7.3.3 余弦函数的性质与图象-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

7.3.3　余弦函数的性质与图象 (教师独具内容) 课程标准：1.能画出余弦函数的图象，了解余弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.2.借助图象理解余弦函数在[0，2π]上的性质． 教学重点：掌握余弦函数的性质． 教学难点：余弦函数性质的综合运用． 核心素养：借助诱导公式，类比正弦函数的性质，研究余弦函数的性质，从中体会转化、数形结合、类比的思想方法，培养逻辑推理素养． 知识点一　余弦函数的概念 对于任意一个角x，都有唯一确定的余弦cosx与之对应，所以y＝cosx是一个函数，一般称为余弦函数． 知识点二　余弦函数的图象 余弦函数y＝cosx的图象称为余弦曲线，其图象如下图所示： 知识点三　余弦函数的性质 函数 y＝cosx 定义域 R 值域 [－1，1] 奇偶性 偶函数 周期性 以2kπ(k∈Z，k≠0)为周期，2π为最小正周期 单调性 在区间[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增； 在区间[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减 最大值与最小值 当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1； 当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，最小值为－1 零点 ＋kπ(k∈Z) 知识点四　余弦型函数的性质 余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质可类比余弦函数y＝cosx得到． 函数 y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0) 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 是周期函数，最小正周期T＝ 奇偶性 当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数为奇函数； 当φ＝kπ(k∈Z)时，函数为偶函数； 当φ≠(k∈Z)时，函数为非奇非偶函数 单调性 单调递增区间由－π＋2kπ≤ωx＋φ≤2kπ(k∈Z)求得； 单调递减区间由2kπ≤ωx＋φ≤π＋2kπ(k∈Z)求得 对称性 图象的对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得，纵坐标为0； 图象的对称轴方程由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得 1．(单调性)下列区间中，使函数y＝cosx为增函数的是(　　) A．[0，π] B． C． D．[π，2π] 答案：D 2．(周期性)下列函数中，周期为的是(　　) A．y＝sin B．y＝sin2x C．y＝cos D．y＝cos4x 答案：D 3．(对称性)函数y＝cosx图象的一条对称轴方程是(　　) A．x＝0 B．x＝ C．x＝ D．x＝ 答案：A 4．(最值)余弦函数y＝cosx取最大值时，x的取值的集合为________． 答案：{x|x＝2kπ，k∈Z} 题型一　与余弦函数有关的图象问题 例1　(1)(多选)为了得到函数y＝cos的图象，只要把函数y＝cosx图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位，再将横坐标变为原来的2倍 B．向左平移个单位，再将横坐标变为原来的 C．横坐标变为原来的，再向左平移个单位 D．横坐标变为原来的，再向左平移个单位 [解析]　要得到函数y＝cos的图象，可将y＝cosx图象上所有的点向左平移个单位，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到．也可将y＝cosx图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有的点向左平移个单位而得到．故选BC. [答案]　BC (2)用“五点法”画出函数y＝2cos2x的简图． [解]　因为y＝2cos2x的周期T＝＝π， 所以先在区间[0，π]上找五个关键点，列表： x 0 π 2x 0 π 2π y＝cos2x 1 0 －1 0 1 y＝2cos2x 2 0 －2 0 2 　　描点，并用光滑的曲线将它们连接起来．如图(1)． 　 然后把y＝2cos2x在[0，π]上的图象向左、右平移，每次平移π个单位，则得y＝2cos2x在R上的图象．如图(2)． 【感悟提升】　函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的画法 (1)图象变换法 由y＝sinx→y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换过程，可以得到y＝cosx→y＝Acos(ωx＋φ)的图象变换也有先平移后伸缩和先伸缩后平移两种途径． (2)五点法 列表如下： x － － － － － ωx＋φ 0 π 2π y＝Acos(ωx＋φ) A 0 －A 0 A 【跟踪训练】 1．(1)(多选)函数y＝cos图象上所有的点经过变换得到函数y＝sin2x的图象，这种变换可以是(　　) A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 答案：BD 解析：因为y＝cos＝cos＝sin＝sin＝sin，所以这种变换可以是向左平移个单位或向右平移个单位．故选BD. (2)用五点法画出函数y＝cos，x∈[0，π]的图象． 解：①列表： x 0 π 2x－ － 0 π y＝cos 1 0 －1 0 ②描点画图，如图． 题型二　与余弦函数有关的值域(最值)问题 例2　(1)求函数y＝cos，x∈的值域． [解]　∵0≤x≤， ∴≤x＋≤， ∴－≤cos≤. ∴函数y＝cos，x∈的值域为. (2)求函数y＝－2cosx＋3的值域． [解]　∵－1≤cosx≤1， ∴当cosx＝1时，y＝－2cosx＋3取得最小值，此时ymin＝1； 当cosx＝－1时，y＝－2cosx＋3取得最大值，此时ymax＝5. ∴函数y＝－2cosx＋3的值域为[1，5]． (3)求函数y＝的值域． [解]　解法一：∵y＝＝＝1－，当cosx＝－1时，ymin＝1＋＝， ∴函数y＝的值域为. 解法二：由y＝，得cosx＝. 又－1≤cosx<1， ∴∴∴y≥， 即函数y＝的值域为. (4)求函数y＝cos2x－4cosx＋1，x∈的值域． [解]　∵x∈，∴－≤cosx≤. ∵y＝cos2x－4cosx＋1＝(cosx－2)2－3， ∴当cosx＝－时，ymax＝， 当cosx＝时，ymin＝－. 故函数y＝cos2x－4cosx＋1，x∈的值域为. 【感悟提升】　与余弦函数相关的值域(最值)问题的解法 (1)对于y＝acosx＋b的形式，借助余弦函数的有界性|cosx|≤1求解． (2)对于y＝Acos(ωx＋φ)＋k(Aω≠0)的形式，采用整体代换法求解，令ωx＋φ＝t，借助y＝cost的图象及性质求解，注意x的取值范围对t的影响． (3)对于y＝的形式，采用分离常数法或反解出cosx，再利用余弦函数的有界性求解． (4)对于y＝acos2x＋bcosx＋c的形式，利用二次函数的有关知识求解，同时要注意余弦函数的有界性． 【跟踪训练】 2．(1)求函数y＝2cos，x∈的值域． 解：∵－<x<，∴0<2x＋<. ∴－<cos<1. 故函数y＝2cos，x∈的值域为(－1，2)． (2)求函数y＝sin2x＋cosx，x∈的值域． 解：设cosx＝t，∵x∈， ∴t∈， ∴y＝sin2x＋cosx＝1－cos2x＋cosx＝－＋，t∈， 故当t＝，即x＝±时，ymax＝， 当t＝1，即x＝0时，ymin＝1. ∴函数y＝sin2x＋cosx，x∈的值域为. (3)若y＝acosx＋b的最大值是3，最小值是－1，求a和b. 解：①当a>0时， 解得a＝2，b＝1； ②当a<0时， 解得a＝－2，b＝1. 综合①②，得a＝2，b＝1或a＝－2，b＝1. 题型三　与余弦函数有关的周期性、奇偶性及其图象的对称性问题 例3　(1)判断下列函数的奇偶性，并求它们的周期和其图象的对称轴、对称中心： ①y＝3cos2x，x∈R；②y＝cos. [解]　①∵x∈R且有3cos[2(－x)]＝3cos2x， ∴y＝3cos2x，x∈R为偶函数． y＝3cos2x的周期T＝＝π. 令2x＝kπ(k∈Z)，解得x＝(k∈Z)， ∴y＝3cos2x图象的对称轴为直线x＝(k∈Z)． 令2x＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)， ∴y＝3cos2x图象的对称中心为(k∈Z)． ②∵f(x)＝y＝cos＝sinx， ∴f(－x)＝sin＝－sinx＝－f(x)， ∴y＝cos为奇函数． y＝cos的周期T＝＝. 令x＋＝kπ(k∈Z)， 解得x＝－2π＋(k∈Z)， ∴y＝cos图象的对称轴为直线x＝－2π＋(k∈Z)． 令x＋＝＋kπ(k∈Z)， 解得x＝－＋(k∈Z)， ∴y＝cos图象的对称中心为(k∈Z)． (2)已知函数y＝2cos. ①在该函数图象的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程； ②把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象关于原点对称，求φ的最小正值． [解]　①令2x＋＝kπ，k∈Z， 解得x＝－，k∈Z. 令k＝0，得x＝－；令k＝1，得x＝. ∴函数y＝2cos图象的对称轴中，离y轴距离最近的对称轴的方程是x＝. ②设该函数的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的解析式为y＝f(x)， 则f(x)＝2cos＝2cos. ∵y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称， ∴f(0)＝2cos＝0. ∴－2φ＝kπ＋，k∈Z， 解得φ＝－(k∈Z)． 令k＝0，得φ＝. ∴φ的最小正值是. 【感悟提升】　 1．求函数的最小正周期的基本方法 (1)定义法：应用周期函数的定义来确定最小正周期． (2)公式法：对于余弦型函数可应用T＝求得． (3)图象法：画出函数图象，观察可得． 2．判断函数奇偶性的方法 按函数奇偶性的定义，定义域关于原点对称是正确判断奇偶性的前提．另外还要注意诱导公式在判断f(x)与f(－x)之间关系时的应用． 3．求函数图象的对称中心或对称轴的方法 若求函数y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)的图象的对称中心或对称轴，应将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代入思想，令ωx＋φ等于kπ＋或kπ(k∈Z)，解出的x的值即对称中心的横坐标(纵坐标为零)或对称轴与x轴的交点的横坐标． 【跟踪训练】 3．(1)(2023·天津高考)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f(x)的一个周期为4，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝sin B．f(x)＝cos C．f(x)＝sin D．f(x)＝cos 答案：B 解析：f(x)＝sin，最小正周期为＝4，因为f(2)＝sinπ＝0，所以函数f(x)＝sin的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；f(x)＝cos，最小正周期为＝4，因为f(2)＝cosπ＝－1，所以函数f(x)＝cos的图象关于直线x＝2对称，故B符合题意；函数f(x)＝sin和f(x)＝cos的最小正周期均为＝8，均不符合题意，故排除C，D.故选B. (2)若函数y＝cos(ω∈N＋)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 答案：B 解析：∵函数y＝cos(ω∈N＋)图象的一个对称中心是，∴cos＝0，∴ω×＋＝kπ＋，k∈Z，即ω＝6k＋2，k∈Z.再由ω为正整数可得ω的最小值为2.故选B. (3)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cosx＋2ax，当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝(　　) A．－1 B． C．1 D．2 答案：D 解析：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2＋a－1－cosx，x∈(－1，1)，原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，因为h(x)的定义域关于原点对称，且h(－x)＝a(－x)2＋a－1－cos(－x)＝ax2＋a－1－cosx＝h(x)，则h(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，即h(0)＝a－2＝0，解得a＝2.若a＝2，则h(x)＝2x2＋1－cosx，x∈(－1，1)，又因为2x2≥0，1－cosx≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，可得h(x)≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，即h(x)有且仅有一个零点0，所以a＝2符合题意．故选D. (4)已知函数f(x)＝2cos，φ∈(0，π)且f(x)的图象关于直线x＝对称，则φ＝________． 答案： 解析：令3x－＋φ＝kπ，k∈Z，将x＝代入，得－＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝－＋kπ，k∈Z.又φ∈(0，π)，∴φ＝. 题型四　余弦函数的单调性及应用 角度1　求函数的单调区间 例4　求下列函数的单调区间： (1)y＝1－cosx； (2)y＝3cos. [解]　(1)∵y＝cosx在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增，在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减， ∴y＝1－cosx的单调递减区间是[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)，单调递增区间是[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)． (2)y＝3cos＝3cos， ∵μ＝－为增函数． 又y＝cosμ在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上为增函数，在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上为减函数， ∴由－π＋2kπ≤－≤2kπ(k∈Z)， 得－＋8kπ≤x≤＋8kπ(k∈Z)， 由2kπ≤－≤π＋2kπ(k∈Z)， 得＋8kπ≤x≤＋8kπ(k∈Z)， ∴所求函数的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)． 【感悟提升】　 求函数单调区间，应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意定义域及复合函数单调性的规律． 求函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，可以利用诱导公式将ω变为正值，再把ωx＋φ视为一个整体．由A的符号来确定单调性，若A>0，则其单调性与余弦函数的单调性一致；若A<0，则其单调性与余弦函数的单调性相反． 【跟踪训练】 4．求下列函数的单调递增区间： (1)y＝cos； (2)y＝2cos. 解：(1)由于y＝cosx，x∈R的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)． 所以－π＋2kπ≤x＋≤2kπ(k∈Z)， 即－＋2kπ≤x≤－＋2kπ(k∈Z)． 故所求函数y＝cos的单调递增区间为(k∈Z)． (2)因为y＝2cos＝2cos， 所以即求函数y＝2cos的单调递增区间． 由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)， 得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)． 故函数y＝2cos的单调递增区间是(k∈Z)． 角度2　比较大小 例5　比较下列各组数的大小： (1)cos与cos； (2)cos与cos； (3)cos与－sin. [解]　(1)∵－<－<－<0，且y＝cosx在上单调递增， ∴cos<cos. (2)cos＝cos＝cos，cos＝cos＝cos， ∵0<<<π，且y＝cosx在(0，π)上单调递减， ∴cos>cos，即cos>cos. (3)cos＝cos＝cos＝－cos， －sin＝－cos＝－cos， ∵0<<<，且y＝cosx在上单调递减， ∴cos>cos，即－cos<－cos， ∴cos<－sin. 【感悟提升】　利用三角函数的单调性比较大小的一般步骤 (1)把异名三角函数化为同名三角函数； (2)利用诱导公式把同名三角函数转化到同一单调区间上； (3)利用三角函数的单调性比较大小． 【跟踪训练】 5．比较下列各组数的大小： (1)cos与cos； (2)cos与cos； (3)cos与cos. 解：(1)cos＝cos. ∵0<<<π，且y＝cosx在[0，π]上是减函数， ∴cos>cos， 即cos>cos. (2)cos＝cos＝cos， cos＝cos＝cos， 又π<<<2π，且y＝cosx在[π，2π]上为增函数， ∴cos<cos， 即cos<cos. (3)∵cos＝sin， 0<sin<sin<1， ∴0<cos<sin<1. 又y＝cosx在(0，1)上单调递减， ∴cos>cos. 角度3　求参数的取值范围 例6　(1)函数f(x)＝3cos(ω>0)在上是减函数，且在[0，2π]上恰好取得一次最小值－3，则ω的取值范围是________． [解析]　当0≤x≤2π时，≤2ωx＋≤4πω＋.因为f(x)在[0，2π]上恰好取得一次最小值－3，所以π≤4πω＋<3π，所以≤ω<.当－≤x≤时，－<－＋≤2ωx＋≤＋<.因为f(x)在上是减函数，根据余弦函数的单调性可知解得≤ω≤.故ω的取值范围是. [答案]　 (2)(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cosωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． [解析]　因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，令f(x)＝cosωx－1＝0，则cosωx＝1有3个根，令t＝ωx，则cost＝1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，结合余弦函数y＝cost的图象性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3. [答案]　[2，3) 【感悟提升】　对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系求解． 【跟踪训练】 6．(1)已知函数f(x)＝cos(ω>0)在[0，π]上的值域为，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：函数f(x)＝cos(ω>0)，当x∈[0，π]时，f(x)∈，∴当≤ωx＋≤ωπ＋时，－1≤cos≤，画出函数y＝cosx的图象如图所示，则π≤ωπ＋≤，解得≤ω≤，∴ω的取值范围是.故选B. (2)已知函数f(x)＝2cos(2x＋φ)(－π≤φ≤π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝2sin2x的图象重合．若函数f(x)在[－a，a]上单调递减，则实数a的最大值是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：分析知f(x)＝2sin＝2sin＝2sin＝2cos，又f(x)＝2cos(2x＋φ)(－π≤φ≤π)，所以φ＝.令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．因为f(x)在区间[－a，a]上单调递减，所以0∈(k∈Z)，即k＝0，则[－a，a]⊆，故实数a的最大值为. 1．函数y＝－cosx(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为(　　) A． B．(π，1) C．(0，1) D．(2π，1) 答案：B 解析：用五点作图法作出函数y＝－cosx(x>0)的图象，如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π，1)．故选B. 2．(多选)已知函数f(x)＝4cos，则(　　) A．f(x)图象的对称中心为，k∈Z B．f(x)的单调递减区间为，k∈Z C．为了得到函数y＝4cos2x的图象，可将f(x)图象上所有的点向左平移个单位 D．为了得到函数y＝4sin2x的图象，可将f(x)图象上所有的点向右平移个单位 答案：AC 解析：令2x－＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，所以f(x)图象的对称中心为，k∈Z，故A正确；令2kπ≤2x－≤π＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为，k∈Z，故B错误；将f(x)图象上所有的点向左平移个单位，得y＝4cos＝4cos2x的图象，故C正确；将f(x)图象上所有的点向右平移个单位，得y＝4cos＝4cos的图象，故D错误．故选AC. 3．函数f(x)＝cos2x＋1的图象关于________(选填“原点”或“y轴”)对称． 答案：y轴 解析：∵x∈R且有f(－x)＝cos(－2x)＋1＝cos2x＋1＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称． 4．函数y＝cosx＋4，x∈[0，2π]的图象与直线y＝4的交点坐标为________． 答案：， 解析：作出函数y＝cosx＋4，x∈[0，2π]的图象(图略)，容易发现它与直线y＝4的交点坐标为，. 5．已知函数f(x)＝cos，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值． 解：(1)因为f(x)＝cos， 所以该函数的最小正周期为T＝＝π. 解不等式－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)， 得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)． 因此函数f(x)的最小正周期为π，单调递增区间为(k∈Z)． (2)因为x∈， 所以－≤2x－≤. 当2x－＝0，即x＝时，函数f(x)取得最大值，即f(x)max＝； 当2x－＝，即x＝时，函数f(x)取得最小值，即f(x)min＝cos＝－1. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 主考点 与余弦函数有关的图象问题 与余弦函数有关的性质问题 与余弦函数有关的图象问题 由图象求解析式 与余弦函数有关的性质问题 余弦曲线的对称性的应用 与余弦函数有关的性质问题 关联点 左右平移变换 周期性、奇偶性 由式识图 图象变换、求值 周期性、单调性、对称性、零点 求参数的最值 周期性、最值 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 主考点 余弦函数的定义域、值域 余弦函数的单调性及应用 与余弦函数有关的性质问题 与余弦函数有关的性质问题 与余弦函数有关的图象和性质问题 正、余弦函数的综合应用 余弦函数图象和性质的应用 关联点 比较大小 最值、单调性 周期性 “五点法”作图、单调性、对称性、图象变换 单调性、最值、求参数的取值范围 对称性、值域、由方程有解求参数的取值范围 一、选择题 1．要得到函数y＝cos(2x－1)的图象，只要将函数y＝cos2x的图象(　　) A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 答案：D 解析：因为函数y＝cos(2x－1)＝cos，所以要得到函数y＝cos(2x－1)的图象，只要将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位即可．故选D. 2．函数f(x)＝cos4x，x∈R是(　　) A．最小正周期为π的偶函数 B．最小正周期为π的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数 答案：C 解析：周期T＝＝，f(－x)＝cos(－4x)＝cos4x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．故选C. 3．函数y＝cosx＋|cosx|，x∈[0，2π]的大致图象为(　　) 答案：D 解析：y＝cosx＋|cosx|＝故选D. 4．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f(x)图象上所有的点向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，则g的值为(　　) A．1 B． C．－1 D．－ 答案：C 解析：观察图象知，A＝2，函数f(x)的周期T＝2＝，则ω＝＝4，又f＝2，于是4×＋φ＝2kπ，k∈Z，而|φ|<，则k＝0，φ＝－，因此f(x)＝2cos，g(x)＝f＝2cos＝2cos，所以g＝2cos＝－2cos＝－1.故选C. 5．(多选)已知函数f(x)＝cos，则(　　) A．2π为f(x)的一个周期 B．f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x)在上单调递减 D．f(x＋π)的一个零点为 答案：AD 解析：对于A，∵f(x)＝cos，∴其周期为2π，A正确；对于B，∵f＝cos＝cos＝0，∴f(x)的图象关于点对称，B错误；对于C，若x∈，则x＋∈，f(x)单调递减，若x∈，则x＋∈，f(x)单调递增，故C错误；对于D，∵f(x)＝cos，∴f(x＋π)＝cos，令x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ－，k∈Z，∴f(x＋π)的零点为x＝kπ－，k∈Z，当k＝1时，x＝，D正确．故选AD. 二、填空题 6．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为________． 答案： 解析：函数图象关于点中心对称，则有3cos＝0，即cos＝0，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，所以当k＝0时，|φ|＝，此时|φ|最小． 7．y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________． 答案： 解析：y＝cos(x＋1)的周期是2π，最大值为1，最小值为－1，故图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是 ＝ . 8．已知函数y＝cosx的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的取值范围为________． 答案： 解析：结合已知条件和余弦函数的图象可知，y取－和1的最近的x值相差－0＝，所以b－a≥，y取－和1的最远的x值相差－＝，所以b－a≤.故b－a的取值范围为. 三、解答题 9．比较下列各组数的大小． (1)cos与cos； (2)cos，sin，－cos. 解：(1)因为cos＝cos， cos＝cos＝cos＝cos， 因为0<<<，且函数y＝cosx在上单调递减， 所以cos>cos， 即cos>cos. (2)sin＝cos，－cos＝cos. 因为π>>－>π－>0， 且函数y＝cosx在[0，π]上单调递减， 所以cos<cos<cos， 即cos<sin<－cos. 10．已知函数f(x)＝2cos(πx＋φ)的图象过点(0，)． (1)求函数f(x)的解析式，并求出f(x)的最大值、最小值及对应的x的值； (2)求f(x)的单调递增区间． 解：(1)代入点(0，)，得2cosφ＝，得cosφ＝， ∵0<φ<，∴φ＝， 则f(x)＝2cos， 当πx＋＝2kπ(k∈Z)，即x＝2k－(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，为2； 当πx＋＝2kπ＋π(k∈Z)， 即当x＝2k＋(k∈Z)时，函数f(x)取得最小值，为－2. (2)由(1)知f(x)＝2cos， 由2kπ－π≤πx＋≤2kπ，k∈Z， 得2k－≤x≤2k－，k∈Z， ∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． 11．已知函数y＝5cos(其中k∈N)，对任意实数a，在区间[a，a＋3]上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，求k的值． 解：由5cos＝， 得cos＝. 函数y＝cosx在每个周期内出现函数值为的有两次，而区间[a，a＋3]的长度为3，为了使长度为3的区间内出现函数值不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度， 即2×≤3，且4×≥3， 解得≤k≤.又k∈N，所以k＝2，3. 12．(2024·河南信阳高一下阶段练习)已知函数f(x)＝cos. (1)填写下表，并画出f(x)在[0，π]上的图象； 2x＋ x 0 π f(x) (2)求f(x)的单调递减区间； (3)把f(x)＝cos的图象向右平移个单位，再把图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式及图象的对称轴方程． 解：(1)列表如下： 2x＋ π 2π x 0 π f(x) 0 － 0 (2)由2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 故f(x)的单调递减区间为，k∈Z. (3)把f(x)＝cos的图象向右平移个单位，得到函数y＝cos＝cos的图象， 再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数y＝cos的图象， 所以g(x)＝cos， 令4x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z， 所以g(x)图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z. 13．已知函数f(x)＝sin－，g(x)＝2cos－2－m. (1)求函数f(x)的单调递减区间； (2)求函数g(x)的最大值、最小值及对应的x值的集合； (3)若对任意x1∈，存在x2∈，使得f(x1)＝g(x2)，求实数m的取值范围． 解：(1)f(x)＝－sin－.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z. (2)令2x＋＝2kπ，k∈Z， 解得x＝kπ－，k∈Z. 所以当x＝kπ－，k∈Z时，函数g(x)取得最大值－m. 令2x＋＝2kπ＋π，k∈Z， 解得x＝kπ＋，k∈Z. 所以当x＝kπ＋，k∈Z时，函数g(x)取得最小值－m－4. 即函数g(x)的最大值为－m，对应的x值的集合为；函数g(x)的最小值为－m－4，对应的x值的集合为. (3)当x1∈时，－≤2x1－≤， 所以－≤f(x1)≤. 当x2∈时，－≤2x2＋≤， 所以－m－2－≤g(x2)≤－m. 对任意x1∈，存在x2∈， 使得f(x1)＝g(x2)，只需 解得－－≤m≤－， 即实数m的取值范围为. 14．函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，先把函数f(x)图象上的各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数g(x)的图象． (1)求函数g(x)图象的对称中心； (2)当x∈时，求g(x)的值域； (3)若当x∈时，方程[g(x)]2＋(2－m)g(x)＋3－m＝0有解，求实数m的取值范围． 解：(1)根据图象可知A＝1，T＝－＝， ∴T＝π，∴ω＝＝2，f(x)＝cos(2x＋φ)， 将代入得，cos＝－1， 即＋φ＝2kπ＋π，k∈Z. 解得φ＝2kπ－，k∈Z， ∵|φ|<，∴k＝0，φ＝－， ∴f(x)＝cos. 将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，可得y＝cos的图象，再向左平移个单位，再向上平移1个单位得g(x)＝cos＋1的图象， 令4x＋＝＋kπ，k∈Z， 解得x＝－＋，k∈Z， ∴函数g(x)图象的对称中心为(k∈Z)． (2)当x∈时，4x＋∈， ∴cos∈，g(x)＝cos＋1∈，即g(x)的值域为. (3)∵[g(x)]2＋(2－m)g(x)＋3－m＝0， ∴[g(x)]2＋2g(x)＋3＝m[g(x)＋1]， 即m＝， 令s＝g(x)＋1，由(2)知s∈，m＝＝s＋， ∵s＋≥2 ＝2，当且仅当s＝时取等号； 当s＝时，s＋＝； 当s＝1时，s＋＝3，>3. ∴s＋∈， 因此实数m的取值范围为. 26 学科网（北京）股份有限公司 $$