1.1 周期变化-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（北师大版2019）

(教师独具内容) 课程标准：1.通过日常生活中的实际问题认识事物的周期现象，并会判断一些简单的现象是不是呈周期变化.2.感受周期变化对实际工作的意义． 教学重点：1.周期函数的概念.2.最小正周期的概念． 教学难点：利用周期函数解决实际问题． 知识点　周期函数 一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期． 周期函数的周期不止一个．如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)的最小正周期． 　有关函数周期性的常见结论 (1)若f(x)对定义域内的任意x都有f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则T＝2a. (2)若f(x)对定义域内的任意x都有f(x＋a)＝(a≠0)，则T＝2a. (3)若f(x)对定义域内的任意x都有f(x＋a)＝－(a≠0)，则T＝2a. (4)若f(x)对定义域内的任意x都有f(x＋a)＝(a≠0)，则T＝2a. (5)若f(x)对定义域内的任意x都有f(x＋a)＝(a≠0)，则T＝4a. (6)若f(x)的图象关于x＝a对称，且关于x＝b(a≠b)对称，则T＝2|a－b|. (7)若f(x)的图象关于(a，0)对称，且关于x＝b(a≠b)对称，则T＝4|a－b|. (8)若f(x)的图象关于(a，0)对称，且关于(b，0)(a≠b)对称，则T＝2|a－b|. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)生活中，有些天是阴天，有些天是晴天，这是周期变化．(　　) (2)时钟转动时，秒针每隔1分钟都会走到相同的位置，这种变化是周期变化．(　　) (3)函数y＝3＋(－1)n，n∈Z是周期函数．(　　) (4)若函数f(x)是周期函数，则它的周期是唯一的．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．做一做 (1)下列现象中不呈周期变化的是(　　) A．日夜更替 B．月亮圆缺变化 C．地球自转 D．人的一生 (2)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案：(1)D　(2)B 题型一　周期变化 　判断下列现象是否呈周期变化． (1)中央电视台每天晚7：00的新闻联播； (2)每届奥运会的举办时间； (3)放射性物质β的衰变现象． [解]　(1)因为每经过24小时新闻联播便重复出现一次，所以此现象呈周期变化． (2)因为奥运会每4年一届，所以每届奥运会的举办时间呈周期变化． (3)因为放射性元素在衰变过程中，该元素每经过一个半衰期(相同的时间间隔)，原子核数目会减少到原来的一半，所以此现象不呈周期变化． 【感悟提升】　 【跟踪训练】 1．在自行车的车胎上固定一点P，自行车在行驶时，这一点P接触地面是否是周期性出现的？ 解：若自行车匀速行驶，则是周期现象；若自行车是变速行驶，则点P接触地面间隔的时间就会大不相同，因此点P接触地面是否周期性出现要视情况而定． 题型二　周期函数 　(1)如图所示的图象中不具有周期性的是(　　) [解析]　易知C中的图象不具有周期性，故选C. [答案]　C (2)已知函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x－2)，求证：函数y＝f(x)是周期函数． [证明]　令x－2＝t，则x＝t＋2， 于是由f(x＋2)＝f(x－2)， 得f(t)＝f((t＋2)＋2)＝f(t＋4)． ∴f(t)＝f(t＋4)．∴f(x＋4)＝f(x)． ∴函数y＝f(x)是周期函数，4是它的一个周期． 【感悟提升】　 (1)对任意一个实数x，每增加周期的整数倍，其函数值保持不变，则该函数为周期函数．也就是说，在相同的“间隔”下，这种变化是重复进行的． (2)证明f(x)是周期函数，只需找到一个非零常数T，满足f(x＋T)＝f(x)即可． 【跟踪训练】 2．(1)如图所示的是变量y与时间t(s)之间的函数关系的图象，则时间t至少隔________s，y＝1会重复出现1次． 答案：2 解析：由图可知周期为2 s. (2)已知f(x＋2)＝－，求证f(x)是周期函数，并求出它的一个周期． 解：∵f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－＝f(x)，∴f(x)是周期函数，且4是它的一个周期． 题型三　周期变化的应用 　一个古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，要他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子分别标上A，B，C，…，G)，如图，一直到指出第1999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能否帮助他尽快结束这个处罚？ [解]　解法一：发现数“2，3，4，…，1997，1998，1999”按“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”12个数字循环出现，周期是12.由(1999－7)÷12＝166知，刚好是166个周期．所以数到1999的那根柱子的标号是G. 解法二：先把1去掉，(1999－1)÷12＝166……6，第1999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数标号相同，故数到1999的那根柱子的标号是G. 【感悟提升】　 【跟踪训练】 3．一个质点在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将这个振动看作周期运动．从O点开始计时，0.3 s后质点第一次经过M点，又过0.2 s质点第二次经过M点，则再经过多长时间质点第三次经过M点？ 解：分两种情况： ①若质点从O点先向左运动，由题意可知O→M用了0.3 s，M→A→M用了0.2 s，从而该质点的运动半周期＝0.3×2＋0.2＝0.8(s)， 故当质点第三次经过M点时用时应为M→O→B→O→M所用的时间，为0.3×2＋0.8＝1.4(s)． ②若质点从O点先向右运动，则由题意可知O→B→O→M用了0.3 s，M→A→M用了0.2 s，从而该质点的运动周期T＝×＝(s)，故当质点第三次经过M点时用时应为M→O→B→O→M所用的时间，为－0.2＝(s)． 故再过1.4 s或 s质点第三次经过M点． 1．下列现象中呈周期变化的有(　　) ①海水的潮汐现象； ②太阳、地球、月亮的运行； ③投掷硬币，出现正面或背面向上的现象； ④太阳表面的太阳黑子的活动． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C 解析：①由于符合周期变化的定义，因此呈周期变化．②④基于对天文知识的了解，可知呈周期变化．③不是每间隔相同时间就重复出现，因此不呈周期变化． 2．探索下图呈现的规律． 根据规律，从2022到2024，箭头的方向是图中的(　　) 答案：C 解析：仔细观察可知0到4为一个周期，即自变量每增加4图形便重复出现，则从2022到2024对应着2到4，故选C. 3．(多选)下列是定义在R上的四个周期函数图象的一部分，其中最小正周期为1的是(　　) 答案：AC 解析：由函数周期的定义，可知A，C中对应函数的最小正周期为1.故选AC. 4．设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x＋1，则f＝________． 答案： 解析：依题意得f(x＋2)＝f(x)，f(－x)＝f(x)，则f＝f＝f＝f＝＋1＝. 5．设f(x)是定义在实数集上的周期为2的偶函数，已知当x∈[2，3]时，f(x)＝x，求x∈[－2，0]时，f(x)的解析式． 解：当x∈[－2，－1)时，x＋4∈[2，3)， 所以f(x)＝f(x＋4)＝x＋4； 当x∈[－1，0]时，2－x∈[2，3]， 所以f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝2－x. 综上可得，f(x)＝ 课后课时精练 一、选择题 1.已知钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系的图象，如图所示．则与其相对应的函数的周期及t＝25 s时的钟摆高度分别为(　　) A．2 s，10 mm B．1 s，20 mm C．1 s，10 mm D．2 s，20 mm 答案：D 解析：由图知周期为2 s，25 s时的高度与1 s时的高度相同，都是20 mm，故选D. 2.设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．如图中钟摆达到最高位置M时开始计时，经过1分钟后，估计钟摆在(　　) A．铅垂线的左边 B．铅垂线的右边 C．铅垂线上 D．不能确定 答案：B 解析：该单摆振动的图象为(如图)，在该图象中，钟摆在铅垂线的左边时，图象在横轴的上方；钟摆在铅垂线的右边时，图象在横轴的下方．因为60＝1.8×33＋0.6，所以60 s后钟摆在铅垂线的右边．故选B. 3．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图象可能是(　　) 答案：B 解析：由f(－x)＝f(x)可知函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A，C；再由f(x＋2)＝f(x)，可知函数f(x)为周期函数，且周期为2，必满足f(2)＝f(0)，故排除D. 4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则(　　) A．f(－25)<f(11)<f(80) B．f(80)<f(11)<f(－25) C．f(11)<f(80)<f(－25) D．f(－25)<f(80)<f(11) 答案：D 解析：∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．又f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，∴f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．∵f(x)在区间[0，2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，∴f(x)在区间[－2，2]上是增函数，∴f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)． 5．(多选)设函数D(x)＝则下列结论正确的是(　　) A．D(x)的值域为{0，1} B．D(x)是偶函数 C．D(x)是周期函数 D．D(x)是单调函数 答案：ABC 解析：若x为无理数，则－x，x＋1也是无理数，故有D(－x)＝D(x＋1)＝0＝D(x)；若x为有理数，则－x，x＋1也是有理数，故有D(－x)＝D(x＋1)＝1＝D(x)．综上可知，D(x)是偶函数，1是D(x)的周期，且D(x)的值域是{0，1}，不是单调函数．故选ABC. 二、填空题 6．某物体的运动是周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期． 答案：10 解析：4÷0.4＝10，故经过了10个周期． 7．女子体操中“程菲跳”，是指踺子180°——直体前空翻转体540°.判定“程菲跳”是否含有周期现象：________(填“含有”或“不含有”)． 答案：含有 解析：“程菲跳”中直体前空翻转体540°中360°～540°的转体重复0°～180°的转体，属于周期现象． 8．已知f(x)，x∈N＋且f(1)＝2，f(2)＝4，f(3)＝2，f(4)＝4，…，则猜想f(x)＝________． 答案： 解析：由已知找出规律，易知自变量取奇数时，f(x)＝2，自变量取偶数时，f(x)＝4. 三、解答题 9.如图，将弹簧一端固定在墙上，另一端系一个小球，将小球从初始位置A压缩到位置B后放开，在不计阻力的前提下，小球离开初始位置A的距离大小y随时间的变化是周期变化吗？ 解：根据物理知识，如果不计阻力，小球将以A为中心进行左、右摆动．所以小球离开初始位置A的距离大小y随时间的变化呈周期变化． 10．若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示，请回答下列问题： (1)若从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？若从A点算起呢？ (2)当t＝11 s时，单摆小球相对静止位置的位移是多少？ 解：(1)若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，到曲线上的E点表示完成了一次往复运动． (2)f(11)＝f(0.2＋0.4×27)＝f(0.2)＝0. 11．天上有些恒星的亮度是会变化的，其中有一种称为造父变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性变化，下图为一造父变星的亮度随时间变化的图象．据此请回答： (1)此星亮度的变化周期为多少天？ (2)最亮时是几等星？最暗时是几等星？ (3)按照这个规律，判断此星在第30天时的等级． 解：(1)由亮度随时间变化的图象可知此星的亮度大约每6天就有规律地重复出现，故此星亮度的变化周期大约为6天． (2)由图可知，此星最亮时是3.7等星，最暗时是4.4等星． (3)由于此星的变化周期为6天，故在第30天时的等级与在第6天时的等级相同． 该星在第6天时的等级为3.7等星，故在第30天时为3.7等星． 12.一根长为1 cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，如图，已知小球从M点放下，经过0.5秒第一次到达平衡位置O. (1)求小球第三次经过平衡位置O的时间； (2)求小球第一次回到M点的时间； (3)经过7.2秒，小球在平衡位置的左边还是右边？ 解：(1)由题意知，小球依M—O—N—O—M做周期性运动，从M到达O所用时间为0.5秒，所以小球第三次经过平衡位置O的时间为0.5×5＝2.5(秒)． (2)小球第一次回到M点的时间为0.5×4＝2(秒)． (3)因为7.2＝2×3＋1.2，所以由(2)知6秒后小球第三次回到M点，又过1秒后到达N点，再过0.5秒到达O，因此7.2秒时小球正从N向O运动，此时小球在平衡位置的左边． 13．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的x，都有f(2－x)＝f(x)． (1)求f(0)的值； (2)证明：函数f(x)是周期函数； (3)若f(x)＝x2(0<x≤1)，求x∈[－1，1]时，函数f(x)的解析式． 解：(1)由f(x)是定义在R上的奇函数知f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0. (2)证明：由已知条件，对于任意x∈R，都有f(2－x)＝f(x)，用－x代换x，则有f(2＋x)＝f(－x)． 又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以有f(2＋x)＝－f(x)，故f(4＋x)＝f(2＋2＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，因此函数f(x)是周期函数，周期为4. (3)当－1≤x<0时，0<－x≤1， 所以f(－x)＝(－x)2＝x2. 因为函数f(x)为奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝－x2， 又f(0)＝0， 故当－1≤x≤1时，f(x)＝ 10 学科网（北京）股份有限公司 $$