精品解析：江苏省淮安市涟水县2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2025年春学期3月份调研八年级数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，计24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A B. C. D. 2. 下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，将绕点旋转得到，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，属于必然事件的是( ) A. 射击运动员射击一次，命中靶心 B. 掷一次骰子，向上一面的点数是6 C. 小静去看电影《满江红》，任意买一张电影票，座位号是2的倍数 D. a为实数，则 5. 菱形中，，周长是16，则菱形的面积是( ) ． A. 16 B. C. D. 6. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图所示，E、F、G、H分别为正方形的边上的点，且，则图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论： ①四边形AECF是菱形； ②∠AFB＝2∠ACB； ③AC•EF＝CF•CD； ④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF． 其中正确结论个数是（ ） A 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每小题3分，计30分） 9. 某校从参加计算机测试的学生中抽取了60名学生的成绩（40～100分）进行分析，并将其分成了六段后绘制成如图（6）所示的频数分布直方图（其中70～80段因故看不清），若60分以上（含60分）为及格，试根据图中信息来估计这次测试的及格率约为____ 10. 如图，菱形的周长是，的长是______． 11. 如图，已知线段AB，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，连接AC，BC，BD，AD．其中AB=4，CD=5，则四边形ABCD的面积为________ ． 12. 如图，在中，，将沿方向平移得，连接，若恰好经过中点，则_______． 13. 在平面直角坐标系中，点绕原点O旋转后的坐标为_____________． 14. 如图，在中， ，，以为旋转中心，将线段顺时针旋转得线段，连接，则的最小值为_____． 15. 如图，在中，，，如果绕点B旋转，使点C落在AB边上的点D处得到，则点A到BE的距离是__________． 16. 如图，分别以的斜边、直角边为边向外作等边和等边为的中点，连接、与相交于点，若，下列结论：①；②；③四边形为平行四边形；④．其中正确结论的序号是______． 17. 在同一直角坐标系中，点A、B分别是函数y=x−2与y=−2x−1的图象上的点，且点A、B关于原点对称，则点A的坐标是______． 18. 如图，为边长为的等边三角形，点分别为和的中点，点为内部一点，且，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接． （1）当三点共线时，线段的长度为_________； （2）在旋转过程中，线段的最小值为_________． 三、解答题（共9题，计96分） 19. 如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 20. 如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点；且满足AE+CF＝2． （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由． 21. 为了比土豆和红薯的体积，小梦做了如下实验．（单位：） 实验材料：一个从里面量底面半径为的圆柱形玻璃杯，1个土豆，1个红薯，水． 实验过程：①往玻璃杯里加水后，测量水面高度． ②放入1个土豆后，测量水面高度． ③放入1个红薯后，测量水面高度． 实验记录如图： （1）土豆的体积是多少立方厘米？ （2）放入红薯以后，水面上升到多少厘米？ 22. 如图，点A，D，C都在格点上，不用量角器，在方格纸中画出△ABC绕点B的顺时针方向旋转90°后得到的图形△A′B′C′. 23. 如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB，点E、F分别是BC、DA的中点． （1）求证：四边形AECF菱形； （2）若AB＝2，求BD的长． 24. 如图，中，，点D为边AC上一点，于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F． （1）求证：CM=EM； （2）若，求的大小； 25. 如图，是等腰底边上的高，﹐点是O的中点，连接并延长交于点E，连接．求证：四边形是矩形．（完成下面证明过程） 证明：∵点O是的中点， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴（______） ∴______． 又∵﹐ ∴四边形是平行四边形． ∵是等腰底边上的高， ∴______． ∴四边形是矩形．（______） 26. 如图，矩形中，AB=6cm，BC=16cm．点从点出发向点运动，运动到点A停止．同时，点从点出发向点运动，运动到点停止，点的速度都是1cm/s．连接，设点运动的时间为t(s)． （1）当为何值时，四边形是菱形？ （2）直接写出：以为对角线的正方形面积为时，的值． 27. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中． （1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①： 公式②： 公式③： 公式④： 图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______； （2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形） （3）如图6，在等腰直角三角形ABC中，，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作于点G，作F点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为，△ABD与△AEH的面积之和为． ①若E为边AC的中点，则的值为_______； ②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期3月份调研八年级数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，计24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B中图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项符合题意； C中图形是既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意； D中图形是既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的识别，理解中心对称图形和轴对称图形的定义，找准对称轴和对称中心是解答的关键． 3. 如图，在中，，将绕点旋转得到，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质，平行线的性质计算即可． 【详解】∵， ． 由旋转，得，， ． ． ． 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 4. 下列事件中，属于必然事件的是( ) A. 射击运动员射击一次，命中靶心 B. 掷一次骰子，向上一面的点数是6 C. 小静去看电影《满江红》，任意买一张电影票，座位号是2的倍数 D. a为实数，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类．根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故本选项不符合题意； B、掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件，故本选项不符合题意； C、小静去看电影《满江红》，任意买一张电影票，座位号是2的倍数，是随机事件，故本选项不符合题意； D、a为实数，则，是必然事件，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 菱形中，，周长是16，则菱形的面积是( ) ． A. 16 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的面积以及其性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，得出的长是解题关键．过点D作于点E，根据菱形的性质以及直角三角形的性质得出的长，即可得出菱形的面积． 【详解】解：如图所示：过点D作于点E， ∵在菱形中，周长是16， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴菱形的面积． 故选：D． 6. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，，由等边对等角的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵将绕点A按逆时针方向旋转， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转，等腰三角形，熟练掌握旋转的性质，等腰三角形的性质，是解题的关键． 7. 如图所示，E、F、G、H分别为正方形的边上的点，且，则图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，证得，同理可得，，，同理可以证明是全等的直角三角形，它们的面积相等，证明四边形是平行四边形，则，则，令正方形的边长是a，，得到正方形的面积是，的面积是，由得到，则阴影的面积＝，即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴， 同理可以证明是全等的直角三角形，它们的面积相等， ∵，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 令正方形的边长是a，，则， ∴正方形的面积是，的面积是， ∵， ∴， ∵阴影的面积＝， ∴阴影部分面积与正方形的面积的比是． 故选：A． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 8. 如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论： ①四边形AECF是菱形； ②∠AFB＝2∠ACB； ③AC•EF＝CF•CD； ④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF． 其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据角平分线的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】如图，设与的交点为， 根据作图可得，且平分， ， 四边形是矩形， ， ， 又， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 垂直平分， ， 四边形是菱形，故①正确； ②， ， ∠AFB＝2∠ACB；故②正确； ③由菱形的面积可得AC•EF＝CF•CD；故③不正确， ④四边形是矩形， ， 若AF平分∠BAC，， 则， ， ， ， ， ， ， CF＝2BF．故④正确； 故选B 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，计30分） 9. 某校从参加计算机测试的学生中抽取了60名学生的成绩（40～100分）进行分析，并将其分成了六段后绘制成如图（6）所示的频数分布直方图（其中70～80段因故看不清），若60分以上（含60分）为及格，试根据图中信息来估计这次测试的及格率约为____ 【答案】 【解析】 【详解】∵频数=×组距， ∴当40≤x＜50时，频数=0.6×10=6， 同理可得：50≤x＜60，频数=9， 60≤x＜70，频数=9， 80≤x＜90，频数=15， 90≤x＜100，频数=3， ∴70≤x＜80，频数=60-6-9-9-15-3=18， ∴这次测试的及格率=×100%=75% 10. 如图，菱形的周长是，的长是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据菱形的四条边都相等即可得到答案． 【详解】解：∵菱形的周长是， ∴， 故答案为：2 【点睛】此题考查了菱形的性质，熟知菱形的四条边都相等是解题的关键． 11. 如图，已知线段AB，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，连接AC，BC，BD，AD．其中AB=4，CD=5，则四边形ABCD的面积为________ ． 【答案】10 【解析】 【详解】试题分析：由作图可知CD是线段AB的中垂线，∵AC=AD=BC=BD，∴四边形ACBD是菱形， ∵AB=4，CD=5，∴S菱形ACBD=×AB×CD=×4×5=10， 故答案为10． 考点： 作图—基本作图；线段垂直平分线的性质． 12. 如图，在中，，将沿方向平移得，连接，若恰好经过的中点，则_______． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据平移的性质得到，，则可判定四边形为平行四边形，所以，再证明△≌△得到，进而． 【详解】解：沿方向平移得到△， ，， 四边形为平行四边形， ， 点为的中点， ∴AD＝CD， ∵， ∴， 在△与△中， ∴△≌△（AAS） ∴， ∴， ∵， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 13. 在平面直角坐标系中，点绕原点O旋转后坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，因为点绕原点O旋转，故所得的点与原来的点是关于原点对称，即该点的坐标是，即可作答． 【详解】解：∵点绕原点O旋转， ∴所得的点与原来的点是关于原点对称， 即该点的坐标是， 故答案为：． 14. 如图，在中， ，，以为旋转中心，将线段顺时针旋转得线段，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】将绕着点顺时针旋转得线段，连接，然后证明，由全等三角形的性质可知，接着利用三角形三边关系可以得到当三点共线时，最小，由此即可求解． 【详解】解：如下图，将绕着点顺时针旋转得线段，连接， 由旋转的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴当三点共线时，最小，的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，正确作出辅助线，综合运用所学知识是解题关键． 15. 如图，在中，，，如果绕点B旋转，使点C落在AB边上的点D处得到，则点A到BE的距离是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】连接AE，作AH⊥BE于H，根据勾股定理求出AC的值，根据旋转的性质可知BE=AB=5，DE=AC=3，然后根据等面积法求解即可． 详解】解：连接AE，作AH⊥BE于H， ∵在中，，， ∴AC=， 由旋转的性质得 BE=AB=5，DE=AC=3， ∵， ∴5AH=5×3， ∴AH=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等面积法求线段的长，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 16. 如图，分别以的斜边、直角边为边向外作等边和等边为的中点，连接、与相交于点，若，下列结论：①；②；③四边形为平行四边形；④．其中正确结论的序号是______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】首先证明，结合已知得到，然后根据内错角相等两直线平行得到，由一组对边平行且相等可得四边形是平行四边形，故③正确；由，可得，故①正确；由可知④正确；在和中，，，可证，故②正确． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，． 是的中点， ，，． ． ，， ， ． 在和中， ，， ， ， ． ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故③正确； ，， 设交于点， ． ， ， ．①正确； 四边形是平行四边形， ． ．故④正确． 在和中， ，， ． ，故②正确， 综上，①②③④都正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查全等三角形的判定、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、平行四边形的判定及性质等，综合性较强，熟练掌握上述性质、定理是解题的关键． 17. 在同一直角坐标系中，点A、B分别是函数y=x−2与y=−2x−1的图象上的点，且点A、B关于原点对称，则点A的坐标是______． 【答案】（1，−1） 【解析】 【详解】解：设点A的坐标为（m，n），则点B的坐标为（−m，−n）． 根据题意得：， 解得：， ∴点A的坐标为（1，−1）． 故答案为（1，−1）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及关于原点对称的点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征，列出关于m、n的二元一次方程组是解题的关键． 18. 如图，为边长为的等边三角形，点分别为和的中点，点为内部一点，且，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接． （1）当三点共线时，线段的长度为_________； （2）在旋转过程中，线段的最小值为_________． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】（1）在等边三角形中， 为中点，可得，由勾股定理可得的长，又、、三点共线，即可求得； （2）作线段的中点,连接,作,连接,将线段绕点按逆时针方向旋转得到,连接,此时的值最小，根据旋转性质可知,，可得，进而证明，即可求出的值. 【详解】解：（1）是等边三角形,边长为， ， 为的中点， ,, ， ， 点、、三点共线，， ， 线段的长度为； (2)如图,作线段的中点,连接,作,连接,将线段绕点按逆时针方向旋转得到,连接,此时的值最小， 是等边三角形,边长为， ， ， 点为的中点，点为的中点，点为的中点， ，，， ,， ， ， ， 由旋转可知: ,， ， ， 在和中， ， ， ， 在旋转过程中,线段的最小值为. 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理、三角形的全等，旋转的性质，正确地理解题意并且作出辅助线是解题的关键. 三、解答题（共9题，计96分） 19. 如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 【答案】． 【解析】 【分析】先根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得的长，然后利用菱形的周长公式即可得． 【详解】解：四边形是菱形，， ， ， 则菱形的周长为． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 20. 如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点；且满足AE+CF＝2． （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）△BEF是等边三角形．理由见解析 【解析】 【分析】（1）先判定△ABD与△BCD都是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠BDE=∠C=60°，再求出DE=CF，然后利用“边边角”证明两三角形全等； （2）根据全等三角形对应边相等可得BE=CF，全等三角形对应角相等可得∠DBE=∠CBF，然后求出∠EBF=60°，再根据等边三角形的判定得解，利用旋转变换解答． 【详解】（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，对角线BD＝2， ∴AB＝AD＝BD＝2，BC＝CD＝BD＝2， ∴△ABD与△BCD都是等边三角形， ∴∠BDE＝∠C＝60°， ∵AE+CF＝2， ∴CF＝2﹣AE， 又∵DE＝AD﹣AE＝2﹣AE， ∴DE＝CF， 在△BDE和△BCF中， ， ∴△BDE≌△BCF（SAS）； （2）解：△BEF是等边三角形．理由如下： 由（1）可知△BDE≌△BCF， ∴BE＝BF，∠DBE＝∠CBF， ∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC＝60°， ∴△BEF是等边三角形， 由图可知，△BDE绕点B顺时针旋转60°即可得到△BCF． 故答案为（1）见解析；（2）△BEF是等边三角形．理由见解析． 【点睛】本题考查菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是了解菱形的性质． 21. 为了比土豆和红薯的体积，小梦做了如下实验．（单位：） 实验材料：一个从里面量底面半径为的圆柱形玻璃杯，1个土豆，1个红薯，水． 实验过程：①往玻璃杯里加水后，测量水面高度． ②放入1个土豆后，测量水面高度． ③放入1个红薯后，测量水面高度． 实验记录如图： （1）土豆的体积是多少立方厘米？ （2）放入红薯以后，水面上升到多少厘米？ 【答案】（1）土豆的体积是立方厘米 （2）放入红薯以后，水面上升到厘米 【解析】 【分析】本题考查了圆柱的体积，从图形中得到红薯的体积是土豆的体积的2倍是解题的关键． （1）利用圆柱的体积公式计算即可； （2）由图形得到红薯的体积是土豆体积的2倍即可求解． 【小问1详解】 解： （立方厘米）， 答：土豆的体积是立方厘米． 【小问2详解】 解：由扇形图知：红薯占总体积的， 红薯的体积是土豆体积的2倍， 玻璃杯里放入红薯后，水面上升的高度是玻璃杯里放入土豆后水面上升高度的2倍， 玻璃杯里放入红薯后，水面上升的高度是（厘米）， 放入红薯以后，水面上升到厘米． 22. 如图，点A，D，C都在格点上，不用量角器，在方格纸中画出△ABC绕点B的顺时针方向旋转90°后得到的图形△A′B′C′. 【答案】答案见解析. 【解析】 【分析】根据旋转变换的性质分别作出A，C的对应点A′，C′即可． 【详解】解：如图，△A′B′C′即为所求． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 23. 如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB，点E、F分别是BC、DA的中点． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AB＝2，求BD的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形AECF是平行四边形，再证△ABE是等边三角形，得AE=BE=CE，即可得出结论； （2）作BG⊥AD于G，则∠ABG=30°，由直角三角形的性质得AG=AB=1，BG=AG=，求出DG=AG+AD=5，由勾股定理求出BD即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC=AD． ∵E，F分别是BC，AD的中点 ∴BE=CE=BC，AF=AD， ∴CE=AF，CE∥AF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵BC=2AB， ∴AB=BE， ∵∠ABC=60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE=BE=CE， ∴平行四边形AECF是菱形； （2）解：作BG⊥AD于G，如图所示： 则∠ABG=90°-∠ABC=30°， ∴AG=AB=1，BG=AG=， ∵AD=BC=2AB=4， ∴DG=AG+AD=5， ∴BD===． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定和直角三角形的性质． 24. 如图，中，，点D为边AC上一点，于点E，点M为BD中点，CM延长线交AB于点F． （1）求证：CM=EM； （2）若，求的大小； 【答案】（1）见解析；（2）100° 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质定理即可证明； （2）先根据题意，得出∠ABC的度数；再根据等边对等角及三角形外角得出∠CMD=2∠CBM及∠DME=2∠EBM，从而求出∠CME的度数后即可得出答案． 【详解】解：（1） ∵M为BD中点， 在Rt△DCB中，MC=BD， 在Rt△DEB中，EM=BD， ∴MC=ME； （2）∵∠BAC=50°，∠ACB=90°， ∴∠ABC=90°-50°=40°， ∵CM=MB， ∴∠MCB=∠CBM， ∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM， 同理，∠DME=2∠EBM， ∴∠CME=2∠CBA=80°， ∴∠EMF=180°-80°=100°． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线、三角形外角，等腰三角形等边对等角等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键． 25. 如图，是等腰底边上的高，﹐点是O的中点，连接并延长交于点E，连接．求证：四边形是矩形．（完成下面证明过程） 证明：∵点O是的中点， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴（______） ∴______． 又∵﹐ ∴四边形是平行四边形． ∵是等腰底边上的高， ∴______． ∴四边形是矩形．（______） 【答案】，，，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出四边形是平行四边形，根据垂直推出，根据矩形的判定得出即可； 【详解】∵点O是的中点， ∴． ∵﹐ ∴． ∵， ∴ ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵是等腰底边上的高， ∴ ∴四边形是矩形．（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 故答案为：，，，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，比较典型，难度适中． 26. 如图，矩形中，AB=6cm，BC=16cm．点从点出发向点运动，运动到点A停止．同时，点从点出发向点运动，运动到点停止，点的速度都是1cm/s．连接，设点运动的时间为t(s)． （1）当为何值时，四边形是菱形？ （2）直接写出：以为对角线的正方形面积为时，的值． 【答案】（1）秒 （2）4秒或12秒 【解析】 【分析】（1）先证明四边形APCQ为平行四边形，再用t表示出AQ、AP的长度，当AQ=AP时，可得四边形APCQ为菱形，解方程即可； （2）根据正方形面积计算方法得PQ的长度，过P作PE⊥BC，根据勾股定理求出QE、BQ的长度，列方程求解t即可． 【小问1详解】 解：由题意知，PD=BQ=t， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC，∠B=∠D=90°，AD∥BC， ∴AP=CQ， ∴四边形APCQ为平行四边形， 当AP=AQ时，四边形APCQ为菱形， 在Rt△ABQ中，由勾股定理得：AQ=， 又AP=AD－PD=16－t， ∴16－t=， 解得：t=， 即当为秒时，四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵以为对角线的正方形面积为， ∴， 解得：PQ=10，或PQ=－10（舍）， 过点P作PE⊥BC于E，分两种情况讨论： ①E点在线段CQ上时，如图所示， 在Rt△PQE中，由勾股定理得：QE=， 由题意知四边形ABEP为矩形， ∴AP=BE=16－t， ∴16－t=t+8， 解得：t=4． ②当E在线段CQ延长线上时，如图所示， 同理，得：16－t+8=t， 解得：t=12． 综上所述，以为对角线的正方形面积为时，的值为4秒或12秒． 【点睛】本题考查了特殊平行四边形中的动点问题、特殊平行四边形的性质及判定、用勾股定理解直角三角形等知识点．掌握菱形的判定及正方形面积的计算方法（对角线乘积的一半）是解题关键． 27. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中． （1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①： 公式②： 公式③： 公式④： 图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______； （2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形） （3）如图6，在等腰直角三角形ABC中，，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作于点G，作F点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为，△ABD与△AEH的面积之和为． ①若E为边AC的中点，则的值为_______； ②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）①，②，④，③ （2）证明见解析 （3）①2 ②结论仍成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）观察图形，根据面积计算方法即可快速判断； （2）根据面积关系：矩形AKHD面积=矩形AKLC面积+矩形CLHD面积=矩形DBFG面积+矩形CLHD面积=正方形BCEF面积－正方形LEGH面积，即可证明； （3）①由题意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是正方形，设BD=a，从而用含a的代数式表示出S1、S2进行计算即可；②由题意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，设BD=a，DG=b，从而用含a、b的代数式表示出S1、S2进行计算即可． 【小问1详解】 解：图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③； 故答案为：①，②，④，③； 【小问2详解】 解：由图可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，且AK=DB=a－b， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 解：①由题意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是正方形， 设， ∴，，，， ∴， ， ∴； 故答案为：2； ②成立，证明如下： 由题意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形， 设，， ∴，，，， ∴， ， ∴仍成立． 【点睛】本题主要考查了公式的几何验证方法，矩形和正方形的判定与性质，掌握数形结合思想，观察图形，通过图形面积解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $