7.4 数学建模活动：周期现象的描述-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

发现问题　提出问题 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 水深/米 时刻 水深/米 时刻 水深/米 0：00 5.0 9：00 2.5 18：00 5.0 3：00 7.5 12：00 5.0 21：00 2.5 6：00 5.0 15：00 7.5 24：00 5.0 (1)选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001)； (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与海底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ (3)若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 分析问题　建立模型 观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性．根据表中的数据作出图象(这个图象称为散点图)，如图1.从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如y＝Asin(ωx＋φ)＋h的函数来刻画，其中x是时间，y是水深．根据数据可以具体确定A，ω，φ，h的值． 确定参数　计算求解 (1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图(图1)． 根据图象，可以考虑用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出： A＝2.5，h＝5，T＝12，φ＝0； 由T＝＝12，得ω＝. 所以这个港口的水深与时间的关系可用y＝2.5sinx＋5近似描述． 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值： 时刻 0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 6：00 7：00 水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.750 时刻 8：00 9：00 10：00 11：00 12：00 13：00 14：00 15：00 水深 2.835 2.500 2.835 3.750 5.000 6.250 7.165 7.500 时刻 16：00 17：00 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00 水深 7.165 6.250 5.000 3.750 2.835 2.500 2.835 3.750 模型评价　模型应用 (2)货船需要的安全水深为4＋1.5＝5.5(米)，所以当y≥5.5时就可以进港． 令2.5sinx＋5＝5.5， sinx＝0.2. 由计算器可得 2 0.20.20135792≈0.2014. 如图2，在区间[0，12]内，函数y＝2.5sinx＋5的图象与直线y＝5.5有两个交点A，B，因此x≈0.2014或π－x≈0.2014. 解得xA≈0.3846，xB≈5.6154. 由函数的周期性易得 xC≈12＋0.3846＝12.3846， xD≈12＋5.6154＝17.6154. 因此，货船可以在0时30分左右进港，5时30分左右出港；或在12时30分左右进港，17时30分左右出港．每次可以在港口停留5小时左右． (3)设在时刻x货船的安全水深为y，那么y＝5.5－0.3(x－2)(x≥2)．在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在6～7时之间两个函数图象有一个交点(图3)． 通过计算也可以得到这个结果．在6时的水深约为5米，此时货船的安全水深约为4.3米；6.5时的水深约为4.35米，此时货船的安全水深约为4.15米；7时的水深约为3.75米，而货船的安全水深约为4米．因此为了安全，货船最好在6.5时之前停止卸货，将船驶向较深的水域． 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用． 具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行函数拟合而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题． 实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用计算机或计算器． 3 学科网（北京）股份有限公司 $$