精品解析：江苏省南通市海安市十三校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2024~2025学年度第二学期第一次阶段性联合测试 八年级数学试题 （考试时间120分钟总分150分） 一．选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 2. 下列运算，结果正确的是（　　） A B. C. D. 3. 下列判断错误的是（ ） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 四个内角都相等四边形是矩形 C. 邻边相等的平行四边形是菱形 D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 4. 已知分别为的三条边，下列条件不能判别为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，点E表示的实数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，D是斜边的中点，E是上一点，F是的中点．若，，则的长为( ) A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 7. 如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为和，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 9. 如果满足，那么的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，以为边作等边三角形，连接，则下列结论：①；②；③和的面积比为；④．其中结论正确的序号有（ ） A. ①②④ B. ②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二．填空题（本大题共8小题，11-12每题3分，13-18题每题4分，共30分） 11. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是_________． 12. 比较大小：6_____7．（填“＞”，“＝”，“＜”号） 13. 在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为_____cm． 14. 平行四边形中，若，则_______． 15. 菱形中，对角线，则菱形的高等于___________． 16. 如图，平行四边形周长是，对角线相交于点，交于点，则的周长为______． 17. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，边上任意一点（不与点、重合），过点作，，垂足分别为、，若，，则_______． 18. 如图，点E是边长为8的正方形的对角线上的一个动点（不与点B，D重合），连接，以为边向左侧作正方形，点P为的中点，连接，，与的延长线交于点H，在点E运动过程中，线段的最小值为______． 三．解答题（共8题，共90分，将答案写在规定区域．） 19. 计算： （1） （2） 20. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为17的正方形（正方形是四条边相等，四个内角都是的四边形）； （2）在图2中，均为格点，请画出所有格点，使得． （如果有多个点，请分别以点编号）； （3）在图3中，用无刻度的直尺找出一个格点，使平分． （不写画法，保留画图痕迹）． 21. 如图，一架长的梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端B离墙底C的距离为． （1）求此时梯子的顶端A距地面的高度； （2）如果梯子的顶端A下滑了，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？ 22. 如图，中，，，，求、以及的面积． 23. 已知一个直角三角形的斜边长为，周长为，求这个三角形的面积． 24. 如图，将矩形折叠，使点重合，折痕分别与相交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若矩形的边，，求菱形的边长． 25. 四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接．过点E作，交射线于点F． （1）如图1，若点F在边上，求证：； （2）以为邻边作矩形，连接． ①如图2，若，求的长度； ②当线段与正方形一边的夹角是时，直接写出的度数． 26. 如图1，在中，，，，以为边，在外作等边，D是的中点，连接并延长，交于点E． （1）求边的长； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）将图1中的四边形折叠，折痕为，F在上，G在上： ①如图2，若使点C点A重合，直接写出的长是________； ②若使点C与的一边中点重合，直接写出的长是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第二学期第一次阶段性联合测试 八年级数学试题 （考试时间120分钟总分150分） 一．选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，解答的关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、中被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、中被开方数含有开的尽方的因数4，不是最简二次根式，不符合题意； D、中被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 下列运算，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算性质进行计算即可． 【详解】A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； B．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； C．，此选项错误； D．，此选项计算正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式加减乘除计算，熟知以上计算是解题的关键． 3. 下列判断错误的是（ ） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 四个内角都相等的四边形是矩形 C. 邻边相等的平行四边形是菱形 D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故不符合题意； B、四个内角都相等的四边形是矩形，故不符合题意； C、邻边相等的平行四边形是菱形，故不符合题意； D、两条对角线相等、垂直且平分的四边形是正方形，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键． 4. 已知分别为的三条边，下列条件不能判别为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，解题关键是根据三角形内角和求出内角的度数，或根据三角形的三边长判断是否是直角三角形． 【详解】解：A. ∵ ， ∴，符合题意； B. ∵， ∴，不符合题意； C. ∵， ∴，不符合题意； D. ∵，设， ∴，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，点E表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，用数轴上的点表示实数等知识．先根据勾股定理求出，进而得到，根据点A在数轴上对应的数是，即可得到点E表示的实数是． 【详解】解：在中，， 由题意得， ∵点A在数轴上对应的数是， ∴点E表示的实数是，即， 故选：B． 6. 如图，在中，D是斜边的中点，E是上一点，F是的中点．若，，则的长为( ) A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，进而求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【详解】解：∵D是的中点，F是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 在中，D是斜边的中点， 则， 故选：D． 7. 如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为和，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题．由于矩形的面积与矩形的面积都等于2个的面积，即可得两个矩形的面积关系． 【详解】∵，， ∴． 故选：B． 8. 如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】过点P作PM⊥BC于点M，由折叠得到PQ⊥AE，从而得到∠AED=∠APQ，可得△PQM≌△ADE，从而得到PQ=AE，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：过点P作PM⊥BC于点M， 由折叠得到PQ⊥AE， ∴∠DAE+∠APQ=90°， 在正方形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，CD⊥BC， ∴∠DAE+∠AED=90°， ∴∠AED=∠APQ， ∴∠APQ=∠PQM， ∴∠PQM=∠APQ=∠AED， ∵PM⊥BC， ∴PM=AD， ∵∠D=∠PMQ=90°， ∴△PQM≌△ADE， ∴PQ=AE， 在 中，，AD=12， 由勾股定理得： ， ∴PQ=13． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，得到△PQM≌△ADE是解题的关键． 9. 如果满足，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和绝对值的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件求出的范围，把原式化简，计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ， ， ， ， ， 故选：C． 10. 如图，在正方形中，以为边作等边三角形，连接，则下列结论：①；②；③和的面积比为；④．其中结论正确的序号有（ ） A. ①②④ B. ②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，故①正确；利用证明，可判断②，由三角形的面积公式可得，，可得和的面积比为，故③正确；由直角三角形的性质可得，可得，故④正确，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∴， 过点P作于H，于G，如图所示： ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∴和的面积比为，故③正确； 过点C作交的延长线于N，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确， 综上所述：①②③④． 故选：D． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，熟练掌握相关的性质与适当作辅助线是解答此题的关键． 二．填空题（本大题共8小题，11-12每题3分，13-18题每题4分，共30分） 11. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是明确二次根式中被开方数是非负数． 根据二次根式有意义的条件，被开方数需大于等于零，列出不等式求解． 【详解】对于二次根式，要使其有意义，被开方数需满足． 解不等式，两边同时减去2，得． 所以的取值范围是． 故答案为：． 12. 比较大小：6_____7．（填“＞”，“＝”，“＜”号） 【答案】 【解析】 【分析】先把根号外的因式移入根号内，再比较即可． 【详解】解：6，7， ∵180＞147， ∴67， 故答案为：＞． 【点睛】此题考查二次根式的乘法运算：两个二次根式相乘等于把被开方数相乘，根指数不变；熟记运算法则是解题关键． 13. 在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为_____cm． 【答案】 【解析】 【详解】分析：直接利用勾股定理计算即可. 详解：由勾股定理得：斜边长= 故答案为 点睛：此题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理计算边长有：（1）已知两边求第三边；（2）已知一边和另两边之间的关系，求第三边. 14. 在平行四边形中，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得到，和互补，运算求解即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴， ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟悉利用平行四边形的性质获取相关信息是解题的关键． 15. 菱形中，对角线，则菱形的高等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】过A作AE⊥BC，垂足为E，根据菱形的性质求出菱形边长，再利用菱形的面积公式得到方程，解之可得AE． 【详解】解：如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，即AE为菱形ABCD的高， ∵菱形ABCD中，AC=10，BD=24， ∴OB=BD=12，OA=AC=5， 在Rt△ABO中，AB=BC==13， ∵S菱形ABCD=， ∴， 解得：AE=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理的应用，能熟记菱形的性质是解此题的关键，注意：菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相平分且垂直． 16. 如图，平行四边形的周长是，对角线相交于点，交于点，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、线段的中垂线的性质以及三角形周长等知识，熟练掌握平行四边形的性质解题的关键． 由四边形是平行四边形，则，，，故有，又，则垂直平分，所以，再根据周长公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵平行四边形的周长是， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长 ， 故答案：． 17. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，为边上任意一点（不与点、重合），过点作，，垂足分别为、，若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理，连接，由勾股定理得出，由矩形的性质得出，，，由可求得答案．掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图，点E是边长为8的正方形的对角线上的一个动点（不与点B，D重合），连接，以为边向左侧作正方形，点P为的中点，连接，，与的延长线交于点H，在点E运动过程中，线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，求出，进而得出点G在线段上，当时，最短，此时为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可求出的长度，即可得出答案． 【详解】解：四边形、四边形均为正方形， ，，，， ，即， 在与中， ， ， ∴点G在线段上， 当时，最短， ∵正方形的边长为8，点P为的中点， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质是解决问题的关键． 三．解答题（共8题，共90分，将答案写在规定区域．） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算法则，完全平方公式与平方差公式，掌握运算法则是解题的关键． （）先根据完全平方公式与平方差公式法则进行运算，然后合并即可； （）先进行二次根式乘法，负整数指数幂，化简绝对值运算，最后算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为17的正方形（正方形是四条边相等，四个内角都是的四边形）； （2）在图2中，均为格点，请画出所有格点，使得． （如果有多个点，请分别以点编号）； （3）在图3中，用无刻度的直尺找出一个格点，使平分． （不写画法，保留画图痕迹）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据要求作一个边长为的正方形即可； （2）利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理解决问题即可； （3）取格点，连接，取的中点，连接，点即为所求． 【小问1详解】 解：正方形的面积为17， 所求作正方形的边长为， 如图（1）所示，，正方形即为所求 【小问2详解】 解：如图，点，即为所求． 根据作法得：， ∴， ∴， ∴． 故点即为所求， 同理，点即为所求． 【小问3详解】 解：如图，点P即为所求． ∵， ∴是等腰三角形， ∴是底边中线， ∴平分， ∴点P即为所求． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21. 如图，一架长的梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端B离墙底C的距离为． （1）求此时梯子的顶端A距地面的高度； （2）如果梯子的顶端A下滑了，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？ 【答案】（1） （2）梯子的底端B在水平方向滑动了 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，是解题关键． （1）直接利用勾股定理求出AC的长，进而得出答案； （2）直接利用勾股定理得出，进而得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴此时梯子的顶端A距地面的高度为． 【小问2详解】 解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴ 答：梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了． 22. 如图，中，，，，求、以及的面积． 【答案】，，的面积为48 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的面积以及其性质和勾股定理等知识，直接利用平行四边形对边相等得出，再利用勾股定理得出的长，结合平行四边形对角线互相平分以及利用平行四边形面积公式求出即可． 【详解】∵中，，，， ∴，则， ∴， ∴的面积为：． 23. 已知一个直角三角形的斜边长为，周长为，求这个三角形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、完全平方公式，设直角三角形的两直角边为和，可得，，利用完全平方公式可得，从而可求，即为三角形的面积． 【详解】解：设直角三角形的两直角边为和， 由题意可得：， ，， 把两边同时平方， 可得：， ， ， 直角三角形的面积为． 24. 如图，将矩形折叠，使点重合，折痕分别与相交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若矩形的边，，求菱形的边长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由折叠可得，进而利用矩形的性质可证四边形为平行四边形，进而由即可求证； （）设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可求解． 【小问1详解】 证明：由折叠的性质可得，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形菱形， ∴， 在矩形中，，设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴菱形的边长为． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，掌握矩形的性质和菱形的判定是解题的关键． 25. 四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接．过点E作，交射线于点F． （1）如图1，若点F在边上，求证：； （2）以为邻边作矩形，连接． ①如图2，若，求的长度； ②当线段与正方形一边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】（1）见解析 （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）连接，由正方形的对称性得，再根据四边形的内角和定理可证明，进而证得，得，便可得； （2）①证明得，求出的长度便可； ②分两种情况：或，分别根据四边形的内角和，三角形的内角和求得结果便可． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ， 小问2详解】 解：①∵四边形为矩形，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵四边形为正方形， ②当时，如图， 当时，如图， ∵， 综上，或． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理、三角形的内角和定理等知识点，关键是作辅助线和证明全等三角形． 26. 如图1，在中，，，，以为边，在外作等边，D是的中点，连接并延长，交于点E． （1）求边的长； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）将图1中的四边形折叠，折痕为，F在上，G在上： ①如图2，若使点C点A重合，直接写出的长是________； ②若使点C与的一边中点重合，直接写出的长是________． 【答案】（1） （2）见解析 （3） ；满足条件的的长为2或或； 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理即可求解； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再结合为等边三角形可证明，即可证明； （3）设，由折叠性质和等边三角形的性质可得，在中，由勾股定理可求出，在中，用勾股定理即可求解；分三种情况：当点C与的中点D重合时，当点C与的中点重合时，连接，当点C与的中点重合时，连接，过点作，分别用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 在中，，，， ∴ ∴ 【小问2详解】 证明：在中，D是的中点， ∴ ∴ ∴， ∵为等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 ①设， 由（2）可得：， ∵为等边三角形， 由折叠可得： 在中，，， ∴ 在中， 即，解得： ∴； ②当点C与的中点D重合时，如图 ∵为等边三角形， ∴ 当点C与的中点重合时，连接，如图 设， 由（2）可得：， ∵为等边三角形， ∴ 由①得： ∴ 则 ∴； 当点C与的中点重合时，连接，过点作，如图， ∵，由①得： 则 ∴ 由折叠可得： ∴ ∴； 综上：满足条件的的长为2或或； 【点睛】此题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，以及勾股定理的应用，图形的翻折变换，关键是掌握平行四边形的判定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$