2.3.1 向量的数乘运算-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（北师大版2019）

3.1　向量的数乘运算 (教师独具内容) 课程标准：1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义.2.了解平面向量的线性运算及其几何意义． 教学重点：1.向量的数乘的概念.2.向量的单位化.3.数乘运算的运算律． 教学难点：运用向量的数乘运算解决问题． 知识点一　数乘运算的定义 实数λ与向量a的乘积是一个向量．记作λa，满足以下条件： (1)当λ>0时，向量λa与向量a的方向相同； 当λ＜0时，向量λa与向量a的方向相反； 当λ＝0时，0a＝0． (2)|λa|＝|λ||a|． 这种运算称为向量的数乘． 知识点二　向量数乘的几何意义 (1)当λ>0时，表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的λ倍； (2)当λ<0时，表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍． 知识点三　向量的单位化 在非零向量a方向上的单位向量是．它表明一个非零向量除以它的模(乘它的模的倒数)的结果是一个与原向量同方向的单位向量，这一过程称为向量的单位化． 知识点四　数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，a，b为向量，则有： (1)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (2)λ(μa)＝(λμ)a； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb． 向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)． 　对λa的理解 λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩． (1)当|λ|>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的|λ|倍； 当0<|λ|<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的|λ|倍． (2)当λ＝0时，λa＝0，而当λ≠0时，若a＝0，也有λa＝0. (3)实数与向量可以求积，结果仍是一个向量，它可以看成实数与实数的积的定义的推广，但不能进行加减运算，如：λ＋a，λ－a无意义． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)λa的方向与a的方向一致．(　　) (2)－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的.(　　) (3)a－b与－(b－a)是一对相反向量．(　　) (4)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)下列各式中不表示向量的是(　　) A．0·a B．a＋3b C．|3a| D.e(x，y∈R，且x≠y) (2)下列各式计算正确的有(　　) ①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：(1)C　(2)C 题型一　向量的数乘运算 　(1)化简：3a－[6a－2b－4(2a－3b)]＋(a＋8b)． [解]　3a－[6a－2b－4(2a－3b)]＋(a＋8b)＝(3－6＋8＋1)a＋(2－12＋8)b＝6a－2b. (2)把满足5x－6y＝a，－4x＋5y＝b的向量x，y用a，b表示出来． [解]　由已知得 ①×4＋②×5得，y＝4a＋5b， ①×5＋②×6得，x＝5a＋6b， 所以x＝5a＋6b，y＝4a＋5b. 【感悟提升】　数乘运算的特点 向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解． 【跟踪训练】 1．(1)计算下列各式： ①； ②(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)． 解：①原式＝ ＝ ＝＝a－b. ②原式＝a－b－a－b＋a＋b ＝a＋b ＝0·a＋0·b＝0. (2)设x，y是未知向量． ①解方程3＋2b＋x＝0； ②解方程组 解：①原方程可变为x－6a＋2b＋x＝0， 即2x＝6a－2b，∴x＝3a－b. ② (Ⅰ)＋(Ⅱ)×2，得7x＝9a＋2b， ∴x＝a＋b. 将上式代入(Ⅱ)，得y＝a－b. 题型二　向量数乘运算的应用 　如图所示，已知平面内的两点P与Q关于点A对称，Q与R关于点B对称，且＝a，＝b，用a，b表示. [解]　解法一：如图所示，已知P与Q两点关于点A对称，所以＝(＋)． 所以＝2－＝2a－. 又Q与R两点关于B点对称， 所以＝(＋)． 所以＝2－＝2b－. 所以＝－＝(2b－)－(2a－)． 所以＝2b－2a. 解法二：＝＋＝＋， ＝＋＝＋， 所以＝－＝－＋－＝－＋＝－＋－＝2(－)＝2b－2a. 解法三：在△PQR中，因为A与B分别为边PQ和QR的中点，所以＝. 所以＝2＝2(－)＝2b－2a. 【感悟提升】　用已知向量表示另外一些向量是向量解题的基本功，除利用向量的运算法则外，还应充分利用平面几何中的一些定理，尽可能将这些向量转化到三角形或平行四边形中，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． 【跟踪训练】 2．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，＝1，＝2，则＝(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 答案：B 解析：解法一：∵CD平分∠ACB，由角平分线定理得＝＝＝2，所以＝2＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选B. 解法二(特殊值法)：构造直角三角形，让CB＝1，CA＝2，AB＝，则∠DCB＝30°，所以BD＝，故＝，＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.故选B. 1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　) A．a－2b B．a C．a－6b D．a－8b 答案：D 解析：4(a－b)－3(a＋b)－b＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b，故选D. 2．若＝3e1，＝－5e1，且||＝||，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．不等腰的梯形 答案：C 解析：∵＝－，∴AB∥CD，||≠||，且||＝||，∴四边形ABCD是等腰梯形． 3．(多选)已知实数m，n和向量a，b，则下列说法正确的是(　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na(a≠0)，则m＝n 答案：ABD 解析：由数乘向量运算的分配律，知A，B正确；当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故C不正确；因为由ma＝na，得(m－n)a＝0，又因为a≠0，所以m－n＝0，即m＝n，故D正确．故选ABD. 4．化简－＝________． 答案：0 解析：原式＝－＝－＝a＋b－a－b＝0. 5．在△ABC中，已知点D，E分别在边AC，AB上，且＝＝，设＝a，＝b.求证：＝(b－a)． 证明：∵＝＝，∴＝＝b，＝＝(＋)＝(－b－a)＝－b－a. ∴＝＋＝b－b－a＝b－a＝(b－a)． 课后课时精练 一、选择题 1.等于(　　) A．2a－b B．2b－a C．b－a D．a－b 答案：B 解析：原式＝(a＋4b－4a＋2b)＝(6b－3a)＝2b－a. 2．设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是(　　) A．a与λa的方向相同 B．a与－λa的方向相反 C．a与λ2a的方向相同 D．|λa|＝λ|a| 答案：C 解析：只有当λ>0时，才有a与λa的方向相同，a与－λa的方向相反，且|λa|＝λ|a|，当λ<0时，A，B，D错误；因为λ2>0，所以a与λ2a的方向相同． 3．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，则＝(　　) A.＋ B.＋ C.－ D.－ 答案：A 解析：∵＋＝，＋＝，∴＝－，＝－.又＝2，∴－＝2－2，即＝＋.故选A. 4．已知O是△ABC所在平面内一点，D为边BC的中点，且2＋＋＝0，则(　　) A.＝ B.＝2 C.＝3 D．2＝ 答案：A 解析：∵在△ABC中，D为边BC的中点，∴＋＝2，∴2(＋)＝0，即＋＝0，∴＝. 5.(多选)如图，在梯形ABDC中，AB∥CD，||＝2||，AD与BC相交于点O，则下列结论正确的是(　　) A.－＝ B.＋＋＋＝0 C．|＋2|＝0 D.＝＋ 答案：BC 解析：对于A，－＝＝，所以A不正确；对于B，＋＋＋＝0，所以B正确；对于C，△OCD∽△OBA，所以＝＝，所以＝－，所以|＋2|＝|－|＝|0|＝0，所以C正确；对于D，＝＝(＋)＝(＋2)＝＋，故D不正确．故选BC. 二、填空题 6．已知点P在线段AB上，且||＝4||，设＝λ，则实数λ＝________． 答案： 解析：因为||＝4||，则的长度是的长度的，二者的方向相同，所以＝. 7.如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)． 答案：－a＋b 解析：由＝3，得＝＝(a＋b)，又＝a＋b，∴＝－＝(a＋b)－＝－a＋b. 8．若＝t(t∈R)，O为平面上任意一点，则＝________(用，表示)． 答案：(1－t)＋t 解析：∵＝t，∴－＝t(－)，＝＋t－t＝(1－t)＋t. 三、解答题 9.已知▱ABCD中，＝a，＝b，对角线AC，BD交于点O，用a，b表示，. 解：＝－＝－(a＋b)， ＝＝(－)＝(b－a)． 10．设x，y是未知向量． (1)解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0； (2)解方程组 解：(1)原方程可变为5x＋5a＋3x－3b＝0， 即8x＝－5a＋3b， ∴x＝－a＋b. (2) －2×①＋②，得y＝－2a＋b， ∴y＝－a＋b.代入②，得x＝－a＋b. ∴ 11．如图所示，正三角形ABC的边长为15，＝＋，＝＋. 求证：四边形ABQP为梯形． 证明：因为＝＋＋＝－－＋＋＋＝， 所以PQ∥AB. 又||＝15，所以||＝13， 所以||≠||，所以四边形ABQP为梯形． 12.如图，已知任意平面四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点． 求证：＝(＋)． 证明：证法一：在四边形CDEF中，＋＋＋＝0，① 在四边形ABFE中， ＋＋＋＝0.② ①＋②得(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)＝0. ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴＋＝0，＋＝0. ∴2＝－－＝＋， 即＝(＋)． 证法二：如图，∵E为AD的中点， ∴＝. ∵F是BC的中点， ∴＝(＋)． 又＝＋，∴＝(＋＋)＝(＋)＋.∴＝－＝(＋)＋－＝(＋)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$