精品解析：2026年河北省沧州市黄骅市第六中学初中学业水平模拟数学（定心一）

2026年河北初中学业水平模拟 数学（定心一） 注意事项：共8页，总分120分，时间120分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 若2的倒数是a，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据倒数的定义求出a的值，再根据有理数的乘法运算，求出2a的值． 【详解】解：的倒数是， ． ． 2. 新情境 石家庄滹沱河的生态修复工程让母亲河重焕新生．如图是东西流向且两岸a，b互相平行的一段滹沱河道，河岸a上有一建筑S，河岸b上的嘉嘉观测到建筑S在他的北偏西方向上，则嘉嘉可能位于（ ） A. 点P处 B. 点Q处 C. 点M处 D. 点N处 【答案】D 【解析】 【分析】利用方向角的定义进行判断即可． 【详解】解：根据题意得： 若点、为观测点，则在点、的北偏东方向上，不符合题意； 若点、为观测点，则在点、的北偏西方向上，但是点观测的偏西角度远小于，只有点观测符合北偏西的描述， 因此，嘉嘉位于点处． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 4. 如图，将一张等边三角形纸片沿虚线剪开，得到一个三角形和一个四边形，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可知其三个内角均为，利用平角的定义求出小三角形的一个内角，再结合三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：原三角形纸片是等边三角形 ， 剪下的小三角形的顶角为，  设小三角形右侧的内角为，  与互为邻补角， ，  在小三角形中，由三角形内角和定理得： ． 5. 下列运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的乘方法则：和积的乘方法则：解答即可． 【详解】解：选项A：，符合要求． 选项B：，不符合要求． 选项C：，不符合要求． 选项D：，不符合要求． 6. 如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据立体图形可知，该正方体纸盒的顶面全黑，底面全白，四个侧面均为上半部分黑、下半部分白，在展开图中，全黑面应与侧面的黑色部分相邻，全白面应与侧面的白色部分相邻，且相邻侧面的公共边处颜色应一致． 【详解】解：根据题意得：立体图中顶面全黑，底面全白，侧面为上黑下白，  则展开图中应有一个全黑正方形，一个全白正方形，四个半黑半白正方形， 选项A：中间全黑正方形左右两侧分别为“左白右黑”和“左黑右白”正方形，黑色部分均与全黑面相邻，符合顶面与侧面关系，最左侧全白正方形与“左白右黑”正方形的白色部分相邻，符合底面与侧面关系，其余面折叠后黑色部分均能连通，符合题意， 故A选项正确； 选项B：中间全黑正方形左侧为“左白右黑”正方形，其下方连接“上黑下白”正方形，  由于“左白右黑”正方形的下边为“左白右黑”，而“上黑下白”正方形的上边为全黑， 则两者公共边颜色不匹配， 故B选项错误； 选项C、D：折叠后，都会出现其中一个半涂黑面的黑色位于下半部分，不符合题意， 故C、D 选项错误． 7. 有三张正面分别写有，，2三个数字的卡片，除正面的数字不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取两张，则取出的这两张卡片上的数字恰好互为相反数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题用列举法列出所有等可能的抽取结果，再找出满足两张卡片数字互为相反数的结果，根据概率公式计算即可得到答案. 【详解】解：将三张卡片的数字分别记为，，， 从中随机抽取2张，所有等可能的结果为： ，，，共种； ∵ 其中两张卡片数字恰好互为相反数的结果只有这种， ∴. 8. 已知代数式比的值大1，则（ ） A. －5 B. －3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出分式方程，利用分式的符号性质变形化简，求解后检验得到x的值，即可选出正确选项． 【详解】解：根据题意列方程得：， ， 原方程可变形为：， 合并左边得：， 两边同乘（）得：， 移项：， 解得 ， 检验：当时， ，因此是原方程的解． 9. 跨学科 根据物理学知识，当压力不变时，压强p（Pa）与受力面积S（）成反比例函数关系，当某重物与地面的接触面积为时，测得地面所受压强为，要使地面所受压强减小，则该重物与地面的接触面积应调整为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据p与S的反比例关系设出表达式，先求出定值压力，再根据调整后的压强计算接触面积即可． 【详解】解：设压强与受力面积的反比例函数关系为，其中为不变的压力， ∵当 时，， ∴， 压强减小后，新的压强为：， 将和代入得： 10. 已知是的外接圆，且，要求仅用直尺作出圆周角的平分线． 嘉嘉说：“对于图1的情况，连接，即为的平分线．” 淇淇说：“对于图2的情况，的延长线与交于点Q，连接，即为的平分线．” 对于嘉嘉和淇淇的说法，判断正确的是（ ） A. 只有嘉嘉说的对 B. 只有淇淇说的对 C. 嘉嘉和淇淇说的都对 D. 嘉嘉和淇淇说的都不对 【答案】C 【解析】 【分析】如图1，首先根据易得，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，即为的平分线，故嘉嘉说的对；在图2中，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，由垂径定理可得，易知，即为的平分线，故淇淇说的也对． 【详解】解：如图1， ∵是ABC的外接圆，且， ∴， ∴，即为的平分线，故嘉嘉说的对； 在图2中，连接，如下图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵为半径， ∴， ∴，即为的平分线，故淇淇说的也对． 综上所述，嘉嘉和淇淇说的都对． 11. 已知，若关于x的方程有两个不相等的实数根，且两根之和为正数，则抛物线的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用抛物线顶点坐标公式，结合一元二次方程根的判别式和两根之和的条件，判断顶点横纵坐标的符号，即可确定顶点所在象限． 【详解】抛物线的顶点坐标为， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴判别式， ∴， 又∵， ∴，即顶点纵坐标为负数。 设方程的两根为，由题意得，对于一元二次方程，可得， ∴， ∵， ∴，即， ∴顶点横坐标，即顶点横坐标为正数， ∵顶点横坐标为正，纵坐标为负， ∴顶点在第四象限． 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，关键是根据一元二次方程根的情况判断相应的二次函数中的系数关系． 12. 将边长为6的正方形纸片按图1所示的方式折叠，可将其分成图2所示的①，②，③三个区域，其中③号区域（阴影）的面积为（ ） A. B. C. 15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠过程确定折痕为正方形对角线及线段（N为中点），利用相似三角形性质求出点P到的距离，通过面积差法求解阴影部分面积． 【详解】解：如图，设正方形，边长为6，N为中点，P为与交点 ，连接，过点分别作、，垂足分别为点、点， 四边形是正方形 ， 、、， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由图可知，阴影部分面积为． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 2026年“中国水周”（3月22日－28日）的主题为“国家水网 世纪画卷”．某地提出“科学饮水，共享健康”的倡议，如图是水杯的截面图，已知，线段a表示一根吸管，若，则______． 【答案】56 【解析】 【分析】首先根据邻补角的性质可得，然后由“两直线平行，内错角相等”，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴． 14. 化简：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ， ， ． 15. 传统文化 北宋时期的《营造法式》是我国古代第一部详细论述建筑工程技术及规范的官方著作，书中涉及了正多边形的使用和组合．如图是利用2个正方形和4个形状、大小完全一样的菱形设计的图案，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正方形、菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据正方形和菱形的性质可知、，进而得到，设，根据勾股定理求出长，进而求出长，在中，，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 该图形是由2个正方形和4个形状、大小完全一样的菱形组成， 、， 点为的中点， 正方形的每个内角为， ， 设， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在中，． 16. 已知P，Q两个点在数轴上做匀速运动，其中点Q比点P晚出发，程序从点P出发时开始计时记录了同一时刻两点对应在数轴上的位置（如下表）．当点P到点Q的距离为20时，点P所对应的数为______． 时间t（） 0 4 …… 点P在数轴上的位置 10 …… 点Q在数轴上的位置 2 …… 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知表格数据，求出点和点在数轴上对应的数关于计时时间的一次表达式，再根据数轴上两点距离为列出绝对值方程，结合的取值范围舍去不合理解，最终得到点对应的数． 【详解】解：设计时从点出发开始，秒时点对应的数为，点对应的数为， 设， 将、和、代入得： ， 解得， ， 点Q比点P晚出发， 当时，点Q静止，初始位置 ；当时，点Q开始匀速运动，设点Q的速度为， 设， 将、代入得： ， 解得：， 当时，， 根据题意得，点P到点Q的距离为20，即，分情况讨论： 当时：， ， ， ， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 或， 解得：或（不符合题意，舍去）， 将代入得：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 因式分解或化简 （1）因式分解： ； （2）因式分解：； （3）直接写出的化简结果． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式解答即可； （2）先提出公因式2，再利用平方差公式解答即可； （3）根据（1）（2）结果计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： 18. 河北省教育厅制定《全面提升中小学生体质健康水平若干措施》，为确保学生每天综合体育活动时间不低于2小时，某校计划购进一批羽毛球拍和羽毛球．已知一副羽毛球拍元，一个羽毛球5元，商店有两种优惠方案： 方案一：买一副羽毛球拍送一个羽毛球； 方案二：按总价的付款． 现该校计划购买4副羽毛球拍，x个羽毛球． （1）当时，通过计算判断选择哪种方案更优惠； （2）要使选择方案二比方案一更优惠，求x的最小值． 【答案】（1）选择方案一更优惠 （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算出两种方案在时的费用，再比较大小，费用小的方案更优惠； （2）先分别表示出两种方案的费用，再根据方案二比方案一更优惠列出不等式，求解不等式得到x的取值范围，进而确定x的最小值． 【小问1详解】 解：方案一：购买4副羽毛球拍的费用为 (元)， 买4副羽毛球拍送4个羽毛球， 还需要购买 (个)羽毛球． 购买羽毛球的费用为 (元)， 则方案一的总费用为 (元)． 方案二∶ 购买4副羽毛球拍和个羽毛球的总价为 (元) 按总价的付款，则方案二的总费用为(元) ． ， 当时，选择方案一更优惠． 【小问2详解】 解：方案一的总费用为(元)． 方案二的总费用为 (元) ． 要使方案二比方案一更优惠，则， 解得． 为正整数， 的最小值为． 19. 随着无人机技术应用的深化以及管理政策的完善，无人机行业展现出广阔的应用前景．为了解学生对于无人机技术的了解情况，某地区开展了无人机技术科普竞赛，现随机抽取40名学生的竞赛成绩（满分10分）并进行统计，得到了如图所示的不完整的条形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，抽取学生的竞赛成绩的中位数是 分，众数是 分； （2）求抽取学生的竞赛成绩的平均数； （3）若共有800名学生参加本次科普竞赛，成绩不低于9分的均可获得“无人机科普小先锋”称号，试估计此次科普竞赛获得此称号的学生人数． 【答案】（1）图见解析，8，9 （2）8.3分 （3）380人 【解析】 【分析】（1）求出9分的人数，补全条形图，根据中位数和众数的确定方法进行求解即可； （2）利用加权平均数的计算公式进行计算即可； （3）用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：得分为9分的人数为：； 补全条形图如图： 将数据排序后，第20个数据和第21个数据均为8， 故中位数为8分； 9分的人数最多，故众数为9分； 【小问2详解】 解： （分）； 故抽取学生的竞赛成绩的平均数为8.3分； 【小问3详解】 解：（人）； 答：估计此次科普竞赛获得此称号的学生人数为380人． 20. 从2025年春晚的《秧》到2026年春晚的《武》，我国生产制造的机器人通过高精度技术实现精准动作，展现了“人机共舞”的盛宴．已知某型号机器人小腿，大腿，上半身（含头部），手臂，现将该型号机器人应用于篮球运动，图1和图2分别展示了投篮过程中的起跳和投篮动作． （1）如图1，该机器人在投篮起跳时腿部弯曲，使，的延长线经过点A，且与地面相互垂直，求此时机器人头顶D到地面的距离； （2）机器人由（1）的状态起跳后投篮，如图2，点A，B，C，D，E在同一直线上，且始终保持与地面互相垂直，此时，点A到地面的高度为30，点F到地面的高度为270，通过以上数据求机器人头部的长．（参考数据：取，取） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线，在利用三角函数求解． （2）延长交，过点作垂线，过点作的垂线,构造矩形，得到对应的线段长度，在中利用三角函数求出对应线段长度，然后利用等量关系式求解． 【小问1详解】 解：如图所示：过点作的垂线，交于点， ， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴，，解得， ∵， ∴， 即机器人头顶D到地面的距离为． 【小问2详解】 解：如图所示：延长交于点，过点作垂线交于点， 过点作的垂线交于点， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ， 在中，， ， ∴设，则 ， 解得， ∴， 由题意知：， ∴， ， ∴， 即机器人头部的长为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，、与直线分别交于，两点，其中． （1）当直线经过点时： ①求直线的解析式； ②平行于轴的直线交直线于点，交直线于点，且点在点的左侧．当时，求的值． （2）设直线、交于点，直接写出的值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①先将点代入的解析式求出的值，再将代入的解析式即可； ②先求出与直线、交点、的横坐标，再根据点在点的左侧和列方程求解； （2）先求出、、、、的坐标，再分别计算和的面积，最后求比值． 【小问1详解】 解：①将代入： ，解得， 则的解析式； ②由第①问得，， 直线与交点，则 ， 解得： 直线与交点，则 ， 解得： ， 又在左侧且， 即，且， 代入得， 解得． 【小问2详解】 解： 与轴交点，与轴交点， ， 直线与交点：， ， 直线与交点：， ， ， 由直线、交于点联立得：，解得， 代入：， ， 点到轴（即）的水平距离为 ， 点到直线（即）的水平距离为， ，， ． 22. 综合与实践 【模型】如图1，，、相交于点O，且O为的中点． （1）求证：； 【情境】有一块边缘不规则的余料，其中，点E、F分别在、上，且平分不规则图形的面积，现计划作出一条最短的分割线，使仍可以平分不规则图形的面积，下面是淇淇解决问题的思路． 如图2，淇淇的思路如下： ①作的垂直平分线与交于点O； ②过点O作，垂足为M； ③延长与交于点N，即为所求． 【探究】 （2）在图2的基础上，根据淇淇的思路，用尺规作图作出分割线（保留作图痕迹，不写作法）； （3）根据淇淇的思路，请说明（2）中所作的符合要求． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）已知 O 是中点产生一组边相等，利用产生内错角相等，结合对顶角相等，可凑齐“角边角”或“角角边”条件； （2）根据作图要求，已经做出垂直平分线，故还需作，再反向延长，与相交于点即可； （3）根据所作图形，可证明，全等的三角形面积也相等，因此可将面积进行转化，故而可判断平分不规则图形的面积． 【小问1详解】 证明：， ， O为的中点， ， 在和中， ． 【小问2详解】 解：如图所示，线段即为所求． 【小问3详解】 解：垂直平分， ， 又，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 平分不规则图形的面积． 23. 如图1，成熟麦穗的形状可以看成抛物线的一部分．如图2，将麦秆所在直线作为y轴，以水平地面上的一条直线作为x轴，建立平面直角坐标系，单位长度为1．从y轴上的点P处伸出两枝麦穗，这两枝麦穗分别看作抛物线（点P与点M之间的部分）：（）和抛物线（点P与点N之间的部分）：（），其中m，n都为常数，且．抛物线的顶点距离麦秆的水平距离为1，点M到地面的距离为． （1）在图2中画出x轴，并求抛物线的解析式； （2）求m的值； （3）①若将抛物线经过平移得到抛物线，通过计算写出一种合理的平移路径； ②一只小蚂蚱原地竖直向上最高能跳到2的高度，当它从点O出发，沿x轴正方向前进a后，恰好能跳到麦穗或上，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）画图见解析，解析式为 （2） （3）①抛物线是由抛物线向左移，向下移所得 ②当时，恰好能跳到麦穗或上 【解析】 【分析】（1）利用对称轴的公式直接代入求解；再求出抛物线与轴的交点的坐标，画出轴； （2）将点的纵坐标代入抛物线，求出点的横坐标，得到答案； （3）①将抛物线和抛物线的顶点坐标分别求出来，利用点的平移特点，求出答案；②将分别代入到两个抛物线解析式中求出的值，在这两个值之间，小蚂蚱均能跳到麦穗或上． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点距离麦秆的水平距离为1， ∴抛物线顶点的横坐标为1，对称轴为， 又∵在抛物线：中，， 对称轴， 解得， ∴抛物线：． 令，解得， ∴点坐标为， 根据点，画轴如下图所示： ． 【小问2详解】 解：∵点M到地面的距离为，点M在抛物线上， ∴令，将代入，解得或（舍去）， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 ①解：∵抛物线和抛物线交于点， 将代入抛物线：， 解得，抛物线：． ∴抛物线的顶点横坐标为， 将代入，解得， ∴抛物线的顶点坐标为， 同理可得抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线是由抛物线向左移，向下移所得． ②解：令，将代入，解得，（舍）， 将代入，解得，（舍）， ∴当时，恰好能跳到麦穗或上． 24. 如图，已知的半径为3，弦，C是上一点（不与点A，B重合），连接，以，为边作平行四边形． （1）如图1，当经过圆心O时，求的值； （2）如图2，当时，求劣弧的长； （3）如图3，当与相切时，求点C到所在直线的距离； （4）直接写出点B与点D的最大距离． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）连接，当经过圆心O时，为直径，根据圆周角定理得到，利用求解即可； （2）根据平行四边形的性质求出，再由圆周角定理求出的度数，利用弧长公式求解即可； （3）连接与交于点，分别过点、作所在直线的垂线，垂足分别为、，由垂径定理求出、，再根据勾股定理求出长，证明，求出长，再证明，求出长，利用平行线的性质求出点C到所在直线的距离； （4）根据题意，过点作，且使，连接，则点在以半径为3的上运动，过点作于点、过点作于点，进而得到四边形是平行四边形，由垂径定理得到，利用勾股定理求出长及长，当点B、、D三点共线，且点在点B、D之间时，有最大值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， 当经过圆心O时，为直径，即； 在中，； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形 如图，连接、， 劣弧的长为； 【小问3详解】 解：如图，连接与交于点，分别过点、作所在直线的垂线，垂足分别为、， 与相切时， ， 四边形是平行四边形， 、、， ， ， 是的半径， ， 、是的半径， 、， 、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 点C到所在直线的距离为； 【小问4详解】 解：四边形是平行四边形， 、且， 连接， ， 过点作，且使，连接， 四边形是平行四边形， ， 点在以半径为3的上运动， 过点作于点、过点作于点， ， ， 四边形是平行四边形， 、， 是半径的一部分，， 、， 在中，由勾股定理得；， ， 点在点左侧，点在点、之间， ， 在中，由勾股定理得；， 当点B、、D三点共线，且点在点B、D之间时，有最大值， ， 即点B与点D的最大距离为． 【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北初中学业水平模拟 数学（定心一） 注意事项：共8页，总分120分，时间120分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 若2的倒数是a，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2. 新情境 石家庄滹沱河的生态修复工程让母亲河重焕新生．如图是东西流向且两岸a，b互相平行的一段滹沱河道，河岸a上有一建筑S，河岸b上的嘉嘉观测到建筑S在他的北偏西方向上，则嘉嘉可能位于（ ） A. 点P处 B. 点Q处 C. 点M处 D. 点N处 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将一张等边三角形纸片沿虚线剪开，得到一个三角形和一个四边形，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开图是（ ） A. B. C. D. 7. 有三张正面分别写有，，2三个数字的卡片，除正面的数字不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取两张，则取出的这两张卡片上的数字恰好互为相反数的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知代数式比的值大1，则（ ） A. －5 B. －3 C. 4 D. 6 9. 跨学科 根据物理学知识，当压力不变时，压强p（Pa）与受力面积S（）成反比例函数关系，当某重物与地面的接触面积为时，测得地面所受压强为，要使地面所受压强减小，则该重物与地面的接触面积应调整为（ ） A. B. C. D. 10. 已知是的外接圆，且，要求仅用直尺作出圆周角的平分线． 嘉嘉说：“对于图1的情况，连接，即为的平分线．” 淇淇说：“对于图2的情况，的延长线与交于点Q，连接，即为的平分线．” 对于嘉嘉和淇淇的说法，判断正确的是（ ） A. 只有嘉嘉说的对 B. 只有淇淇说的对 C. 嘉嘉和淇淇说的都对 D. 嘉嘉和淇淇说的都不对 11. 已知，若关于x的方程有两个不相等的实数根，且两根之和为正数，则抛物线的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 12. 将边长为6的正方形纸片按图1所示的方式折叠，可将其分成图2所示的①，②，③三个区域，其中③号区域（阴影）的面积为（ ） A. B. C. 15 D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 2026年“中国水周”（3月22日－28日）的主题为“国家水网 世纪画卷”．某地提出“科学饮水，共享健康”的倡议，如图是水杯的截面图，已知，线段a表示一根吸管，若，则______． 14. 化简：______． 15. 传统文化 北宋时期的《营造法式》是我国古代第一部详细论述建筑工程技术及规范的官方著作，书中涉及了正多边形的使用和组合．如图是利用2个正方形和4个形状、大小完全一样的菱形设计的图案，则的值为______． 16. 已知P，Q两个点在数轴上做匀速运动，其中点Q比点P晚出发，程序从点P出发时开始计时记录了同一时刻两点对应在数轴上的位置（如下表）．当点P到点Q的距离为20时，点P所对应的数为______． 时间t（） 0 4 …… 点P在数轴上的位置 10 …… 点Q在数轴上的位置 2 …… 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 因式分解或化简 （1）因式分解： ； （2）因式分解：； （3）直接写出的化简结果． 18. 河北省教育厅制定《全面提升中小学生体质健康水平若干措施》，为确保学生每天综合体育活动时间不低于2小时，某校计划购进一批羽毛球拍和羽毛球．已知一副羽毛球拍元，一个羽毛球5元，商店有两种优惠方案： 方案一：买一副羽毛球拍送一个羽毛球； 方案二：按总价的付款． 现该校计划购买4副羽毛球拍，x个羽毛球． （1）当时，通过计算判断选择哪种方案更优惠； （2）要使选择方案二比方案一更优惠，求x的最小值． 19. 随着无人机技术应用的深化以及管理政策的完善，无人机行业展现出广阔的应用前景．为了解学生对于无人机技术的了解情况，某地区开展了无人机技术科普竞赛，现随机抽取40名学生的竞赛成绩（满分10分）并进行统计，得到了如图所示的不完整的条形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，抽取学生的竞赛成绩的中位数是 分，众数是 分； （2）求抽取学生的竞赛成绩的平均数； （3）若共有800名学生参加本次科普竞赛，成绩不低于9分的均可获得“无人机科普小先锋”称号，试估计此次科普竞赛获得此称号的学生人数． 20. 从2025年春晚的《秧》到2026年春晚的《武》，我国生产制造的机器人通过高精度技术实现精准动作，展现了“人机共舞”的盛宴．已知某型号机器人小腿，大腿，上半身（含头部），手臂，现将该型号机器人应用于篮球运动，图1和图2分别展示了投篮过程中的起跳和投篮动作． （1）如图1，该机器人在投篮起跳时腿部弯曲，使，的延长线经过点A，且与地面相互垂直，求此时机器人头顶D到地面的距离； （2）机器人由（1）的状态起跳后投篮，如图2，点A，B，C，D，E在同一直线上，且始终保持与地面互相垂直，此时，点A到地面的高度为30，点F到地面的高度为270，通过以上数据求机器人头部的长．（参考数据： 取，取） 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，、与直线分别交于，两点，其中． （1）当直线经过点时： ①求直线的解析式； ②平行于轴的直线交直线于点，交直线于点，且点在点的左侧．当时，求的值． （2）设直线、交于点，直接写出的值． 22. 综合与实践 【模型】如图1，，、相交于点O，且O为的中点． （1）求证：； 【情境】有一块边缘不规则的余料，其中，点E、F分别在、上，且平分不规则图形的面积，现计划作出一条最短的分割线，使仍可以平分不规则图形的面积，下面是淇淇解决问题的思路． 如图2，淇淇的思路如下： ①作的垂直平分线与交于点O； ②过点O作，垂足为M； ③延长与交于点N，即为所求． 【探究】 （2）在图2的基础上，根据淇淇的思路，用尺规作图作出分割线（保留作图痕迹，不写作法）； （3）根据淇淇的思路，请说明（2）中所作的符合要求． 23. 如图1，成熟麦穗的形状可以看成抛物线的一部分．如图2，将麦秆所在直线作为y轴，以水平地面上的一条直线作为x轴，建立平面直角坐标系，单位长度为1．从y轴上的点P处伸出两枝麦穗，这两枝麦穗分别看作抛物线（点P与点M之间的部分）：（）和抛物线（点P与点N之间的部分）：（），其中m，n都为常数，且．抛物线的顶点距离麦秆的水平距离为1，点M到地面的距离为． （1）在图2中画出x轴，并求抛物线的解析式； （2）求m的值； （3）①若将抛物线经过平移得到抛物线，通过计算写出一种合理的平移路径； ②一只小蚂蚱原地竖直向上最高能跳到2的高度，当它从点O出发，沿x轴正方向前进a后，恰好能跳到麦穗或上，直接写出a的取值范围． 24. 如图，已知的半径为3，弦，C是上一点（不与点A，B重合），连接，以，为边作平行四边形． （1）如图1，当经过圆心O时，求的值； （2）如图2，当时，求劣弧的长； （3）如图3，当与相切时，求点C到所在直线的距离； （4）直接写出点B与点D的最大距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $