2.2 二倍角的三角函数-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（湘教版2019）

(教师独具内容) 课程标准：1．能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．能利用二倍角公式进行化简、求值、证明．3．熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用． 教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及应用． 教学难点：二倍角公式的常见变形，三角函数公式的综合应用． 核心素养：1．通过公式的推导培养逻辑推理和数学运算素养．2．借助三角函数公式的综合应用提升数学运算素养． 知识点　二倍角公式 S(2α)：sin2α＝2sinαcosα． C(2α)：cos2α＝cos2α－sin2α． T(2α)：tan2α＝． 注意：C(2α)也可改写为cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α． 1．二倍角公式中的“倍角”的相对性 对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍，这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的． 前提：所含各三角函数有意义． 2．二倍角公式的变形 (1)二倍角公式的逆用 S(2α)：2sinαcosα＝sin2α，sinα＝，cosα＝． C(2α)：cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α． T(2α)：＝tan2α，2tanα＝tan2α(1－tan2α)． (2)配方变形 1±sin2α＝sin2α＋cos2α±sin2α＝(sinα±cosα)2． (3)因式分解变形 cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα－sinα)(cosα＋sinα)． (4)升幂公式 1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α． (5)降幂公式 cos2α＝；sin2α＝；sinαcosα＝sin2α；tan2α＝． 3．用正切来表示正弦、余弦的二倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下： (1)sin2α＝2sinαcosα＝＝，即sin2α＝． (2)cos2α＝cos2α－sin2α＝＝，即cos2α＝． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(　　) (2)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．(　　) (3)对于任意的角α，cos2α＝2cosα都不成立．(　　) (4)sin3αcos3α＝sin6α．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)下列各式中，值为的是(　　) A．sin215°＋cos215° B．cos215°－sin215° C．2cos215° D．2sin15°cos15° (2)已知sinx＝，则cos2x的值为(　　) A． B． C． D． (3)若tanθ＝3，则tan2θ＝________． 答案　(1)D　(2)A　(3)－ 题型一　利用二倍角公式化简求值 例1　求下列各式的值： (1)cos415°－sin415°； (2)1－2sin275°； (3)； (4)－． [解]　(1)cos415°－sin415°＝(cos215°－sin215°)(cos215°＋sin215°)＝cos215°－sin215°＝cos30°＝． (2)1－2sin275°＝cos150°＝－cos30°＝－． (3)＝2×＝2×＝－2． (4)－＝ ＝ ＝ ＝＝4． 解决给角求值问题的方法 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． [跟踪训练1]　求下列各式的值： (1)sincoscos； (2)cos72°cos36°； (3)＋； (4)coscoscos． 解　(1)原式＝cos ＝sincos＝ ＝sin＝． (2)原式＝＝＝＝． (3)原式＝ ＝＝ ＝＝4． (4)∵cos＝－cos，cos＝－cos， ∴coscoscos＝coscoscos ＝ ＝ ＝＝＝－． 题型二　给值求值 例2　已知cos＝，≤α<，则cos＝________． [解析]　∵≤α<，∴≤α＋<．∵cos>0，∴<α＋<．∴sin＝－＝－＝－．∴cos2α＝sin＝2sincos＝2××＝－，sin2α＝－cos＝1－2cos2＝1－2×＝．∴cos＝cos2α－sin2α＝×＝－． [答案]　－ 解决给值求值问题的方法 给值求值问题要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； (2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． [跟踪训练2]　已知sin＝，0<x<，则＝________． 答案　 解析　原式＝ ＝＝2sin． ∵sin＝cos＝，且0<x<， ∴＋x∈． ∴sin＝＝． ∴原式＝2×＝． 题型三　给值求角 例3　已知α∈，且sin2α＝sin，则α＝________． [解析]　∵sin2α＝－cos＝－＝1－2cos2，sin＝－sin＝－cos＝－cos，∴原式可化为1－2cos2＝－cos，解得cos＝1或cos＝－．∵α∈，∴α＋∈，故α＋＝0或α＋＝，即α＝－或α＝． [答案]　－或 在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角．其中确定角的范围是关键的一步． [跟踪训练3]　已知tanα＝，sinβ＝，且α，β为锐角，则α＋2β＝________． 答案　 解析　∵tanα＝<1，且α为锐角，∴0<α<．又sinβ＝<，且β为锐角，∴0<β<，∴0<α＋2β<．由sinβ＝，β为锐角，得cosβ＝，∴tanβ＝，∴tan2β＝＝＝，∴tan(α＋2β)＝＝＝1，故α＋2β＝． 题型四　利用二倍角公式证明问题 例4　求证： (1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2A·cos2B； (2)＋＝． [证明]　(1)左边＝ － ＝ ＝(cos2Acos2B－sin2Asin2B＋cos2Acos2B＋sin2Asin2B) ＝cos2Acos2B＝右边， 所以等式成立． (2)原式＝ ＋ ＝＋＝＝． 所以等式成立． 证明三角恒等式的原则与步骤 (1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想． (2)证明恒等式的一般步骤 ①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的． [跟踪训练4]　(1)设α≠kπ＋，求证：tan＝． 证明　因为tan＝ ＝ ＝ ＝＝， 所以tan＝． (2)求证：＝tanα＋． 证明　因为左边＝ ＝＝ ＝tanα＋＝右边， 所以＝tanα＋成立． 题型五　二倍角公式的综合应用 例5　(1)已知在△ABC中，A＝，则sinB＋cos2B的最大值是________． [解析]　由题意，在△ABC中，A＝，则B∈，所以sinB∈，又sinB＋cos2B＝sinB＋1－2sin2B＝－2sin2B＋sinB＋1＝－2＋，所以当sinB＝时，sinB＋cos2B取得最大值，最大值是． [答案]　 (2)设f(x)＝4cossinωx－cos(2ωx＋π)，其中ω>0． ①求函数y＝f(x)的值域； ②若f(x)在区间上单调递增，求ω的最大值． [解]　①f(x)＝4sinωx＋cos2ωx ＝2sinωxcosωx＋2sin2ωx＋cos2ωx－sin2ωx ＝sin2ωx＋1(ω>0)． 因为－1≤sin2ωx≤1，所以函数y＝f(x)的值域为[1－，1＋]． ②因为y＝sinx在每个闭区间(k∈Z)上单调递增，所以f(x)＝sin2ωx＋1(ω>0)在每个闭区间(k∈Z)上单调递增． 依题意知⊆对某个k∈Z成立，此时必有k＝0， 则解得ω≤， 故ω的最大值为． 三角形中三个内角的和是π，A，B，C都要受此限制，特别是已知其中某个角后，求关于另一个角的三角函数式的最值问题．因为该角限定在某个区间上，所以求最值时必须首先考虑其取值范围，再借助于三角函数图象或二次函数获得结论，否则就容易出现错误． [跟踪训练5]　(1)已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　A 解析　设底角为θ，则θ∈，顶角为π－2θ．∵sinθ＝，∴cosθ＝＝．∴sin(π－2θ)＝sin2θ＝2sinθcosθ＝2××＝． (2)已知向量a＝，b＝(sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b． ①求f(x)的最小正周期； ②求f(x)在上的最大值和最小值． 解　f(x)＝·(sinx，cos2x) ＝cosxsinx－cos2x＝sin2x－cos2x ＝cossin2x－sincos2x＝sin． ①f(x)的最小正周期为T＝＝π． ②∵0≤x≤，∴－≤2x－≤． 当2x－＝，即x＝时，f＝1； 当2x－＝－，即x＝0时，f(0)＝－； 当2x－＝，即x＝时，f＝． 因此，f(x)在上的最大值是1，最小值是－． 1．已知cosα－sinα＝，则sin2α的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　C 解析　将已知等式两边平方，可得1－sin2α＝，∴sin2α＝． 2．(多选)下列四个等式正确的是(　　) A．tan25°＋tan35°＋tan25°tan35°＝ B．＝1 C．cos2－sin2＝ D．cos20°cos40°cos80°＝ 答案　AD 解析　对于A，因为tan60°＝tan(25°＋35°)＝＝，所以tan25°＋tan35°＋tan25°tan35°＝，故A正确；对于B，因为＝tan45°＝1，所以＝，故B错误；对于C，因为cos2－sin2＝cos＝，故C错误；对于D，因为原式＝＝＝＝＝，故D正确．故选AD． 3．若＝，则tan2α＝________． 答案　 解析　因为＝，整理，得tanα＝－3，所以tan2α＝＝＝． 4．若＝4，则(sinθ)2020＋(cosθ)2021的值为________． 答案　1 解析　因为＝4，所以9－(2cos2θ－1)＝4(cosθ＋1)．整理，得cos2θ＋2cosθ－3＝0．解得cosθ＝1(cosθ＝－3舍去)．所以sinθ＝±＝0，所以(sinθ)2020＋(cosθ)2021＝0＋1＝1． 5．已知<α<π，cosα＝－．求： (1)tanα的值； (2)sin2α＋cos2α的值． 解　(1)因为cosα＝－，<α<π， 所以sinα＝， 所以tanα＝＝－． (2)因为sin2α＝2sinαcosα＝－，cos2α＝2cos2α－1＝， 所以sin2α＋cos2α＝－＋＝－． 一、选择题 1．若tanθ＋＝4，则sin2θ＝(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　因为tanθ＋＝4，所以＋＝4，所以＝4，即＝4．所以sin2θ＝． 2．已知x∈，cosx＝，则tan2x等于(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　D 解析　由cosx＝，x∈，得sinx＝－，所以tanx＝－，所以tan2x＝＝＝－． 3．已知θ∈(0，π)，2sin2θ＝cos2θ－1，则cosθ＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　D 解析　∵θ∈(0，π)，2sin2θ＝cos2θ－1，∴4sinθ·cosθ＝1－2sin2θ－1．∴2sinθcosθ＝－sin2θ．∵sinθ>0，∴sinθ＝－2cosθ，∴cosθ<0，∴sin2θ＋cos2θ＝4cos2θ＋cos2θ＝5cos2θ＝1．∴cos2θ＝．∴cosθ＝－． 4．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则△ABC是(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案　B 解析　由sinBsinC＝cos2得sinBsinC＝ ，∴2sinBsinC＝1＋cosA，∴2sinBsinC＝1＋cos[π－(B＋C)]＝1－cos(B＋C)，∴2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC，∴cosBcosC＋sinBsinC＝1，∴cos(B－C)＝1．又－π<B－C<π，∴B－C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰三角形． 5．(多选)已知f(x)＝2cos2ωx＋sin2ωx－1(ω>0)的最小正周期为π，则下列说法正确的有(　　) A．ω＝2 B．函数f(x)在上为增函数 C．直线x＝是函数y＝f(x)图象的一条对称轴 D．点是函数y＝f(x)图象的一个对称中心 答案　BD 解析　f(x)＝2cos2ωx＋sin2ωx－1(ω>0)＝cos2ωx＋sin2ωx＝2cos，∵f(x)的最小正周期为π，∴＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝2cos，故A错误；当x∈时，2x－∈，故f(x)＝2cos在上单调递增，故B正确；当x＝时，f(x)＝1，不是最值，故直线x＝不是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，故C错误；当x＝时，f(x)＝0，故点是函数y＝f(x)图象的一个对称中心，故D正确．故选BD． 二、填空题 6．已知sin＝，则cos的值为________． 答案　－ 解析　∵sin＝，∴cos＝cos＝－cos＝2sin2－1＝－． 7．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0．618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用．0．618就是黄金分割比：t＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则＝________． 答案　 解析　把t＝2sin18°代入，得＝＝． 8．函数f(x)＝cos2x的最小正周期是________，单调递增区间是________． 答案　π　，k∈Z 解析　∵函数f(x)＝cos2x＝cos2x＋，∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π，令2kπ＋π≤2x≤2kπ＋2π，k∈Z，可得kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z． 三、解答题 9．求证：(1)＝－4； (2)＝sin2α． 证明　(1)因为左边＝ ＝ ＝＝ ＝－4＝右边，所以原等式成立． (2)证法一：因为左边＝ ＝＝ ＝＝sincoscosα ＝sinαcosα＝sin2α＝右边． 所以原等式成立． 证法二：因为左边＝ ＝cos2α· ＝cos2αtanα＝cosαsinα＝sin2α＝右边． 所以原等式成立． 10．已知cosα＝，α∈． (1)求sin2α的值； (2)设角β的终边与单位圆的交点为P，β∈(0，π)，求2α－β的大小． 解　(1)因为α∈，cosα＝， 所以sinα＝＝． 所以sin2α＝2sinαcosα＝． (2)因为角β的终边与单位圆的交点为P， 则cosβ＝． 因为β∈(0，π)， 所以sinβ＝＝，所以tanβ＝． 由(1)知sin2α＝，cos2α＝cos2α－sin2α＝， 所以tan2α＝， 则tan(2α－β)＝＝1， 由cosβ＝，得β∈． 由α∈，得2α∈(0，π)． 所以2α－β∈． 所以2α－β＝． 1．已知x＋y＝3－cos4θ，x－y＝4sin2θ，求证：x＋y＝2． 证明　x＋y＝3－cos4θ，① x－y＝4sin2θ．② ①＋②，得2x＝3＋4sin2θ－cos4θ＝3＋4sin2θ－1＋2sin22θ＝2(1＋sin2θ)2， ∴x＝(1＋sin2θ)2． ①－②，得2y＝3－cos4θ－4sin2θ＝3－1＋2sin22θ－4sin2θ＝2(1－sin2θ)2， ∴y＝(1－sin2θ)2． ∴x＋y＝＋＝1＋sin2θ＋1－sin2θ＝2． 2．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2－1． (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)若函数g(x)＝f(x)－k在区间上有三个零点，求实数k的取值范围． 解　(1)f(x)＝sin2x＋cos ＝sin2x＋cos2x－sin2x ＝sin2x＋cos2x＝sin． 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)． 所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． (2)令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)． 当x∈时，f(x)在区间和上单调递增，在区间上单调递减． f＝－，f＝1，f＝－1，f＝，g(x)＝f(x)－k在区间上有三个零点，等价于函数y＝f(x)与y＝k的图象在区间上有三个交点，所以－≤k≤．所以当函数g(x)在区间上有三个零点时，实数k的取值范围是． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$