1.6.1 探究ω对y＝sinωx的图象的影响-1.6.3 探究A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（北师大版2019）

6.1　探究ω对y＝sinωx的图象的影响 6.2　探究φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 6.3　探究A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 (教师独具内容) 课程标准：1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义.2.能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响． 教学重点：1.探究ω对y＝sinωx的图象的影响.2.探究φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响.3.探究A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响.4.函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象． 教学难点：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的平移、伸缩变换． 知识点一　ω对y＝sinωx的图象的影响 (1)一般地，对于ω>0，有sinωx＝sin(ωx＋2π)＝sinω.T＝是函数y＝sinωx的最小正周期． (2)函数y＝sinωx的图象是将函数y＝sinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的(纵坐标不变)得到的． (3)通常称周期的倒数＝为频率． 知识点二　φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 (1)函数y＝sin(x＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sinx图象上的所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度得到的． (2)函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sinωx图象上的所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移个单位长度得到的． (3)通常称φ为初相，ωx＋φ为相位． 知识点三　A对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响 (1)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的图象是将y＝sin(ωx＋φ)的图象上的每个点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)得到的． (2)A决定了函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅． 1．由函数y＝sinx的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的途径 由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． (1)先平移后伸缩 y＝sinx的图象y＝sin(x＋φ)的图象y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象． (2)先伸缩后平移 y＝sinx的图象y＝sinωx的图象y＝sin(ωx＋φ) 的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象． 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质 定义域 (－∞，＋∞) 值域 [－A，A] 周期 T＝ 奇偶性 当φ＝kπ，k∈Z时为奇函数 当φ＝kπ＋，k∈Z时为偶函数 当φ≠，k∈Z时为非奇非偶函数 图象的对称轴 直线x＝＋－(k∈Z) 求法：令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可求 图象的对称中心 对称中心：，k∈Z 求法：令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可求 单调性 令－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z可求单调递增区间 令＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z可求单调递减区间 注意隐含条件： (1)两条相邻对称轴之间间隔为个周期； (2)函数在对称轴处取得最大值或最小值． 3．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0) (1)A越大，函数的最大值越大，最大值与A是正比例关系． (2)ω越大，函数的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系． (3)φ大于0时，函数y＝Asinωx的图象向左平移个单位长度得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，φ小于0时，函数y＝Asinωx的图象向右平移个单位长度得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，即“加左减右”． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝sinx与函数y＝2sinx的定义域、值域、单调性都不同．(　　) (2)函数y＝sin(x＋φ)的图象一定关于原点对称．(　　) (3)在区间上，函数y＝sin2x是单调函数．(　　) (4)“五点法”作函数y＝2sin在一个周期上的简图时，第一个点为.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)将函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为(　　) A．y＝sinx－ B．y＝sinx＋ C．y＝sin D．y＝sin (2)函数y＝2sin－1的值域为________． (3)满足方程cos＝0的自变量x的取值集合为________． 答案：(1)D　(2)[－3，1] (3) 题型一　ω对y＝sinωx的图象的影响 　为了得到y＝sin4x，x∈R的图象，只需把正弦曲线上所有点的(　　) A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 [解析]　ω＝4>1，因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变． [答案]　B 【感悟提升】　 (1)ω(ω>0)影响函数y＝sinωx的周期． (2)y＝sinωx(ω≠1)与y＝sinx的图象形状不同，此变换称为横向伸缩变换． (3)推广到一般：函数y＝f(ωx)(ω>0)的图象，可以看作是把函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的(纵坐标不变)而得到的． 【跟踪训练】 1．若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：令＋2kπ≤ωx≤＋2kπ，k∈Z，则＋≤x≤＋，k∈Z.∵函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间上单调递减，∴≤且≥，∴≤ω≤3. 题型二　φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 　为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sinx的图象上所有的点(　　) A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向左平移π个单位长度 D．向右平移π个单位长度 [解析]　由图象平移的规律“左加右减”，可知选A. [答案]　A 【感悟提升】　 (1)y＝sin(x＋φ)与y＝sinx的图象形状是完全一样的，y＝sin(x＋φ)的图象可以由y＝sinx的图象向左或向右平移得到． (2)左右平移是对x本身而言的，如果x前面的系数不是1，应提取系数，然后进行左右平移． (3)推广到一般：将函数f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度后，得到函数f(x＋a)(a≠0)的图象．当a>0时，向左平移；当a<0时，向右平移，简记为“左加右减”． 【跟踪训练】 2．若函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ等于(　　) A．0 B. C. D．π 答案：C 解析：因为y＝sinx的图象的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z，所以函数y＝sin(x＋φ)的图象的对称轴应满足x＋φ＝＋kπ，k∈Z.又y＝sin(x＋φ)是偶函数，所以直线x＝0是函数图象的一条对称轴，所以φ＝＋kπ，k∈Z，又0≤φ≤π，所以φ＝.故选C. 题型三　A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 　为了得到函数y＝2sin的图象，只需把函数y＝sin的图象上所有点的(　　) A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变 [解析]　A＝2>0，故将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长到原来的2倍即可．故选C. [答案]　C 【感悟提升】　 (1)若A>0，则函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值是－A；若A<0，则函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域是[A，－A]，最大值是－A，最小值是A. (2)|A|的大小反映了曲线y＝Asin(ωx＋φ)波动幅度的大小． (3)y＝Asin(ωx＋φ)与y＝sin(ωx＋φ)的图象形状不同，此变换称为纵向伸缩变换． (4)推广到一般：函数y＝Af(x)(A>0，且A≠1)的图象，可以看作是把函数y＝f(x)的图象上所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的． 【跟踪训练】 3．函数y＝3sin＋1的最大值为M，最小值为N，则M＋N＝(　　) A．4 B．2 C．－2 D．－4 答案：B 解析：∵函数y＝3sin的最大值为3，最小值为－3，∴函数y＝3sin＋1的最大值M＝4，最小值N＝－3＋1＝－2.故M＋N＝4－2＝2. 题型四　利用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 　用五点法作出函数y＝2sin＋1的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间． [解]　(1)列表： x － 2x＋ 0 π 2π y 1 3 1 －1 1 (2)描点． (3)用平滑的曲线顺次连接各点得下图： 利用函数的周期性，我们将该图向左右扩展， 即得y＝2sin＋1的图象(略)． 显然，周期T＝＝π，频率＝，相位2x＋，初相，最大值3，最小值－1，函数的单调递减区间为(k∈Z)，单调递增区间为(k∈Z)． 【感悟提升】　“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象的作法 (1)令ωx＋φ＝0，，π，，2π；(2)求出相应的x值及y值；(3)描点；(4)用平滑的曲线连接各点，得到一个周期的图象；(5)左右扩展得y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象． 【跟踪训练】 4．已知函数y＝2sin，x∈R. (1)作出函数的简图； (2)写出函数的周期、最值、振幅及初相． 解：(1)图象如下： (2)周期为4π，最大值2，最小值－2，振幅2，初相为－. 题型五　函数的图象变换问题 　指出将y＝2sinx，x∈R的图象变换成y＝2sin，x∈R的图象的两种方法． [解]　方法一：y＝2sinxy＝2siny＝2sin＝2sin. 方法二：y＝2sinxy＝2siny＝2sin. 【感悟提升】　三角函数的平移伸缩变换问题的分类及策略 (1)已知两个函数解析式判断其图象间的关系时，首先将解析式化简为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，即确定A，ω，φ，b的值，然后确定平移的方向、单位及伸缩的量． (2)确定函数y＝sinx的图象经过变换后的图象对应的函数解析式，关键是明确左右平移的方向、单位和横纵坐标伸缩的量，确定出A，ω，φ，b的值． 【跟踪训练】 5．将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 答案：C 解析：将函数y＝sinx的图象上所有点向右平移个单位长度得y＝sin，再把所得各点横坐标伸长到原来的2倍得y＝sin，故选C. 题型六　函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关性质 　设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，其图象的一条对称轴为直线x＝. (1)求φ； (2)求函数y＝f(x)的单调递增区间； (3)作出函数y＝f(x)在[0，π]上的图象． [解]　(1)∵x＝是函数y＝f(x)的图象的对称轴，∴sin＝±1. ∴＋φ＝kπ＋，k∈Z. 又－π<φ<0，∴φ＝－. (2)由(1)知φ＝－，故y＝sin. 由题意得，2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z. 即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z. ∴y＝f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． (3)由y＝sin，列表得 x 0 π y － －1 0 1 0 － 　　用描点法作图如下： 【感悟提升】　本例主要考查三角函数的性质及图象的基本知识，考查推理能力及运算能力．能用五点法准确地作出函数在指定区间上的图象也是本例的一个考查重点． 【跟踪训练】 6．设f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且周期为π，试求y＝f(x)的对称中心及单调递增区间． 解：由题意得 ∴ω＝2，φ＝. ∴f(x)＝sin. ∴对称中心为(k∈Z)； 单调递增区间为(k∈Z)． 1．最大值是，周期是，初相是的函数表达式可能是(　　) A．y＝sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝sin 答案：A 解析：∵最大值是，∴排除B，C；又初相为，排除D；ω＝＝3，故选A. 2．要得到y＝3sinx的图象，只需将函数y＝sinx的图象上的每个点(　　) A．纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍 B．向上平移3个单位长度 C．横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍 D．横坐标不变，纵坐标变为原来的 答案：C 解析：A值的大小引起图象形状变化，影响图象上每一点的纵坐标，并且A>1时伸长，0<A<1时缩短． 3．函数y＝3sin，x∈[0，＋∞)的振幅是________，周期是________，频率是________，相位是________，初相是________． 答案：3　　　4x－　－ 解析：∵y＝3sin，x∈[0，＋∞)，∴A＝3，ω＝4，T＝＝，＝.相位是4x－，令x＝0，得初相是－. 4．函数y＝sin2x的图象向右平移φ个单位长度(φ>0)得到的图象恰好关于x＝对称，则φ的最小值是________． 答案： 解析：函数y＝sin2x的图象向右平移φ个单位长度可得y＝sin2(x－φ)＝sin(2x－2φ)的图象，∴2×－2φ＝kπ＋(k∈Z)．当k＝－1时，φmin＝. 5．已知函数y＝sin＋2. (1)求函数的周期及单调增区间； (2)函数的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到？ 解：(1)T＝＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. ∴函数的单调增区间为(k∈Z)． (2)y＝sinxy＝siny＝sin y＝siny＝sin＋2. 课后课时精练 一、选择题 1．函数y＝cos的图象的一个对称中心是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由于对称中心是使函数值为零的点，可排除A，B；当x＝时，y＝cos＝cos＝0，故选C. 2．(2024·北京高考)设函数f(x)＝sinωx(ω>0)．已知f(x1)＝－1，f(x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：由题意可知，x1为f(x)的最小值点，x2为f(x)的最大值点，则|x1－x2|min＝＝，即T＝π，又ω>0，所以ω＝＝2.故选B. 3．如图是函数y＝2sin(ωx＋φ)的简图，那么(　　) A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－ C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－ 答案：C 解析：曲线与y轴的交点为(0，1)，说明当x＝0时，函数值y＝1，∴2sinφ＝1.∵－<φ<，∴φ＝，排除B，D.又曲线与x轴的一个交点是，说明当x＝时，函数值y＝0，即sin＝0，∵这点是“五点法”中的第五个点，∴ω·＋＝2π，解得ω＝2.因此ω＝2，φ＝. 4．(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 答案：C 解析：因为函数y＝sinx的最小正周期为T1＝2π，函数y＝2sin的最小正周期为T2＝，所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法作出两函数的图象，如图所示，由图可知，两函数的图象有6个交点．故选C. 5．(多选)若将函数f(x)＝cos的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．g(x)的最小正周期为π B．g(x)在区间上单调递减 C．直线x＝不是函数g(x)图象的对称轴 D．g(x)在上的最小值为－ 答案：ACD 解析：∵将函数f(x)＝cos的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝cos＝cos的图象，故g(x)的最小正周期为＝π，故A正确；在区间上，2x＋∈，函数g(x)先减后增，故B错误；当x＝时，g(x)＝0，故直线x＝不是函数g(x)图象的对称轴，故C正确；在上，2x＋∈，函数g(x)的最小值为g＝－，故D正确．故选ACD. 二、填空题 6．函数y＝3sin(2x＋φ)(0<φ<π)为偶函数，则φ＝________． 答案： 解析：解法一：∵sin＝cosα，∴当φ＝时，y＝3cos2x为偶函数． 解法二：∵偶函数f(x)＝f(－x)，∴3sin(2x＋φ)＝3sin(－2x＋φ)．∴2x＋φ＝－2x＋φ＋2kπ(k∈Z)(舍去)或2x＋φ＋(－2x＋φ)＝2kπ＋π(k∈Z)．∴φ＝kπ＋(k∈Z)．∵0<φ<π，∴φ＝. 7．把函数y＝2sin的图象向左平移m个单位长度，所得图象关于y轴对称，则m的最小正值是________． 答案： 解析：把y＝2sin的图象向左平移m个单位长度，则y＝2sin，其图象关于y轴对称，∴m＋＝kπ＋，即m＝kπ－，k∈Z.∴当k＝1时，m的最小正值为. 8．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________． 答案： 解析：由图可知，A＝，＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2.由五点法可得2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，则φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以f(x)＝sin.所以f(0)＝sin＝. 三、解答题 9．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sinx的图象． (1)求函数f(x)的解析式； (2)当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，求m的取值范围． 解：(1)将y＝sinx的图象向左平移个单位长度得到y＝sin的图象，横坐标变为原来的2倍，保持纵坐标不变，可得y＝f(x)＝sin的图象． (2)因为x∈[0，3π]，所以x＋∈，sin∈[－1，1]， 因为当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根， 所以函数f(x)的图象和直线y＝m只有一个交点，如图所示． 故使方程f(x)＝m有唯一实数根的m的取值范围为∪{1，－1}． 10.如图是正弦型函数y1＝Asin(ωx＋φ)的一个周期的图象． (1)写出函数的解析式； (2)若y2的图象与y1的图象关于直线x＝2对称，写出y2的解析式； (3)指出y2的周期、频率、振幅和初相． 解：(1)由图易知， A＝2，T＝7－(－1)＝8，ω＝＝＝， ∴y1＝2sin. 将点(－1，0)代入，得2sin＝0， 又|φ|<， ∴φ＝.∴y1＝2sin. (2)解法一：作出与y1的图象关于直线x＝2对称的图象(图略)，可以看出y2的图象相当于将y1的图象向右平移2个单位长度得到的． ∴y2＝2sin＝2sin. 解法二：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称的图象对应的函数是y＝f(4－x)， 则y2＝2sin＝2sin ＝－2sin＝2sin ＝2sin. (3)由y2＝2sin可得该函数的周期T＝8，振幅A＝2，初相φ＝－，频率＝. 11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且点P是该函数图象上的一个最高点． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若x∈，求函数f(x)的值域； (3)把函数f(x)的图象向右平移θ个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)在上单调递增，求θ的取值范围． 解：(1)由题意，可得A＝2，＝π，∴ω＝2. ∵图象经过点P，可得2sin＝2， ∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z， ∵|φ|<，∴φ＝. ∴f(x)＝2sin. (2)∵x∈，∴－≤2x＋≤， ∴－1≤sin≤， ∴f(x)＝2sin的值域为[－2，1]． (3)把函数f(x)的图象向右平移θ个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为 g(x)＝2sin＝2sin， 令2kπ－≤2x－2θ＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得kπ＋θ－≤x≤kπ＋θ＋，k∈Z， 可得函数g(x)的单调递增区间为，k∈Z， ∵函数g(x)在上单调递增， ∴k∈Z，解得 k∈Z， ∵0<θ<，∴k＝0，此时θ∈， 故θ的取值范围为. 12．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg称为标准值． 设某人的血压满足函数式p(t)＝125＋25sin(170πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试解答下列问题： (1)求函数p(t)的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)用“五点法”在给定的坐标系中作出p(t)在一个周期上的简图； (4)写出此人的血压在血压计上的读数． 解：(1)函数p(t)的周期T＝＝. (2)此人每分钟心跳的次数为85. (3)列表： t 0 170πt 0 π 2π p(t) 125 150 125 100 125 描点作图，如图． (4)此人的血压在血压计上的读数为150/100 mmHg. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$