第1章 三角函数 章末总结-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（北师大版2019）

堵点自记： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．在任意角和弧度制的学习中，要区分开角的各种定义，如：锐角一定是第一象限角，而第一象限角不全是锐角，概念要搞清；角度制和弧度制表示角不能混用，如：α＝2kπ＋30°，k∈Z，这种表示法不正确． 2．任意角的三角函数，首先要考虑定义域，其次要深刻认识三角函数的符号的含义，sinα＝≠sin×α；诱导公式的记忆要结合三角函数的定义去记忆． 3．三角函数的诱导公式 诱导公式要正确、熟练地掌握其记忆的诀窍，更要灵活地运用． (1)－α角的三角函数是把负角转化为正角； (2)2kπ＋α(k∈Z)角的三角函数是化不在区间[0，2π)上的角成在区间[0，2π)上的角； (3)±α，π±α，±α，2π－α角的三角函数是化非锐角为锐角； (4)化负为正→化大为小→化为锐角； (5)记忆规律：奇变偶不变，符号看象限． 4．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 (1)五点法作图是画三角函数图象的基本方法，要切实掌握，作图时自变量要用弧度制，作出的图象要正规． (2)奇偶性、单调性、最值、周期是三角函数的重要性质，f(x＋T)＝f(x)应强调的是自变量x本身加常数才是周期，如f(2x＋T)＝f(2x)＝f，是周期． 解答三角函数的单调性的题目一定要注意复合函数单调性法则，更要注意定义域． 5．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 主要掌握由y＝sinx⇒y＝Asin(ωx＋φ)的平移、伸缩等变换． 注意各种变换对图象的影响，注意各物理量的意义，A，ω，φ与各种变换的关系． 6．三角函数模型的简单应用 (1)根据图象建立解析式； (2)根据解析式作出图象； (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型； (4)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数模拟． 在建立三角函数模型的时候，要注意从数据的周而复始的特点以及数据变化趋势两个方面来考虑． 一、求三角函数值域与最值的常见类型 求三角函数的值域或最值主要依据是利用三角函数的图象或三角函数的有界性，这就要求我们必须掌握好三角函数的图象和性质． 1．形如y＝asinx＋b(a≠0)型的函数 求解形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sinx，cosx≤1)求解，注意对a正、负的讨论． 若y＝asinx＋b的最大值为3，最小值为1，求ab的值． [解]　当a>0时，解得 当a<0时， 解得 ∴ab＝2或ab＝－2. 求函数y＝3－4cos，x∈的最大、最小值及相应的x值． [解]　∵x∈， ∴2x＋∈， 从而－≤cos≤1. ∴当cos＝1时，即2x＋＝0， 即x＝－时，ymin＝3－4＝－1， 当cos＝－时，即2x＋＝， 即x＝时，ymax＝3－4×＝5. 2．形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型的函数 求解形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sinx(或cosx)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sinx(或cosx)的有界性． 求函数f(x)＝2sin2x＋2sinx－，x∈的值域． [解]　令t＝sinx，y＝f(x)， ∵x∈， ∴≤sinx≤1，即≤t≤1. ∴y＝2t2＋2t－＝2－1， ∴1≤y≤，∴函数f(x)的值域为. 已知|x|≤，求函数y＝－sin2x＋sinx＋1的最小值． [解]　令t＝sinx，因为|x|≤， 所以－≤sinx≤，即t∈， 则y＝－t2＋t＋1＝－＋，t∈. 根据二次函数的性质可得当t＝－，即x＝－时，y有最小值，为－＋＝. 二、三角函数的图象 三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质． 如图，是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的一段图象． (1)求此函数的解析式； (2)分析一下该函数的图象是如何通过y＝sinx的图象变换得来的？ [解]　(1)由图象知A＝＝， k＝＝－1，T＝2×＝π， ∴ω＝＝2. ∴y＝sin(2x＋φ)－1. 当x＝时，2×＋φ＝， ∴φ＝. ∴所求函数的解析式为y＝sin－1. (2)把y＝sinx的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的，得到y＝sin的图象，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到y＝sin的图象，最后把函数y＝sin的图象向下平移1个单位长度，得到y＝sin－1的图象． 三、三角函数的性质 1．三角函数的性质，重点应掌握函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，在此基础上，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及y＝Atan(ωx＋φ)的相关性质． 2．该热点是三角函数的重中之重，考查的形式也不唯一，主、客观题均有体现，在难度上较前两热点有所增加，主观题以中档题为主，知识间的联系相对加大． 已知函数f(x)＝logacos(其中a>0，且a≠1)． (1)求它的定义域； (2)求它的单调区间； (3)判断它的奇偶性； (4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期． [解]　(1)由题意知cos>0， ∴2kπ－<2x－<2kπ＋(k∈Z)， 即kπ－<x<kπ＋(k∈Z)． 故函数的定义域为(k∈Z)． (2)在定义域范围内求cos的单调区间． 函数u＝cos在(k∈Z)上单调递增，在(k∈Z)上单调递减， ∴当a>1时，f(x)的单调增区间为(k∈Z)， 单调减区间为(k∈Z)； 当0<a<1时，f(x)的单调增区间为(k∈Z)， 单调减区间为(k∈Z)． (3)∵函数f(x)的定义域不关于原点对称， ∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (4)函数f(x)是周期函数， ∵f(x＋π)＝logacos ＝logacos＝f(x)， ∴函数f(x)的周期为T＝π. 四、转化与化归思想在三角函数中的应用 三角函数问题以其灵活多变的题型和特殊性，一直是高考中的重要题型，而转化与化归思想是重要的数学思想之一．转化思想是把未知解的问题转化到已学知识范围内可解问题的一种重要的思想方法．通过不断转化，把不熟悉、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题． 求y＝的最值． [解]　由已知y＝，得sinx＝. ∵|sinx|≤1，∴≤1. ∴≤1，∴(y＋2)(3y－4)≤0， 解得－2≤y≤. ∴已知函数的最大值为，最小值为－2. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$