1.5.1 正弦函数的图象与性质再认识-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（北师大版2019）

5.1　正弦函数的图象与性质再认识 (教师独具内容) 课程标准：1.能画出正弦函数的图象.2.借助图象理解正弦函数在[0，2π]上的性质． 教学重点：1.用“五点法”画正弦函数的图象.2.正弦函数的性质． 教学难点：利用正弦函数的性质解决问题． 知识点一　正弦函数的图象 正弦函数的图象称作正弦曲线． 知识点二　正弦函数性质的再认识 1．定义域 正弦函数的定义域是R． 2．周期性 由正弦函数的图象或诱导公式sin(x＋2kπ)＝sinx(k∈Z)，知2kπ(k≠0，k∈Z)是y＝sinx的周期，其中2π是它的最小正周期． 3．单调性 由正弦函数的图象与周期性可知，正弦函数在每一个区间，k∈Z上都单调递增，sinx的值由－1增大到1；在每一个区间，k∈Z上都单调递减，sinx的值由1减小到－1. 4．最大(小)值和值域 从正弦函数的图象可以看出，正弦曲线夹在两条平行线y＝1和y＝－1之间，所以正弦函数的值域是[－1，1]．特别地，正弦函数y＝sinx有最大值1，当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z时取到；有最小值－1，当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z时取到． [注意]　sinx取[－1，1]上的每一个值，都有无数个x与之对应． 5．奇偶性(对称性) 由诱导公式sin(－x)＝－sinx可知，正弦函数是奇函数，正弦曲线关于原点对称． [注意]　(1)函数y＝sinx的图象有无数个对称中心，它们是点(kπ，0)(k∈Z)．这些点也就是所有函数值为0的点，即平衡点． (2)函数y＝sinx的图象是轴对称图形，它有无数条对称轴，它们是直线x＝kπ＋(k∈Z)． 知识点三　五点(画图)法 我们作函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象时，在精确度要求不太高时，常常先描出(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到正弦函数的简图，这种作正弦曲线的方法称为“五点(画图)法”． 1．正弦函数的图象 画正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象．有五个关键点，它们是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)，因此描出这五点后，正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]图象的形状基本上就确定了．在描点时，光滑曲线是指经过最高点或最低点的连线要保持近似“圆弧”形状，经过位于x轴的点时要改变“圆弧的圆心位置”． 注意：(1)五点法是我们画正弦函数图象的基本方法，与五点法作图有关的问题曾出现在历届高考试题中． (2)作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数． 2．正弦函数的性质 (1)正弦函数y＝sinx的对称轴为直线x＝kπ＋(k∈Z)；并且对称轴与正弦曲线的交点的纵坐标是正弦函数的最值；对称中心为(kπ，0)(k∈Z)；正弦函数的图象与x轴的交点均是正弦函数的对称中心． (2)求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行．在求解三角函数，特别是综合性较强的三角函数的定义域时，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成． (3)判断三角函数的奇偶性就是直接利用函数奇偶性的定义，再结合三角函数的诱导公式进行判断．一个函数具有奇偶性，说明奇(偶)函数的定义域必须对称于原点，这是奇(偶)函数必须满足的条件，解题时不可忽视． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝sinx，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称．(　　) (2)正弦函数在定义域内是单调函数．(　　) (3)存在x∈R满足sinx＝.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)下列各点中，不在y＝sinx图象上的是(　　) A．(0，0) B. C. D．(π，1) (2)从函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象来看，对应于sinx＝的x有(　　) A．1个值 B．2个值 C．3个值 D．4个值 (3)函数y＝2－sinx的最大值为________，取最大值时x的值为________． 答案：(1)D　(2)B　(3)3　－＋2kπ，k∈Z 题型一　正弦函数图象的画法 　用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]上的图象． (1)y＝2sinx；(2)y＝3－sinx. [解]　(1)列表、描点得y＝2sinx的图象(如图1)． (2)列表、描点得y＝3－sinx在一个周期内的图象(如图2)． x 0 π 2π y＝sinx 0 1 0 －1 0 y＝2sinx 0 2 0 －2 0 y＝3－sinx 3 2 3 4 3 【感悟提升】　五点法作图的注意点 五点法作三角函数的简图是常用作图方法，作图过程中要注重整体代换思想的运用，特别是在取值、描点上，这五点主要指函数的零点及最值点；五点法作三角函数的简图要掌握好上述五点的选取与连线的光滑、凸凹方向． 【跟踪训练】 1．用五点法作出函数y＝sinx－2在[－2π，2π]上的图象． 解：先作y＝sinx－2在[0，2π]上的图象，列表如下： x 0 π 2π y＝sinx 0 1 0 －1 0 y＝sinx－2 －2 －1 －2 －3 －2 把y＝sinx－2，x∈[0，2π]的图象向左平移一个周期，得到y＝sinx－2，x∈[－2π，2π]的图象，如图． 题型二　正弦函数的周期性问题 　求函数y＝3sin的周期． [解]　∵3sin＝3sin， 即3sin＝3sin， ∴y＝3sin的周期是. 【感悟提升】　求三角函数的周期可以利用周期函数的定义来求解． 【跟踪训练】 2．求下列各函数的周期： (1)y＝sin2x； (2)y＝2sin. 解：(1)∵sin2x＝sin(2x＋2π)＝sin2(x＋π)， ∴函数y＝sin2x的周期是π. (2)∵2sin＝2sin， 即2sin＝2sin， ∴函数y＝2sin的周期是4π. 题型三　正弦函数的单调性问题 　(1)比较下列各组数的大小： ①sin与sin； ②sin与cos. [解]　①因为－<－<－<0，正弦函数y＝sinx在区间上是增函数， 所以sin>sin. ②因为cos＝sin， 又<<＋<， 而正弦函数y＝sinx在上是减函数， 所以sin>sin， 即sin>cos. (2)求函数y＝－2sinx－1的单调递增区间． [解]　因为y＝－2sinx－1， 所以函数y＝－2sinx－1的单调递增区间就是函数y＝sinx的单调递减区间． 所以＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)， 所以函数y＝－2sinx－1的单调递增区间为(k∈Z)． 【感悟提升】　利用正弦函数的单调性比较大小的三个步骤 (1)一化：异名函数化为同名函数． (2)二定：利用诱导公式把角化到同一单调区间上． (3)三比较：利用函数的单调性比较大小． 【跟踪训练】 3．(1)函数y＝9－sinx的单调递增区间是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C．[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) D．[2kπ－π，2kπ](k∈Z) 答案：B 解析：函数y＝9－sinx的单调递增区间与函数y＝sinx的单调递减区间相同，故选B. (2)比较大小： ①sin250°与sin260°；②sin与sin. 解：①sin250°＝sin(180°＋70°)＝－sin70°，sin260°＝sin(180°＋80°)＝－sin80°. 因为0°<70°<80°<90°，且函数y＝sinx，x∈是增函数，所以sin70°<sin80°， 所以－sin70°>－sin80°，即sin250°>sin260°. ②sin＝－sin＝－sin ＝－sin＝－sin. sin＝－sin＝－sin. 因为0<<<，且函数y＝sinx，x∈是增函数，所以sin<sin， 所以－sin>－sin， 即sin<sin. 题型四　正弦函数的值域、最值问题 　求下列函数的值域： (1)y＝|sinx|＋sinx； (2)y＝－sin2x＋2sinx－1； (3)y＝. [解]　(1)当sinx≥0时，y＝2sinx≤2，这时0≤y≤2； 当sinx<0时，y＝0. ∴函数的值域为[0，2]． (2)y＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sinx－1)2. ∵－1≤sinx≤1，∴y∈[－4，0]． (3)解法一：∵y＝＝ ＝1－＝1＋， ∴当sinx＝－1时，ymin＝1＋＝， 得函数的值域为. 解法二：由y＝，得sinx＝， 又－1≤sinx≤1， ∴∴ ∴y≥.∴函数的值域为. 【感悟提升】　求正弦函数的值域、最值问题的常用方法 (1)形如y＝asinx的函数的最值要注意对a的讨论． (2)对形如y＝asin2x＋bsinx＋C的函数，将函数看成关于sinx的二次函数，然后换元配方，利用二次函数求值域、最值． 【跟踪训练】 4．设a>0，0≤x<2π，若函数y＝－sin2x－asinx＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，试求a，b的值，并求使y取最大值和最小值时的x值． 解：设sinx＝t，t∈[－1，1]，所以y＝1－sin2x－asinx＋b＝－＋＋b＋1＝－＋＋b＋1. ①当－1<－<0，即0<a<2时，ymax＝＋b＋1＝0，ymin＝－a＋b＝－4(此时t＝1)． 解得a＝2，b＝－2或a＝－6，b＝－10. 都不满足a的范围，舍去． ②当－≤－1，即a≥2时，ymax＝a＋b＝0， 此时t＝－1，即sinx＝－1， 又0≤x<2π，所以x＝； ymin＝b－a＝－4，此时t＝1，即sinx＝1， 又0≤x<2π，所以x＝. 同时，由解得 综上所述，a＝2，b＝－2，且y取最大值时x的值是，y取最小值时x的值是. 题型五　与正弦函数有关的函数奇偶性问题 　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝lg. [解]　(1)函数定义域为R，且f(x)＝sin＝sin＝cosx，显然有f(－x)＝f(x)恒成立． ∴函数f(x)＝sin为偶函数． (2)由2sinx－1≥0，即sinx≥，得函数定义域为(k∈Z)，此定义域在x轴上表示的区间不关于原点对称． ∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数． (3)由>0，得(1－sinx)(1＋sinx)>0， ∴－1<sinx<1. ∴x≠kπ＋(k∈Z)，函数定义域关于原点对称． ∵f(－x)＝lg ＝lg ＝lg ＝－lg ＝－f(x)， ∴函数f(x)＝lg 为奇函数． 【感悟提升】　 (1)判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称，如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数． (2)本例(3)中用到了运算loga＝logaN－1＝－logaN，很有代表性． 【跟踪训练】 5．(1)判断下列函数的奇偶性： ①f(x)＝sin2x；②f(x)＝sin； ③f(x)＝. 解：①显然x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＝－sin2x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数． ②∵x∈R，f(x)＝sin＝－cos， ∴f(－x)＝－cos＝－cos＝f(x)， ∴函数f(x)＝sin是偶函数． ③函数应满足1＋sinx≠0， ∴函数定义域为， 显然定义域不关于原点对称， ∴该函数是非奇非偶函数． (2)已知奇函数f(x)的定义域为R，当x>0时，f(x)＝sinx＋x＋1，求f(x)的表达式． 解：f(x)的定义域为R，且为奇函数， 则x＝0时，得f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0. 当x<0时，－x>0，故f(－x)＝sin(－x)－x＋1＝－sinx－x＋1. 又因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－sinx－x＋1. 所以当x<0时，f(x)＝sinx＋x－1. 综上所述，f(x)＝ 1．下列对正弦函数y＝sinx的图象描述不正确的是(　　) A．在x∈[2kπ，2(k＋1)π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同 B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间 C．关于x轴对称 D．与y轴仅有一个交点 答案：C 解析：由正弦曲线可知C不正确，其他均正确． 2．函数y＝2sinx＋的值域为(　　) A．[－1，1] B．[－2，2] C. D．R 答案：C 解析：由y＝sinx的值域为[－1，1]，得y＝2sinx的值域为[－2，2]，则y＝2sinx＋的值域为. 3．下列关系式中正确的是(　　) A．sin11°<cos10°<sin168° B．sin168°<sin11°<cos10° C．sin11°<sin168°<cos10° D．sin168°<cos10°<sin11° 答案：C 解析：∵cos10°＝sin80°，sin168°＝sin12°，∴sin80°>sin12°>sin11°，即cos10°>sin168°>sin11°. 4．函数f(x)＝7sin是(　　) A．周期为3π的偶函数 B．周期为2π的奇函数 C．周期为3π的奇函数 D．周期为的偶函数 答案：A 解析：f(x)＝7sin＝－7cosx(x∈R)，因为f(x)＝－7cosx＝－7cos＝－7cos(x＋3π)，所以T＝3π，且f(－x)＝－7cos＝－7cosx＝f(x)，即f(x)是周期为3π的偶函数． 5．用五点法画出y＝sinx－1，x∈[0，2π]的简图，并结合y＝sinx，x∈[0，2π]的图象，指出它们之间的关系． 解：按五个关键点列表： x 0 π 2π sinx 0 1 0 －1 0 sinx－1 －1 0 －1 －2 －1 描点画图(如图)． 通过列表、描点的过程知y＝sinx－1，x∈[0，2π]的每个函数值比y＝sinx，x∈[0，2π]每个对应的函数值小1，从y＝sinx，x∈[0，2π]的图象(虚线部分)可看出，只要将y＝sinx，x∈[0，2π]的图象向下平移1个单位，即可得到y＝sinx－1，x∈[0，2π]的图象． 课后课时精练 一、选择题 1．下列为正弦曲线的一个对称点的是(　　) A. B．(π，0) C. D．(0，1) 答案：B 解析：正弦曲线的对称点是(kπ，0)，k∈Z. 2．函数y＝1－sinx，x∈[0，2π]的大致图象是(　　) 答案：B 解析：首先作出(或想象出)y＝sinx，x∈[0，2π]的图象，如图．然后作出(或想象出)y＝－sinx，x∈[0，2π]的图象(虚线部分)；最后作出(或想象出)y＝－sinx＋1的图象．易得图象应为B.本题亦可验证(0，1)，两点． 3．若a＝sin4，b＝sin2，c＝sin3，则(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．a>c>b D．a<c<b 答案：D 解析：sin2＝sin(π－2)，sin3＝sin(π－3)．因为0<π－3<π－2<，且y＝sinx在上单调递增，所以sin3<sin2，又π<4<，所以sin4<0，所以a<c<b. 4．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sinx，则f的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：D 解析：∵f(x)的最小正周期为π，∴f＝f＝f，又f(x)为R上的奇函数，∴f＝－f＝－sin＝. 5．(多选)已知函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|，则(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)在区间上单调递增 C．f(x)在区间[－π，π]上有4个零点 D．f(x)的最大值为2 答案：AD 解析：解法一：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|－sinx|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，则函数f(x)是偶函数，故A正确；当x∈时，f(x)＝sin|x|＋|sinx|＝sinx＋sinx＝2sinx，易得f(x)在区间上单调递减，故B不正确；当x∈[0，π]时，f(x)＝sin|x|＋|sinx|＝sinx＋sinx＝2sinx，令2sinx＝0，得x＝0或x＝π，又函数f(x)是偶函数，故f(x)在[－π，0)上有一个零点－π，所以f(x)在区间[－π，π]上有3个零点，故C不正确；当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈N)时，f(x)＝2sinx；当x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈N)时，f(x)＝0，又f(x)为偶函数，所以f(x)的最大值为2，故D正确． 解法二：易知函数f(x)为偶函数，结论A正确．当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈N)时，f(x)＝2sinx；当x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈N)时，f(x)＝0，如图所示为f(x)的图象． 由图象易得结论B，C不正确，结论D正确． 二、填空题 6．若f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－sinx，则当x<0时，f(x)＝________． 答案：－x2－sinx 解析：当x<0时，－x>0，因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－sin(－x)]＝－x2－sinx. 7．已知sinx＋siny＝，则t＝siny＋sin2x－1的最大值是________，最小值是________． 答案：　－ 解析：∵sinx＋siny＝，∴siny＝－sinx.又－1≤siny≤1，∴－1≤－sinx≤1，∴－≤sinx≤1.∴t＝－sinx＋sin2x－1＝sin2x－sinx－＝－.∴当sinx＝－时，t取得最大值；当sinx＝时，t取得最小值－. 8．若函数f(x)＝1＋4sinx－t在区间上有2个零点，则t的取值范围是________． 答案：(3，5)∪(－3，1) 解析：令f(x)＝0，可得sinx＝.由题意可知y＝sinx在区间上的图象与直线y＝有两个交点．作出函数y＝sinx在区间上的图象和直线y＝，如图所示． 则<<1或－1<<0，解得3<t<5或－3<t<1. 三、解答题 9．求下列函数的值域． (1)y＝sinx＋，x∈； (2)y＝sin2x－4sinx＋5. 解：(1)∵0<x≤，∴0<sinx≤1. 设t＝sinx，则y＝g(t)＝t＋，t∈(0，1]． ∵g(t)在(0，1]上为减函数， ∴t＝1时，g(t)min＝3， ∴y≥3.故原函数的值域为[3，＋∞)． (2)y＝sin2x－4sinx＋5＝(sinx－2)2＋1. 设t＝sinx，则y＝g(t)＝(t－2)2＋1，t∈[－1，1]， 结合二次函数的图象可知ymax＝(－1－2)2＋1＝10，ymin＝(1－2)2＋1＝2. 故此函数的值域为[2，10]． 10．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝2－sinx，求当x∈时，f(x)的解析式． 解：当x∈时，3π－x∈， ∵当x∈时，f(x)＝2－sinx， ∴f(3π－x)＝2－sin(3π－x)＝2－sinx. 又f(x)是以π为周期的偶函数， ∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)． ∴当x∈时，f(x)的解析式为f(x)＝2－sinx，x∈. 11．若函数y＝a－bsinx(b>0)的最大值为，最小值为－，则函数y＝－4asinbx的最大值为________，最小正周期为________． 答案：2　2π 解析：由题意，可知解得 所以函数y＝－4asinbx＝－2sinx的最大值为2，最小正周期为2π. 12．已知函数f(x)＝－sin2x＋sinx＋a，若1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围． 解：令t＝sinx，则t∈[－1，1]，则原函数可化为g(t)＝－t2＋t＋a＝－＋a＋. 当t＝时，g(t)max＝a＋，即f(x)max＝a＋； 当t＝－1时，g(t)min＝a－2，即f(x)min＝a－2. 故对于一切x∈R，函数f(x)的值域为. 所以解得3≤a≤4. 15 学科网（北京）股份有限公司 $$