以|a－3b|＝﹒ 典例2　已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角． [解]　由已知条件，得 即 由②－①，得23b2－46a·b＝0， ∴2a·b＝b2，代入①，得a2＝b2， ∴|a|＝|b|， 设a与b的夹角为θ， ∴cosθ＝＝＝， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 典例3　如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，求·. [解]　由＝3，得＝＝， ＝＋＝＋， ＝－＝＋－＝－. 因为·＝2， 所以·＝2， 即2－·－2＝2. 又因为2＝25，2＝64， 所以·＝22. 二、向量数量积的应用 向量数量积的应用是多方位的，但由于我们所学的知识范围较窄，因此我们目前的应用主要限于平面几何以及探讨函数、三角函数的性质等方面． 典例4　已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 [解析]　因为(m＋n)⊥(m－n)，所以(m＋n)·(m－n)＝m2－n2＝(λ＋1)2＋1－(λ＋2)2－4＝0，解得λ＝－3.故选B. [答案]　B 典例5　已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)． (1)用k表示数量积a·b； (2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小． [解]　(1)由|ka＋b|＝|a－kb|，得 (ka＋b)2＝3(a－kb)2， ∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2， ∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0. ∵|a|＝＝1， |b|＝＝1， ∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0， ∴a·b＝＝. (2)由(1)知a·b＝＝. 由函数的单调性可知， f(k)＝在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增， ∴当k＝1时，f(k)min＝f(1)＝×(1＋1)＝， 此时a与b的夹角θ的余弦值cosθ＝＝， 又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°. 典例6　如图，设△ABC的外心为O，以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第4个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，它的第4个顶点为H. (1)若＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示； (2)求证：AH⊥BC； (3)若△ABC中，∠CAB＝60°，∠ABC＝45°，外接圆的半径为R，用R表示||. [解]　(1)＝＋＝a＋b， ＝＋＝a＋b＋c. (2)证明：＝－＝(a＋b＋c)－a＝b＋c， ＝－＝c－b， ·＝(c＋b)·(c－b)＝c2－b2＝|c|2－|b|2. 因为O为△ABC的外心， 所以||＝||＝||， 即|a|＝|b|＝|c|. 故·＝0，即AH⊥BC. (3)在△ABC中，∠CAB＝60°，∠ABC＝45°，O为△ABC的外心，则∠BOC＝2∠CAB＝120°，∠AOC＝2∠ABC＝90°，∠AOB＝150°，有||2＝2＝(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2|a||b|cos150°＋2|b||c|cos120°＋2|a||c|·cos90°＝R2＋R2＋R2－R2－R2＝(2－)R2， 故||＝ R＝R. 三、三角函数的化简与证明 三角函数式的化简，需要注意：(1)三角函数的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；(2)三角函数的分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式，最终变为整式或数值；(3)对二次根式，则需要运用半角公式． 典例7　(1)化简：. [解]　原式＝＝· ＝·＝. (2)已知0<α<π，求证： ＝－2cos. [证明]　∵tan＝， ∴(1＋cosα)tan＝sinα. 又cos＝－sinα， 且1－cosα＝2sin2， ∴左边＝＝ ＝－. ∵0<α<π，∴0<<，∴sin>0. ∴左边＝－2cos＝右边， ∴原等式成立． 四、三角函数的求值 三角函数的求值，主要有三种类型： (1)“给角求值”．一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察这类问题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要诱导公式．解题时，要利用观察得到的关系，结合有关公式转化为特殊角并且消去非特殊角的三角函数而得到结果． (2)“给值求值”．即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆角、配角．当然在这个过程中要注意角范围的变化． (3)“给值求角”．本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的值是特殊角的值，在求角之前还需要结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围． 典例8　(1)求tan10°＋4sin10°的值． [解]　原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝＝1. (2)已知cos＝，<x<， 求的值． [解]　＝ ＝sin2xtan＝－costan ＝－costan ＝－tan. 由<x<，得<x＋<2π. 所以sin＝－ ＝－， 所以tan＝－， 所以＝－×＝－. (3)若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，求α＋β. [解]　因为α∈，所以2α∈. 又sin2α＝，故2α∈， 所以α∈，cos2α＝－. 又β∈，所以β－α∈，且α＋β∈，于是cos(β－α)＝－， 所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－×－×＝，故α＋β＝. 五、三角恒等变换与三角函数的综合 借助于三角恒等变换化简给定的三角函数式，将三角函数式化为形如y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B或y＝Atan(ωx＋φ)＋B的形式，然后研究三角函数的性质，这是高考命题的热点题型． 典例9　已知向量a＝(1－tanx，1)，b＝(1＋sin2x＋cos2x，－3)，记f(x)＝a·b. (1)求f(x)的定义域、值域及最小正周期； (2)若f－f＝，其中α∈，求α. [解]　(1)∵f(x)＝(1－tanx)(1＋sin2x＋cos2x)－3＝(2cos2x＋2sinxcosx)－3＝2(cos2x－sin2x)－3＝2cos2x－3， ∴f(x)的定义域为，值域为(－5，－1]，最小正周期为π. (2)f－f＝2cosα－2cos ＝2(cosα＋sinα)＝2sin＝， ∴sin＝， ∵α∈，∴α＋∈， ∴α＋＝或α＋＝， ∴α＝或α＝. 典例10　(2024·安徽阜阳高一下期末)已知a＝(sinx，2cos2x)，b＝(2cosx，1)，函数f(x)＝a·b. (1)求f(x)图象的对称中心及其在x∈上的单调递增区间； (2)若函数g(x)＝f，计算g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(2027)的值． [解]　(1)由已知，得 f(x)＝a·b＝2sinxcosx＋2cos2x ＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin＋1， 令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z， 所以f(x)图象的对称中心为点，k∈Z， 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以f(x)在上的单调递增区间为. (2)g(x)＝f＝2sin＋1， 该函数的周期为T＝＝4， 所以g(1)＝＋1，g(2)＝0，g(3)＝－＋1，g(4)＝2，g(5)＝＋1， 因为函数周期为4，且g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＝4， 所以g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＝g(5)＋g(6)＋g(7)＋g(8)＝…＝g(2021)＋g(2022)＋g(2023)＋g(2024)， 而g(2025)＋g(2026)＋g(2027)＝g(506×4＋1)＋g(506×4＋2)＋g(506×4＋3)＝g(1)＋g(2)＋g(3)＝2， 所以g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(2027)＝4×506＋2＝2026. 六、数学学科思想 1．数形结合思想 向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导过程都渗透了数形结合思想． 典例11　如图，已知正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F，若P为劣弧EF上的动点，则·的最小值为________． [解析]　注意到在本题中向量与向量的差为定向量，于是4·＝(＋)2－(－)2＝(＋)2－4.如图，取CD的中点M，连接MP，则有·＝2－1，问题转化为求2－1的最小值，显然当A，P，M三点共线时，2－1取得最小值(－1)2－1＝5－2. [答案]　5－2 2．转化与化归思想 在研究、解决数学问题思维受阻时，可用转化与化归思想方法把陌生的、复杂的问题转化为熟悉的、简单的问题，进而使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略． 典例12　已知a＋b＝1，求证：a2＋b2＝1. [证明]　由已知可得1－b2≥0，1－a2≥0， ∴|b|≤1，|a|≤1. 设a＝cosα，b＝cosβ，且0≤α≤π，0≤β≤π， 则由已知得cosα＋cosβ＝1， 即cosα|sinβ|＋cosβ|sinα|＝1. ∴cosαsinβ＋cosβsinα＝1，即sin(α＋β)＝1. 又0≤α＋β≤2π，∴α＋β＝，即β＝－α. ∴a2＋b2＝cos2α＋cos2β＝cos2α＋cos2＝cos2α＋sin2α＝1，即a2＋b2＝1. 3．分类讨论思想 变量的取值不能唯一确定，或者变量的取值不同会对问题产生影响，就需要对变量的取值情况进行分类讨论，在三角函数中也会遇到此类问题，注意讨论时不要漏了情况． 典例13　(2024·广东广州华南师范大学附属中学高一下期末)已知向量a＝(cos5x，sin5x)，b＝，令u(x)＝a·b. (1)求函数u(x)图象的对称轴方程； (2)设v(x)＝4cos，当x∈时，求函数f(x)＝4u(x)－2λv(x)＋6λ＋5(λ∈R)的最小值g(λ)． [解]　(1)因为向量a＝(cos5x，sin5x)， b＝， 所以u(x)＝a·b＝2cos5xcos＋2sin5xsin＝2cos， 由4x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z， 所以函数u(x)图象的对称轴方程为x＝－，k∈Z. (2)由(1)，得u(x)＝2cos＝ 2cos＝4cos2－2， 因为v(x)＝4cos， 所以f(x)＝4u(x)－2λv(x)＋6λ＋5 ＝16cos2－8－8λcos＋6λ＋5＝16cos2－8λcos＋6λ－3(λ∈R)， 令cos＝t，则f(x)＝h(t)＝16t2－8λt＋6λ－3， h(t)图象的对称轴为直线t＝λ， 因为x∈，2x＋∈， 所以t∈， 当λ<，即λ<2时，可得h(t)在上单调递增， 所以h(t)min＝h＝16×－8λ×＋6λ－3＝2λ＋1； 当≤λ≤1，即2≤λ≤4时， h(t)min＝h＝16×λ2－8λ×λ＋6λ－3＝－λ2＋6λ－3； 当λ>1，即λ>4时，h(t)在上单调递减， 所以h(t)min＝h(1)＝16－8λ＋6λ－3＝－2λ＋13， 所以g(λ)＝ 12 学科网（北京）股份有限公司 $$