第2章 三角恒等变换 单元质量测评-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（湘教版2019）

第2章　单元质量测评 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．cos215°－sin215°的值是(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　C 解析　cos215°－sin215°＝cos30°＝． 2．设α∈，β∈，且tanα＝，则(　　) A．3α－β＝ B．3α＋β＝ C．2α－β＝ D．2α＋β＝ 答案　C 解析　由tanα＝得＝，即sinαcosβ＝cosα＋sinβcosα，所以sin(α－β)＝cosα，又cosα＝sin，所以sin(α－β)＝sin，又因为α∈，β∈，所以－<α－β<，0<－α<，因此α－β＝－α，所以2α－β＝．故选C． 3．已知cos2α－cos2β＝m，那么sin(α＋β)sin(α－β)＝(　　) A．－ B． C．－m D．m 答案　C 解析　解法一：sin(α＋β)sin(α－β)＝－(cos2α－cos2β)＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)＝cos2β－cos2α＝－m．故选C． 解法二：sin(α＋β)sin(α－β)＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)＝cos2β－cos2α＝－m．故选C． 4．函数y＝cos2－cos2的值域为(　　) A．[－1，0] B．[0，1] C．[－1，1] D． 答案　C 解析　∵y＝－ ＝ ＝(sin2x＋sin2x)＝sin2x，∴－1≤y≤1． 5．在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanAtanB且sinAcosA＝，则此三角形是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 答案　C 解析　∵sin2A＝，∴sin2A＝，∴A＝30°或60°．又tanA＋tanB＝－(1－tanAtanB)，∴＝－，即tan(A＋B)＝－，∴A＋B＝120°．若A＝30°，则B＝90°，tanB无意义，∴A＝60°，B＝60°，∴△ABC为等边三角形． 6．E，F是等腰直角三角形ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　如图，取AB的中点D，连接CD，则∠ECF＝2∠ECD，设AB＝2a，则CD＝AD＝a，DE＝，tan∠ECD＝＝，∴tan∠ECF＝tan2∠ECD＝＝．故选D． 7．已知向量m＝(cosθ，sinθ)和n＝(－sinθ，cosθ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝，则cos的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　A 解析　m＋n＝(cosθ－sinθ＋，cosθ＋sinθ)， |m＋n|＝ ＝＝2． 由|m＋n|＝得cos＝，又θ∈(π，2π)，所以<＋<，所以cos<0，所以cos＝－＝－＝－． 8．若动直线x＝a与函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的图象分别交于M，N两点，则MN的最大值为(　　) A．1 B． C． D．2 答案　B 解析　依题意得点M，N的坐标分别为(a，sina)，(a，cosa)，∴MN＝|sina－cosa|＝＝≤(a∈R)，∴MNmax＝． 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列化简正确的是(　　) A．cos82°sin52°－sin82°cos52°＝－ B．sin15°sin30°sin75°＝ C．＝－ D．＝2－ 答案　ACD 解析　cos82°sin52°－sin82°cos52°＝sin(52°－82°)＝sin(－30°)＝－sin30°＝－，故A正确；sin15°sin30°sin75°＝sin15°cos15°＝sin30°＝，故B错误；＝tan(48°＋72°)＝tan120°＝－，故C正确；＝＝＝＝＝＝＝2－，故D正确．故选ACD． 10．已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x，若α∈(0，π)，且f(α)＝，则α的值为(　　) A． B． C． D． 答案　AC 解析　∵f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x＝cos2xsin2x＋cos4x＝sin4x＋cos4x＝sin，∴f(α)＝sin＝，则sin＝1，∴4α＋＝＋2kπ(k∈Z)，即α＝＋(k∈Z)．又α∈(0，π)，∴当k＝0时，α＝；当k＝1时，α＝．故选AC． 11．若函数f(x)＝2cos2＋2－2，则(　　) A．函数f(x)的最小值为－2 B．函数f(x)的最小正周期为π C．函数f(x)在[－π，π]上有三个零点 D．函数f(x)在[π，2π]上单调递增 答案　AC 解析　f(x)＝2cos2＋2－2＝2×＋|sinx|－2＝|sinx|＋cosx－1．对于A，f(x＋2π)＝|sin(x＋2π)|＋cos(x＋2π)－1＝|sinx|＋cosx－1＝f(x)，所以2π是函数y＝f(x)的周期．当2kπ≤x≤2kπ＋π(k∈Z)时，f(x)＝sinx＋cosx－1＝sin－1，此时2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，－≤sin≤1，则f(x)≥－2；当2kπ＋π≤x≤2kπ＋2π(k∈Z)时，f(x)＝cosx－sinx－1＝－sin－1，此时2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，－1≤sin≤，则f(x)≥－2．综上所述，函数y＝f(x)的最小值为－2，A正确；对于B，f(0)＝|sin0|＋cos0－1＝0，f(π)＝|sinπ|＋cosπ－1＝－2，f(0)≠f(π)，所以函数y＝f(x)的最小正周期不是π，B错误；对于C，令f(x)＝|sinx|＋cosx－1＝0，可得|sinx|＝1－cosx，等式两边平方，得sin2x＝(1－cosx)2，即1－cos2x＝(1－cosx)2，即cosx(1－cosx)＝0，可得cosx＝0或cosx＝1，当x∈[－π，π]时，方程f(x)＝0的解为x1＝，x2＝－，x3＝0，所以函数y＝f(x)在[－π，π]上有三个零点，C正确；对于D，当x∈[π，2π]时，f(x)＝cosx－sinx－1＝－sin－1，≤x－≤，所以函数y＝f(x)在区间[π，2π]上不是单调递增函数，D错误．故选AC． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中的横线上) 12．函数y＝coscos的最大值是________． 答案　 解析　y＝coscos＝＝＝－cos2x，因为－1≤cos2x≤1，所以－≤y≤，所以ymax＝． 13．(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα＋tanβ＝4，tanαtanβ＝＋1，则sin(α＋β)＝________． 答案　－ 解析　解法一：由题意，得tan(α＋β)＝＝＝－2，因为α∈，β∈，k，m∈Z，则α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，又因为tan(α＋β)＝－2<0，则α＋β∈，k，m∈Z，则sin(α＋β)<0，则＝－2，与sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1联立，解得sin(α＋β)＝－． 解法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0，cosβ<0，cosα＝＝，cosβ＝＝ ，则sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝cosαcosβ(tanα＋tanβ)＝4cosαcosβ＝＝＝＝－． 14．已知关于x的方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是________． 答案　(－2，－1) 解析　方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin2x＝cos2x＋sin2x＝2sin，设2x＋＝t，则当x∈时，t∈，∴题目条件可转化为关于t的方程＝sint，t∈有两个不同的实数根，即直线y＝和y＝sint，t∈的图象有两个不同的交点，如图． 由图象观察，知当∈时，＝sint，t∈有两个不同的实数根，故m∈(－2，－1)． 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)已知tan＝－． (1)求tanα的值； (2)求的值． 解　(1)由tan＝－， 得＝－． 解得tanα＝－3． (2)＝ ＝2cosα． ∵<α<π且tanα＝－3，∴cosα＝－． ∴原式＝－． 16．(本小题满分15分)△ABC的三个内角为A，B，C，求当A为何值时，cosA＋2cos取得最大值？并求出这个最大值． 解　由A＋B＋C＝π，得＝－， ∴cos＝sin， ∴cosA＋2cos＝cosA＋2sin＝1－2sin2＋2sin＝－2＋． 当sin＝，即A＝时，cosA＋2cos取得最大值． 17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝2－2sinxcosx－2cos2x． (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)若锐角三角形ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f(A)＝0，求的取值范围． 解　(1)f(x)＝2－2sinxcosx－2cos2x ＝－(sin2x＋cos2x)＋1＝－2sin＋1． 令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z． (2)因为f(A)＝－2sin＋1＝0， 所以sin＝． 由0<A<，得<2A＋<， 因此2A＋＝，所以A＝． 所以＝＝ ＝＝＋． 因为△ABC为锐角三角形， 所以解得<C<， 所以tanC>，所以<<2． 所以的取值范围是． 18．(本小题满分17分)如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形区域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ． (1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成关于θ的函数； (2)若R＝45 m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(≈1．414) 解　(1)由题意，可知点M为的中点，所以OM⊥AD． 设OM与BC的交点为F，则BC＝2Rsinθ，OF＝Rcosθ， 所以AB＝OF－AD＝Rcosθ－Rsinθ． 所以S＝AB·BC＝2Rsinθ(Rcosθ－Rsinθ) ＝R2(2sinθcosθ－2sin2θ)＝R2(sin2θ－1＋cos2θ) ＝R2sin－R2，θ∈． (2)因为θ∈，所以2θ＋∈， 所以当2θ＋＝， 即θ＝时，S有最大值． Smax＝(－1)R2＝(－1)×452≈0．414×2025＝838．35(m2)． 故当θ＝时，矩形ABCD的面积S最大，为838．35 m2． 19．(2024·新课标Ⅱ卷)(本小题满分17分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋cosA＝2． (1)求A； (2)若a＝2，bsinC＝csin2B，求△ABC的周长． 解　(1)解法一(利用辅助角公式求解)： 由sinA＋cosA＝2， 可得sinA＋cosA＝1， 即sin＝1，由于A∈(0，π)⇒A＋∈，故A＋＝， 解得A＝． 解法二(利用同角三角函数的基本关系求解)： 由sinA＋cosA＝2，又sin2A＋cos2A＝1，消去sinA， 得4cos2A－4cosA＋3＝0⇔(2cosA－)2＝0， 解得cosA＝， 又A∈(0，π)，故A＝． (2)由题设条件和正弦定理，得 bsinC＝csin2B⇔sinBsinC ＝2sinCsinBcosB， 又B，C∈(0，π)，则sinBsinC≠0， 得cosB＝，故B＝， 于是sinC＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝， 由正弦定理＝＝， 得＝＝， 解得b＝2，c＝＋， 故△ABC的周长为2＋3＋． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$