1.4.2 向量线性运算的坐标表示-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（湘教版2019）

1．4．2　向量线性运算的坐标表示 (教师独具内容) 课程标准：1．会用坐标表示平面向量的线性运算．2．能用坐标表示平面向量共线的条件． 教学重点：1．平面向量线性运算的坐标表示．2．平面向量共线的坐标表示． 教学难点：平面向量的共线问题． 核心素养：1．通过平面向量线性运算坐标表示的应用培养逻辑推理和数学运算素养．2．通过运用平面向量共线的条件来解决问题提升数学运算素养． 知识点一　平面向量线性运算的坐标表示 (1)平面向量加、减运算的坐标表示 两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的和(或差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(或差)，即a±b＝(x1，y1)±(x2，y2)＝(x1±x2，y1±y2)． (2)平面向量数乘运算的坐标表示 一个实数λ与向量a＝(x，y)的积的坐标等于这个数乘以向量相应的坐标，即λa＝λ(x，y)＝(λx，λy)． (3)在平面直角坐标系中，向量的坐标等于终点Q的坐标(x2，y2)减去起点P的坐标(x1，y1)，即＝(x2－x1，y2－y1)． 知识点二　中点坐标公式与平面向量共线的坐标表示 (1)中点坐标公式 已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P是线段P1P2的中点，则点P的坐标为． (2)平面向量共线的坐标表示 向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)平行(也就是共线)⇔(x1，y1)∥(x2，y2)⇔x1y2－y1x2＝0． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(　　) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　) (3)已知A(0，2)，B(4，4)，则线段AB的中点坐标为(2，3)．(　　) (4)已知A(1，－3)，B，且A，B，C三点共线，则C点的坐标可能是(9，1)．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．做一做 (1)下列各组向量中，共线的是(　　) A．a＝(－2，3)，b＝(4，6) B．a＝(2，3)，b＝(3，2) C．a＝(1，－2)，b＝(7，14) D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4) (2)已知向量a＝(2，－3)，若a＝2b，则b＝(　　) A．(4，－6) B．(－6，4) C． D． (3)若点A(3，5)，B(2，1)，则向量的坐标为________． (4)若a＝(3，2)，b＝(0，－1)，则2b－a的坐标是________． 答案　(1)D　(2)C　(3)(－1，－4) (4)(－3，－4) 题型一　平面向量的坐标运算 例1　设向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求下列各向量的坐标． (1)a＋b；(2)a－b；(3)3a；(4)2a＋5b． [解]　(1)a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)． (2)a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)． (3)3a＝3(－1，2)＝(－3，6)． (4)2a＋5b＝2(－1，2)＋5(3，－5)＝(－2，4)＋(15，－25)＝(13，－21)． 平面向量坐标的线性运算 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及数乘的运算法则进行． (2)向量坐标的线性运算可完全类比数的运算进行． [跟踪训练1]　在▱ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对称中心为O，则等于(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　＝－＝－(＋)＝－(1，10)＝． 题型二　平面向量坐标运算的应用 例2　已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)． (1)求线段BD的中点M的坐标； (2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值． [解]　(1)设B(x1，y1)，因为＝(4，3)，A(－1，－2)， 所以(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)， 所以所以所以B(3，1)． 同理，可得D(－4，－3)， 设BD的中点M(x2，y2)， 则x2＝＝－，y2＝＝－1． 所以M． (2)由＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)， ＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)， 又＝λ(λ∈R)， 所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)． 所以所以 (1)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为． (2)已知含参数的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是向量坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用该点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)进行求解． [跟踪训练2]　在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，2)，B(4，3)，C(3，6)，＝＋λ(λ∈R)． (1)当实数λ为何值时，点P在第二、四象限的角平分线上？ (2)若点P在第三象限内，求实数λ的取值范围． 解　设P(x，y)，因为＝＋λ， 所以＝＋＝＋＋λ＝＋λ＝(4，3)＋λ(4，4)＝(4＋4λ，3＋4λ)． (1)因为点P在第二、四象限的角平分线上，所以x＝－y，所以4＋4λ＝－(3＋4λ)，解得λ＝－， 所以当λ＝－时，点P在第二、四象限的角平分线上． (2)因为点P在第三象限内， 所以所以解得λ<－1． 所以若点P在第三象限内，则实数λ的取值范围为λ<－1． 题型三　向量共线问题 例3　(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________． [解析]　因为a＝(1，2)，b＝(2，3)，所以λa＋b＝(λ，2λ)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)．因为向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0．所以λ＝2． [答案]　2 (2)已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？ [解]　解法一：ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)， a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)， 当ka＋b与a－3b平行时，存在实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)． 由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)， 所以解得k＝λ＝－． 当k＝－时，ka＋b与a－3b平行， 这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)， 因为λ＝－<0，所以ka＋b与a－3b反向． 解法二：由题意知ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4)， 因为ka＋b与a－3b平行， 所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0， 解得k＝－． 这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)． 所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向． 向量共线的判定方法 (1)由a＝λb(b≠0)推出a∥b． (2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解． [跟踪训练3]　已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝________． 答案　1 解析　因为a－2b＝(，3)与c＝(k，)共线，所以3k＝×，故k＝1． 题型四　三点共线问题 例4　(1)若点A(1，－3)，B，C(x，1)共线，则x＝________． [解析]　＝，＝(x－1，4)．因为点A，B，C共线，所以与共线．所以7×4－(x－1)＝0，解得x＝9． [答案]　9 (2)设向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？ [解]　解法一：若A，B，C三点共线，则，共线，则存在实数λ，使得＝λ， 因为＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)． 所以(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)． 即解得k＝－2或k＝11． 所以当k＝－2或11时，A，B，C三点共线． 解法二：由题意知，共线， 因为＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)， 所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0， 所以k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11． 所以当k＝－2或11时，A，B，C三点共线． 三点共线的实质与证明步骤 (1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的． (2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点． [跟踪训练4]　如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A，B，C三点共线． 解　解法一：∵A，B，C三点共线， 即，共线， ∴存在实数λ使得＝λ， 即i－2j＝λ(i＋mj)． ∴ ∴m＝－2，即m＝－2时，A，B，C三点共线． 解法二：依题意知i＝(1，0)，j＝(0，1)， 则＝(1，0)－2(0，1)＝(1，－2)，＝(1，0)＋m(0，1)＝(1，m)， 而，共线，∴1×m＋2＝0，解得m＝－2． 故当m＝－2时，A，B，C三点共线． 1．已知＝(－2，4)，＝(2，6)，则＝(　　) A．(0，5) B．(0，1) C．(2，5) D．(2，1) 答案　D 解析　∵＝－＝(2，6)－(－2，4)＝(4，2)，∴＝(2，1)． 2．已知向量a＝(1，2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值为(　　) A． B． C．1 D．2 答案　A 解析　a＋2b＝(1，2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1，2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝． 3．(多选)已知A(3，－6)，B(－5，2)，且A，B，C三点在一条直线上，则C点的坐标可能是(　　) A．(－9，6) B．(－1，－2) C．(－7，－2) D．(6，－9) 答案　ABD 解析　设C(x，y)，则＝(x－3，y＋6)，＝(－8，8)．∵A，B，C三点在同一条直线上，∴＝，即x＋y＋3＝0，将四个选项分别代入x＋y＋3＝0验证可知，A，B，D均符合．故选ABD． 4．已知向量a，b满足a＝(1，2)，a＋b＝(1＋m，1)，若a∥b，则m＝(　　) A．2 B．－2 C． D．－ 答案　D 解析　b＝(a＋b)－a＝(1＋m，1)－(1，2)＝(m，－1)．因为a∥b，所以2m＋1＝0，解得m＝－．故选D． 5．平面内给出三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，求解下列问题： (1)求3a＋b－2c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k． 解　(1)3a＋b－2c＝3(3，2)＋(－1，2)－2(4，1)＝(0，6)． (2)∵a＝mb＋nc， ∴(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)， ∴∴ (3)∵a＋kc＝(3，2)＋k(4，1)＝(3＋4k，2＋k)， 2b－a＝2(－1，2)－(3，2)＝(－5，2)， 又(a＋kc)∥(2b－a)， ∴2(3＋4k)＝－5(2＋k)，∴k＝－． 一、选择题 1．已知a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则a－b＝(　　) A．(－1，2) B．(1，－2) C．(－1，－2) D．(1，2) 答案　A 解析　a－b＝(1，1)－(1，－1)＝＝(－1，2)． 2．已知两点A(2，－1)，B(3，1)，与平行且方向相反的向量a可能是(　　) A．(1，－2) B．(9，3) C．(－1，2) D．(－4，－8) 答案　D 解析　＝(3－2，1＋1)＝(1，2)，∵(－4，－8)＝－4(1，2)，∴(－4，－8)满足条件． 3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为(　　) A．(2，6) B．(－2，6) C．(2，－6) D．(－2，－6) 答案　D 解析　由题意，得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，则d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a－4b＋4c＝(－2，－6)． 4．已知向量a＝，b＝(cosα，1)，且a∥b，则cos＝(　　) A．－ B． C．－ D．－ 答案　C 解析　因为a∥b，所以－tanαcosα＝0，即－·cosα＝0，所以sinα＝，所以cos＝－sinα＝－．故选C． 5．(多选)已知A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，则下列结论正确的是(　　) A．直线OC与直线BA平行 B．＋＝ C．＋＝ D．＝－2 答案　ACD 解析　因为＝(－2，1)，＝(2，－1)，所以＝－，又直线OC，BA不重合，所以直线OC∥BA，所以A正确；因为＋＝≠，所以B错误；因为＋＝(0，2)＝，所以C正确；因为＝(－4，0)，－2＝(0，2)－2(2，1)＝(－4，0)，所以D正确． 二、填空题 6．若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋＝________． 答案　 解析　＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，∵，共线，∴－2×(－2)＝(a－2)(b－2)，即a＋b＝ab，又ab≠0，∴＋＝． 7．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则＝________． 答案　(－6，21) 解析　－＝＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因为点Q是AC的中点，所以＝，所以＝＋＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．因为＝2，所以＝＋＝3＝3(－2，7)＝(－6，21)． 8．已知两点A(1，0)，B(1，)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝120°．若＝－2＋λ(λ∈R)，则λ＝________． 答案　1 解析　由题意，可设C(－x，x)(x＞0)，所以＝(－x，x)，又＝(1，0)，＝(1，)，由＝－2＋λ，得(－x，x)＝－2(1，0)＋λ(1，)，即解得 三、解答题 9．已知a＝(3x＋4y，－2x－y)，b＝，若2a＝3b，试求x与y的值． 解　∵a＝(3x＋4y，－2x－y)，b＝， ∴由2a＝3b可得 (6x＋8y，－4x－2y)＝， ∴解得 10．已知△ABC中，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N分别是AB，AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求． 解　因为A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)， 所以＝(－4，－3)，＝(－3，－5)． 又因为D是BC的中点， 所以＝(＋)＝． 又M，N分别为AB，AC的中点， 所以F为AD的中点， 故有＝＝－＝． 1．已知A，B，C三点的坐标为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且＝，＝，求证：∥． 证明　设E，F的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 依题意有＝(2，2)，＝(－2，3)，＝(4，－1)，＝(x1＋1，y1)， 因为＝，所以(x1＋1，y1)＝(2，2)． 所以点E的坐标为． 同理点F的坐标为， 所以＝． 又×(－1)－4×＝0，所以∥． 2．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－x，－3－y)，其中O为坐标原点． (1)求线段AB的中点M的坐标； (2)若点A，B，C不能构成三角形，求x，y应满足的条件； (3)若＝2，求x，y的值． 解　(1)易知A(3，－4)，B(6，－3)，所以点M的坐标为，即． (2)因为点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C三点共线． 由题意得＝(3，1)，＝(2－x，1－y)， 所以3(1－y)＝2－x． 所以x，y满足的条件为x－3y＋1＝0． (3)＝(－x－1，－y)， 由＝2得(2－x，1－y)＝2(－x－1，－y)， 所以解得 即x，y的值分别为－4，－1． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$