重难点06 新定义函数压轴题（4大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（北京专用）

重难点06新定义函数压轴题 新定义函数题型往往融合了多个数学知识点，要求考生具备扎实的基础知识和灵活的思维能力。例如，某些题目可能结合代数、几何或概率等不同领域的知识，考查学生对知识的综合运用能力。近年来，北京中考数学压轴题中的新定义函数题型逐渐增多，且形式多样化。例如，2024年中考数学压轴题中出现了几何新定义、数列新定义、函数新定义等多种类型，体现了试题设计的灵活性和多样性。针对新定义函数题型，考生需要注重以下几点： 掌握基础知识：扎实掌握代数、几何、概率等基础知识，为理解新定义打下基础。 培养创新思维：通过练习类似题目，培养对新概念的理解能力和灵活运用能力。 注重阅读理解：提高对题干信息的提取和分析能力，避免因信息量大而产生困惑。 总结解题方法：通过总结典型题目的解题思路和方法，形成解题模板，提高解题效率。 【题型1 一次函数与圆综合】 考查了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用等，正确理解新定义的含义，灵活应用数形结合思想是解题的关键． 1．（2024学年北京市三帆中学中考模拟数学试题二模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于直线l和线段，给出如下定义：若线段关于直线l的对称图形是的弦（，分别为P，Q的对应点），则称线段是关于直线l的“对称弦”． (1)如图，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．线段，，中，是关于直线的“对称弦”的是 (2)是关于直线的“对称弦”，若点C的坐标为，且，直接写出点D的坐标； (3)已知直线和点，若线段是关于直线的“对称弦”，且，直接写出的最值和相应b的值． 2．（2024年北京市平谷区中考二模）平面直角坐标系中，已知线段，为线段上一点不与点、重合，以为圆心，长为半径画，以为顶点作，，若角的两边一边与相切，另一边与相交，则称线段与关于点关联． (1)若点为线段的中点，线段与关于点关联，则满足条件的值可以是________①②③④． (2)半径为，是上一点，，是轴上一点，线段与关于点关联，直接写出的取值范围； (3)半径为，点是上一点，点，，线段与关于点关联，若在直线上存在满足条件的点，直接写出的取值范围． 3．（2024年北京市二中教育集团中考三模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于直线l和线段，给出如下定义：若将线段关于直线l对称，可以得到的弦（，分别为A，B的对应点），则称线段是的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段是的关于直线l对称的“关联线段”． (1)如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数． ①在线段，，中，的关于直线对称的“关联线段”是______； ②若线段，，中，存在的关于直线对称的“关联线段”，则______； (2)已知交x轴于点C，在中，，．若线段是的关于直线对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的长． 4．（2022年北京市中国人民大学附属中学中考一模）我们规定：平面内点到图形上各个点的距离的最小值，称为该点到这个图形的最小距离，点到图形上各个点的距离的最大值，称为该点到这个图形的最大距离，定义点到图形的距离跨度为． (1)如图1，在平面直角坐标系中，图形为以为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形的距离跨度： 的距离跨度 ； 的距离跨度 ； 的距离跨度 ； (2)如图2，在平面直角坐标系中，图形为函数的图象，和的半径均为3，圆心分别为，，将图形上的所有点到和的距离跨度的最小值分别记为和，若和中有且仅有一个大于4，直接写出的取值范围． 【题型2 一次函数与三角形四边形综合】 主要考查了垂径定理，圆周角定理，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 5．（北京师范大学第二附中西城实验学校2022－2023学年九年级上学期期中）在平面直角坐标系中，对于线段和点C，若是以为一条直角边，且满足的直角三角形，则称点C为线段的“从属点”． 已知点A的坐标为． (1)如图1，若点B为，在点，，，中，线段AB的“从属点”是___________； (2)如图2，若点B为，点P在直线上，且点P为线段的“从属点”，求点P的坐标； (3)点B为x轴上的动点，直线与x轴，y轴分别交于M，N两点，若存在某个点B，使得线段上恰有2个线段的“从属点”，直接写出b的取值范围． 6．（北京市第一七一中学2022-2023九年级上学期期中）在平面直角坐标系中，已知点，对于点给出如下定义：将点P向右（）或向左（）平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点与点M的中点为Q，称点Q为点P的关于点M的“平移中点”．【已知，，则AB中点坐标为】 (1)①若，，则中点坐标为______； ②若，，则点Q的坐标为______ (2)已知，点P在直线l：上．当点Q在第一象限时，点P横坐标t取值范围是______ (3)已知正方形ABCD的边长为2，各边与x轴平行或者垂直，其中心为，点为正方形上的动点 ①当时，在点P运动过程中，点Q形成的图形的面积是______ ②当点在直线：上，在点P运动过程中，若存在点Q在正方形的边上或者内部，则a的取值范围是______． 7．（2022年北京市海淀区九年级数学二模）在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN，直线l和图形W给出如下定义：线段MN关于直线l的对称线段为M'N'（M'，N'分别是M，N的对应点）．若MN与M'N'均在图形W内部（包括边界），则称图形W为线段MN关于直线l的“对称封闭图形”． (1)如图，点P（-1，0）． ① 已知图形W1：半径为1的⊙O，W2：以线段PO为边的等边三角形，W3：以O为中心且边长为2的正方形，在W1，W2，W3中，线段PO关于y轴的“对称封闭图形”是　　　　； ② 以O为中心的正方形ABCD的边长为4，各边与坐标轴平行．若正方形ABCD是线段PO关于直线 y = x + b的“对称封闭图形”，求b的取值范围； (2)线段MN在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，且MN的长度为2．若存在点Q（），使得对于任意过点Q的直线l，有线段MN，满足半径为r的⊙O是该线段关于l的“对称封闭图形”，直接写出r的取值范围． 8．（2024年北京市八一教育集团、北京市第十九中学中考零模）在平面直角坐标系中，已知正方形，其中，为正方形外两点，．给出如下定义： 如果线段平移m个单位后，两端点均落在正方形的边上，则称m的最小值为线段到正方形的“平移距离”，记为d．    (1)如图1，平移线段，得到两条端点在正方形边上且长度为1的线段和，则这两条线段的位置关系是_________；在点中，连接点M与点________的线段的长度等于d． (2)若点都在直线上，求d的值； (3)若点M的坐标为，直接写出d的取值范围． 【题型3 二次函数综合】 考查二次函数的综合题，考点还涉及平面直角坐标系、三角形全等的判断和性质、二次函数对称轴、菱形的性质、线段极值、圆的性质等知识点，学会并熟练运用相关知识是解题关键. 9．（2024年北京市学业水平考试数学模拟）对于两条不平行的直线和，它们所夹的角之一为．将点先关于作轴对称点，再将关于作轴对称点．称为的对称点 的半径为1． (1)当两条对称轴分别为和，直接写出的对称点坐标 (2)直接写出的对称点横坐标的取值范围 (3)和是上两个不同的点，交轴于为的对称点．的纵坐标取值范围，求的值 (4)的半径为为轴除原点外一点，使得上存在点，直线交y轴于点上有的对称点直接写出k的取值范围． 10．（2022年北京市石景山区中考数学二模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的变换点的坐标定义如下： 当时，点的坐标为；当时，点的坐标为． （1）点的变换点的坐标是　 　；点的变换点为，连接，则　 　°； （2）已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），顶点为．点在抛物线上，点的变换点为．若点恰好在抛物线的对称轴上，且四边形是菱形，求的值； （3）若点是函数图象上的一点，点的变换点为，连接，以为直径作，的半径为，请直接写出的取值范围． 11．（2021年北京市海淀区中考二模）在平面直角坐标系中，是k个互不相同的点，若这k个点横坐标的不同取值有m个，纵坐标的不同取值有n个，，则称p为这k个点的“特征值”，记为．如图1，点． （1）如图2，圆C的圆心为，半径为5，与x轴交于A，B两点． ①________， _________； ②直线与圆C交于两点D，E，若，求b的取值范围； （2）点到点O的距离为1或，且这8个点构成中心对称图形，，若抛物线恰好经过中的三个点，并以其中一个点为顶点，直接写出a的所有可能取值． 12．（2023年北京市顺义区中考数学二模）在平面直角坐标系中，已知点，经过某点且平行于、或的直线，叫该点关于的“关联线”． 例如，如图1，点关于的“关联线”是：，，． (1)在以下3条线中，________是点关于的“关联线”(填出所有正确的序号)；①；②；③． (2)如图2，抛物线经过点，顶点在第一象限，且点有一条关于的“关联线”是，求此抛物线的表达式； (3)在(2)的条件下，过点作轴于点，点是线段上除点外的任意一点，连接，将沿着折叠，点落在点的位置，当点在点关于的平行于的“关联线”上时，满足(2)中条件的抛物线沿对称轴向下平移多少距离，其顶点落在上？ 13．(22-23·【全国级联考】北京东城区·二模)研究发现，抛物线上的点到点F(0，1)的距离与到直线l：的距离相等.如图1所示，若点P是抛物线上任意一点，PH⊥l于点H，则PF=PH. 基于上述发现，对于平面直角坐标系xOy中的点M，记点到点的距离与点到点的距离之和的最小值为d，称d为点M关于抛物线的关联距离；当时，称点M为抛物线的关联点. （1）在点，，，中，抛物线的关联点是_____ ； （2）如图2，在矩形ABCD中，点，点， ①若t=4，点M在矩形ABCD上，求点M关于抛物线的关联距离d的取值范围； ②若矩形ABCD上的所有点都是抛物线的关联点，则t的取值范围是________. 【题型4 反比例函数综合】 主要考查相似三角形的性质与判定、解直角三角形及反比例函数，熟练掌握相似三角形的性质与判定、解直角三角形及反比例函数是解题的关键． 14．（北京市2024年九年级中考押题卷）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别是A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），对于△ABC的横长、纵长、纵横比给出如下定义：将|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x1|中的最大值，称为△ABC的横长，记作Dx；将|y1﹣y2|，|y2﹣y3|，|y3﹣y1|中的最大值，称为△ABC的纵长，记作Dy；将叫做△ABC的纵横比，记作λ=． 例如：如图1，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，3），B（2，1），C（﹣1，﹣2），则Dx=|2﹣（﹣1）|=3，Dy=|3﹣（﹣2）|=5，所以λ==． （1）如图2，点A（1，0）， ①点B（2，1），E（﹣1，2），则△AOB的纵横比λ1=　 　；△AOE的纵横比λ2=　 　； ②点F在第四象限，若△AOF的纵横比为1，写出一个符合条件的点F的坐标； ③点M是双曲线y=上一个动点，若△AOM的纵横比为1，求点M的坐标； （2）如图3，点A（1，0），⊙P以P（0，）为圆心，1为半径，点N是⊙P上一个动点，直接写出△AON的纵横比λ的取值范围． 15．（北京市平谷区2023年九年级中考二模）如图，在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知点，点，连接．如果线段上有一个点与点P的距离不大于1，那么称点P是线段的“环绕点”． (1)已知点，，，则是线段的“环绕点”的点是 ； (2)已知点在反比例函数的图象上，且点P是线段的“环绕点”，求出点P的横坐标m的取值范围； (3)已知上有一点P是线段的“环绕点”，且点，求的半径r的取值范围． 16．（2024年北京市顺义区中考二模）定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点． 例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P为△ABC的自相似点． 请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： 在平面直角坐标系中，点M是曲线C：上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点． （1） 如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M，试说明点P是△MON的自相似点； 当点M的坐标是，点N的坐标是时，求点P的坐标； （2） 如图3，当点M的坐标是，点N的坐标是时，求△MON的自相似点的坐标； （3） 是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（北京市燕山区2023年九年级一模）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点，例如，点（1，1），（﹣ 2，﹣ 2），（，），…，都是梦之点，显然梦之点有无数个． （1）若点 P（2，b）是反比例函数 (n 为常数，n ≠ 0) 的图象上的梦之点，求这个反比例函数解析式； （2）⊙ O 的半径是 ， ①求出⊙ O 上的所有梦之点的坐标； ②已知点 M（m，3），点 Q 是（1）中反比例函数 图象上异于点 P 的梦之点，过点Q 的直线 l 与 y 轴交于点 A，tan∠OAQ＝ 1．若在⊙ O 上存在一点 N，使得直线 MN ∥ l或 MN ⊥ l，求出 m 的取值范围． 18．（2023年北京市房山区中考一模）我们规定：形如 的函数叫做“奇特函数”.当时，“奇特函数” 就是反比例函数. （1） 若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x和y后，得到的新矩形的面积为8 ，求y与x之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”； （2） 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D是OA的中点，连结OB，CD交于点E，“奇特函数”的图象经过B，E两点. ① 求这个“奇特函数”的解析式； ② 把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移 个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象.过线段BE中点M的一条直线l与这个“奇特函数”的图象交于P，Q两点，若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，请直接写出点P的坐标． （建议用时：60分钟） 19．(22-23九·北京师范大学实验中学·二模)在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”． (1)如图1，的半径为1，当时，直接写出直线l关于的“圆截距”； (2)点M的坐标为， ①如图2，若的半径为1，当时，直线l关于的“圆截距”小于，求k的取值范围； ②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于的“圆截距”的最小值为，直接写出b的值． 20．(22-23九下·北京首都师范大学附属中学二模·)在平面直角坐标系中，给出如下定义：为图形上任意一点，如果点到直线的距离等于图形上任意两点距离的最大值时，那么点称为直线的“伴随点”． 例如：如图1，已知点，，在线段上，则点是直线：轴的“伴随点”．    (1)如图2，已知点，，是线段上一点，直线过，两点，当点是直线的“伴随点”时，求点的坐标； (2)如图3，轴上方有一等边三角形，轴，顶点A在轴上且在上方，，点是上一点，且点是直线：轴的“伴随点”．当点到轴的距离最小时，求等边三角形的边长； (3)如图4，以，，为顶点的正方形上始终存在点，使得点是直线：的“伴随点”．请直接写出的取值范围． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点06新定义函数压轴题 新定义函数题型往往融合了多个数学知识点，要求考生具备扎实的基础知识和灵活的思维能力。例如，某些题目可能结合代数、几何或概率等不同领域的知识，考查学生对知识的综合运用能力。近年来，北京中考数学压轴题中的新定义函数题型逐渐增多，且形式多样化。例如，2024年中考数学压轴题中出现了几何新定义、数列新定义、函数新定义等多种类型，体现了试题设计的灵活性和多样性。针对新定义函数题型，考生需要注重以下几点： 掌握基础知识：扎实掌握代数、几何、概率等基础知识，为理解新定义打下基础。 培养创新思维：通过练习类似题目，培养对新概念的理解能力和灵活运用能力。 注重阅读理解：提高对题干信息的提取和分析能力，避免因信息量大而产生困惑。 总结解题方法：通过总结典型题目的解题思路和方法，形成解题模板，提高解题效率。 【题型1 一次函数与圆综合】 考查了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用等，正确理解新定义的含义，灵活应用数形结合思想是解题的关键． 1．（2024学年北京市三帆中学中考模拟数学试题二模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于直线l和线段，给出如下定义：若线段关于直线l的对称图形是的弦（，分别为P，Q的对应点），则称线段是关于直线l的“对称弦”． (1)如图，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．线段，，中，是关于直线的“对称弦”的是 (2)是关于直线的“对称弦”，若点C的坐标为，且，直接写出点D的坐标； (3)已知直线和点，若线段是关于直线的“对称弦”，且，直接写出的最值和相应b的值． 【答案】(1) (2)或 (3)最小值：，；最大值：， 【来源】2024学年北京市三帆中学中考模拟数学试题二模 【分析】（1）根据题中定义即可画图得出； （2）根据题意可得直线垂直平分，，结合点的坐标，推得点在上，即可得出点是与交点，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求得点、的坐标； （3）结合（2）可得点是点与交点，先求出直线与，轴的交点坐标，求解，再画出图形，根据两点间的距离公式即可列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：如图所示： ∴关于直线的“对称弦”的是线段； （2）解：设点，关于直线的对称点为，， ∴直线垂直平分，， ∵是关于直线的“对称弦”， ∴，在上， ∵点的坐标为， ∴， 即点在上， ∵直线经过圆心， ∴点也在上， ∵， 故点在以点为圆心，为半径的圆上，如图：与交于点与点； 连接，， ∵， 即是等边三角形， 故点的横坐标为，点的纵坐标为0， 同理，点的横坐标为，点的纵坐标为， 综上，点的坐标为或； （3）解：设点关于直线的对称点为， ∴直线垂直平分， ∵线段是关于直线的“对称弦”， ∴在上， 由（2）可得点在以点为圆心，为半径的圆上， 又∵，即； 令直线与，轴交于点，，如图： 令，则，即点，， 令，则，即点，， ∴， ∴， 记与轴的交点为，而， ∴， ∵， ∴在以为圆心，为半径的圆上，记与格线的切点为，连接，， ∴轴，即轴， ∴， ∴是等边三角形， 过作于， ∴，， ∴， 此时最小，为， 设直线表达式为， 把，代入， 解得， 则直线为， ∴直线与轴的交点坐标为， 由轴对称的性质可得：， ∴， 解得：； 当在的右边时，最大，如图， 同理可得：， 则最大值为：， 此时， 同理可得：， ∴， 解得：． 2．（2024年北京市平谷区中考二模）平面直角坐标系中，已知线段，为线段上一点不与点、重合，以为圆心，长为半径画，以为顶点作，，若角的两边一边与相切，另一边与相交，则称线段与关于点关联． (1)若点为线段的中点，线段与关于点关联，则满足条件的值可以是________①②③④． (2)半径为，是上一点，，是轴上一点，线段与关于点关联，直接写出的取值范围； (3)半径为，点是上一点，点，，线段与关于点关联，若在直线上存在满足条件的点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①② (2)或 (3) 【来源】2024年北京市平谷区中考二模数学试题 【分析】（1）由点P为线段的中点得,根据锐角三角函数可求出，从而，进而可得答案； （2）根据题意，点与点重合，，当点B在y轴的正半轴时和，当点B在y轴的负半轴时两种情况求解即可； （3）依题意当，则点就是线段的中点，但是点是在圆上运动的，点只能是从中点的右侧的范围满足题意的根据中位线的性质可得中点始终在以 为圆心半径为的上运动，始终在线段 扫得区域，进而上下平移，与相切，即可求解． 【详解】（1）如图， 由新定义知与相切， ∴. ∵点P为线段的中点， ∴, ∴, ∴, ∵与相交， ∴, ∴①②符合题意. 故答案为：①②； （2）如图，当点在轴的正半轴时， 线段与关于点关联， ， 当与相切与点时，连接，则 ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 当点与点重合时，， ； 当点在轴的负半轴时，如图， 同理可求. 综上可知，或 （3）在上任取一点，在上任取一点，以为圆心，为半径作，过点分别作的切线， ∵要使线段与关于点关联， ∴ 即 ∴ 取 中点则点在线段上不包括端点 、. 随着 在 上运动取 中点 , ∴中点始终在以 为圆心,半径为的上运动， ∴始终在线段 扫得区域, ∴当与相切时, 如图所示，取点，则 ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵b过点, 代入解得： 当过点时, ∴. 【点睛】本题考查含的直角三角形三边关系，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形性质，切线性质，一次函数图像性质等知识点，熟悉相关图形的性质是解决问题的关键． 3．（2024年北京市二中教育集团中考三模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于直线l和线段，给出如下定义：若将线段关于直线l对称，可以得到的弦（，分别为A，B的对应点），则称线段是的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段是的关于直线l对称的“关联线段”． (1)如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数． ①在线段，，中，的关于直线对称的“关联线段”是______； ②若线段，，中，存在的关于直线对称的“关联线段”，则______； (2)已知交x轴于点C，在中，，．若线段是的关于直线对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的长． 【答案】(1)①；②3或2； (2)b的最大值为，；最小值为，． 【来源】2024年北京市二中教育集团中考模拟数学试题（三） 【分析】（1）①分别画出线段，，关于直线对称线段，运用数形结合思想，即可求解； ②从图象性质可知，直线与x轴的夹角为45°，而线段⊥直线，线段关于直线对称线段还在直线上，显然不可能是的弦；线段，的最长的弦为2，得线段的对称线段不可能是的弦，而线段∥直线，线段，所以线段的对称线段，且线段，平移这条线段，使其在上，有两种可能，画出对应图形即可求解； （2）先表示出，b最大时就是最大，b最小时就是长最小，根据线段关于直线对称线段在上，得，再由三角形三边关系得，得当为时，如图3，最小，此时C点坐标为；当为时，如图3，最大，此时C点坐标为，分两种情形分别求解． 【详解】（1）解：①分别画出线段，，关于直线对称线段，如图， 发现线段的对称线段是⊙O的弦， ∴线段，，中，⊙O的关于直线对称的“关联线段”是， 故答案为：； ②从图象性质可知，直线与x轴的夹角为45°， ∴线段⊥直线， ∴线段关于直线对称线段还在直线上，显然不可能是的弦； ∵线段，的最长的弦为2， ∴线段的对称线段不可能是的弦， 线段是⊙O的关于直线对称的“关联线段”， 而线段∥直线，线段， ∴线段的对称线段，且线段，平移这条线段，使其在上，有两种可能， 第一种情况的坐标分别为， 此时； 第二种情况的坐标分别为 此时， 故答案为：3或2； （2）已知交x轴于点C，在中，，．若线段是的关于直线对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的长． 解：∵直线交x轴于点C， 当时，， 解得： ∴ 即b最大时就是最大，b最小时就是最小， ∵线段是的关于直线对称的“关联线段”， ∴线段关于直线对称线段在⊙O上， ∴ 在中， ∴当为时，如图，最小，此时C点坐标为， 将点C代入直线中，得 解得：， ∵点关于对称 ∴， ∴当为时，如图，最大，此时C点坐标为， 将点C代入直线中，得 解得：， ∵点关于对称 ∴， 综上b的最大值为，；最小值为，． 【点睛】本题考查了以圆为背景的阅读理解题，对称轴的性质、一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，三角形三边关系，解决问题的关键是找出不同情境下的“关联线段”和阅读理解能力． 4．（2022年北京市中国人民大学附属中学中考一模）我们规定：平面内点到图形上各个点的距离的最小值，称为该点到这个图形的最小距离，点到图形上各个点的距离的最大值，称为该点到这个图形的最大距离，定义点到图形的距离跨度为． (1)如图1，在平面直角坐标系中，图形为以为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形的距离跨度： 的距离跨度 ； 的距离跨度 ； 的距离跨度 ； (2)如图2，在平面直角坐标系中，图形为函数的图象，和的半径均为3，圆心分别为，，将图形上的所有点到和的距离跨度的最小值分别记为和，若和中有且仅有一个大于4，直接写出的取值范围． 【答案】(1)2，2，4 (2)或 【来源】2022年北京市中国人民大学附属中学中考一模数学试题 【分析】（1）先根据跨度的定义先确定出点到圆的最小距离和最大距离，即可得出跨度； （2）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求解即可. 【详解】（1）解：图形为以为圆心，2为半径的圆， 直径为4， ，， 点到的最小距离， 点到的最大距离， 点到图形的距离跨度； ， ， 点到的最小距离， 点到的最大距离， 点到图形的距离跨度； ， ， 点到的最小距离， 点到的最大距离， 点到图形的距离跨度； 故答案为2，2，4． （2）解：设函数的图象上一点， 过点A作于B，如图， 则， ∴， ∴， 分三种情况：①当时，如图， i)当，时， 当点O在内时，即图形上的点为点O时到的距离跨度的值最小， 此时距离跨度， ∴， ∵， ∴ ∴， 过点D作于P，此时图形上的点P到的距离跨度的值最小， 此时距离跨度， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 综上，， ii)当，时， 同理可得，，得（舍去）； ②当时，如图， 过点D作于，过点C作于， i)当，时， 同理得，，无解； ii) 当，时， 同理得，，则（舍去）； ③当时，如图， 当点O在内时，图形上的点为点O时到的距离跨度的值最小， ∴， 过点C作于P， 同理， i)当，时， ∴，， ∴无解； ii)当，时， ∴， ∴， 综上，或． 【点睛】本题考查新定义，直角三角形的性质，一次函数的图象性质，三角函数等知识，属圆的综合题目，是一道难点比较大的中考常考题，分类讨论是解本题的难点． 【题型2 一次函数与三角形四边形综合】 主要考查了垂径定理，圆周角定理，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 5．（北京师范大学第二附中西城实验学校2022－2023学年九年级上学期期中）在平面直角坐标系中，对于线段和点C，若是以为一条直角边，且满足的直角三角形，则称点C为线段的“从属点”． 已知点A的坐标为． (1)如图1，若点B为，在点，，，中，线段AB的“从属点”是___________； (2)如图2，若点B为，点P在直线上，且点P为线段的“从属点”，求点P的坐标； (3)点B为x轴上的动点，直线与x轴，y轴分别交于M，N两点，若存在某个点B，使得线段上恰有2个线段的“从属点”，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【来源】北京师范大学第二附中西城实验学校2022－2023学年九年级上学期期中考试数学试卷 【分析】（1）按照“从属点”的定义分别对四个点进行分析即可； （2）分和两种情况，借助等腰直角三角形的判定和性质求解； （3）画出图象，分和两种情况，分别求出其临界值，从而得到b的取值范围． 【详解】（1）解：，则，且为直角三角形，故是线段的“从属点”； ，则，且为直角三角形，故是线段的“从属点”； ，则不是直角边，故不是线段的“从属点”； ，则，故不是线段的“从属点”； 综上：线段AB的“从属点”是， （2）解：设点P的坐标为， 点P为线段AB的“从属点”， ①时，由题意可知：， 为等腰直角三角形， ，∴， 过点P作轴，垂足为F，交y轴于点E， 可知和为等腰直角三角形， ，，， 则，解得：，点P的坐标为，此时； ②时，过点P作轴，垂足为G，交x轴于点H， 同理可知：， 和为等腰直角三角形， ，，， 则，解得：， 点P的坐标为，此时； 综上，点P的坐标为：或 （3）解：如图， 由“从属点”的定义可知：线段的从属点在射线，，上， 当时，当点B和原点重合时，若要满足线段上恰有2个线段的“从属点”，则点C在线段上 此时点，代入，得： 从而当时，总能找到点B，满足条件， 故 当时，若要满足线段上恰有2个线段的“从属点”， 如图，当点E和M重合时， 为等腰直角三角形 可得：，即，代入，得： 而当时，四条射线、、、无法与线段产生两个交点， 从而当时，总能找到点B，满足条件， 故 综上，b的取值范围是：或 6．（北京市第一七一中学2022-2023九年级上学期期中）在平面直角坐标系中，已知点，对于点给出如下定义：将点P向右（）或向左（）平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点与点M的中点为Q，称点Q为点P的关于点M的“平移中点”．【已知，，则AB中点坐标为】 (1)①若，，则中点坐标为______； ②若，，则点Q的坐标为______ (2)已知，点P在直线l：上．当点Q在第一象限时，点P横坐标t取值范围是______ (3)已知正方形ABCD的边长为2，各边与x轴平行或者垂直，其中心为，点为正方形上的动点 ①当时，在点P运动过程中，点Q形成的图形的面积是______ ②当点在直线：上，在点P运动过程中，若存在点Q在正方形的边上或者内部，则a的取值范围是______． 【答案】(1)      (2) (3)1       【来源】北京市第一七一中学2022-2023九年级上学期期中 【分析】（1）根据中点坐标公式即可求解；根据定义可求的坐标，再由中点坐标公式求出的坐标． （2）根据题意可得，再根据“平移中点”的定义，可得，再由点在第一象限，可得到关于的不等式组，即可求解． （3）①根据“平移中点”的定义，可得，从而得到点形成的正方形边长为1，即可求解；②根据题意可得，从而得到，，再求出临界值，即可求解． 【详解】（1）解：解： , 中点坐标公式为，即 故答案为： 解：向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 与的中点坐标为，即 故答案为： （2）解：∵点在直线：上，， ∴， ∴， ∵点在第一象限， ∴， ∴ （3）解：：当时， 点在正方形上 点的运动形成的图形也是正方形 正方形的边长为2 点形成的正方形边长为1 点形成的图形的面积是1 故答案为：1 解：点在直线：上 点 正方形的中心是，边长为2 ∴，， 当时，， ∴， ∴时，存在点在正方形的边上或者内部； 当时，， ∴， ∴时，存在点在正方形的边上或者内部； 综上所述：时，存在点在正方形的边上或者内部． 【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，熟练掌握一次函数的图像及性质，理解定义，灵活应用中点坐标公式，数形结合解题是关键． 7．（2022年北京市海淀区九年级数学二模）在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN，直线l和图形W给出如下定义：线段MN关于直线l的对称线段为M'N'（M'，N'分别是M，N的对应点）．若MN与M'N'均在图形W内部（包括边界），则称图形W为线段MN关于直线l的“对称封闭图形”． (1)如图，点P（-1，0）． ① 已知图形W1：半径为1的⊙O，W2：以线段PO为边的等边三角形，W3：以O为中心且边长为2的正方形，在W1，W2，W3中，线段PO关于y轴的“对称封闭图形”是　　　　； ② 以O为中心的正方形ABCD的边长为4，各边与坐标轴平行．若正方形ABCD是线段PO关于直线 y = x + b的“对称封闭图形”，求b的取值范围； (2)线段MN在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，且MN的长度为2．若存在点Q（），使得对于任意过点Q的直线l，有线段MN，满足半径为r的⊙O是该线段关于l的“对称封闭图形”，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)① ，；②b的取值范围是 (2) 【来源】2022年北京市海淀区九年级数学二模试题 【分析】（1）①根据“对称封闭图形”的定义判断即可； ②记点P，O关于直线的对称点分别为，，先求出直线、直线的解析式，再根据图象找到当直线随着b的变化上下平移时的临界情况，解答即可； （2）根据题意，确定出当三角形MON为等腰直角三角形且∠MON=90°时r最小，作MN关于直线的对称图形，用勾股定理求出的长度即可． 【详解】（1）解：①线段PO关于y轴对称图形为线段，即线段在图形W内（包括边界）， 其中，P（-1，0），（0，1）， 故图形W1及W3，符合题意， 故答案为：，． ②记点P，O关于直线的对称点分别为，，则直线垂直平分线段和，因此直线的解析式为，直线的解析式为，由于线段PO在x轴上，故关于直线的对称后，⊥x轴． 如图，当直线随着b的变化上下平移时，临界情况是： 当点P对称后得到在上，即（1，）时，中点为（，0），此时； 当点O对称后恰好为（2，2）时，中点为（1，1），此时. 依题意，b的取值范围是． （2）解：由题意知，当三角形MON为等腰直角三角形且∠MON=90°时r最小， 由Q点坐标知，Q点在直线上运动， 作线段MN关于直线的对称图形，则r≥， 取MN中点E，中点为G，连接EG交直线于F，连接，如图所示， ∵MN=2， ∴OE=1， 设直线交坐标轴于P、S，则PS=8， ∴OF=4， 由对称知，EF=GF=5，， 由勾股定理得：， 故答案为：． 8．（2024年北京市八一教育集团、北京市第十九中学中考零模）在平面直角坐标系中，已知正方形，其中，为正方形外两点，．给出如下定义： 如果线段平移m个单位后，两端点均落在正方形的边上，则称m的最小值为线段到正方形的“平移距离”，记为d．    (1)如图1，平移线段，得到两条端点在正方形边上且长度为1的线段和，则这两条线段的位置关系是_________；在点中，连接点M与点________的线段的长度等于d． (2)若点都在直线上，求d的值； (3)若点M的坐标为，直接写出d的取值范围． 【答案】(1)平行； (2) (3) 【来源】2024年北京市八一教育集团、北京市第十九中学中考零模数学试题 【分析】（1）由平移的性质可得：，由平移的距离的含义结合新定义可得：连接点M与点的线段的长度等于d． （2）如图，在正方形的边上取，可得，再结合一次函数的性质与垂线段最短可得答案； （3）如图，当平行于正方形的边时，不妨设当，且，在上（或在上）时，此时平移距离最短，如图，当与正方形的边不平行时，此时越接近时，平移距离最大，再利用勾股定理可得结论． 【详解】（1）解：由平移的性质可得：，， ∴， 由平移的距离的含义结合新定义可得：连接点M与点的线段的长度等于d． （2）如图，在正方形的边上取，则，    ∵， ∴，， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴直线， 当直线时，， 记直线的交点为，过作直线于，则， 当时，则， ∴， 记直线与轴的交点为， ∴， 同理可得：， ∴， ∴； （3）如图，当平行于正方形的边时， 不妨设当，且，在上（或在上）时， 此时平移距离最短，    ∵， ∴， 如图，当与正方形的边不平行时，    此时越接近时，平移距离最大， ∵， ∴； ∴； 【点睛】本题考查的是新定义的含义，正方形的性质，一次函数的性质，圆的基本性质，本题难度大，理解题意是关键． 【题型3 二次函数综合】 考查二次函数的综合题，考点还涉及平面直角坐标系、三角形全等的判断和性质、二次函数对称轴、菱形的性质、线段极值、圆的性质等知识点，学会并熟练运用相关知识是解题关键. 9．（2024年北京市学业水平考试数学模拟）对于两条不平行的直线和，它们所夹的角之一为．将点先关于作轴对称点，再将关于作轴对称点．称为的对称点 的半径为1． (1)当两条对称轴分别为和，直接写出的对称点坐标 (2)直接写出的对称点横坐标的取值范围 (3)和是上两个不同的点，交轴于为的对称点．的纵坐标取值范围，求的值 (4)的半径为为轴除原点外一点，使得上存在点，直线交y轴于点上有的对称点直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 【来源】2024年北京市学业水平考试数学模拟试题 【详解】（1）解：如图所示，点T关于直线的对称点为S，点S关于直线的对称点为Q，过点T、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵直线是第二、四象限的角平分线，是一、三象限的角平分线 ∴，， 由轴对称的性质可得，， ∴； 在中，， ∴， 在中，，， ∴； 如图所示，点T关于直线的对称点为L，点L关于直线的对称点为M， 同理可得， ∴， ∴同理可得； 综上所述，的对称点坐标为； （2）解：如图所示，射线满足， 点T关于射线的对称点为A，点A关系射线的对称点为点B，过点B作x轴的垂线，垂足为F， 由轴对称的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的对称点横坐标为； 如图所示，射线满足， 点T关于射线的对称点为G，点G关系射线的对称点为点H， 同理可证明   ∴， ∴三点共线，即点H在y轴上， ∵， ∴， ∴的对称点横坐标为； 综上所述，的对称点横坐标为或； （3）解：如图所示，不妨设抛物线开口向上，点A在第二象限，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为L、E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 如图所示，射线满足，且O关于射线的对称点为K，点K关于射线的对称点为D， 由轴对称的性质可得， ∴点D在以点C为圆心，半径为的圆上运动（不包括与y轴的交点）， ∴， ∵， ∴， ∴； 当开口向下时，同理可得，此时不满足题意； 综上所述，； （4）解：不妨设的对称点为W，由于点O关于经过点C的两条射线（夹角为）其中一条对称后的点，再与W关于另外一条射线对称， ∴一定成立， ∴不管点A和点B怎么运动，点W一定在以C为圆心，的长为半径的圆上运动， 如图所示，当与相切，且与外切时，设，则， ∴， 解得， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 由于当与在x轴上方相切时，直线与y轴交点C的位置距离点O最远，故当时，此时点C的位置一定比时，且与相切时点C的位置要低，即此时与没有交点； 当，此时点C的位置一定比时，且与相切时点C的位置要高，那么一定在上存在一点B使得直线经过，则此时一定可以满足与有交点， 综上所述，当此时一定可以满足与有交点，即上有的对称点， 由对称性可得当时，也满足题意； 综上所述，当或时上有的对称点． 【点睛】本题主要考查了圆与一次函数综合，解直角三角形，二次函数综合，轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，解题的关键在于画出对应的示意图，利用数学结合的思想求解． 10．（2022年北京市石景山区中考数学二模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的变换点的坐标定义如下： 当时，点的坐标为；当时，点的坐标为． （1）点的变换点的坐标是　 　；点的变换点为，连接，则　 　°； （2）已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），顶点为．点在抛物线上，点的变换点为．若点恰好在抛物线的对称轴上，且四边形是菱形，求的值； （3）若点是函数图象上的一点，点的变换点为，连接，以为直径作，的半径为，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）（﹣3，1）；90°；（2）或或；（3）的取值范围是． 【来源】2022年北京市石景山区中考数学二模试题 【分析】（1）依据对应的定义可直接得点、的坐标，然后依据题意画出图形，过点作轴，垂足为，过点轴，垂足为．接下来证明.由全等三角形的性质得到，然后可求得. （2）抛物线的顶点E的坐标为E（-2，m），m>0，设点P的坐标为 ，①若，则点的坐标为． 然后依据点恰好在抛物线的对称轴上，且四边形是菱形，可得到关于x和m的方程组，从而可求得m的值；②若，则点的坐标为．同理可列出关于x、m的方程组，从而求得m的值； （3）设点F的坐标为，依据题意可得到点的坐标为，然后依据两点间的距离公式可得到的长度与x的函数关系式，从而可求得的取值范围，然后可求得r的取值范围. 【详解】（1）∵点，3＞1， ∴点的对应点的坐标是（﹣3，1）． ∵，﹣4＜2， ∴点的变换点为的坐标为（﹣2，﹣4）． 过点作轴，垂足为，过点轴，垂足为． ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为（﹣3，1）；90°． （2）由题意得的顶点的坐标为． ∵点在抛物线上， ∴设点的坐标为． ①若，则点的坐标为． ∵点恰好在抛物线的对称轴上，且四边形是菱形， ∴ ∴，符合题意． ②若，则点的坐标为． ∵点恰好在抛物线的对称轴上，且四边形是菱形， ∴ ∴或，符合题意． 综上所述，或或． （3）设点的坐标为． 当时，解得：，不合题意． 当时，解得：，符合题意． ∵点的坐标为，且， ∴点的坐标为． ∴． ∴当时，有最小值，的最小值，当时，有最大值，的最大值． ∴的取值范围为：． ∵， ∴的取值范围是． 11．（2021年北京市海淀区中考二模）在平面直角坐标系中，是k个互不相同的点，若这k个点横坐标的不同取值有m个，纵坐标的不同取值有n个，，则称p为这k个点的“特征值”，记为．如图1，点． （1）如图2，圆C的圆心为，半径为5，与x轴交于A，B两点． ①________， _________； ②直线与圆C交于两点D，E，若，求b的取值范围； （2）点到点O的距离为1或，且这8个点构成中心对称图形，，若抛物线恰好经过中的三个点，并以其中一个点为顶点，直接写出a的所有可能取值． 【答案】（1）①3，5；②且，；（2）1或2或． 【来源】2021年北京市海淀区中考二模数学试卷 【分析】（1）①先写出A，B的坐标，然后根据题意即可求解；②D，E两点都在直线上，而A，B两点都在直线上，因此A，B，D，E四点纵坐标不同的取值有2个，要使得，则A，B，D，E四点横坐标不同的取值必须有4个，此时这四个点的横坐标均不能相同，由对称性，当时，D，E分别为和，其横坐标分别与A，B的横坐标相同，不符合题意；由图可知，直线与要有公共点，则，答案可解； （2）根据题意画出图形，抛物线，所以，抛物线开口向上，因为抛物线经过三个点,且抛物线呈对称，分析抛物线可能经过的点，进行分类讨论即可解得答案． 【详解】（1）①由图可知， 根据题意可得：，， 故答案为：3,5； ②解：D，E两点都在直线上，而A，B两点都在直线上，因此A，B，D，E四点纵坐标不同的取值有2个，要使得，则A，B，D，E四点横坐标不同的取值必须有4个，于是此时这四个点的横坐标均不能相同． 由对称性，当时，D，E分别为和，其横坐标分别与A，B的横坐标相同，不符合题意； 由图可知，直线与要有公共点，则； 综上所述，b的取值范围是且且． （2）∵T＜A1，A2，…，A8＞=6， ∴这8个点横坐标的不同取值的个数与纵坐标的不同取值的个数之和为6． ∵点A1，A2，…A8到点O的距离为1或，且这8个点构成中心对称图形， ∴这8个点构成的图形如下图所示： 它们的坐标分别为：A1（-1，1），A2（0，1），A3（1，1），A4（-1，0），A5（1，0），A6（-1，-1），A7（0，-1），A8（1，-1）． ∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）， ∴抛物线开口向上． ∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）恰好经过A1，A2，…A8中的三个点，并以其中一个点为顶点， ∴根据抛物线为轴对称图形可得：抛物线经过A1，A3，A7或A4，A5，A7． ∴抛物线经过A1，A3，A7时， 解得： 抛物线经过或A4，A5，A7时， 解得： 或这8个点构成的图形如下图所示： 它们的坐标分别为：， ∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）恰好经过A1，A2，…A8中的三个点，并以其中一个点为顶点， ∴根据抛物线为轴对称图形可得：抛物线经过A1，A3，A6或A4，A2，A7． ∴抛物线经过A1，A3，A6时，A6为顶点，经过A1，A3，设抛物线解析式为 将A3坐标代入得： 解得： 抛物线经过A2，A4，A7时，A7为顶点，经过A2，A4，设抛物线解析式为 将A4坐标代入得： 解得： 综上，a的值为1或2或 12．（2023年北京市顺义区中考数学二模）在平面直角坐标系中，已知点，经过某点且平行于、或的直线，叫该点关于的“关联线”． 例如，如图1，点关于的“关联线”是：，，． (1)在以下3条线中，________是点关于的“关联线”(填出所有正确的序号)；①；②；③． (2)如图2，抛物线经过点，顶点在第一象限，且点有一条关于的“关联线”是，求此抛物线的表达式； (3)在(2)的条件下，过点作轴于点，点是线段上除点外的任意一点，连接，将沿着折叠，点落在点的位置，当点在点关于的平行于的“关联线”上时，满足(2)中条件的抛物线沿对称轴向下平移多少距离，其顶点落在上？ 【答案】(1)①③；(2)；(3). 【来源】2023年北京市顺义区中考数学二模试题 【分析】(1)根据经过某点且平行于或的直线，叫该点关于的“关联线”，可得答案； (2)根据关联点，可得关于的关系，根据图象上的点满足函数解析式，可得关于的方程，根据解方程，可得答案； (3)根据翻折的性质，可得，根据直角三角形的性质，可得的度数，根据正切函数，可得，根据线段的和差，可得平移的距离． 【详解】解：(1)是点关于的“关联线”，①；③，故选①③； (2)∵抛物线的顶点有一条关于的关联线是， ∴， 又∵抛物线过点， ∴， 联立，得， ∴或 ∵顶点在第一象限， ∴ ∴抛物线的表达式为； (3)由，得顶点． 将沿着折叠，点落在点的位置，得 ， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线需要向下平移的距离， ∴抛物线沿对称轴向下平移距离，其顶点落在上． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是关联线的定义；解(2)的关键是利用关联线，图象上的点满足函数解析式得出方程组；解(3)的关键是利用翻折的性质得出，又利用了直角三角形的性质，锐角正切函数． 13．(22-23·【全国级联考】北京东城区·二模)研究发现，抛物线上的点到点F(0，1)的距离与到直线l：的距离相等.如图1所示，若点P是抛物线上任意一点，PH⊥l于点H，则PF=PH. 基于上述发现，对于平面直角坐标系xOy中的点M，记点到点的距离与点到点的距离之和的最小值为d，称d为点M关于抛物线的关联距离；当时，称点M为抛物线的关联点. （1）在点，，，中，抛物线的关联点是_____ ； （2）如图2，在矩形ABCD中，点，点， ①若t=4，点M在矩形ABCD上，求点M关于抛物线的关联距离d的取值范围； ②若矩形ABCD上的所有点都是抛物线的关联点，则t的取值范围是________. 【答案】(1) （2）①  ② 【来源】【全国市级联考】北京市东城区2022-2023学年度第二学期初三年级统一测试（二模）数学试卷 【详解】【分析】（1）根据关联点的定义逐一进行判断即可得； （2））①当时，，，，，可以确定此时矩形上的所有点都在抛物线的下方，所以可得，由此可知，从而可得； ②由①知，分两种情况画出图形进行讨论即可得. 【详解】（1），x=2时，y==1，此时P（2，1），则d=1+2=3，符合定义，是关联点； ，x=1时，y==，此时P（1，），则d=+=3，符合定义，是关联点； ，x=4时，y==4，此时P（4，4），则d=1+=6，不符合定义，不是关联点； ，x=0时，y==0，此时P（0，0），则d=4+5=9，不不符合定义，是关联点， 故答案为； （2）①当时，，，，， 此时矩形上的所有点都在抛物线的下方， ∴， ∴， ∵， ∴； ②由①，， 如图2所示时，CF最长，当CF=4时，即=4，解得：t=， 如图3所示时，DF最长，当DF=4时，即DF==4，解得 t=， 故答案为   【点睛】本题考查了新定义题，二次函数的综合，题目较难，读懂新概念，能灵活应用新概念，结合图形解题是关键. 【题型4 反比例函数综合】 主要考查相似三角形的性质与判定、解直角三角形及反比例函数，熟练掌握相似三角形的性质与判定、解直角三角形及反比例函数是解题的关键． 14．（北京市2024年九年级中考押题卷）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别是A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），对于△ABC的横长、纵长、纵横比给出如下定义：将|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x1|中的最大值，称为△ABC的横长，记作Dx；将|y1﹣y2|，|y2﹣y3|，|y3﹣y1|中的最大值，称为△ABC的纵长，记作Dy；将叫做△ABC的纵横比，记作λ=． 例如：如图1，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，3），B（2，1），C（﹣1，﹣2），则Dx=|2﹣（﹣1）|=3，Dy=|3﹣（﹣2）|=5，所以λ==． （1）如图2，点A（1，0）， ①点B（2，1），E（﹣1，2），则△AOB的纵横比λ1=　 　；△AOE的纵横比λ2=　 　； ②点F在第四象限，若△AOF的纵横比为1，写出一个符合条件的点F的坐标； ③点M是双曲线y=上一个动点，若△AOM的纵横比为1，求点M的坐标； （2）如图3，点A（1，0），⊙P以P（0，）为圆心，1为半径，点N是⊙P上一个动点，直接写出△AON的纵横比λ的取值范围． 【答案】 ①；1；②；③或 【来源】【全国市级联考】北京市2024年九年级中考押题卷数学试题 【详解】分析：（1）①根据纵横比的定义计算即可； ②点F在第四象限的角平分线上即可； ③分三种情形讨论即可． （2）如图3中，当当时，可得的纵横比的最大值， 当与相切时，切点在第二象限时，可得的纵横比的最小值. 详解： 由题意的纵横比的纵横比， 故答案为． 由点F在第四象限，若的纵横比为1，则在第四象限的角平分线上即可． 如图设 a、当时，点M在上，则， 此时的横长的纵长为， 的纵横比为1， ， 或舍弃， ， ． b、当时，点M在上，则， 此时的横长的纵长为， 的纵横比为1， ， 舍弃， c、当时，点M在上，则， 此时的横长的纵长为， 的纵横比为1， ， 或舍弃， ， ， 综上所述，点M坐标为或 如图3中，当时，可得的纵横比的最大值， 当与相切时，切点在第二象限时，可得的纵横比的最小值， ， ， ， ，易知，作于H． ， ， 此时的纵横比， ． 点睛：属于新定义的问题，对于此类题目需要认真分析题目的定义再求解. 15．（北京市平谷区2023年九年级中考二模）如图，在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知点，点，连接．如果线段上有一个点与点P的距离不大于1，那么称点P是线段的“环绕点”． (1)已知点，，，则是线段的“环绕点”的点是 ； (2)已知点在反比例函数的图象上，且点P是线段的“环绕点”，求出点P的横坐标m的取值范围； (3)已知上有一点P是线段的“环绕点”，且点，求的半径r的取值范围． 【答案】(1)点D和点E (2) (3) 【来源】【全国区级联考】北京市平谷区2023年九年级中考二模试卷数学试题 【详解】（1）解：由“环绕点”的定义可知：点P到线段上某一点的距离d应满足：   、B两点的纵坐标都是3， 轴， ∴点C到线段的距离为， 点D到线段的距离为， 点E到点A的距离为， ∴点D和E是线段的环绕点， 故答案为：点D和点E； （2）解：当点P在线段的上方，点P到线段的距离为1时，， 解得； 当点P在线段的下方，点P到线段的距离为1时，， 解得； 所以点P的横坐标m的取值范围为： （3）解：当点P在线段的下方时，且到线段的最小距离是1时，； 当点P在线段的上方时，且到点A的距离是1时，如图，过点M作于点C，连接并延长交于P， 点，点，点， 点C是的中点， 则，，， ∴，即 的半径r的取值范围是． 16．（2024年北京市顺义区中考二模）定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点． 例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P为△ABC的自相似点． 请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： 在平面直角坐标系中，点M是曲线C：上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点． （1） 如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M，试说明点P是△MON的自相似点； 当点M的坐标是，点N的坐标是时，求点P的坐标； （2） 如图3，当点M的坐标是，点N的坐标是时，求△MON的自相似点的坐标； （3） 是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3）存在， 【详解】解：(1)在△ONP和△OMN中， ∵∠ONP=∠OMN，∠NOP=∠MON， ∴△ONP∽△OMN， ∴点P是△MON的自相似点. 过点P作PD⊥x轴于D点． ， ∴， ∵△NOP∽△MON，M的坐标是，点N的坐标是， ∴, ∴， 在Rt△OPN中，，， ∴， ∴； （2）①如图3，过点M作MH⊥x轴于H点， ∵ ∴， ∴直线OM的表达式为，， ∵是△MON的自相似点， ∴△∽△NOM， 过点作⊥x轴于Q点， ∴， ∴的横坐标为1， ∴， ∴； 如图4， △∽△NOM， ∴， ∴． ∵的纵坐标为， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或． （3）存在点M和点N，使△MON无自相似点，．理由如下： ， ∴△MON是等边三角形， ∵点P在△MON的内部， ∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON， ∴存在点M和点N，使△MON无自相似点． 17．（北京市燕山区2023年九年级一模）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点，例如，点（1，1），（﹣ 2，﹣ 2），（，），…，都是梦之点，显然梦之点有无数个． （1）若点 P（2，b）是反比例函数 (n 为常数，n ≠ 0) 的图象上的梦之点，求这个反比例函数解析式； （2）⊙ O 的半径是 ， ①求出⊙ O 上的所有梦之点的坐标； ②已知点 M（m，3），点 Q 是（1）中反比例函数 图象上异于点 P 的梦之点，过点Q 的直线 l 与 y 轴交于点 A，tan∠OAQ＝ 1．若在⊙ O 上存在一点 N，使得直线 MN ∥ l或 MN ⊥ l，求出 m 的取值范围． 【答案】（1）反比例函数解析式为； （2）①⊙ O 上的所有梦之点的坐标为（1,1）或（-1,-1）；②m 的取值范围是-5≤m≤-1或1≤m≤5. 【来源】北京市燕山区2023年九年级一模考试数学试题 【详解】试题分析：（1）由梦之点坐标特点可得b=2,再将P坐标代入中，即可求得n的值；（2）①设⊙O上梦之点坐标是（a,a），由圆的半径是得： 则a=1或a=-1，所以⊙O上所有梦之点坐标是（1,1）或（-1,-1）；② 由（1）可得，异于点P的梦之点是（-2,-2），设直线MN为y=-x+b，求得m的取值范围；当直线MN为y=x+b时，求得m的取值范围； 试题解析： 解：(1)   ∵P（2,b）是梦之点 ∴b=2 ∴P（2,2）                                          将P（2,2） 代入 中得n=4 ∴反比例函数解析式是 (2) ①∵⊙O的半径是 设⊙O上梦之点坐标是（a,a） ∴ ∴ a=1或a=-1 ∴⊙O上所有梦之点坐标是（1,1）或（-1,-1）      ②由(1)知，异于点P的梦之点是（-2,-2）                 ∵tan∠OAQ=1   ∴∠OAQ==45°                                       由已知MN∥l或MN⊥l，如图所示： ∴直线MN为y=-x+b或y=x+b 当MN为y=-x+b时，m=b-3 由图可知，当直线MN平移至与⊙O相切时， 且切点在第四 象限时，b取得最小值， 此时MN  记为  ， 其中 为切点，为直线与y轴的交点． ∵△O 为等要直角三角形， ∴O   = ∴O=2 ∴b的最小值是-2， ∴m的最小值是-5 当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第二象限时， b取得最大值，此时MN  记为  ， 其中 为切点，为直线与y轴的交点． 同理可得，b的最大值为2，m的最大值为-1. ∴m的取值范围为-5≤m≤-1 当直线MN为y=x+b时， 同理可得，m的取值范围为1≤m≤5， 综上所述，m的取值范围为-5≤m≤-1或1≤m≤5.     18．（2023年北京市房山区中考一模）我们规定：形如 的函数叫做“奇特函数”.当时，“奇特函数” 就是反比例函数. （1） 若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x和y后，得到的新矩形的面积为8 ，求y与x之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”； （2） 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D是OA的中点，连结OB，CD交于点E，“奇特函数”的图象经过B，E两点. ① 求这个“奇特函数”的解析式； ② 把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移 个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象.过线段BE中点M的一条直线l与这个“奇特函数”的图象交于P，Q两点，若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1），是 “奇特函数”；（2）①；②或或或. 【来源】2023年北京市房山区中考一模数学试卷 【详解】试题分析：（1）根据题意列式并化为，根据定义作出判断. （2）①求出点B，D的坐标，应用待定系数法求出直线OB解析式和直线CD解析式，二者联立即可得点E 的坐标，将B（9，3），E（3，1）代入函数即可求得这个“奇特函数”的解析式. ②根据题意可知，以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP，据此求出点P的坐标. 试题解析：（1）根据题意，得， ∵，∴ .∴ . 根据定义，是 “奇特函数”. （2）①由题意得，. 易得直线OB解析式为，直线CD解析式为 ， 由解得 .∴点E（3，1）. 将B（9，3），E（3，1）代入函数，得，整理得 ，解得 . ∴这个“奇特函数”的解析式为. ②∵可化为 ， ∴根据平移的性质，把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移2个单位就可得到 . ∴关于点（6，2）对称. ∵B（9，3），E（3，1），∴BE中点M（6，2），即点M是的对称中心. ∴以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP. 由勾股定理得，. 设点P到EB的距离为m， ∵以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为， ∴. 由直线OB解析式为,则向上平移单位过点P ∴点P在平行于EB的直线上. ∵点P在上， ∴或 . 解得. ∴点P的坐标为或或 或. （建议用时：60分钟） 19．(22-23九·北京师范大学实验中学·二模)在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”． (1)如图1，的半径为1，当时，直接写出直线l关于的“圆截距”； (2)点M的坐标为， ①如图2，若的半径为1，当时，直线l关于的“圆截距”小于，求k的取值范围； ②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于的“圆截距”的最小值为，直接写出b的值． 【答案】(1) (2)①或；② 【来源】北京师范大学实验中学2022-2023学年九年级数学二模 【详解】（1）解：当时，则一次函数解析式为， ∴此时一次函数与坐标轴的交点坐标为， ∵到原点的距离都为1， ∴都在上，即与一次函数的交点坐标即为， ∴“圆截距”； （2）解：①如图2-1所示，当直线l经过点时， ∴， ∴； ∵． ∴． ∴． 设与的另一个交点为C，连接，可知． ∴．即此时直线l关于的“圆截距”为． 结合图形可知． 如图2-2所示，当直线l经过点时，同理可得． 由对称性可知此时直线l关于的“圆截距”为． 结合图形可知． 综上，当或时直线l关于的“圆截距”小于； ②如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最大时，最小，即此时最小， ∵， ∴当点E与点D重合时，最大，即此时最小， ∵直线l关于的“圆截距”的最小值为，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 20．(22-23九下·北京首都师范大学附属中学二模·)在平面直角坐标系中，给出如下定义：为图形上任意一点，如果点到直线的距离等于图形上任意两点距离的最大值时，那么点称为直线的“伴随点”． 例如：如图1，已知点，，在线段上，则点是直线：轴的“伴随点”．    (1)如图2，已知点，，是线段上一点，直线过，两点，当点是直线的“伴随点”时，求点的坐标； (2)如图3，轴上方有一等边三角形，轴，顶点A在轴上且在上方，，点是上一点，且点是直线：轴的“伴随点”．当点到轴的距离最小时，求等边三角形的边长； (3)如图4，以，，为顶点的正方形上始终存在点，使得点是直线：的“伴随点”．请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，    ∵，，则，点是直线的“伴随点”时， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：当到轴的距离最小时， ∴点在线段上， 设的边长为，以为圆心为半径作圆，当与轴相切时，如图所示，切点为，此时点是直线：轴的“伴随点”．且点到轴的距离最小，      则的纵坐标为，即， ∵是等边三角形，且轴，设交于点，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴等边三角形的边长为； （3）解：由题意知，正方形的边长为1，所以正方形上任意两点距离的最大值为,即正方形上始终存在点P，P到的距离为.则向上或者向下平移2个单位长度得到直线 ∵与平行，且两直线间的距离为， ∴P既在上，又在正方形的边上， ∴与正方形有交点. 当时，为， 当过A时，，即, 当过C时，，即; ∴； 当时，为， 当过A时，，即, 当过C时，，即; ∴； 综上，当或时，正方形上始终存在点，使得点是直线：的“伴随点”． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$