第3章 数学建模活动（二） 故宫角楼的高度测量-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（北师大版2019）

1．本课题组的成员与分工 全组共同制定研究计划，商讨并确定数学模型，另分工如下： 刘同学，组长，侧重组织讨论，把握工作方向； 李同学、薛同学、霍同学、方同学侧重信息采集、数据计算及整理； 张同学、樊同学侧重讨论记录、报告撰写． 2．本课题组选择的测量工具 以故宫角楼为例，研究一下怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度． 工具有皮尺和测角仪器． 如图，在量角器的圆心O处打一小孔，下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．量角器的0刻度线对准楼顶时，读出铅垂线对应的读数，则此时观察楼顶的仰角度数α＝90°－β. 3．测量的数学模型 如上图，设线段AB表示角楼的高，在宫墙外护城河畔的马路边，选位置C对角楼进行测量．设CC′为测量仪器的高，过点C′的水平面与AB相交于点B′.这时由测点C′可测得点A的仰角α的大小．可以发现，在△AB′C′中，三条边的长度都无法测出，因而AB′的长无法求得． 如果移动测量仪CC′至DD′(测量仪高度不变)，在△B′C′D′中，可以测出β和γ的大小，又可测得CD的长，则C′D′＝CD. 根据正弦定理，应有＝， 而∠D′B′C′＝180°－β－γ， 所以B′C′＝＝， 在Rt△AB′C′中，tanα＝， 所以AB′＝B′C′tanα. 所以角楼的高AB＝AB′＋B′B＝AB′＋CC′. 4．测量的数据和计算结果 数据：α＝20°，β＝99°，γ＝45°，CD＝C′D′＝60 m，CC′＝1.5 m. 计算结果：在△B′C′D′中， 由正弦定理，得＝， 因此B′C′＝＝ ≈72.18(m)． 在△AB′C′中， AB′＝B′C′tanα≈72.18tan20°≈26.3(m)， 因此AB＝AB′＋B′B≈26.3＋1.5＝27.8(m)． 所以故宫角楼的高约为27.8 m. 角楼由墩台下地面至角楼宝顶高27.50 m，测量结果有一些误差． 5．误差分析 经过实践发现测量结果与实际高度之间存在误差，仔细分析误差产生的原因并找到尽可能减小误差的办法是测量中必不可少的工作，在实际测量中可能产生误差的原因有： (1)测量工具的问题，例如自己制作的测量角的工具相对比较粗糙，刻度不够精确； (2)实地环境问题．有时并不能保证AB与BC垂直； (3)采用的方法计算量大，从而产生较大的计算误差． 6．与本次测量相关的可继续研究的小课题或待探究的问题除上述方案外，还有哪些可行方案，各自有哪些优缺点 测量方案 测量方案 优缺点分析 操作过程及数据处理 图示 测量数据 方案一： 1.测量仰角α，β； 2.测量距离a 优点：计算简单，可以解决在“观测点与被测量物之间的水平距离不可测”时的高度测量问题. 缺点：不容易保证D，C，B三点在一条直线上，并且AB与BD垂直，从而产生较大的误差 (1)测量并记录测量工具距离地面的高h； (2)用大的量角器，将一边对准被测物体的顶端，测量并记录仰角α； (3)后退a，重复步骤(2)的操作，计算并记录仰角β； (4)利用解三角形知识，计算被测物的高为H＝＋h 方案二： 1.测量仰角α和β； 2.测量角θ； 3.测量距离EF 优点：对被测量对象的自然环境要求不高，可以自由地选择两个能测量其距离的观测点观测；同时可以解决在“观测点与被测量物之间的水平距离不可测”时的高度测量问题. 缺点：计算量大，从而产生较大的计算误差 (1)用大的量角器，两名观测者甲、乙分别在观测点E和F处将一边对准被测物体的顶端，分别计算并记录仰角∠AEB＝α，∠AFB＝β； (2)观测者甲测量并记录水平角∠BEF＝θ和EF； (3)被测物体高度满足方程组 方案三： 1.测量人与镜子之间的距离a1，a2； 2.两次观测时，两面镜子之间的距离a； 3.观测人的眼睛到地面的距离h 优点：同方案二. 缺点：镜面的放置很难保证是水平的；两面镜子之间的距离太短，容易造成误差；在用人眼观测镜内物像时，两次观测点很难保证是同一个点；在两次观测时人眼不一定能保持高度不变 (1)将平面镜M1置于水平地面上，人后退至从M1中能看到被测量物的顶端的位置，测量并记录人与镜子M1间的水平距离a1； (2)在距M1为a处放置镜子M2，重复(1)的操作，测量并记录人与镜子M2间的距离a2； (3)测量并记录眼睛距地面的高度h； (4)由相似三角形的性质及光的反射原理联立构成方程组，可以得到被测量物体的高度公式为H＝ 7.工作感受 实际生活中，看似不能解决的问题往往通过数学方法的刻画得以解决，本课题研究的最大收获就是亲身体验了用解三角形知识解决实际问题的完整过程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$