第八章 立体几何初步 章末总结-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（人教A版2019）

堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．对于简单的空间几何体，要注意从表示法、分类、结构特征三个方面入手，抓住各几何体之间的相互关系，多观察、模仿课本中的立体图形，画好立体图形的直观图． 2．在本章学习中要注意掌握“还台为锥”的解题思想和“化曲(折)为直”(将几何体表面展开铺平)的思想方法，以用来求解几何体表面两点间最短距离问题． 3．直线与平面垂直的判定定理可简化为“线线垂直，则线面垂直”．这里的“线线”指的是“一条直线和平面内的两条相交直线”；“线面”则是指这条直线和两条相交直线所在的平面．判定定理告诉我们，要证明直线和平面垂直，只需在这个平面内找出两条相交直线都与已知直线垂直即可． 4．判定线面垂直的方法，主要有三种：①利用定义；②利用判定定理；③与平行关系联合运用，即若a∥b，且a⊥α，则b⊥α. 5．两平面相交成直二面角时，两平面垂直．作为二面角，除了本身所包含的问题外，它又是两个平面垂直定义的基础．同异面直线所成的角、直线和平面所成的角相比，二面角又是多种知识的交汇点，因此它必是每年高考重点考查的内容之一．对于本节内容及相关问题应引起足够重视． 6．二面角的平面角必须具备三个条件：①角的顶点在二面角的棱上；②角的两边分别在二面角的两个半平面内；③角的两条边分别与二面角的棱垂直．准确、恰当地作出二面角的平面角，是解答有关二面角问题的关键．作二面角的平面角通常有三种方法：①定义法．这里要注意角的顶点的恰当选取；②垂面法；③垂线法．当二面角的棱未给出时，首先要作出二面角的棱，再利用上述办法作出二面角的平面角． 7．面面垂直的判定方法有两种：一是利用面面垂直的定义找到二面角的平面角，证明该角为直角；二是利用面面垂直的判定定理． 8．转化思想是解立体几何最常用的数学思想，本章涉及的垂直问题的证明通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，同时，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化． 一、简单几何体的表面积与体积 几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算．特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用．割补法、构造法是常用的技巧． 典例1已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC的体积的最大值为36，则球O的表面积是多少？ [解]　如图所示，当点C位于垂直于平面OAB的直径顶端时，三棱锥O－ABC的体积最大． 设球O的半径为R， 此时VO－ABC＝VC－OAB＝×R2×R＝＝36. ∴R＝6. ∴球O的表面积为S＝4πR2＝144π. 二、空间中的位置关系 1．空间中两直线的位置关系 2．空间中线与面的位置关系 3．空间中两个平面的位置关系 典例2已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面．给出下列结论： ①若m∥α，则m平行于平面α内任意一条直线； ②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n； ③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β； ④若α∥β，m⊂α，则m∥β. 其中正确的结论是__________(写出所有正确结论的序号)． [解析]　若m∥α，则m平行于过m的平面与α相交的交线及α内与交线平行的直线，并非所有的直线，故①错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则可能m∥n，也可能m，n异面，故②错误．③④正确． [答案]　③④三、平行问题 立体几何中的平行问题有三类：一是线线平行，由基本事实4和面面平行的性质定理可以证明线线平行，由线面平行(或垂直)的性质定理可以证明线线平行；根据线线平行可以得出两条异面直线所成的角，可以证明线面平行等；二是线面平行，由线面平行的定义和判定定理可证明线面平行；三是两个平面平行，用定义和判定定理可以证明两个平面平行，或垂直于同一条直线的两个平面平行，或平行于同一个平面的两个平面平行；由面面平行可以得出线面平行和线线平行．平行关系的转化如图所示． 典例3　(2024·浙江宁波中学高一校考期中)如图，在三棱柱BCF－ADE中，若G，H分别是线段AC，DF的中点． (1)求证：GH∥BF； (2)在线段CD上是否存在一点P，使得平面GHP∥平面BCF？若存在，指出点P的具体位置并证明；若不存在，说明理由． [解]　(1)证明：连接BD， ∵四边形ABCD为平行四边形， 由题意可得G是线段BD的中点， 则G，H分别是线段BD，DF的中点， 故GH∥BF. (2)存在，P是线段CD的中点．理由如下： 由(1)可知，GH∥BF，GH⊂平面GHP，BF⊄平面GHP， ∴BF∥平面GHP，连接PG，PH， ∵P，H分别是线段CD，DF的中点， ∴HP∥CF， 又HP⊂平面GHP，CF⊄平面GHP， ∴CF∥平面GHP， 又BF∩CF＝F，BF，CF⊂平面BCF， ∴平面GHP∥平面BCF. 四、垂直问题 1．空间中垂直关系的相互转化 2．判定线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理； (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”； (3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”； (4)利用面面垂直的性质． 3．判定线线垂直的方法 (1)平面几何中证明线线垂直的方法； (2)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b； (3)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b. 4．判定面面垂直的方法 (1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. 典例4　如图，在三棱锥P－ABC中，PC⊥底面ABC，AB＝BC，D，F分别为AC，PC的中点，DE⊥AP于点E. (1)求证：AP⊥平面BDE； (2)求证：平面BDE⊥平面BDF； (3)若AE∶EP＝1∶2，求截面BEF分三棱锥P－ABC所成上、下两部分的体积比． [解]　(1)证明：∵PC⊥底面ABC，BD⊂平面ABC，∴PC⊥BD. ∵AB＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC. 又PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC. 又AP⊂平面PAC，∴BD⊥AP. 又DE⊥AP，DE∩BD＝D，DE，BD⊂平面BDE， ∴AP⊥平面BDE. (2)证明：∵D，F分别为AC，PC的中点， ∴DF∥AP. 又AP⊥平面BDE， ∴DF⊥平面BDE，又DF⊂平面BDF， ∴平面BDE⊥平面BDF. (3)设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2， 则h1∶h2＝EP∶AP＝2∶3， 又F为PC的中点，∴S△PBC＝2S△PBF， ∴＝ ＝ ＝＝. 故截面BEF分三棱锥P－ABC所成上、下两部分的体积比为1∶2. 五、线线角、线面角和二面角问题 1．两条异面直线所成的角的范围是.找两条异面直线所成的角，关键是选取合适的点，引两条异面直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异面直线所成的角．特别地，两条异面直线垂直，可由线面垂直得到． 2．直线和平面所成的角的范围是.找线面角的关键是找到直线与其在平面内的射影的夹角．当线面角为0°时，直线与平面平行或直线在平面内；当线面角为90°时，直线与平面垂直． 3．如果求两个相交平面所成的二面角，除垂直外，角的大小要在具体几何体中，由题意和图形确定．作二面角的平面角时，首先要确定二面角的棱，然后结合题设构造二面角的平面角．一般常用：(1)定义法；(2)垂面法；(3)垂线法． 4．求角度问题时，无论哪种情况，最终都归结到两条相交直线所成的角的问题．求角度的解题步骤：(1)找出这个角；(2)证该角符合题意；(3)构造出含这个角的三角形，解这个三角形，求出角． 典例5　如图，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PD＝DC＝2，BC＝2. (1)求PB与平面ADC所成的角的大小； (2)求异面直线PC与BD所成角的正弦值． [解]　(1)因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD， 所以∠PBD即为PB与平面ADC所成的角． 因为四边形ABCD是矩形，所以BC⊥DC， 所以BD＝2，tan∠PBD＝＝， 又0°≤∠PBD≤90°，所以∠PBD＝30°， 即PB与平面ADC所成的角的大小为30°. (2)取PA的中点G，连接OG，DG，如图． 显然OG∥PC，所以∠DOG(或其补角)即为异面直线PC与BD所成的角． 因为OG＝PC＝，OD＝BD＝，DG＝PA＝，所以△OGD是等腰三角形，作底边的高，易求出sin∠DOG＝， 所以异面直线PC与BD所成角的正弦值为. 典例6　如图，在圆锥PO中，已知PO⊥底面⊙O，PO＝，⊙O的直径AB＝2，C是的中点，D为AC的中点． (1)证明：平面POD⊥平面PAC； (2)求二面角B－PA－C的余弦值． [解]　(1)证明：如图，连接OC. ∵PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O，∴AC⊥PO. ∵OA＝OC，D是AC的中点，∴AC⊥OD. 又OD∩PO＝O，OD，PO⊂平面POD， ∴AC⊥平面POD. 又AC⊂平面PAC，∴平面POD⊥平面PAC. (2)在平面POD中，过点O作OH⊥PD于点H. 由(1)知，平面POD⊥平面PAC，且交线为PD，OH⊂平面POD， ∴OH⊥平面PAC. 又PA⊂平面PAC，∴PA⊥OH. 在平面PAO中，过点O作OG⊥PA于点G， 连接GH， 则有PA⊥平面OGH，∴PA⊥GH. 故∠OGH为二面角B－PA－C的平面角． ∵C是的中点，AB是直径，∴OC⊥AB. 在Rt△ODA中，OD＝OAsin45°＝. 在Rt△POD中， OH＝＝＝＝. 在Rt△POA中， OG＝＝＝＝. ∵OH⊥平面PAC，GH⊂平面PAC， ∴OH⊥GH. 在Rt△OHG中，sin∠OGH＝＝＝. ∴cos∠OGH＝＝＝. 故二面角B－PA－C的余弦值为. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$