8.1.2 向量数量积的运算律-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

8.1.2　向量数量积的运算律 (教师独具内容) 课程标准：理解掌握数量积的性质和运算律． 教学重点：向量数量积的性质与运算律及其应用． 教学难点：向量数量积的运算律的证明． 核心素养：通过学习向量数量积的运算律培养数学抽象素养和数学运算素养． 知识点　向量数量积的运算律 已知向量a，b，c与实数λ，则 交换律 a·b＝b·a 结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c [注意]　(1)向量数量积不满足消去律：设a，b，c均为非零向量且a·c＝b·c，不能得到a＝b.事实上，如图所示，＝a，＝b，＝c，AB⊥OC于点D，可以看出，a，b在向量c上的投影的数量分别为|a|cos∠AOD，|b|cos∠BOD，此时|b|cos∠BOD＝|a|cos∠AOD＝OD，即a·c＝b·c，但很显然b≠a. (2)向量的数量积不满足乘法结合律：一般地，(a·b)c≠a(b·c)，这是由于a·b，b·c都是 实数，(a·b)c表示与c方向相同或相反的向量，a(b·c)表示与a方向相同或相反的向量，而a与c不一定共线． 1．(向量数量积的运算律)已知|a|＝2，b在a上的投影的数量为－2，则a·(a－b)＝________． 答案：8 2．(向量数量积的运算律)已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝________． 答案：－7 3．(向量数量积的运算律)(教材P84练习A T3改编)已知|a|＝6，|b|＝8，〈a，b〉＝120°，则|a2－b2|＝________，|a－b|＝________，|a2＋b2|＝________． 答案：28　2　100 题型一　求向量的数量积 例1　(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则b·a＝________，(－2a)·b＝________，(2a－b)·(a＋3b)＝________． [解析]　b·a＝a·b＝|a||b|cos120°＝2×3×＝－3.(－2a)·b＝－2(a·b)＝－2×(－3)＝6.(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos120°－3|b|2＝8－15－27＝－34. [答案]　－3　6　－34 (2)在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________． [解析]　由已知，得＝(＋)，＝，＝＋＝－，所以·＝(＋)·＝×＝×＝－. [答案]　－ 【感悟提升】　求向量的数量积的两个关键点 求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简． 【跟踪训练】 1．(1)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 答案：B 解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3.故选B. (2)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝(　　) A． B．3 C．2 D．5 答案：B 解析：由题意可知，||＝||＝2，·＝0，则＝＋＝＋，＝＋＝－＋，所以·＝·＝－2＋2＝－1＋4＝3.故选B. 题型二　求向量的夹角 例2　已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角． [解]　设a，b的夹角为θ， ∵单位向量e1，e2的夹角为60°， ∴e1·e2＝|e1||e2|cos60°＝， ∴a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1) ＝e1·e2＋e－2e－2e1·e2 ＝e－2e－e1·e2＝1－2－＝－， |a|＝ ＝ ＝ ＝＝. |b|＝ ＝ ＝ ＝ ＝， ∴cosθ＝＝＝－. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝120°. 【感悟提升】　求向量a，b的夹角θ的思路 (1)解题流程 →→→ (2)解题思想：由于|a|，|b|及a·b都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及a·b的相应等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量． 【跟踪训练】 2．已知|a|＝3，|b|＝5，|a＋b|＝7，求a·b及a与b的夹角． 解：∵|a＋b|＝7，∴(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝34＋2a·b＝49， ∴a·b＝. 设a与b的夹角为θ， 则cosθ＝＝＝. 又θ∈[0，π]，故a与b的夹角θ＝. 题型三　求向量的模 例3　(1)设向量a，b满足a·b＝1，|a＋b|＝，则|a－b|＝________． [解析]　|a－b|＝＝ ＝ ＝＝. [答案]　 (2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________． [解析]　解法一：因为|a＋b|＝|2a－b|，即(a＋b)2＝(2a－b)2，则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0，又因为|a－b|＝，即(a－b)2＝3，则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝. 解法二：设c＝a－b，则|c|＝，a＋b＝c＋2b，2a－b＝2c＋b，由题意可得，(c＋2b)2＝(2c＋b)2，则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，整理得c2＝b2，即|b|＝|c|＝. [答案]　 【感悟提升】　 1．极化恒等式求模长 (1)常用结论 ①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； ②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2； ③(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)由上式①②，可得a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]． 我们把该恒等式称为“极化恒等式”． 2．应用向量数量积的运算律求向量的模的方法 (1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)一些常见的等式应熟记，如以上结论等． 提醒：向量的模是非负实数；一个向量自身的数量积等于它的模的平方． 【跟踪训练】 3．(1)已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，则|a－b|＝________，|a＋b|＝________． 答案：5　5 解析：解法一：|a＋b|＝ ＝ ＝ ＝ ＝5. |a－b|＝＝ ＝ ＝ ＝5. 解法二：以a，b为邻边作▱ABCD，设AC，BD交于点E，如图所示． ∵|a|＝|b|且∠DAB＝， ∴△ABD为正三角形， ∴|a－b|＝||＝5， |a＋b|＝||＝2||＝2 ＝2 ＝5. (2)已知1是关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，〈a，b〉＝120°. 求：①|b|；②|2b＋a|. 解：①∵a2＝4，∴|a|2＝4， 即|a|＝2. 把x＝1代入方程x2＋|a|x＋a·b＝0，得 1＋|a|＋a·b＝0， ∴a·b＝－3， 则a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2|b|cos120°＝－3， ∴|b|＝3. ②(2b＋a)2＝4b2＋a2＋4a·b＝4×9＋4＋4×(－3)＝28，∴|2b＋a|＝2. 题型四　用向量数量积解决垂直问题 例4　(1)已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b，求m为何值时，c与d垂直． [解]　由已知得a·b＝2×1×cos60°＝1. 若c⊥d，则c·d＝0. ∴c·d＝(a＋5b)·(ma－2b)＝ma2＋(5m－2)a·b－10b2＝4m＋5m－2－10＝9m－12＝0， ∴m＝. 故当m＝时，c与d垂直． (2)已知O为△ABC的外心，E为三角形内一点，满足＝＋＋，求证：AE⊥BC. [证明]　∵＝－＝＋，＝－， ∴·＝(＋)·(－)＝2－2， 又O为△ABC的外心， ∴||＝||＝||，∴2－2＝0， ∴·＝0， ∴⊥，即AE⊥BC. 【感悟提升】　 (1)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值时，关键是由两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，然后求解参数即可． (2)利用向量的数量积运算解决与长度、垂直、平行等有关的几何问题时，其解题的关键在于 把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中所涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题，通过向量的数量积求解． 【跟踪训练】 4．(1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A． B． C． D．1 答案：B 解析：因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，即b2＝2a·b，又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝.故选B. (2)如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明：设＝a，＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0， 又＝＋＝－a＋， ＝＋＝b＋， 所以·＝·＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 1．若向量a的方向是正北方向，向量b的方向是南偏西60°方向，且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：B 解析：由题意知a与b的夹角为120°，∴a·b＝－，∴(－3a)·(a＋b)＝－3a2－3a·b＝－. 2．(多选)(2024·广东实验中学高一下期中)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1且|b－2a|＝，则下列结论正确的是(　　) A．|a－b|＝ B．|a＋b|＝2 C．〈a，b〉＝60° D．a⊥b 答案：AD 解析：因为|b－2a|＝，所以b2－4a·b＋4a2＝5.因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，所以〈a，b〉＝90°，故C错误，D正确；因为|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝2，所以|a－b|＝，故A正确；因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝2，所以|a＋b|＝，故B错误．故选AD. 3．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．以上均不正确 答案：C 解析：由(－)·(＋－2)＝0，得·(＋)＝0，又＝－，∴(－)·(＋)＝0，即||2－||2＝0，∴||＝||，∴△ABC为等腰三角形．故选C. 4．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________． 答案：－8或5 解析：由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，则49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b.由a，b，c为单位向量，得a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5. 5．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61， (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|和|a－b|. 解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61， 所以4a2－4a·b－3b2＝61， 所以4×42－4×4×3cosθ－3×32＝61， 解得cosθ＝－， 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝120°. (2)因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×4×3cos120°＋9＝13， 所以|a＋b|＝，同理可求得|a－b|＝. 课后课时精练 基础题(占比60%) 　中档题(占比30%) 　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 主考点 运用向量数量积的运算律进行计算，求向量的夹角 求向量的模 数量积运算律的应用 运用向量数量积的运算律进行计算，充分、必要条件的判定 运用向量数量积的运算律进行计算 运用向量数量积的运算律进行计算 根据向量模的关系求向量的夹角 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★★ 主考点 向量数量积的计算，求参数的值 求向量的模，利用向量垂直求参数的值 根据图形中的关系求数量积 求向量的数量积 利用向量的模求参数的取值范围 运用向量数量积的运算律进行计算，进而判断图形的形状 根据图形中的关系求向量的模、夹角及参数的取值范围 一、选择题 1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，(a－b)·b＝0，那么向量a与b的夹角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案：C 解析：由题意可得a·b－b2＝0，设a与b的夹角为θ，则2cosθ＝1，cosθ＝，又0°≤θ≤180°，∴θ为60°. 2．已知平面向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝(　　) A．1 B． C．4＋ D．2 答案：B 解析：根据题意，得|a＋2b|＝＝. 3．若·＋2＝0，则△ABC为(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 答案：A 解析：∵0＝·＋2＝·(＋)＝·，∴⊥，∴∠BAC＝90°.故选A. 4．(2024·北京高考)设a，b是向量，则“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝b或a＝－b”的(　　) A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，可得a2＝b2，即|a|＝|b|，可知(a＋b)·(a－b)＝0等价于|a|＝|b|，若a＝b或a＝－b，可得|a|＝|b|，即(a＋b)·(a－b)＝0，可知必要性成立；若(a＋b)·(a－b)＝0，即|a|＝|b|，无法得出a＝b或a＝－b，例如a＝(1，0)，b＝(0，1)，满足|a|＝|b|，但a≠b且a≠－b，可知充分性不成立．综上所述，“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝b或a＝－b”的必要而不充分条件．故选A. 5．(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论正确的是(　　) A．a·c－b·c＝(a－b)·c B．(b·c)a－(c·a)b不与c垂直 C．|a|－|b|＜|a－b| D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 答案：ACD 解析：因为a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，则由向量数量积的运算律，知A，D正确；由向量减法的三角形法则，知C正确；因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，所以(b·c)a－(c·a)b与c垂直，B错误．故选ACD. 二、填空题 6．若a⊥b，c与a及c与b的夹角均为60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a＋2b－c)2＝________． 答案：11 解析：原式展开，得|a|2＋4|b|2＋|c|2＋4|a|·|b|cos90°－2|a||c|cos60°－4|b||c|cos60°＝11. 7．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b的夹角的余弦值为________． 答案：－ 解析：由|a|＝3|b|，得＝.由|a|＝|a＋2b|，两边平方得|a|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，整理得a·b＝－|b|2.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－＝－. 8．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________． 答案： 解析：因为向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2，所以·＝||||·cos120°＝3×2×＝－3.由⊥，得·＝0，即(λ＋ )·(－)＝0，所以2－λ2＋(λ－1)·＝0，即4－9λ－3(λ－1)＝0，解得λ＝. 三、解答题 9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)? 解：由已知，得a·b＝4×8×＝－16. (1)∵(4a－2b)2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝3×162，∴|4a－2b|＝16. (2)若(a＋2b)⊥(ka－b)，则(a＋2b)·(ka－b)＝0， ∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7. 10．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一个动点(不包含端点)，且满足＝λ. (1)若λ＝，用向量，表示； (2)若||＝4，||＝3，且∠AOB＝60°，求·的取值范围． 解：(1)∵＝， ∴－＝(－)． ∴＝＋，即＝＋. (2)·＝||||cos60°＝6. ∵＝λ， ∴－＝λ(－)，(1＋λ)＝＋λ， ∴＝＋. ∵＝－， ∴·＝·(－) ＝－2＋2＋··＝＝＝3－. ∵λ＞0，∴3－∈(－10，3)． ∴·的取值范围是(－10，3)． 11．(2024·河北衡水中学高一期末)设O为△ABC的外心，OD⊥BC于点D，且||＝，||＝1，则·(－)的值是(　　) A．1 B．2 C． D． 答案：A 解析：∵O为△ABC的外心，∴O为三边垂直平分线的交点，∵OD⊥BC，∴D为BC的中点，∴＝(＋)，·(－)＝(＋)·(－)＝(2－2)＝(||2－||2)＝×(3－1)＝1.故选A. 12．已知向量与的夹角为θ，||＝2，||＝1，＝t，＝(1－t)，t∈R，||在t＝t0时取得最小值，当0<t0<时，夹角θ的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：因为向量与的夹角为θ，||＝2，||＝1，所以·＝2cosθ，由＝－＝(1－t)－t，得||2＝2＝(1－t)22－2t(1－t)·＋t22＝(5＋4cosθ)t2－(2＋4cosθ)t＋1，所以t0＝，由0<<，解得－<cosθ<0，因为0≤θ≤π，所以<θ<.故选C. 13．平面四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD的形状． 解：∵＋＋＋＝0， 即a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)， 由上式可得(a＋b)2＝(c＋d)2， 即a2＋2a·b＋b2＝c2＋2c·d＋d2. 又a·b＝c·d，故a2＋b2＝c2＋d2.① 同理可得a2＋d2＝b2＋c2② 由①②，得a2＝c2，且b2＝d2， 即|a|＝|c|，且|b|＝|d|， 也即AB＝CD，且BC＝DA. ∴四边形ABCD为平行四边形． 故＝－，即a＝－c， ∴a·b＝b·c＝－a·b，即a·b＝0， ∴a⊥b，即⊥. 综上可知，四边形ABCD为矩形． 14．(2024·安徽蚌埠高一下期末)如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4.点D在BC边上，且＝t. (1)若t＝，A＝，求||； (2)若t＝，AD恰为BC边上的高，求角A； (3)若AD＝3，求t的取值范围． 解：(1)由题意，因为t＝， 所以＝，即D为BC边的中点， 所以＝(＋)， 因为A＝，AC＝2，AB＝4， 所以||＝ ＝ ＝. (2)由题意，因为t＝， 所以＝＝(－)， 因为AD恰为BC边上的高，所以⊥， 因为＝＋＝＋(－)＝＋， ＝－， 且AC＝2，AB＝4， 所以·＝·(－) ＝2－·＋·－2 ＝×22－×2×4×cosA－×42＝0， 所以cosA＝0，则A＝. (3)由题意，＝t， 则＝＋＝＋t＝＋t(－)＝t＋(1－t)， 因为AD＝3，且AC＝2，AB＝4， 所以2＝t22＋(1－t)22＋2t·(1－t)， 则9＝16t2＋4(1－2t＋t2)＋(16t－16t2)cosA， 所以cosA＝， 因为－1<cosA<1， 所以－1<<1， 因为0<t<1，所以16t2－16t<0， 解得<t<， 所以t的取值范围为. 15 学科网（北京）股份有限公司 $$