2.1.1 位移、速度、力与向量的概念-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第二章　平面向量及其应用 §1　从位移、速度、力到向量 1.1　位移、速度、力与向量的概念 (教师独具内容) 课程标准：1.通过对位移、速度、力等的分析，了解平面向量的实际背景.2.理解平面向量的意义.3.理解平面向量的几何表示和基本要素． 教学重点：1.向量的概念.2.向量的几何表示.3.向量的模、零向量、单位向量． 教学难点：对向量概念的理解． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　向量的背景与概念 1．向量的背景 位移、速度和力这些物理量都是既有大小又有方向的量，和长度、面积、质量等只有大小的量不同． 2．向量与数量 既有______又有______的量统称为向量．只有大小没有方向的量称为数量． 大小 方向 核心概念掌握 5 方向 长度 核心概念掌握 6 大小 方向 核心概念掌握 7 3．向量的模 向量a的大小，记作____，又称作向量的模． 4．两个特殊的向量 (1)长度为____的向量称为零向量，记作________，任何方向都可以作为零向量的方向． (2)模等于____个单位长度的向量称为单位向量． |a| 0 1 核心概念掌握 8 核心概念掌握 9 2．有向线段与向量的区别和联系 区别 从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素．因此，这是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的 联系 有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段 核心概念掌握 10 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有向线段是向量．(　　) (2)向量可以比较大小．(　　) (3)零向量的方向是任意的．(　　) (4)向量的模是一个正数．(　　) × × √ × 核心概念掌握 11 核心概念掌握 12 核心素养形成 题型一　用列举法表示集合 解析　零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误，B正确；任意两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，故C错误；不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比较大小，故D错误． 下列说法正确的是(　　) A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的长度为0 C．任意两个单位向量的方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小 核心素养形成 14 【感悟提升】　判断向量的依据 判断一个量是不是向量，就是要看它是否同时具备两个要素：大小和方向．只有大小没有方向或只有方向没有大小的量都不是向量．向量不能比较大小，但向量的模能比较大小．向量与数量的区别也在于数量能比较大小． 核心素养形成 15 【跟踪训练】 1．下列判断中正确的是(　　) ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的模都相等；④任意向量与零向量方向都相同． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 解析：由零向量及单位向量的概念知①③④正确．故选D. 核心素养形成 16 题型二　向量的表示 核心素养形成 17 【感悟提升】　向量几何表示的注意事项 (1)准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． (2)要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模型．“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向，需要在日常学习中不断积累经验． 核心素养形成 18 核心素养形成 19 解：如图(1)(2)(3)． 马在A处有2条路可走，在B处有3条路可走，而在C处有8条路可走，解题时应做到不重不漏． 核心素养形成 20 随堂水平达标 1．下列各量中可以是向量的是(　　) ①质量；②密度；③距离；④位移；⑤浮力；⑥电流强度；⑦风速；⑧功；⑨温度． A．③④⑤ B．④⑤⑥ C．④⑤⑦ D．⑦⑧⑨ 解析：位移、浮力、风速，既有大小又有方向． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 22 2．下列说法正确的是(　　) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 解析：向量不能比较大小，但是向量的模是实数，可以比较大小． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 23 A．有相同起点的向量 B．单位向量 C．模相等的向量 D．方向相同的向量 随堂水平达标 1 2 3 4 5 24 随堂水平达标 1 2 3 4 5 25 随堂水平达标 1 2 3 4 5 26 随堂水平达标 1 2 3 4 5 27 课后课时精练 一、选择题 1．下列量不是向量的是(　　) A．力 B．速度 C．体积 D．加速度 解析：体积只有大小，没有方向，不是向量． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 29 2．汽车以120 km/h的速度向西行驶2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向行驶2 h，则下列命题中正确的是(　　) A．汽车的速度大于摩托车的速度 B．汽车的位移大于摩托车的位移 C．汽车行驶的路程大于摩托车行驶的路程 D．以上都不对 解析：由向量不能比较大小，可知选C. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 30 解析：动点M到原点O的距离等于定长1，故动点M的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 31 4.如图所示，已知AD＝3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，长度大于1的向量的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 32 5．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若a＝0，则|a|＝0 B．两个单位向量若起点相同，则终点不一定相同 C．只有零向量的模等于0 D．零向量没有方向 解析：由零向量及单位向量的概念知A，B，C正确，D错误． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 33 外 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 34 2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 35 3 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 36 三、解答题 9．在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： 解：(1)由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 37 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 38 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 39 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 40 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 41 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 42 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 43 12．一位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1 m，然后将行驶方向按逆时针方向旋转角α，继续按直线方向前进1 m，再将行驶方向按逆时针方向旋转角α，然后继续按直线方向前进1 m，……按此方法继续操作下去． (1)作图说明当α＝45°时，最少操作几次可使赛车的位移为零？ (2)按此方法操作，试写出几种赛车能回到出发点的情况． 解：记出发点为A. (1)当α＝45°时，如图①，赛车行进路线构成一个正八边形，赛车所行路程是8 m，最少操作8次可使赛车的位移为零． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 44 (2)当α＝120°时，如图②，赛车行进路线构成一个正三角形，赛车所行路程为3 m，操作3次可使赛车回到出发点； 当α＝90°时，如图③，赛车行进路线构成一个正方形，赛车所行路程为4 m，操作4次可使赛车回到出发点； 当α＝60°时，如图④，赛车行进路线构成一个正六边形，赛车所行路程为6 m，操作6次可使赛车回到出发点． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 45 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点二　向量的表示 1．有向线段 (1)有向线段的概念 具有______和______的线段称为有向线段．以A为起点，B为终点的有向线段，记作eq \o(AB,\s\up12(→)). (2)有向线段的长度 线段AB的长度称为有向线段eq \o(AB,\s\up12(→))的长度，记作_______． eq \o(AB,\s\up12(→))| 2．向量的表示 几何表示：向量可以用有向线段表示，其中有向线段的长度表示向量的_____，箭头所指的方向表示向量的______． 字母表示：向量也可以用黑斜体小写字母如a，b，c，…或a→，b→，c→，…(书写)来表示． 0或eq \o(0,\s\up12(→)) 1．向量相关概念的注意点 (1)在用单个小写字母表示向量时，印刷用黑体a，b，c，书写用a→，b→，c→，注意区分． (2)定义中的零向量、单位向量都是只限制长度，不确定方向． (3)当有向线段的起点A与终点B重合时，eq \o(AB,\s\up12(→))＝0. (4)要注意0与0的区别及联系，0是一个实数，0是一个向量，且有|0|＝0. 2．做一做 (1)若用3 cm表示一个单位向量的长度，则长度为1 cm的向量的模为________． (2)如图所示，已知在边长为a的等边三角形ABC中，E，F分别为边BC，AC的中点，则|eq \o(EF,\s\up12(→))|＝________． eq \f(1,3) eq \f(a,2) 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．作出向量eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(BC,\s\up12(→))，eq \o(CD,\s\up12(→)). 解　向量eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(BC,\s\up12(→))，eq \o(CD,\s\up12(→))如图所示． 【跟踪训练】 2.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字，如图是中国象棋的半个棋盘．若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量eq \o(AA1,\s\up12(→))，eq \o(AA2,\s\up12(→))表示马走了“一步”，试在图中画出马在B，C处走了“一步”的所有情况． 3.如图，在圆O中，向量eq \o(OB,\s\up12(→))，eq \o(OC,\s\up12(→))，eq \o(AO,\s\up12(→))是(　　) 解析：由题图可知，eq \o(OB,\s\up12(→))，eq \o(OC,\s\up12(→))，eq \o(AO,\s\up12(→))三向量方向不同，但长度相等．故选C. 4．圆O的周长是2π，AB是圆O的直径，C是圆周上的一点，∠BAC＝eq \f(π,6)，CD⊥AB于点D，这时|eq \o(CD,\s\up12(→))|＝________． 解析：求|eq \o(CD,\s\up12(→))|即求线段CD的长，如图．因为圆O的周长是2π，所以直径AB＝2.又因为C是圆周上的一点，所以△ACB是直角三角形，且∠ACB＝eq \f(π,2).由∠BAC＝eq \f(π,6)，得BC＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×2＝1.所以CD＝BCsineq \f(π,3)＝1×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2)，即|eq \o(CD,\s\up12(→))|＝eq \f(\r(3),2). eq \f(\r(3),2) 5.如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且|eq \o(AC,\s\up12(→))|＝eq \r(5). (1)画出所有的向量eq \o(AC,\s\up12(→))； (2)求|eq \o(BC,\s\up12(→))|的最大值与最小值． 解：(1)所有的向量eq \o(AC,\s\up12(→))如图所示． (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时，|eq \o(BC,\s\up12(→))|取得最小值，为eq \r(12＋22)＝eq \r(5)； ②当点C位于点C5或C6时，|eq \o(BC,\s\up12(→))|取得最大值，为eq \r(42＋52)＝eq \r(41). ∴|eq \o(BC,\s\up12(→))|的最大值为eq \r(41)，最小值为eq \r(5). 3．设O为坐标原点，且|eq \o(OM,\s\up12(→))|＝1，则动点M的集合是(　　) A．一条线段 B．一个圆面 C．一个圆 D．一段圆弧 解析：以图中各点为起点和终点，长度大于1的向量为eq \o(AC,\s\up12(→))，eq \o(AD,\s\up12(→))，eq \o(BD,\s\up12(→))，eq \o(CA,\s\up12(→))，eq \o(DB,\s\up12(→))，eq \o(DA,\s\up12(→))，共6个．故选D. 二、填空题 6．设点O是△ABC所在平面上一点，若|eq \o(OA,\s\up12(→))|＝|eq \o(OB,\s\up12(→))|＝|eq \o(OC,\s\up12(→))|，则点O是△ABC的________心． 解析：由|eq \o(OA,\s\up12(→))|＝|eq \o(OB,\s\up12(→))|＝|eq \o(OC,\s\up12(→))|，可得点O到△ABC的三个顶点的距离相等，可见满足|eq \o(OA,\s\up12(→))|＝|eq \o(OB,\s\up12(→))|＝|eq \o(OC,\s\up12(→))|的点O是△ABC的外心． 7．设O是正方形ABCD的中心，则eq \o(OA,\s\up12(→))，eq \o(BO,\s\up12(→))，eq \o(AC,\s\up12(→))，eq \o(BD,\s\up12(→))中，模相等的向量有 ______对． 解析：作出正方形ABCD及其中心O，可知eq \o(OA,\s\up12(→))和eq \o(BO,\s\up12(→))的模相等，eq \o(AC,\s\up12(→))和eq \o(BD,\s\up12(→))的模相等． 8.如图所示，在梯形ABCD中，若E，F分别为腰AB，DC的三等分点，且|eq \o(AD,\s\up12(→))|＝2，|eq \o(BC,\s\up12(→))|＝5，则|eq \o(EF,\s\up12(→))|＝________． 解析：如图，过D作DH∥AB，分别交EF，BC于点G，H.∵E，F分别为腰AB，DC的三等分点，∴EF∥AD∥BC.∴G为DH的三等分点． ∴GF∥HC且|eq \o(GF,\s\up12(→))|＝eq \f(1,3)|eq \o(HC,\s\up12(→))|.∵|eq \o(AD,\s\up12(→))|＝2，∴|eq \o(EG,\s\up12(→))|＝|eq \o(BH,\s\up12(→))|＝2.又|eq \o(BC,\s\up12(→))|＝ 5，∴|eq \o(HC,\s\up12(→))|＝3.∴|eq \o(GF,\s\up12(→))|＝1.∴|eq \o(EF,\s\up12(→))|＝|eq \o(EG,\s\up12(→))|＋|eq \o(GF,\s\up12(→))|＝2＋1＝3. (1)eq \o(OA,\s\up12(→))，使|eq \o(OA,\s\up12(→))|＝4eq \r(2)，点A在点O北偏东45°方向上； (2)eq \o(AB,\s\up12(→))，使|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝4，点B在点A正东方向上； (3)eq \o(BC,\s\up12(→))，使|eq \o(BC,\s\up12(→))|＝6，点C在点B北偏东30°方向上． 又|eq \o(OA,\s\up12(→))|＝4eq \r(2)，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量eq \o(OA,\s\up12(→))，如图所示． (2)由于点B在点A正东方向上， 且|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数 为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向 量eq \o(AB,\s\up12(→))，如图所示． (3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且|eq \o(BC,\s\up12(→))|＝6，根据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3eq \r(3)≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量eq \o(BC,\s\up12(→))，如图所示． 10.如图A1，A2，A3，…，A8是⊙O上的八个等分点，则在以A1，A2，A3，…，A8及点O中的任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径的eq \r(2)倍的向量有多少个？ 解：因为A1，A2，A3，…，A8是⊙O上的八个等分点， 所以八边形A1A2A3…A8是正八边形． 因为正八边形的边及对角线长均与⊙O的半径不相等， 所以模等于半径的向量只可能是eq \o(OAi,\s\up12(→))与eq \o(AiO,\s\up12(→))(i＝1，2，…，8)两类，一类是eq \o(OAi,\s\up12(→))(i＝1，2，…，8)，有8个；另一类是eq \o(AiO,\s\up12(→))(i＝1，2，…，8)，也有8个． 两类合计16个，即模等于半径的向量有16个． 因为⊙O内接正方形的边长是半径的eq \r(2)倍， 所以应考虑以与圆心O形成90°圆心角的两点为端点的 向量个数． 以A1，A2，A3，…，A8为顶点的⊙O的内接正方形有两个，一个是正方形A1A3A5A7；另一个是正方形A2A4A6A8. 因为在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的eq \r(2)倍，所以模为半径的eq \r(2)倍的向量共有4×2×2＝16(个)． 11．已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000eq \r(2) km到达D地． (1)作出向量eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(BC,\s\up12(→))，eq \o(CD,\s\up12(→))，eq \o(DA,\s\up12(→))； (2)D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 解：(1)由题意，作出向量eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(BC,\s\up12(→))，eq \o(CD,\s\up12(→))，eq \o(DA,\s\up12(→))，如图所示． (2)由题意知，△ABC是正三角形， ∴AC＝2000 km. 又∠ACD＝45°，CD＝1000eq \r(2) km， ∴△ACD是等腰直角三角形． ∴AD＝1000eq \r(2) km，∠CAD＝45°. ∴D地在A地的东南方向， D地距A地1000eq \r(2) km. $$